🔢dãy số

Định nghĩa. Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (ký hiệu $(u_n)$ với $u_n = u(n)$).

Hiểu bằng hình ảnh. Hãy tưởng tượng một hàng người xếp hàng mua vé xem phim. Người thứ nhất mang số 1 ($u_1$), người thứ hai mang số 2 ($u_2$), người thứ $n$ mang số $n$ ($u_n$). Vị trí đứng chính là chỉ số $n$, còn giá tiền vé họ trả chính là giá trị $u_n$.

Các dãy số đặc biệt

• Dãy số tăng: $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n$.
• Dãy số giảm: $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n$.
• Cấp số cộng: $u_{n+1} = u_n + d$ (với $d$ là công sai).
• Cấp số nhân: $u_{n+1} = u_n \cdot q$ (với $q$ là công bội).

Ví dụ giải từng bước. Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 3n - 1$. Tìm 3 số hạng đầu tiên $u_1, u_2, u_3$.

• Bước 1: Thay $n = 1$ vào công thức: $u_1 = 3(1) - 1 = 2$.
• Bước 2: Thay $n = 2$ vào công thức: $u_2 = 3(2) - 1 = 5$.
• Bước 3: Thay $n = 3$ vào công thức: $u_3 = 3(3) - 1 = 8$.
• Bước 4: Ba số hạng đầu tiên của dãy là $2, 5, 8$.

Cách nhận biết. Ký hiệu $(u_n)$, $(v_n)$, cho số hạng tổng quát $u_n = f(n)$ hoặc cho bằng hệ thức truy hồi.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa chỉ số $n$ (vị trí, phải là số nguyên dương $1, 2, 3...$) và giá trị số hạng $u_n$ (có thể là số âm, số thập phân).
• Sai số khi tính các số hạng của dãy cho bởi công thức truy hồi.

Liên hệ thực tế. Dãy số Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...$ xuất hiện trong quy luật xếp cánh hoa của hoa hướng dương và hình dạng vỏ ốc bươu.

Mẹo làm trắc nghiệm. Muốn xét dãy tăng hay giảm: Lập hiệu $u_{n+1} - u_n$. Nếu hiệu $> 0 \rightarrow$ Dãy tăng; nếu hiệu $< 0 \rightarrow$ Dãy giảm.