⏺️tích vô hướng

Định nghĩa. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực, ký hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, tính bằng công thức $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Hiểu bằng hình ảnh. Tích vô hướng đo lường mức độ "cùng hướng" của hai vectơ. Nếu hai vectơ cùng chiều thì tích dương cực đại, vuông góc thì bằng 0, ngược chiều thì âm.

Công thức cần nhớ

• Trong $Oxy$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
• Trong $Oxyz$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
• Hai vectơ vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Cosin góc giữa 2 vectơ: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Ví dụ giải từng bước. Cho $\vec{a} = (3, 4)$ và $\vec{b} = (2, -1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

• Bước 1: Nhân hoành độ với hoành độ: $3 \times 2 = 6$.
• Bước 2: Nhân tung độ với tung độ: $4 \times (-1) = -4$.
• Bước 3: Cộng hai kết quả lại: $6 + (-4) = 2$.

Cách nhận biết. Đề bài hỏi góc giữa 2 đường thẳng/vectơ, chứng minh vuông góc, hoặc tính công của lực $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.

Lỗi hay gặp:

• Ra kết quả là một vectơ thay vì một số thực.
• Quên dấu âm khi các tọa độ có chứa dấu âm.

Liên hệ thực tế. Công cơ học $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$ chính là tích vô hướng của lực $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{s}$.

Mẹo làm trắc nghiệm. Để chứng minh $\vec{a} \perp \vec{b}$, chỉ cần cho hoành nhân hoành + tung nhân tung = 0.