khối tròn xoay

Định nghĩa. Khối tròn xoay là vật thể hình thành khi quay một hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang hoặc miền giới hạn bởi đồ thị hàm số) quanh một trục cố định nằm trong mặt phẳng đó.

Hiểu bằng hình ảnh: Chiếc bình gốm được thợ thủ công vuốt trên bàn xoay gốm sứ: khi bàn xoay quay tròn, biên dạng bình tạo thành khối tròn xoay uyển chuyển.

Công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân

• Quay miền giới hạn bởi $y = f(x)$, trục $Ox$ và $x = a, x = b$ quanh trục $Ox$:
  $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

Ví dụ giải từng bước: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x$, trục $Ox$ và $x = 2$ quanh trục $Ox$.

• Bước 1: Áp dụng công thức tích phân $V = \pi \int_0^2 x^2 dx$.
• Bước 2: Nguyên hàm $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3}$.
• Bước 3: Tính cận: $V = \pi \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_0^2 = \pi \left(\dfrac{8}{3} - 0\right) = \dfrac{8\pi}{3}$.

Cách nhận biết: Đề yêu cầu "quay hình phẳng quanh trục $Ox$", tính thể tích khối tròn xoay.