∫tích phân bất định

Định nghĩa. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên K. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên K được gọi là tích phân bất định (hay nguyên hàm) của $f(x)$, ký hiệu là $\int f(x)dx = F(x) + C$ (với $C$ là hằng số tùy ý).

Hiểu bằng hình ảnh. Nếu đạo hàm là phép tính "xuống dốc" (biến quãng đường thành vận tốc), thì tích phân bất định chính là phép tính "ngược dốc" để truy tìm lại hàm gốc ban đầu trước khi bị đạo hàm.

Công thức bảng nguyên hàm cơ bản

• $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$)
• $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$; $\int \sin x dx = -\cos x + C$

Ví dụ giải từng bước. Tìm tích phân bất định $I = \int (3x^2 + 2x) dx$.

• Bước 1: Áp dụng tính chất tách tổng: $I = 3\int x^2 dx + 2\int x dx$.
• Bước 2: Tính từng nguyên hàm: $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3}$, $\int x dx = \dfrac{x^2}{2}$.
• Bước 3: Thay vào: $I = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C = x^3 + x^2 + C$.

Cách nhận biết. Ký hiệu $\int f(x)dx$ KHÔNG có ghi số ở hai đầu cận tích phân.

Lỗi hay gặp:

• Quên cộng hằng số $+ C$ ở cuối kết quả.
• Nhầm dấu nguyên hàm lượng giác: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ (đạo hàm thì $(\sin x)' = +\cos x$).

Liên hệ thực tế. Tìm lại vị trí $s(t)$ của một con tàu vũ trụ khi biết công thức gia tốc và vận tốc biến thiên của nó.

Mẹo làm trắc nghiệm. Muốn kiểm tra đáp án $\int f(x)dx = F(x) + C$ đúng hay sai: Chỉ cần lấy đạo hàm đáp án $[F(x)]'$, nếu ra đúng $f(x)$ thì đáp án đó đúng!