Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG GIẢI TÍCH I Nhóm ngành 1 1.1-1.4 Dãy số, hàm số Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số: √ 2x a) y = 2 arccotx − π b) y = arcsin √ 1 + x x c) y = d) y = arccos (sinx) sinπx Lời giải √ a) y = 2 arccotx − π π ĐKXĐ: 2 arccotx − π ≥ 0 ⇔ arccotx ≥ ⇔ x ≤ 0 2 Vậy tập xác định của hàm số: D = (−∞,0] 2x b) y = arcsin 1 + x 2x " # −1 ≤ ≤ 1 x ̸= −1 −1 ĐKXĐ: 1 + x ⇔ −1 ⇔ D = ,1 1 + x ̸= 0 ≤ x ≤ 1 3 3 √ x c) y = sin πx x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 ĐKXĐ: ⇔ ⇔ sinπx ̸= 0 πx ̸= kπ (k ∈ Z) x ̸∈ Z ⇔ D = (0,∞) \ N d) y = arccos (sinx) ĐKXĐ: −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ ∀x ∈ R. Vậy D = R Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) sinh (−x) = −sinh (x) b) sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y)+cosh (x) sinh (y) c) sinh 2x = 2 sinhxcosh (x) d) cosh (x + y) = cosh (x) cosh (y)+sinh (x) sinh (y) e) cosh2 x − sinh2 x = 1 f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x Lời giải a) sinh (−x) = −sinh (x) ex − e−x sinh (x) = Ta có: 2 ⇒ sinh (−x) = −sinh (x) e−x − ex sinh (−x) = 2 b) sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y) 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ex − e−x ey + e−y ex + e−x ey − e−y V P = . + . 2 2 2 2 1 1 = ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y + ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y 4 4 ex+y − e−(x+y) = = sinh (x + y) 2 c) sinh 2x = 2 sinhxcosh (x) ex − e−x ex + e−x e2x − e−2x Ta có: V P = 2 sinhxcosh (x) = 2. . = = sinh 2x 2 2 2 d) cosh (x + y) = cosh (x) cosh (y) + sinh (x) sinh (y) ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y V P = . + . 2 2 2 2 1 1 = ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y + ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y 4 4 ex+y + e−(x+y) = = cosh (x + y) 2 e) cosh2 x − sinh2 x = 1 2 2 ex + e−x ex − e−x 1 Ta có: V T = − = (2 + 2) = 1 2 2 4 f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x 2 2 ex + e−x ex − e−x 2e2x + 2e−2x Ta có: V P = + = = cosh (2x) 2 2 4 Bài 3: Tìm miền giá trị các hàm số x a) y = log (1 − 2 cosx) b) y = arcsin log 10 c) y = arccot (sinx) d) y = arctan (ex) Lời giải a) y = log (1 − 2 cosx) ĐKXĐ: 1 − 2 cosx > 0 Với mọi x thuộc tập xác định, ta có: 0 < 1 − 2 cosx ≤ 3 ⇒ −∞ < log (1 − 2 cosx) ≤ log 3 Vậy tập giá trị của y là: − ∞,log 3 x b) y = arcsin log 10 Ta có :D = [1,100] x π π Với mọi x ∈ D ⇒ −1 ≤ log ≤ 1 ⇒ − ≤ y ≤ 10 2 2 π π Vậy tập giá trị của y là: − , 2 2 c) y = arccot (sinx) π 3π Ta có: D = R. Với mọi x ∈ D ⇒ −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ arccot (1) ≤ y ≤ arccot (−1) ⇒ ≤ y ≤ 4 4 π 3π Vậy tập giá trị của y là: ; 4 4 d) y = arctan (ex) 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập π Ta có: D = R. Với mọi x ∈ D ⇒ ex > 0 ⇒ 0 < y < ! 2 π Vậy tập giá trị của y là: 0, 2 Bài 4: Tìm f(x) biết 1 1 x a) f x + = x2 + b) f = x2 x x2 1 + x Lời giải 1 1 a) f x + = x2 + x x2 1 Đặt x + = t ⇒ |t| ≥ 2 x Phương trình trở thành: f(t) = t2 − 2, ∀|t| ≥ 2 ⇒ f(x) = x2 − 2, ∀|x| ≥ 2 x b) f = x2 1 + x x t Đặt = t ⇒ x = , t ̸= 1 1 + x 1 − t t 2 Phương trình trở thành: f(t) = ,∀t ̸= 1 1 − t x 2 ⇒ f(x) = ,∀x ̸= 1 1 − x Bài 5: Tìm hàm ngược của hàm số 1 − x 1 a) y = 2 arcsinx b) y = c) y = (ex − e−x) 1 + x 2 Lời giải a) y = 2 arcsinx −π π Ta có: x : [−1,1] → y : , 2 2 y x −π π x = sin ⇒ f−1(x) = sin , x ∈ , 2 2 2 2 1 − x b) y = 1 + x Ta có: x : R \ {−1} → y : R \ {−1} 1 − x 1 − y y = ⇒ x = 1 + x 1 + y 1 − x ⇒ f−1(x) = , ∀x ̸= −1 1 + x 1 c) y = (ex − e−x) 2 1 1 Đặt ex = t(t > 0) ⇒ y = t − 2 t p t = y + y2 + 1 > 0 (Thoả mãn) ⇒ t2 − 2yt − 1 = 0 ⇒ p t = y − y2 + 1 < 0 (Loại) 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập p p ⇒ ex = y + y2 + 1 ⇒ x = ln y + y2 + 1 √ ⇒ f−1(x) = ln x + x2 + 1 , x ∈ R Bài 6: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số √ a) f(x) = ax + a−x, (a > 0) b) f(x) = ln(x + 1 + x2) c) f(x) = sinx + cosx d) f(x) = arcsin(tanx) Lời giải a) f(x) = ax + a−x, (a > 0) D = R ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Xét f(−x) = a−x + ax = f(x),∀x ∈ D ⇒ f(x) là hàm chẵn √ b) f(x) = ln(x + 1 + x2) √ Ta có: x + 1 + x2 > 0∀x ∈ R ⇒ D = R ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D √ 1 √ Xét f(−x) = ln(−x + 1 + x2) = ln √ = −ln(x + 1 + x2) = −f(x),∀x ∈ R x + 1 + x2 ⇒ f(x) là hàm lẻ c) f(x) = sinx + cosx D =R ⇒ ∀ x∈ D√⇒ −x ∈ D 2π 3 1 f = − −π π Xét 3 2 √ 2 ⇒ f ̸= ±f −2π − 3 1 3 3 f = − 3 3 2 Vậy f(x) không chẵn không lẻ d) f(x) = arcsin (tanx) −π π ĐKXĐ: −1 ≤ tanx ≤ 1 ⇒ + kπ ≤ x ≤ + kπ, k ∈ Z 4 4 ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Xét f(−x) = arcsin(tan(−x)) = arcsin(−tan(x)) = −arcsin(tanx) = −f(x) ⇒ f(x) là hàm lẻ. Bài 7: Chứng minh rằng bất kì hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (−a, a),(a > 0) cùng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chắn với một hàm số lẻ. Lời giải Giả sử ta phân tích được hàm số f(x) = g(x) + h(x), trong đó g(x) là hàm chẵn và h(x) là hàm lẻ. f(x) = g(x) + h(x) f(x) = g(x) + h(x) Ta có: ⇒ f(−x) = g(−x) + h(−x) f(−x) = g(x) − h(x) " # 1 1 Đây là hệ phương trình tuyền tính có 2 ẩn: D = = −2 ̸= 0 1 −1 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập f(x) + f(−x) g(x) = ⇒ Hệ luôn có nghiệm và có nghiệm duy nhất: 2 f(x) − f(−x) h(x) = 2 Bài 8: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng đối xứng (−a, a),(a > 0). Chứng minh: a) Nếu f(x) và g(x) là hàm chẵn thì tổng và tích của chúng là hàm chẵn b) Nếu f(x) và g(x) là hàm lẻ thì tổng của chúng là hàm lẻ, còn tích của chúng là hàm chẵn. c) Nếu f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn thì tích của chúng là hàm lẻ Lời giải Gọi miền xác định của hai hàm số trên là D a) Nếu f(x) và g(x) là hàm chẵn thì tổng và tích của chúng là hàm chẵn f(x) = f(−x),∀x ∈ D 1) Do f(x) và g(x) là hàm chẵn nên g(x) = g(−x),∀x ∈ D 2) Gọi h(x) = f(x) + g(x) là hàm tổng của f(x) và g(x) k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x). h(x) = f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x) = h(−x),∀x ∈ D ⇒ k(x) = f(x).g(x) = f(−x).g(−x) = k(−x),∀x ∈ D Vậy hàm tổng và tích của f(x) và g(x) là hàm chẵn. b) Nếu f(x) và g(x) là hàm lẻ thì tổng của chúng là hàm lẻ, còn tích của chúng là hàm chẵn. f(−x) = −f(x),∀x ∈ D 1) Do f(x) và g(x) là hàm lẻ nên g(−x) = −g(x),∀x ∈ D 2) Gọi h(x) = f(x) + g(x) là hàm tổng của f(x) và g(x) k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x). h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) − g(x) = −h(x),∀x ∈ D ⇒ k(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).g(x) = k(x),∀x ∈ D Vậy hàm tổng của f(x) và g(x) là hàm lẻ, hàm tích của f(x) và g(x) là hàm chẵn. c) Nếu f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn thì tích của chúng là hàm lẻ f(−x) = −f(x),∀x ∈ D 1) Do f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn nên g(x) = g(−x),∀x ∈ D 2) Gọi k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x). Ta có: k(−x) = f(−x).g(−x) = −f(x).g(x) = −k(x) Vậy hàm tích f(x) và g(x) là hàm lẻ. 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 9: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (nếu có): 1 1 a) f(x) = Acosλx + B sinλx b) f(x) = sinx + sin 2x + sin 3x 2 3 c) f(x) = sinx2 d) f(x) = cos2 x Lời giải a) f(x) = Acosλx + B sinλx TH1: A = B = 0 Lúc này f(x) = 0 tuần hoàn nhưng không có chu kỳ cơ sở TH2: A2 + B2 ̸= 0 - Với λ = 0, f(x) = A tuần hoàn nhưng không có chu kỳ cơ sở - Với λ ̸= 0 dễ thấy: 2π 2π Acosλx + B sinλx = Acosλ x + + B sinλ x + ,∀x ∈ R |λ| |λ| 2π Ta sẽ chứng minh T = là chu kỳ cơ sở của f(x) |λ| Giả sử tồn tại giá trị T1 sao cho 0 < T1 < T và: Acosλx + B sinλx = Acos λ[x + T1] + B sin λ[x + T1] ∀x ∈ R (1) Do (1) đúng ∀x ∈ R nên ta có: Tại x = 0 : Acos (λT1) + B sin (λT1) = A π Tại x = : −Asin(λT1) + B cos(λT1) = B 2λ ⇒ A2 cos (λT ) + B2 cos(λT ) = A2 + B2 1 1 k2π ⇒ cos (λT ) = 1 ⇒ T = ,(k ∈ N∗) 1 1 |λ| Do 0 < T1 < T nên không tồn tại T1 2π Do đó hàm số f(x) tuần hoàn khi λ ̸= 0 với chu kỳ cơ sở T = |λ| 1 1 b) f(x) = sinx + sin 2x + sin 3x 2 3 Phân tích 1) y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T1 = 2π 2) y = sin 2x tuần hoàn với chu kỳ T1 = π 2π 3) y = sin 3x tuần hoàn với chu kỳ T1 = 3 Nên ta dễ dàng thấy f(x) tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Giải: Dễ thấy: 1 1 1 1 sinx + sin 2x + sin 3x = sin (x + 2π) + sin 2(x + 2π) + sin 3(x + 2π) 2 3 2 3 ∀x ∈ R 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ta sẽ chứng minh T = 2π là chu kỳ cơ sở của f(x) Giả sử tồn tại T1 sao cho 0 < T1 < T và: 1 1 1 1 sinx + sin 2x + sin 3x = sin (x + T1) + sin 2(x + T1) + sin 3(x + T1) 2 3 2 3 ∀x ∈ R (1) 1 1 Tại (1) cho x = 0 ta có: sinT1 + sin 2T1 + sin 3T1 = 0 (2) 2 3 1 1 Tại (1) cho x = π ta có: −sinT1 + sin 2T1 − sin 3T1 = 0 (3) 2 3 1 Từ(2)(3) ⇒ sinT1 + sin 3T1 = 0 3 1 3 ⇒ sinT1 + 3 sinT1 − 4 sin T1 = 0 3 4 2 ⇒ sinT1 2 − sin T1 = 0 ⇒ sinT1 = 0 ⇒ T1 = π 3 π Thử lại với T1 = π thì tại x0 = : 2 1 1 1 1 sinx0 + sin 2x0 + sin 3x0 ̸= sin (x0 + π) + sin 2(x0 + π) + sin 3(x0 + π) 2 3 2 3 Vậy không tồn tại T1 Do đó hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T = 2π c) f(x) = sinx2 Một hàm số tuần hoàn thì đạo hàm của nó cũng sẽ tuần hoàn Ta dễ thấy f′(x) = 2xcosx2 không tuần hoàn nên ta sẽ chứng minh hàm số f(x) không tuần hoàn Để chứng minh hàm số không tuần hoàn cách đơn giản nhất là dùng phản chứng Giải: Giả sử hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ T > 0: ⇒ sinx2 = sin (x + T)2 ∀x ∈ R (1) √ 1) Tại (1) cho x = 0 ta được: sinT2 = 0 ⇒ T2 = kπ ⇒ T = kπ (k ∈ N∗) √ √ √ 2) Tại (1) cho x = π ta được: sin ( π + T)2 = 0 ⇒ ( π + T)2 = lπ (l ∈ N∗) √ √ ⇒ ( π + kπ)2 = lπ ⇒ k là số chính phương do l ∈ N∗ √ Đặt k = h2,(h ∈ N∗) ⇒ T = h π r r π π 2 3) Tại (1) cho x = ta được: sin + T = 1 r 2 2 π 2 π ⇒ + T = + 2mπ (m ∈ N∗) r2 2 π √ 2 π ⇒ + h π = + 2mπ 2 2 π 2hπ π ⇒ + √ + h2π = + 2mπ 2 2 √ 2 ⇒ 2m = h2 + 2h vô lý do m ∈ N∗ Vậy hàm số f(x) không tuần hoàn. 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập d) f(x) = cos2 x cos 2x + 1 1) Ta có: f(x) = cos2 x = 2 cos 2x + 1 cos (2x + 2π) + 1 cos 2(x + π) + 1 Dễ thấy: f(x) = = = = f(x + π) 2 2 2 Vậy f(x) tuần hoàn với chu kỳ T = π Ta sẽ chứng minh T = π là chu kỳ cơ sở của f(x) 2) Giả sử tồn tại T1 sao cho 0 < T1 < T và f(x) = f(x + T1) cos 2x + 1 cos 2(x + T1) + 1 ⇒ = 2 2 ⇒ cos 2x = cos 2(x + T1) (1) Tại (1) cho x = 0 ta được: cos 2T = 1 ⇒ 2T = k2π ⇒ T = kπ,(k ∈ N∗) 1 1 1 Do 0 < T1 < T nên không tồn tại T1 Vậy T = π là chu kỳ cơ sở của f(x) Câu 10: Tìm giới hạn của các dãy sau (nếu có) với số hạng tổng quát xn như sau: √ sin2 n − cos3 n a) xn = n − n2 − n b) xn = √ n 1 1 1 ncosn c) xn = + + ... + d) xn = 1.2 2.3 (n − 1)n n + 1 Lời giải √ √ n 1 a) xn = n− n2 − n lim xn = lim n − n2 − n = lim √ = lim r n→+∞ n→+∞ n→+∞ n + n2 − n n→+∞ 1 1 + 1 − n 1 = 2 sin2 n − cos3 n b) x = Ta thấy: Do 0 ≤ sin2 n ≤ 1,−1 ≤ cos3 n ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin2 n − cos3 n ≤ 2 n n −1 2 ⇒ ≤ xn ≤ n n −1 lim = 0 n→+∞ n Lại có: ⇒ lim xn = 0 theo tiêu chuẩn kẹp. n→+∞ 2 lim = 0 n→+∞ n 1 1 1 c) xn = + + ... + Ta có: 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xn = + + ... + = − + − + ... + − = 1 − 1.2 2.3 (n −1)n 1 2 2 3 n − 1 n n 1 ⇒ lim xn = lim 1 − = 1 − 0 = 1 n→+∞ n→+∞ n √ √ √ ncosn − n n d) xn = Ta có: −1 ≤ cosn ≤ 1 ⇒ ≤ xn ≤ n + 1 n + 1 n + 1 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập r √ 1 − n − 0 lim = lim n = = 0 n + 1 1 1 + 0 n→+∞ n→+∞ 1 + n Lại có: r √ 1 n n 0 lim = lim = = 0 n→+∞ n + 1 n→+∞ 1 1 + 0 1 + n ⇒ lim xn = 0 theo tiêu chuẩn kẹp. n→+∞ Câu 11: Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy với số hạng tổng quát như sau: √ a) xn = n n2 + 2 ! 1 1 b) xn = xn−1 + , x0 > 0 2 xn−1 Lời giải √ a) xn = n n2 + 2 √ 1 Đặt L = lim x = lim n n2 + 2 = lim n2 + 2 n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ 1 Xét L = lim (x2 + 2)x 1 x→+∞ 1 2 1 lim ln (x + 2) Ta có: L = lim (x2 + 2)x = ex→+∞ x 1 x→+∞ ln (x2 + 2) ∞ Xét giới hạn hàm số: lim có dạng x→+∞ x ∞ ′ 2x 2 ln (x2 + 2) Xét L = lim = lim x2 + 2 = lim x = 0 2 x′ 1 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 + x2 ln (x2 + 2) Do L2 tồn tại nên theo quy tắc L’hospital lim = L2 = 0 x→+∞ x 1 2 1 lim ln (x + 2) ⇒ L = lim (x2 + 2)x = ex→+∞ x = e0 = 1 1 x→+∞ √ 1 ⇒ L = lim n n2 + 2 = lim n2 + 2 n = 1 n→+∞ n→+∞ ! 1 1 b) xn = xn−1 + , x0 > 0 2 xn−1 Ta sẽ chứng minh dãy hội tụ bằng tiêu chuẩn đơn điệu và bị chặn trên hoặc dưới. 1 − x2 Đầu tiên kiểm tra: x − x = n−1 n n−1 2x n−1 Bây giờ để biết dãy tăng hay giảm chỉ cần kiểm tra xem dấu của 1 − x2 ! r n−1 1 1 1 1 Dễ thấy x0 > 0 ⇒ x1 = x0 + ≥ .2 x0. = 1 theo BĐT Cauchy. 2 x0 2 x0 Tương tự ta thấy x , x , ... ≥ 1. Dự đoán 1 − x2 ≤ 0,∀n ≥ 2. 2 3 n−1 Vậy ta sẽ chứng minh dãy giảm, và để chứng minh xn−1 ≥ 1 ta sẽ dùng quy nạp. 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Giải: • Dễ thấy xn > 0,∀n ∈ N • Chứng minh: xn ≥ 1 ∀n > 0 (1) ! r 1 1 1 1 – Ta thấy (1) đúng với n = 1 do x1 = x0 + ≥ .2 x0. = 1 theo BĐT Cauchy 2 x0 2 x0 – Giả sử (1) đúng với n = k ⇒ xk ≥ 1 – Ta sẽ chứng minh (1) đúng với!n = k + 1 r 1 1 1 1 Thật vậy: xk+1 = xk + ≥ .2 xk. = 1 theo BĐT Cauchy. 2 xk 2 xk Vậy (1) đúng theo giả thiết quy nạp. 1 − x2 • Ta có: x − x = n−1 ≤ 0 ∀n > 0 (do x ≥ 1,∀n > 0 ) n n−1 2x n n−1 Vậy dãy xn là dãy giảm và bị chặn dưới do xn > 0,∀n ∈ N Do đó xn hội tụ. Gọi lim xn = a n→+∞ ! 1 1 Ta có: lim xn = lim xn−1 + n→+∞ 2 n→+∞ lim xn−1 ! n→+∞ 1 1 ⇒ a = a + ⇒ a = ±1 ⇒ a = 1 (do xn ≥ 1,∀n > 0 ) 2 a Vậy lim xn = 1. n→+∞ Bài 12: Tìm các giới hạn: √ √ 1√ 1 m 1 + αx − n 1 + βx a) lim 1 + x − b) lim ,(m, n ∈ N) x→0 x√ x x→0 √ x √ c) lim 3 x3 + x2 − 1 − x d) lim x x2 + 2x − 2 x2 + x + x x→+∞ x→+∞√ x100 − 2x + 1 1 + 4x − 1 e) lim f) lim x→1 x50 − 2x + 1 x→0 ln 1 + 3 sinx Lời giải 1√ 1 a) lim 1 + x − x→0√x xx Ta có: 1 + x − 1 ∼ khi x → 0 2 √ 1√ 1 1 + x − 1 x 1 ⇒ lim 1 + x − = lim = lim 2 = x→0 x x x→0 x x→0 x 2 √ √ m 1 + αx − n 1 + βx b) lim ,(m, n ∈ N) x→0 √ x m 1 + αx − 1 Xét L1 = lim x→0 x √ αx Do m 1 + αx − 1 ∼ khi x → 0 m αx α ⇒ L = lim m = 1 x m x→0 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ 1 − n 1 + βx −β Tương tự ta có: L2 = lim = x→0 x n √ √ m 1 + αx − n 1 + βx α β ⇒ lim = L1 + L2 = − x→0 x m n √ c) lim 3 x3 + x2 − 1 − x x→+∞ √ (x3 + x2 − 1) − x3 lim 3 x3 + x2 − 1 − x = lim √ √ x→+∞ x→+∞ 3 x3 + x2 − 1 2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 x2 − 1 = lim √ √ x→+∞ 3 x3 + x2 − 1 2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 1 1 − 1 = lim ! x2 = r 2 r 3 x→+∞ 1 1 1 1 3 1 + − + 3 1 + − + 1 x x3 x x3 √ √ d) lim x x2 + 2x − 2 x2 + x + x x→+∞ ! √ √ √ √ lim x x2 + 2x − 2 x2 + x + x = lim x x2 + 2x − x − 1 + 2x + 1 − 2 x2 + x x→+∞ x→+∞ ! (x2 + 2x) − (x + 1)2 (2x + 1)2 − 4(x2 + x) = lim x √ + √ x→+∞ x2 + 2x + x + 1 2x + 1 + 2 x2 + x ! −1 1 = lim x √ + √ x→+∞ x2 + 2x + x + 1 2x + 1 + 2 x2 + x ! −x x = lim √ + √ x→+∞ x2 + 2x + x + 1 2x + 1 + 2 x2 + x ! −1 1 = lim r + r x→+∞ 2 1 1 1 1 + + 1 + 2 + + 2 1 + x x x x −1 1 −1 = + = 2 4 4 x100 − 2x + 1 0 e) lim có dạng x→1 x50 − 2x + 1 0 x100 − 2x + 1 ′ 100x99 − 2 49 Xét L1 = lim ′ = lim = x→1 x50 − 2x + 1 x→1 50x49 − 2 24 x100 − 2x + 1 49 ⇒ lim = L1 = theo quy tắc L’hospital x→1 x50 − 2x + 1 24 √ 1 + 4x − 1 f) lim x→0ln 1 + 3 sinx √ 1 + 4x − 1 ∼ 2x khi x → 0 Ta có: ln 1 + 3 sinx ∼ 3 sinx khi 3 sinx → 0(do x → 0) sinx → x khi x → 0 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ 1 + 4x − 1 2x 2x 2 ⇒ lim = lim = lim = x→0 ln 1 + 3 sinx x→0 3 sinx x→0 3x 3 Bài 13: Tìm các giới hạn: ln x + arccos3 x − lnx √ √ a) lim b) lim sin x + 1 − sin x x→0+√ √x2 x→+∞ cosx − 3 cosx 1 − cosxcos 2xcos 3x c) lim d) lim x→0 sin2 x x→0 1 − cosx Lời giải arccos3 x ln 1 + ln x + arccos3 x − lnx x a) lim = lim x→0+ x2 x→0+ x2 π 3 arccos3 x arccos3 x Do lim arccos3 x = ⇒ lim = +∞ ⇒ lim ln 1 + = +∞ x→0+ 2 x→0+ x x→0+ x arccos3 x ln 1 + ⇒ lim x = +∞ x→0+ x2 √ √ b) lim sin x + 1 − sin x x→+∞ √ √ ! √ √ ! √ √ x + 1 + x x + 1 − x lim sin x + 1 − sin x = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ ! x + 1 + x 1 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2 x + 1 + x √ √ ! x + 1 + x Do −1 ≤ cos ≤ 1 2 √ √ ! x + 1 + x 1 1 ⇒ 2 cos sin √ √ ≤ 2 sin √ √ 2 2 x + 1 + x 2 x + 1 + x 1 Lại có: lim 2 sin √ √ = 2 sin 0 = 0 x→+∞ 2 x + 1 + x √ √ ! x + 1 + x 1 ⇒ lim 2 cos sin √ √ = 0 x→+∞ 2 2 x + 1 + x √ √ √ √ cosx − 3 cosx cosx − 3 cosx c) lim = lim (do sinx ∼ x khi x → 0) x→0 sin2 x x→0 x2 √ √ ′ cosx − 3 cosx Xét L1 = lim ′ x→0 x2 −sinx sinx √ + √ 2 cosx 3 3 cos2 x = lim x→0 2x −1 1 √ + √ 2 cosx 3 3 cos2 x = lim (do sinx → x khi x → 0) x→0 2 −1 = 12 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ cosx − 3 cosx −1 ⇒ lim = L1 = theo quy tắc L’hospital x→0 √ x2 √ 12 cosx − 3 cosx −1 ⇒ lim = x→0 sin2 x 12 1 − cosxcos 2xcos 3x d) lim x→0 1 − cosx 1 − cosxcos 2xcos 3x 1 − cosxcos 2xcos 3x x2 lim = lim (do 1 − cosx ∼ khi x → 0) x→0 1 − cosx x→0 x2 2 2 1 − cosxcos 2xcos 3x ′ Xét L1 = lim x→0 x2 ′ 2 sinxcos 2xcos 3x + 2 cosxsin 2xcos 3x + 3 cosxcos 2xsin 3x = lim x→0 x Lại có: sinxcos 2xcos 3x lim = lim cos 2xcos 3x = 1(dosinx → xkhix → 0) x→0 x x→0 2 cosxsin 2xcos 3x lim = lim 4 cosxcos 3x = 4(dosin 2x → 2xkhix → 0) x→0 x x→0 3 cosxcos 2xsin 3x lim = lim 9 cosxcos 2x = 9(dosin 3x → 3xkhix → 0) x→0 x x→0 ⇒ L1 = 1 + 4 + 9 = 14 1 − cosxcos 2xcos 3x ⇒ lim = L1 = 14 theo quy tắc L’hospital x→0 1 − cosx Bài 14: Tìm các giới hạn: x2 − 1x−1 √ x+1 1 a) lim b) lim cos x x x→∞ x2 + 1 x→0+ √ √ 1 1 x c) lim n2 n x − n+1 x , x > 0 d) lim sin + cos n→∞ x→∞ x x h i 1 e) lim 1 + sinπx cotπx f) lim ln (e + 2x) sin x x→1 x→0 Lời giải x2 − 1x−1 a) lim x+1 x→∞ x2 + 1 1 1 x2 − 1 1 − x − 1 1 − lim = lim x2 = 1, lim = x = 1 x→∞ x2 + 1 x→∞ 1 x→∞ x + 1 1 1 + 1 + x2 x x2 − 1 x−1 ⇒ lim x+1 = 11 = 1 x→∞ x2 + 1 √ 1 b) lim cos x x x→0+ √ 1 Đặt L = lim cos x x x→0+ 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập h √ i 1 ⇒ lnL = lim ln cos x x x→0+ 1 √ = lim ln cos x x→0+ x √ ln 1 − (1 − cos x) = lim x→0+ x√ −(1 − cos x) √ √ = lim do ln 1 − (1 − cos x) ∼ −(1 − cos x) khi x → 0+ x→0+ x −x √ 2 √ ( x)2 x = lim do (1 − cos x) ∼ = khi x → 0+ x→0+ x 2 2 −1 = 2 ⇒ L = e−1 2 √ √ c) lim n2 n x − n+1 x , x > 0 n→∞√ √ lim n2 n x − n+1 x n→∞ = lim n2 x1 − x 1 n n+1 n→∞ = lim n2.x 1 .(x1 − 1 − 1) n+1 n n+1 n→∞ = lim n2.x 1 x 1 − 1 n+1 n(n+1) n→∞ 1 1 1 1 = lim n2.x . .lnx do xn(n+1) − 1 ∼ .lnx khi n → ∞ n+1 n→∞ n(n + 1) n(n + 1) n2 1 = lim x 1 . .lnx = lim x 1 . .lnx = x0.1.lnx = lnx n+1 n+1 n→∞ n(n + 1) n→∞ 1 + 1 n x 1 1 d) lim sin + cos x→∞ x x 1 1 x Đặt L = lim sin + cos x→∞ hx x i 1 1 x 1 1 ⇒ lnL = lim ln sin + cos = lim xln sin + cos x→∞ x x x→∞ x x 1 1 ln sin + cos = lim x x x→∞ 1 x 1 Đặt t = ⇒ t → 0 khi x → ∞ x ln sint + cost Lúc này: lnL = lim t→0 t ′ cost − sint ln sint + cost sint + cost cost − sint Xét L1 = lim = lim = lim = 1 t→0 t′ t→0 1 t→0 sint + cost ln sint + cost ⇒ lnL = lim = L1 = 1 theo quy tắc L’hospital t→0 t ⇒ L = e1 = e cotπx e) lim 1 + sinπx x→1 Đặt L = lim 1 + sinπx cotπx x→1 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập h i ⇒ lnL = lim ln 1 + sinπx cotπx x→1 = lim cot (πx) ln 1 + sinπx x→1 ln 1 + sinπx = lim cos (πx) x→1 sin (πx) = lim cos (πx) do ln 1 + sinπx ∼ sinπx khi x → 1 x→1 = −1 ⇒ L = e−1 h i 1 f) lim ln (e + 2x) sin x x→0 h i 1 Đặt L = lim ln (e + 2x) sin x x→0 " # h i 1 ⇒ lnL = lim ln ln (e + 2x) sin x x→0 1 h i = lim ln ln (e + 2x) x→0 sinhx i ln ln (e + 2x) = lim do sinx ∼ x khi x → 0 x→0 x h i 2 2 ′ e+2x ln ln (e + 2x) ln (e + 2x) e + 2x 2 Xét L1 = lim = lim = lim = x→0 h x′ i x→0 1 x→0 ln (e + 2x) e ln ln (e + 2x) 2 ⇒ lnL = lim = L1 = theo quy tắc L’hospital x→0 x e ⇒ L = e2 e Bài 15: So sánh các cặp VCB sau: p √ a) α(x) = x + x và β(x) = esinx − cosx, khi x → 0+ √ √ b) α(x) = 3 x − x và β(x) = cosx − 1, khi x → 0+ c) α(x) = x3 + sin2 x và β(x) = ln 1 + 2 arctan (x2) , khi x → 0 Lời giải p √ a) α(x) = x + x và β(x) = esinx − cosx, khi x → 0+ p √ p√ √ α(x) x + x x 4 x Xét lim = lim = lim = lim (Ngắt VCB bậc cao ) x→0+ β(x) x→0√+ esin x − cosx x→0+ esinx − cosx x→0+ esinx − cosx x ′ 1 4 Xét L1 = lim = lim √ = +∞ + esinx − cosx ′ + 4 4 x3 cosxesinx + sinx x→0 √ x→0 α(x) 4 x ⇒ lim = lim = L1 = +∞ theo quy tắc L’hospital x→0+ β(x) x→0+ esinx − cosx Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0+ √ √ b) α(x) = 3 x − x và β(x) = cosx − 1, khi x → 0+ 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ √ α(x) 3 x − x 3 x Xét lim = lim = lim x→0+ β(x) x→0+ cosx − 1 x→0+ −x2 2 √ √ √ x2 do ( 3 x − x) ∼ 3 x,1 − cosx ∼ khi x → 0+ √ 2 α(x) 3 x −2 ⇒ lim = lim = lim = −∞ x→0+ β(x) x→0+ −x2 x→0+ x5 3 2 Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0+ c) α(x) = x3 + sin2 x và β(x) = ln 1 + 2 arctan (x2) , khi x → 0 α(x) x3 + sin2 x x3 + sin2 x x3 + sin2 x Xét lim = lim = lim = lim x→0 β(x) x→0 ln 1 + 2 arctan (x2) x→0 2 arctan (x2) x→0 2x2 do ln 1 + 2 arctan (x2) ∼ 2 arctan (x2),arctan (x2) ∼ x2 khi x → 0 x3 x lim = lim = 0 Ta có: x→0 2x2 x→0 2 sin2 x x2 1 lim = lim = dosinx ∼ xkhix → 0 x→0 2x2 x→0 2x2 2 α(x) x3 + sin2 x 1 1 ⇒ lim = lim = 0 + = x→0 β(x) x→0 2x2 2 2 Vậy α(x) và β(x) là 2 VCB cùng bậc khi x → 0 1.7. Hàm số liên tục Bài 16: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0 1 − cosx , nếu x ̸= 0 ax2 + bx + 1, nếu x ≥ 0 a) f(x) = x2 b) g(x) = a, nếu x = 0 acosx + bsinx, nếu x < 0 Lời giải x x2 2 sin2 2. 1 − cosx 2 2 1 a) Ta có: lim = lim = lim = . x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2 2 1 − cosx Hàm số đã cho liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi lim = a. x→0 x2 1 Điều này tương đương với a = . 2 1 Vậy a = là giá trị cần tìm. 2 b) Hàm số đã cho liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) = f(0) x→0+ x→0− ⇔ a.02 + b.0 + 1 = a.cos 0 + b.sin 0 = a.cos 0 + b.sin 0 ⇔ a = 1 Vậy a = 1 là giá trị cần tìm. 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 17: Hàm f(x) sau liên tục tại những giá trị x nào? 0, nếu x hữu tỉ 0, nếu x hữu tỉ a) f(x) = b) f(x) = 1, nếu x vô tỉ x, nếu x vô tỉ Lời giải a) Ta sẽ chứng minh hàm số đã cho không liên tục trên R. Thật vậy, giả sử hàm số liên tục tại điểm x = x0. Khi đó tồn tại dãy số hữu tỉ xn và dãy số vô tỉ yn sao cho hai dãy cùng có giới hạn hữu hạn bằng x0. Nhưng điều này rõ ràng là vô lý bởi limf(xn) = 0 và limf(yn) = 1. Vậy hàm số đã cho không liên tục trên R. b) Hàm số đã cho không liên tục tại x = a với a ̸= 0 tuỳ ý (chứng minh tương tự câu a). Tại điểm x = 0, ta thấy hiển nhiên lim f(x) = 0 = f(0). x→0 Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0. Bài 18: Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của các hàm số 8 1 a) y = b) y = arcsinx 1 − 2cotx x 1 sin eax − ebx c) y = x d) y = (a ̸= b ) ex1 + 1 x Lời giải a) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0. Nhận xét: 8 8 lim = lim = 0. ( Đặt a = cotx ⇒ a → +∞ khi x → 0+) x→0+ 1 − 2cotx a→+∞ 1 − 2a 8 8 lim = lim = 8. x→0− 1 − 2cotx a→−∞ 1 − 2a Do 0 ̸= 8 nên x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số. b) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0. Nhận xét: 1 x lim arcsinx = lim = 1. x→0+ x x→0+ x 1 lim arcsinx = 1. x→0− x Do đó x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 (bỏ được) của hàm số. c) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0. −1 −2 Xét hai dãy số x và y tiến đến 0− khi n → +∞ với x = và y = . n n n nπ n (4n + 1)π 1 1 sin sin Suy ra lim xn = 0 và lim yn = −1. e 1 + 1 e 1 + 1 xn yn 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Do đó 0 ̸= −1 nên hàm số đã cho không có giới hạn trái tại x = 0. Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số. d) Hàm số đã cho không liên tục tại x = 0. eax − 1 eax − 1 Xét lim = lim a. = a x→0 x x→0 ax ebx − 1 ebx − 1 Xét lim = lim b. = b x→0 x x→0 bx eax − ebx eax − 1 ebx − 1 Ta có: lim = lim + lim = a − b. x→0 x x→0 x x→0 x Do đó x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 (bỏ được) của hàm số. Bài 19: Các hàm số sau đây có liên tục đều trên miền đã cho không? x a) y = ; − 1 ≤ x ≤ 1 b) y = lnx; 0 < x < 1 4 − x2 Lời giải x a) Nhận xét: tập số thực D = [−1; 1] là tập compact và hàm số y = liên tục trên tập D. 4 − x2 Do đó hàm số đã cho liên tục đều trên [−1; 1]. 1 1 b) Xét 2 dãy số x = và y = , dễ thấy 0 < x , y < 1 ∀n ∈ N∗ n n + 1 n 2n + 2 n n 1 1 Ta có lim |xn − yn| = lim − = 0. n→+∞ n→+∞ n + 1 2n + 2 1 1 Khi đó lim |f(xn) − f(yn)| = lim ln − ln = ln 2 ̸= 0. n→+∞ n→+∞ n + 1 2n + 2 Do đó hàm số đã cho không liên tục đều trên (0; 1). 1.8. Đạo hàm và vi phân Bài 20: Tìm đạo hàm của hàm số 1 − x, nếu x < 1 f(x) = (1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2 x − 2, nếu x > 2 Lời giải −1, nếu x < 1 Dễ thấy f′(x) = 2x − 3, nếu 1 < x < 2 1, nếu x > 2 +) Tại điểm x = 1, ta có: f(x) − f(1) 1 − x − 0 lim = lim = −1 x→1− x − 1 x→1− x − 1 f(x) − f(1) (1 − x)(2 − x) − 0 lim = lim = lim (x − 2) = −1 x→1+ x − 1 x→1+ x − 1 x→1+ f(x) − f(1) f(x) − f(1) Vì lim = lim = −1 ⇒ f′(1) = −1 x→1− x − 1 x→1+ x − 1 +) Tại điểm x = 2, ta có: 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập f(x) − f(2) (1 − x)(2 − x) − 0 lim = lim = lim (x − 1) = 1 x→2− x − 2 x→2− x − 2 x→2− f(x) − f(2) (x − 2) − 0 lim = lim = lim 1 = 1 x→2+ x − 2 x→2+ x − 2 x→2+ f(x) − f(2) f(x) − f(2) Vì lim = lim = 1 ⇒ f′(2) = 1 x→2− x − 2 x→2+ x − 2 −1, nếu x ≤ 1 Do đó ta kết luận f′(x) = 2x − 3, nếu 1 < x < 2 1, nếu x ≥ 2 d Bài 21: Tìm f′(x) biết [f(2017x)] = x2 dx Lời giải d Theo bài ta có: [f(2017a)] = a2 da d d(2017a) ⇒ [f(2017a)]. = a2 d(2017a) da ⇒ f′(2017a).2017 = a2 a2 ⇒ f′(2017a) = 2017 x x2 Với a = thì f′(x) = . 2017 20173 x2 Vậy f′(x) = . 20173 Bài 22: Cho n ∈ Z. Với điều kiện nào thì hàm số 1 xn sin , nếu x ̸= 0 f(x) = x 0, nếu x = 0 a) liên tục tại x = 0 b) khả vi tại x = 0 c) có đạo hàm liên tục tại x = 0 Lời giải a) Trường hợp 1: n < 0 1 Đặt x = với k ∈ N∗. (2k + 1)π 2 (2k + 1)π −n Khi đó, vì lim f(x) = lim = +∞ nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0. x→0+ k→+∞ 2 Trường hợp 2: n = 0 1 1 Xét hai dãy số xk và yk tiến đến 0 khi k → +∞ với xn = và yn = . 1 1 2k + 1 + π 2k + π 2 2 Suy ra lim f(xk) = −1 và lim f(yk) = 1. k→+∞ k→+∞ Do đó 1 ̸= −1 nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0. Trường hợp 3: n > 0 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 n n 1 Do 0 ≤ xn sin ≤ |xn| và lim |x | = 0 nên lim x sin = 0. x x→0 x→0 x Vậy với n > 0 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0. b) f(x) − f(0) Nhận xét: Hàm số đã cho khả vi tại x = 0 khi và chỉ khi giới hạn lim tồn tại hữu hạn x→0 x − 0 1 ⇔ lim xn−1 sin tồn tại hữu hạn. x→0 x Chứng minh tương tự câu a ta có n > 1. Vậy n > 1 là các giá trị cần tìm. c) Giả sử hàm số đã cho khả vi tại x = 0. 1 1 Khi đó f′(x) = n.xn−1.sin + xn−2.cos . x x 1 1 Để f′(x) liên tục tại x = 0 thì điều kiện cần và đủ là các hàm số xn−1.sin và xn−2.cos phải liên tục x x tại x = 0. Chứng minh tương tự câu a ta có n > 1 và n > 2. Điều này tương đương với n > 2. Vậy n > 2 là các giá trị cần tìm. Bài 23: Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x−a|φ(x), trong đó φ(x) là một hàm số liên tục và φ(a) ̸= 0, không khả vi tại điểm x = a Lời giải Nhận xét: ′ + f(x) (x − a)φ(x) f (a ) = lim = lim = φ(a). x→a+ x − a x→a+ x − a ′ − f(x) (a − x)φ(x) f (a ) = lim = lim = −φ(a). x→a− x − a x→a− x − a Do φ(a) ̸= 0 nên φ(a) ̸= −φ(a). Vậy hàm số đã cho không khả vi tại x = a. Bài 24: Tìm vi phân của hàm số: 1 x x a) y = arctan ,(a ̸= 0) b) y = arcsin ,(a ̸= 0) a a a 1 x − a √ c) y = ln ,(a ̸= 0) d) y = ln x + x2 + a 2a x + a Lời giải 1 x a) y = arctan ,(a ̸= 0) a a 1 1 a dx dy = y′dx = dx = . a x 2 a2 + x2 1 + a x b) y = arcsin ,(a ̸= 0) a 1 1 |a| dy = y′dx = r dx = √ dx,∀ |x| < |a|. a x 2 a a2 − x2 1 − a 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!