đồng phẳng

Định nghĩa. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc cùng nằm trên một mặt phẳng. Bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng khi cùng thuộc một mặt phẳng.

Hiểu bằng hình ảnh. Đặt 3 chiếc bút chì nằm rạp trên mặt bàn: 3 chiếc bút đó đại diện cho 3 vectơ đồng phẳng. Nếu có 1 chiếc dựng đứng lên là không đồng phẳng.

Điều kiện đồng phẳng

• Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0$ (Tích hỗn tạp bằng 0).
• Hoặc tồn tại cặp số $(k, l)$ sao cho $\vec{c} = k \vec{a} + l \vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương).

Ví dụ giải từng bước. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (2, 0, 1)$ và $\vec{c} = (3, 2, 4)$. Kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vectơ.

• Bước 1: Tính tích có hướng $[\vec{a}, \vec{b}] = (2\cdot 1 - 3\cdot 0, 3\cdot 2 - 1\cdot 1, 1\cdot 0 - 2\cdot 2) = (2, 5, -4)$.
• Bước 2: Tính tích vô hướng với $\vec{c}$: $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 2(3) + 5(2) + (-4)(4) = 6 + 10 - 16 = 0$.
• Bước 3: Tích hỗn tạp bằng 0, kết luận 3 vectơ đồng phẳng.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ với điều kiện cùng phương của 2 vectơ.