Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG MÔN GIẢI TÍCH I NHÓM NGÀNH 1 CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số: √ 2x a) y = 2 arccotx − π b) y = arcsin 1 + x √ x c) y = d) y = arccos (sinx) sinπx [Hướng dẫn giải] √ a) y = 2 arccotx − π π +) ĐKXĐ: 2 arccotx − π ≥ 0 ⇔ arccotx ≥ ⇔ x ≤ 0 2 +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = (−∞,0] 2x b) y = arcsin 1 + x 2x −1 ≤ ≤ 1 x ̸= −1 +) ĐKXĐ: 1 + x ⇔ −1 1 + x ̸= 0 ≤ x ≤ 1 3 1 +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = − ,1 3 √ x c) y = sinπx x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 +) ĐKXĐ: ⇔ ⇔ sinπx ̸= 0 πx ̸= kπ (k ∈ Z) x ̸∈ Z +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = (0,∞) \ N∗ d) y = arccos (sinx) +) ĐKXĐ: −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ x ∈ R +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R Câu 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sinh (−x) = −sinhx b) sinh (x + y) = sinhxcoshy+coshxsinhy c) cosh (x + y) = coshxcoshy+sinhxsinhy d) cosh2 x − sinh2 x = 1 e) sinh 2x = 2 sinhxcoshx f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x [Hướng dẫn giải] 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) sinh (−x) = −sinhx ex − e−x sinhx = +) Ta có: 2 e−x − ex sinh (−x) = 2 +) Kết luận: sinh (−x) = −sinhx b) sinh (x + y) = sinhxcoshy + coshxsinhy +) Ta có: sinhxcoshy + coshxsinhy ex − e−x ey + e−y ex + e−x ey − e−y = . + . 2 2 2 2 1 1 = (ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y) + (ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y) 4 4 ex+y − e−(x+y) = = sinh (x + y) 2 +) Kết luận: sinh (x + y) = sinhxcoshy + coshxsinhy c) cosh (x + y) = coshxcoshy + sinhxsinhy +) Ta có: coshxcoshy + sinhxsinhy ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y = . + . 2 2 2 2 1 1 = (ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y) + (ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y) 4 4 ex+y + e−(x+y) = = cosh (x + y) 2 +) Kết luận: cosh (x + y) = coshxcoshy + sinhxsinhy d) cosh2 x − sinh2 x = 1 2 2 ex + e−x ex − e−x 1 +) Ta có: cosh2 x − sinh2 x = − = .(2 + 2) = 1 2 2 4 +) Kết luận: cosh2 x − sinh2 x = 1 e) sinh 2x = 2 sinhxcoshx ex − e−x ex + e−x e2x − e−2x +) Ta có: 2 sinhxcoshx = 2. . = = sinh 2x 2 2 2 +) Kết luận: sinh 2x = 2 sinhxcoshx f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x 2 2 ex + e−x ex − e−x 2e2x + 2e−2x +) Ta có: cosh2 x + sinh2 x = + = = cosh 2x 2 2 4 +) Kết luận: cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 3. Tìm miền giá trị các hàm số: x a) y = log (1 − 2 cosx) b) y = arcsin log 10 c) y = arccot (sinx) d) y = arctan (ex) [Hướng dẫn giải] a) y = log (1 − 2 cosx) +) ĐKXĐ: 1 − 2 cosx > 0 +) Với mọi x thuộc tập xác định, ta có: 0 < 1 − 2 cosx ≤ 3 ⇒ −∞ < log (1 − 2 cosx) ≤ log 3 +) Kết luận: Tập giá trị của y là (−∞,log 3] x b) y = arcsin log 10 +) Miền xác định của hàm số là D = [1,100] x π π +) Với mọi x ∈ D, ta có: −1 ≤ log ≤ 1 ⇒ − ≤ y ≤ 10 2 2 h π πi +) Kết luận: Tập giá trị của y là − , 2 2 c) y = arccot (sinx) +) Miền xác định của hàm số là D = R π 3π +) Với mọi x ∈ D, ta có: −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ arccot (1) ≤ y ≤ arccot (−1) ⇒ ≤ y ≤ 4 4 π 3π +) Kết luận: Tập giá trị của y là , 4 4 d) y = arctan (ex) +) Miền xác định của hàm số là D = R π +) Với mọi x ∈ D, ta có: ex > 0 ⇒ 0 < y < 2 π +) Kết luận: Tập giá trị của y là 0, 2 Câu 4. Tìm f(x), biết: 1 1 x a) f x + = x2 + b) f = x2 x x2 1 + x [Hướng dẫn giải] 1 1 a) f x + = x2 + x x2 1 +) Đặt x + = t ⇒ |t| ≥ 2 x Khi đó, phương trình đã cho trở thành: f(t) = t2 − 2 ∀ |t| ≥ 2 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Kết luận: f(x) = x2 − 2 ∀ |x| ≥ 2 x b) f = x2 1 + x x t +) Đặt = t ⇒ x = với t ̸= 1 1 + x 1 − t 2 t Khi đó, phương trình đã cho trở thành: f(t) = ∀ t ̸= 1 1 − t 2 x +) Kết luận: f(x) = ∀ x ̸= 1 1 − x Câu 5. Tìm hàm ngược của hàm số: 1 − x 1 a) y = 2 arcsinx b) y = c) y = (ex − e−x) 1 + x 2 [Hướng dẫn giải] a) y = 2 arcsinx +) Ta thấy: x ∈ [−1,1] ⇒ y ∈ [−π, π] y +) Ta có: y = 2 arcsinx ⇒ x = sin 2 x +) Kết luận: Hàm ngược của hàm số đã cho là f−1(x) = sin với x ∈ [−π, π] 2 1 − x b) y = 1 + x +) Ta thấy: x ∈ R \ {−1} ⇒ y ∈ R \ {−1} 1 − x 1 − y +) Ta có: y = ⇒ x = 1 + x 1 + y 1 − x +) Kết luận: Hàm ngược của hàm số đã cho là f−1(x) = với x ̸= −1 1 + x 1 c) y = (ex − e−x) 2 +) Ta thấy: x ∈ R ⇒ y ∈ R 1 1 +) Đặt ex = t (t > 0) ⇒ y = t − 2 t " p t = y + y2 + 1 > 0 (Thoả mãn) Khi đó, ta có: t2 − 2yt − 1 = 0 ⇒ p t = y − y2 + 1 < 0 (Loại) p p ⇒ ex = y + y2 + 1 ⇒ x = ln y + y2 + 1 √ +) Kết luận: Hàm ngược của hàm số đã cho là f−1(x) = ln x + x2 + 1 với x ∈ R 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 6. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: √ a) f(x) = ax + a−x (a > 0) b) f(x) = ln(x + 1 + x2) c) f(x) = sinx + cosx d) f(x) = arcsin(tanx) [Hướng dẫn giải] a) f(x) = ax + a−x (a > 0) +) Miền xác định của hàm số là D = R. Khi đó, ∀ x ∈ D thì −x ∈ D +) Ta có: f(−x) = a−x + ax = f(x) ∀ x ∈ D +) Kết luận: Hàm số đã cho là một hàm chẵn √ b) f(x) = ln(x + 1 + x2) √ +) Ta có: x + 1 + x2 > 0 ∀ x ∈ R ⇒ Miền xác định của hàm số là D = R. Khi đó, ∀ x ∈ D thì −x ∈ D p 1 +) Ta có: f(−x) = ln −x + 1 + (−x)2 = ln √ x + 1 + x2 √ = −ln x + 1 + x2 = −f(x) ∀ x ∈ R +) Kết luận: Hàm số đã cho là một hàm lẻ c) f(x) = sinx + cosx +) Miền xác định của hàm số là D = R. Khi đó, ∀ x ∈ D thì −x ∈ D √ 2π 3 1 f = − −π π +) Ta có: 3 2 √ 2 ⇒ f ̸= ±f −2π − 3 1 3 3 f = − 3 3 2 +) Kết luận: Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ d) f(x) = arcsin (tanx) −π π +) ĐKXĐ: −1 ≤ tanx ≤ 1 ⇒ + kπ ≤ x ≤ + kπ với k ∈ Z 4 4 ⇒ Miền xác định D đối xứng qua x = 0. Khi đó, ∀ x ∈ D thì −x ∈ D +) Ta có: f(−x) = arcsin(tan(−x)) = −arcsin(tanx) = −f(x) ∀ x ∈ D +) Kết luận: Hàm số đã cho là một hàm lẻ Câu 7. Chứng minh rằng bất kì hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) cùng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ [Hướng dẫn giải] 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Giả sử ta phân tích được hàm số f(x) = g(x) + h(x), trong đó g(x) là hàm chẵn và h(x) là hàm lẻ f(x) = g(x) + h(x) f(x) = g(x) + h(x) +) Ta có: ⇒ f(−x) = g(−x) + h(−x) f(−x) = g(x) − h(x) " # 1 1 ⇒ Đây là hệ phương trình tuyến tính có hai ẩn: D = = −2 ̸= 0 1 −1 f(x) + f(−x) g(x) = Khi đó, hệ luôn có nghiệm và có nghiệm duy nhất: 2 f(x) − f(−x) h(x) = 2 +) Kết luận: Bất kì hàm số nào thỏa mãn yêu cầu đề bài luôn biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ. Câu 8. Cho f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0). Chứng minh: a) Nếu f(x) và g(x) là hàm chẵn thì tổng và tích của chúng là hàm chẵn b) Nếu f(x) và g(x) là hàm lẻ thì tổng của chúng là hàm lẻ, còn tích của chúng là hàm chẵn. c) Nếu f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn thì tích của chúng là hàm lẻ [Hướng dẫn giải] Gọi miền xác định của hai hàm số trên là D a) f(x) = f(−x) +) Ta có: f(x) và g(x) là hàm chẵn nên ∀ x ∈ D g(x) = g(−x) +) Gọi h(x) = f(x) + g(x) là hàm tổng của f(x) và g(x) k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x) h(x) = f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x) = h(−x) Khi đó: ∀ x ∈ D k(x) = f(x).g(x) = f(−x).g(−x) = k(−x) +) Kết luận: Hàm tổng và tích của f(x) và g(x) là hàm chẵn b) f(−x) = −f(x) +) Ta có: f(x) và g(x) là hàm lẻ nên ∀ x ∈ D g(−x) = −g(x) +) Gọi h(x) = f(x) + g(x) là hàm tổng của f(x) và g(x) k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x) 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) − g(x) = −h(x) Khi đó: ∀ x ∈ D k(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).g(x) = k(x) +) Kết luận: Hàm tổng của f(x) và g(x) là hàm lẻ, hàm tích của f(x) và g(x) là hàm chẵn c) f(−x) = −f(x) +) Ta có: f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn nên ∀ x ∈ D g(x) = g(−x) +) Gọi k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x) Khi đó: k(−x) = f(−x).g(−x) = −f(x).g(x) = −k(x) ∀ x ∈ D +) Kết luận: Hàm tích f(x) và g(x) là hàm lẻ. Câu 9. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (nếu có): a) f(x) = Acosλx + B sinλx b) f(x) = sinx2 1 1 c) f(x) = sinx + sin 2x + sin 3x d) f(x) = cos2 x 2 3 [Hướng dẫn giải] a) f(x) = Acosλx + B sinλx +) TH1: A = B = 0 Khi đó, f(x) = 0 tuần hoàn nhưng không có chu kỳ cơ sở +) TH2: A2 + B2 > 0 • Với λ = 0, ta có: f(x) = A là hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ cơ sở 2π 2π • Với λ ̸= 0, ta có: Acosλx + B sinλx = Acosλ x + + B sinλ x + ∀ x ∈ R |λ| |λ| 2π ◦ Ta sẽ chứng minh T = là chu kỳ cơ sở của f(x) |λ| ◦ Giả sử tồn tại giá trị T1 sao cho 0 < T1 < T và: Acosλx + B sinλx = Acos (λ[x + T1]) + B sin (λ[x + T1]) (∗) ◦ Ta thấy (∗) đúng ∀ x ∈ R nên: ⊙ Tại x = 0, ta có: Acos (λT1) + B sin (λT1) = A π ⊙ Tại x = , ta có: −Asin(λT1) + B cos(λT1) = B 2λ k2π ⇒ A2 cos (λT ) + B2 cos(λT ) = A2 + B2 ⇒ cos (λT ) = 1 ⇒ T = với k ∈ N∗ 1 1 1 1 |λ| ◦ Do 0 < T1 < T nên không tồn tại T1 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2π ⇒ Hàm số f(x) tuần hoàn khi λ ̸= 0 với chu kỳ cơ sở T = |λ| +) Kết luận: • Nếu A2 + B2 = 0 thì hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kỳ • Nếu A2 + B2 > 0 và: ◦ λ = 0 thì hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kỳ 2π ◦ λ ̸= 0 thì hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T = |λ| b) f(x) = sinx2 +) Giả sử hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ T > 0 Khi đó, ta có: sinx2 = sin (x + T)2 (∗) +) Ta thấy (∗) đúng ∀ x ∈ R nên: √ • Tại x = 0, ta có: sinT2 = 0 ⇒ T2 = kπ ⇒ T = kπ với k ∈ N∗ √ √ √ • Tại x = π, ta có: sin ( π + T)2 = 0 ⇒ ( π + T)2 = lπ với l ∈ N∗ √ √ ⇒ ( π + kπ)2 = lπ ⇒ k là số chính phương do l ∈ N∗ √ Khi đó, ta đặt k = h2 với h ∈ N∗ thì T = h π r r 2 π π • Tại x = , ta có: sin + T = 1 2 2 r π 2 π ⇒ + T = + 2mπ (m ∈ N∗) 2 2 r π √ 2 π ⇒ + h π = + 2mπ 2 2 π 2hπ π ⇒ + √ + h2π = + 2mπ 2 2 2 √ ⇒ 2m = h2 + 2h vô lý do m ∈ N∗ +) Kết luận: Hàm số đã cho không tuần hoàn 1 1 c) f(x) = sinx + sin 2x + sin 3x 2 3 1 1 1 1 +) Ta có: sinx + sin 2x + sin 3x = sin (x + 2π) + sin 2(x + 2π) + sin 3(x + 2π) ∀ x ∈ R 2 3 2 3 +) Ta sẽ chứng minh T = 2π là chu kỳ cơ sở của f(x) +) Giả sử tồn tại T1 sao cho 0 < T1 < T và: 1 1 1 1 sinx + sin 2x + sin 3x = sin (x + T1) + sin 2(x + T1) + sin 3(x + T1) (∗) 2 3 2 3 +) Ta thấy (∗) đúng ∀ x ∈ R nên: 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 • Tại x = 0, ta có: sinT1 + sin 2T1 + sin 3T1 = 0 (1) 2 3 1 1 • Tại x = π, ta có: −sinT1 + sin 2T1 − sin 3T1 = 0 (2) 2 3 1 +) Từ (1) và (2), ta có: sinT1 + sin 3T1 = 0 3 1 ⇒ sinT + 3 sinT − 4 sin3 T = 0 1 3 1 1 4 ⇒ sinT 2 − sin2 T = 0 1 3 1 +) Do 0 < T1 < T nên phương trình trên có nghiệm T1 = π π +) Thử lại với T1 = π thì tại x0 = , ta có: 2 1 1 1 1 sinx0 + sin 2x0 + sin 3x0 ̸= sin (x0 + π) + sin 2(x0 + π) + sin 3(x0 + π) 2 3 2 3 ⇒ Không tồn tại T1 thỏa mãn giả sử trên +) Kết luận: Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T = 2π d) f(x) = cos2 x cos 2x + 1 cos (2x + 2π) + 1 cos 2(x + π) + 1 +) Ta có: f(x) = cos2 x = = = = f(x + π) 2 2 2 +) Ta sẽ chứng minh T = π là chu kỳ cơ sở của f(x) +) Giả sử tồn tại T1 sao cho 0 < T1 < T và f(x) = f(x + T1) cos 2x + 1 cos 2(x + T1) + 1 ⇒ = 2 2 ⇒ cos 2x = cos 2(x + T1) (∗) +) Ta thấy (∗) đúng ∀ x ∈ R nên tại x = 0 ta có: cos (2T ) = 1 ⇒ 2T = k2π ⇒ T = kπ với k ∈ N∗ 1 1 1 +) Do 0 < T1 < T nên không tồn tại T1 thỏa mãn giả sử trên +) Kết luận: Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T = π Câu 10. Tìm giới hạn của các dãy sau (nếu có) với số hạng tổng quát xn như sau: √ 1 1 1 a) xn = n − n2 − n b) xn = + + ... + 1.2 2.3 (n − 1)n √ sin2 n − cos3 n ncosn c) xn = d) xn = n n + 1 [Hướng dẫn giải] √ a) xn = n − n2 − n √ n +) Ta có: lim xn = lim n − n2 − n = lim √ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n + n2 − n 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 1 = lim r = √ = n→+∞ 1 1 + 1 − 0 2 1 + 1 − n 1 +) Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là 2 sin2 n − cos3 n b) xn = n 0 ≤ sin2 n ≤ 1 −1 2 +) Ta có: ⇒ −1 ≤ sin2 n − cos3 n ≤ 2 ⇒ ≤ x ≤ n n n −1 ≤ cos3 n ≤ 1 −1 2 +) Do lim = 0 và lim = 0 nên lim xn = 0 theo tiêu chuẩn kẹp n→+∞ n n→+∞ n n→+∞ +) Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là 0 1 1 1 c) xn = + + ... + 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +) Ta có: xn = + + ... + = − + − + ... + − = 1 − 1.2 2.3 (n − 1)n 1 2 2 3 n − 1 n n 1 ⇒ lim xn = lim 1 − = 1 − 0 = 1 n→+∞ n→+∞ n +) Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là 1 √ ncosn d) xn = n + 1 √ √ − n n +) Ta có: −1 ≤ cosn ≤ 1 ⇒ ≤ xn ≤ n + 1 n + 1 √ √ − n n +) Mà lim = 0 và lim = 0 nên lim xn = 0 theo tiêu chuẩn kẹp n→+∞ n + 1 n→+∞ n + 1 n→+∞ +) Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là 0 Câu 11. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy với số hạng tổng quát như sau: √ a) xn = n n2 + 2 1 1 b) xn = xn−1 + , x0 > 0 2 xn−1 [Hướng dẫn giải] √ a) xn = n n2 + 2 √ 1 lim ln(n2+2). 1 +) Ta có: lim x = lim n n2 + 2 = lim (n2 + 2)n = en→+∞ n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ ln(n2 + 2) +) Đặt L = lim , khi đó lim x = eL n n n→+∞ n→+∞ √ +) Xét f(x) = ln(x2 + 2) − 2 x với x ≥ 1 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ 2x 1 2x x − x2 − 2 +) Ta có: f′(x) = − √ = √ < 0 ∀ x ≥ 1 x2 + 2 x x(x2 + 2) ⇒ f(x) là hàm nghịch biến trên [1,+∞) √ Khi đó, f(x) ≤ f(1) = ln(3) − 2 < 0 hay ln(x2 + 2) < 2 x ∀ x ≥ 1 √ ln(n2 + 2) 2 ⇒ ln(n2 + 2) < 2 n ∀ n ≥ 1 ⇒ 0 < < √ ∀ n ≥ 1 n n 2 ln(n2 + 2) +) Do lim √ = 0 nên lim = 0 theo nguyên lý kẹp n→+∞ n n→+∞ n ⇒ lim x = eL = e0 = 1 n n→+∞ +) Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là 1 1 1 b) xn = xn−1 + , x0 > 0 2 xn−1 +) Dễ thấy xn > 0 ∀ n ∈ N +) Ta cần chứng minh xn ≥ 1 ∀ n > 0 (∗) r 1 1 1 1 • Ta thấy (∗) đúng với n = 1 do x1 = x0 + ≥ .2 x0. = 1 theo BĐT Cauchy 2 x0 2 x0 • Giả sử (∗) đúng với n = k, khi đó xk ≥ 1 ◦ Ta sẽ chứng minh (∗) đúng với n = k + 1 r 1 1 1 1 ◦ Thật vậy, xk+1 = xk + ≥ .2 xk. = 1 theo BĐT Cauchy 2 xk 2 xk ⇒ (∗) đúng theo giả thiết quy nạp 1 − x2 +) Ta có: x − x = n−1 ≤ 0 ∀ n > 0 (do x ≥ 1 ∀ n > 0) n n−1 2x n n−1 ⇒ Dãy (xn) là dãy giảm và bị chặn dưới do xn > 0 ∀ n ∈ N. Do đó, dãy (xn) hội tụ. +) Đặt L = lim xn (L ≥ 0) n→+∞ 1 1 1 1 +) Ta có: lim xn = lim xn−1 + ⇒ L = L + ⇒ L = 1 (do L ≥ 0) n→+∞ 2 n→+∞ lim xn−1 2 L n→+∞ +) Kết luận: Giới hạn của dãy số đã cho là 1 Câu 12. Tìm các giới hạn: √ √ 1√ 1 m 1 + αx − n 1 + βx a) lim 1 + x − b) lim ,(m, n ∈ N) x→0 x x x→0 x √ √ √ c) lim 3 x3 + x2 − 1 − x d) lim x x2 + 2x − 2 x2 + x + x x→+∞ x→+∞ √ x100 − 2x + 1 1 + 4x − 1 e) lim f) lim x→1 x50 − 2x + 1 x→0 ln 1 + 3 sinx 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập [Hướng dẫn giải] √ 1 1 a) A = lim 1 + x − x→0 x x √ x +) Ta có: 1 + x − 1 = √ 1 + x + 1 √ 1√ 1 1 + x − 1 1 1 ⇒ lim 1 + x − = lim = lim √ = x→0 x x x→0 x x→0 1 + x + 1 2 1 +) Vậy A = 2 √ √ m 1 + αx − n 1 + βx b) B = lim (m, n ∈ N) x→0 x √ m 1 + αx − 1 +) Xét L1 = lim x→0 x √ αx Ta có m 1 + αx − 1 = √ √ ( m 1 + αx)(m−1) + ( m 1 + αx)(m−2) + ... + 1 αx α ⇒ L1 = lim = x→0 mx m √ 1 − n 1 + βx −β +) Tương tự ta có: L2 = lim = x→0 x n √ √ m 1 + αx − n 1 + βx α β ⇒ lim = L1 + L2 = − x→0 x m n α β +) Vậy B = − m n √ c) C = lim 3 x3 + x2 − 1 − x x→+∞ √ (x3 + x2 − 1) − x3 +) lim 3 x3 + x2 − 1 − x = lim √ √ x→+∞ x→+∞ 3 x3 + x2 − 1 2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 x2 − 1 = lim √ √ x→+∞ 3 x3 + x2 − 1 2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 1 1 − 1 = lim ! x2 = r 2 r 3 x→+∞ 1 1 1 1 3 1 + − + 3 1 + − + 1 x x3 x x3 1 +) Vậy C = 3 √ √ d) D = lim x x2 + 2x − 2 x2 + x + x x→+∞ 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ √ √ +) lim x x2 + 2x − 2 x2 + x + x = lim x x2 + 2x − x − 1 + 2x + 1 − 2 x2 + x x→+∞ x→+∞ ! (x2 + 2x) − (x + 1)2 (2x + 1)2 − 4(x2 + x) = lim x √ + √ x→+∞ x2 + 2x + x + 1 2x + 1 + 2 x2 + x ! −1 1 = lim x √ + √ x→+∞ x2 + 2x + x + 1 2x + 1 + 2 x2 + x ! −x x = lim √ + √ x→+∞ x2 + 2x + x + 1 2x + 1 + 2 x2 + x −1 1 −1 1 −1 = lim r + r = + = x→+∞ 2 1 1 1 2 4 4 1 + + 1 + 2 + + 2 1 + x x x x −1 +) Vậy D = 4 x100 − 2x + 1 e) E = lim x→1 x50 − 2x + 1 +) Ta áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử: T S = x100 − ... − x2 + x2 − 2x + 1 = (x − 1) x99 + x98 + x97 + ... + x2 + (x − 1)2 = (x − 1) x99 + x98 + ... + x2 + x − 1) =) Tương tự ta có: M S = (x − 1) (x49 + x48 + . . . + x2 + x − 1) +) Do đó T S/M S khi x → 1 có giá trị là 98/48 = 49/24 √ 1 + 4x − 1 f) F = lim x→0 ln 1 + 3 sinx √ 1 + 4x − 1 4x 4 +) Ta có: L1 = lim = lim √ = lim √ = 2 x→0 x x→0 ( 1 + 4x + 1)x x→0 1 + 4x + 1 x +) L2 = lim = 1 x→0 sinx sinx 1 +) L3 = lim = x→0 ln 1 + 3 sinx 3 √ 1 + 4x − 1 2 ⇒ lim = x→0 ln 1 + 3 sinx 3 2 +) Vậy F = 3 Câu 13. Tìm các giới hạn: ln x + arccos3 x − lnx √ √ a) lim b) lim sin x + 1 − sin x x→0+ x2 x→+∞ √ √ cosx − 3 cosx 1 − cosxcos 2xcos 3x c) lim d) lim x→0 sin2 x x→0 1 − cosx 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập [Hướng dẫn giải] arccos3 x ln 1 + ln x + arccos3 x − lnx x a) A = lim = lim x→0+ x2 x→0+ x2 π3 arccos3 x arccos3 x +) Do lim arccos3 x = ⇒ lim = +∞ ⇒ lim ln 1 + = +∞ x→0+ 2 x→0+ x x→0+ x arccos3 x ln 1 + ⇒ lim x = +∞ (do lim x2 = 0+) x→0+ x2 x→0+ +) Vậy A = +∞ √ √ b) B = lim sin x + 1 − sin x x→+∞ √ √ ! √ √ ! √ √ x + 1 + x x + 1 − x +) lim sin x + 1 − sin x = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ ! x + 1 + x 1 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2 x + 1 + x √ √ ! x + 1 + x +) Do −1 ≤ cos ≤ 1 2 √ √ ! x + 1 + x 1 1 ⇒ 0 ≤ 2 cos sin √ √ ≤ 2 sin √ √ 2 2 x + 1 + x 2 x + 1 + x 1 Lại có: lim 2 sin √ √ = 2 sin 0 = 0 x→+∞ 2 x + 1 + x √ √ ! x + 1 + x 1 ⇒ lim 2 cos sin √ √ = 0 (theo nguyên lí kẹp) x→+∞ 2 2 x + 1 + x +) Vậy B = 0 √ √ cosx − 3 cosx 0 c) C = lim dạng x→0 sin2 x 0 √ √ √ √ cosx − 3 cosx cosx − 3 cosx +) lim = lim (do sinx ∼ x khi x → 0) x→0 sin2 x x→0 x2 √ √ ′ cosx − 3 cosx +) Xét L1 = lim ′ x→0 x2 −sinx sinx √ + √ 2 cosx 3 3 cos2 x = lim x→0 2x −1 1 √ + √ 2 cosx 3 3 cos2 x = lim (do sinx ∼ x khi x → 0) x→0 2 −1 1 + −1 = 2 3 = 2 12 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ √ √ cosx − 3 cosx −1 cosx − 3 cosx −1 ⇒ lim = L1 = → Theo quy tắc L’hospital lim = x→0 x2 12 x→0 sin2 x 12 −1 +) Vậy C = 12 1 − cosxcos 2xcos 3x d) D = lim x→0 1 − cosx 1 − cosxcos 2xcos 3x 1 − cosxcos 2xcos 3x x2 +) lim = lim (do 1 − cosx ∼ khi x → 0) x→0 1 − cosx x→0 x2 2 2 ′ 1 − cosxcos 2xcos 3x +) Xét L1 = lim x→0 x2 ′ 2 sinxcos 2xcos 3x + 2 cosxsin 2xcos 3x + 3 cosxcos 2xsin 3x = lim x→0 x 1 sinxcos 2xcos 3x lim = lim cos 2xcos 3x = 1 (dosinx ∼ x khi x → 0) x→0 x x→0 2 cosxsin 2xcos 3x Lại có: lim = lim 4 cosxcos 3x = 4 (dosin 2x → 2x khi x → 0) x→0 x x→0 3 cosxcos 2xsin 3x lim = lim 9 cosxcos 2x = 9 (dosin 3x → 3x khi x → 0) x→0 x x→0 1 − cosxcos 2xcos 3x ⇒ L1 = 1 + 4 + 9 = 14 ⇒ lim = L1 = 14 theo quy tắc L’hospital x→0 1 − cosx +) Vậy D = 14. Câu 14. Tìm các giới hạn: x−1 x2 − 1 x+1 √ 1 a) lim b) lim cos x x x→∞ x2 + 1 x→0+ x √ √ 1 1 c) lim n2 n x − n+1 x , x > 0 d) lim sin + cos n→∞ x→∞ x x cotπx h i 1 e) lim 1 + sinπx f) lim ln (e + 2x) sinx x→1 x→0 x−1 x2 − 1 x+1 a) A = lim x→∞ x2 + 1 1 1 − x2 − 1 x2 lim = lim = 1 x→∞ x2 + 1 x→∞ 1 1 + +) Ta có: x2 1 x − 1 1 − lim = x = 1 x + 1 1 x→∞ 1 + x x−1 x2 − 1 x+1 ⇒ lim = 11 = 1 x→∞ x2 + 1 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Vậy A = 1. √ 1 b) lim cos x x (Dạng 1∞) x→0+ √ 1 +) Đặt L = lim cos x x x→0+ h i √ √ 1 1 √ ln 1 − (1 − cos x) ⇒ lnL = lim ln cos x x = lim ln cos x = lim x→0+ x→0+ x x→0+ x √ −(1 − cos x) √ √ = lim do ln 1 − (1 − cos x) ∼ −(1 − cos x) khi x → 0+ x→0+ x −x 2 √ x = lim do (1 − cos x) ∼ khi x → 0+ x→0+ x 2 −1 = 2 −1 ⇒ L = e 2 −1 +) Vậy L = e 2 . √ √ c) C = lim n2 n x − n+1 x , x > 0 n→∞ √ √ +) lim n2 n x − n+1 x n→∞ 1 1 = lim n2 xn − xn+1 n→∞ 1 1 = lim n2.xn+1 xn(n+1) − 1 n→∞ 1 1 1 1 = lim n2.xn+1 . .lnx do xn(n+1) − 1 ∼ .lnx khi n → ∞ n→∞ n(n + 1) n(n + 1) 1 n2 1 1 = lim xn+1 . .lnx = lim xn+1 . .lnx = x0.1.lnx = lnx n→∞ n(n + 1) n→∞ 1 + 1 n +) Vậy C = lnx. x 1 1 d) lim sin + cos (Dạng 1∞) x→∞ x x x 1 1 +) Đặt L = lim sin + cos x→∞ x x h 1 1xi 1 1 ⇒ lnL = lim ln sin + cos = lim xln sin + cos x→∞ x x x→∞ x x 1 1 ln sin + cos = lim x x x→∞ 1 x 1 +) Đặt t = ⇒ t → 0 khi x → ∞ x 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ln sint + cost Lúc này: lnL = lim t→0 t ′ cost − sint ln sint + cost sint + cost cost − sint +) Xét L1 = lim = lim = lim = 1 t→0 t′ t→0 1 t→0 sint + cost ln sint + cost ⇒ lnL = lim = L1 = 1 theo quy tắc L’hospital t→0 t ⇒ L = e1 = e +) Vậy L = e. cotπx e) lim 1 + sinπx (Dạng 1∞) x→1 cotπx +) Đặt L = lim 1 + sinπx x→1 h i ⇒ lnL = lim ln 1 + sinπx cotπx x→1 = lim cot (πx) ln 1 + sinπx x→1 ln 1 + sinπx = lim cos (πx) x→1 sin (πx) = lim cos (πx) do ln 1 + sinπx ∼ sinπx khi x → 1 x→1 = −1 ⇒ L = e−1 +) Vậy L = e−1. h i 1 f) lim ln (e + 2x) sinx (Dạng 1∞) x→0 h i 1 +) Đặt L = lim ln (e + 2x) sinx x→0 "h i # 1 ⇒ lnL = lim ln ln (e + 2x) sinx x→0 1 h i = lim ln ln (e + 2x) x→0 sinx h i ln ln (e + 2x) = lim do sinx ∼ x khi x → 0 x→0 x h i 2 2 ′ e+2x ln ln (e + 2x) ln (e + 2x) e + 2x 2 +) Xét L1 = lim = lim = lim = x→0 x′ x→0 1 x→0 ln (e + 2x) e h i ln ln (e + 2x) 2 ⇒ lnL = lim = L1 = theo quy tắc L’hospital x→0 x e 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2 ⇒ L = ee 2 +) Vậy L = ee . Câu 15. So sánh các cặp VCB sau: p √ a) α(x) = x + x và β(x) = esinx − cosx, khi x → 0+ √ √ b) α(x) = 3 x − x và β(x) = cosx − 1, khi x → 0+ c) α(x) = x3 + sin2 x và β(x) = ln 1 + 2 arctan (x2) , khi x → 0 [Hướng dẫn giải] p √ a) α(x) = x + x và β(x) = esinx − cosx, khi x → 0+ p √ √ α(x) x + x 4 x +) Xét lim = lim = lim ( ngắt bỏ VCB bậc cao ) x→0+ β(x) x→0+ esinx − cosx x→0+ esinx − cosx √ ′ 4 x 1 +) Xét L1 = lim = lim √ = +∞ + esinx − cosx ′ + 4 4 x3 cosxesinx + sinx x→0 x→0 √ α(x) 4 x ⇒ lim = lim = L1 = +∞ theo quy tắc L’Hospital x→0+ β(x) x→0+ esinx − cosx +) Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0+ √ √ b) α(x) = 3 x − x và β(x) = cosx − 1, khi x → 0+ √ √ √ α(x) 3 x − x 3 x +) Xét lim = lim = lim x→0+ β(x) x→0+ cosx − 1 x→0+ −x2 2 √ √ √ x2 do ( 3 x − x) ∼ 3 x,1 − cosx ∼ khi x → 0+ 2 √ α(x) 3 x −2 ⇒ lim = lim = lim = −∞ x→0+ β(x) x→0+ −x2 x→0+ 5 x3 2 +) Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0+ c) α(x) = x3 + sin2 x và β(x) = ln (1 + 2 arctan (x2)), khi x → 0 α(x) x3 + sin2 x x3 + sin2 x x3 + sin2 x +) Xét lim = lim = lim = lim x→0 β(x) x→0 ln 1 + 2 arctan (x2) x→0 2 arctan (x2) x→0 2x2 do ln 1 + 2 arctan (x2) ∼ 2 arctan (x2),arctan (x2) ∼ x2 khi x → 0 x3 x lim = lim = 0 Ta có: x→0 2x2 x→0 2 sin2 x x2 1 lim = lim = do sinx ∼ x khi x → 0 x→0 2x2 x→0 2x2 2 α(x) x3 + sin2 x 1 1 ⇒ lim = lim = 0 + = x→0 β(x) x→0 2x2 2 2 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Vậy α(x) và β(x) là 2 VCB cùng bậc khi x → 0 Câu 16. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0 1 − cosx , nếu x ̸= 0 ax2 + bx + 1, nếu x ≥ 0 a) f(x) = x2 b) g(x) = a, nếu x = 0 acosx + bsinx, nếu x < 0 [Hướng dẫn giải] a) x2 1 − cosx 2 1 x2 +) Ta có: lim = lim = . ( do 1 − cosx → khi x → 0 ) x→0 x2 x→0 x2 2 2 1 +) Hàm số đã cho liên tục tại x = 0 ⇔ lim f(x) = f(0) ⇔ a = x→0 2 1 +) Vậy a = là giá trị cần tìm. 2 b) +) Hàm số đã cho liên tục tại x = 0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(0) x→0+ x→0− ⇔ a.02 + b.0 + 1 = a.cos 0 + b.sin 0 ⇔ a = 1 +) Vậy a = 1 là giá trị cần tìm. Câu 17. Hàm f(x) sau liên tục tại những giá trị x nào? 0, nếu x hữu tỉ 0, nếu x hữu tỉ a) f(x) = b) f(x) = 1, nếu x vô tỉ x, nếu x vô tỉ [Hướng dẫn giải] a) +) Ta sẽ chứng minh hàm số đã cho không liên tục trên R. Thật vậy, giả sử hàm số liên tục tại điểm x = x0. Khi đó tồn tại dãy số hữu tỉ xn và dãy số vô tỉ yn sao cho hai dãy cùng có giới hạn hữu hạn bằng x0. Nhưng điều này rõ ràng là vô lý bởi limf(xn) = 0 và limf(yn) = 1. +) Vậy hàm số đã cho không liên tục trên R. b) +) Hàm số đã cho không liên tục tại x = a với a ̸= 0 tuỳ ý (chứng minh tương tự câu a). Tại điểm x = 0, ta thấy hiển nhiên lim f(x) = 0 = f(0). x→0 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0. Câu 18. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của các hàm số: 8 1 a) y = b) y = arcsinx 1 − 2cotx x 1 sin x eax − ebx c) y = d) y = (a ̸= b ) 1 x ex + 1 [Hướng dẫn giải] a) +) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0 do cotx không xác định tại x = 0. +) Nhận xét: 8 8 lim = lim = 0. x→0+ 1 − 2cotx a→+∞ 1 − 2a 8 8 lim = lim = 8. x→0− 1 − 2cotx a→−∞ 1 − 2a Do đó x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số. b) 1 +) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0 do không xác định tại x = 0. x +) Nhận xét: 1 lim arcsinx = 1. x→0+ x 1 lim arcsinx = 1. x→0− x Do đó x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số. c) 1 +) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0 do không xác định tại x = 0. x −1 −2 +) Xét hai dãy số x và y tiến đến 0− khi n → +∞ với x = và y = . n n n nπ n (4n + 1)π 1 1 sin sin ⇒ lim xn = 0 và lim yn = −1. 1 1 exn + 1 eyn + 1 Do đó 0 ̸= −1 nên hàm số đã cho không có giới hạn trái tại x = 0. +) Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số. 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!