Trang 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội Biên soạn: Tài liệu HUST ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1 DANH SÁCH ĐỀ THI ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)............................................................................2 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)............................................................4 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)............................................................................8 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)............................................................................9 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)......................................................... 10 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 15 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 16 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................... 17 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 22 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 23 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................... 24 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 29 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 30 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................... 31 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 35 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................... 36 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 40 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 41 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................... 42 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 46 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)......................................................... 47 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 48 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)......................................................... 49 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 53 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Trang 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)......................................................... 54 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 55 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................... 56 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 60 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 61 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................... 62 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 65 (TaiLieuHust, 2022) Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Trang 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 ln(1+ x) x a) lim . x→0 x x y3 b) lim . (x y, )→(0,0) 2x6 +3y2 Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân A= 2,022 +3,042 +3 . x2 Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng cosx 1− ,x 0. 2 Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường y = x2 −3x và y = 0 quanh trục Oy một vòng. Câu 5 (1 điểm). Tính −1 . 2x −3 + 1− x2 2 dx Câu 6 (1 điểm). Hàm số f ( )x = x3 + x có hàm ngược là y = g x( ) . Tính g (2) . 2z 2z 3 z 1 Câu 7 (1 điểm). Tính P = + + với z = . x2 y2 y y ( )3 x2 + y2 Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ 100cm / s3 . Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50cm. Câu 9 (1 điểm). Tính 2 cot x dx . 0 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Trang 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) 1 ln(1+x) ln ln(1+ x) x x Câu 1: L = lim = lime x . x→0 x x→0 ln(1+ x) ln(1+ x) ln ln 1 + −1 x x Xét giới hạn K = lim = lim x→0 x x→0 x ln(1+ x) ln(1+ x) x→0 ln(1+ x) Vì lim −1 =1−1= 0, nên ln 1 + −1 ~ −1 . x→0 x x x ln(1+ x) −1 2 ( 2 ) −1 ln(1+ x)− x x +o x K = lim x (VCB) = lim = lim 2 (Khai triển Maclaurin) x→0 x x→0 x2 x→0 x2 −1 2 x −1 = lim 2 = x→0 x2 2 Giới hạn đã cho bằng L = eK = e−1/2 . x y3 b) f ( ,x y) = , ( ,x y) 0. 2x6 +3y2 +) Chọn M (a a, 3 ). Khi a →0 thì M (a a, 3 )→(0,0). 1 1 ( ) a a3 3 1 Ta có: f (M )= f a a, 3 = = 1 2a6 +3a6 5 ( ) 1 khi M →(0,0) (1) f M → 1 1 5 +) Chọn M (−b b, 3 ). Khi b→0 thì M (−b b, 3 )→(0,0). 2 2 ( ) (−b)3b3 −1 Ta có: f (M )= f −b b, 3 = = 2 2(−b)6 +3b6 5 ( ) −1 khi M →(0,0) (2) f M → 2 2 5 x y3 Từ (1) và (2) f ( ,x y) không cùng tiến tới một giá trị khi ( ,x y) → (0, 0) lim (x y, )→(0,0) 2x6 +3y2 không tồn tại. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Trang 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 2. Xét hàm số f ( ,x y) = x2 + y2 +3. Ta có: f ( ,x y) x f ( ,x y) y x = 2, x = 0, 02 x = , y = . Chọn 0 . x2 + y2 +3 x2 + y2 +3 y = 3, y = 0, 04 0 Áp dụng công thức tính gần đúng: A = 2, 022 +3, 042 +3 = f (x + x y, + y) f (x , y )+ f (x , y ) x+ f (x , y ) y 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 1 3 = f (2,3)+ f (2,3) 0, 02 + f (2,3) 0, 04 = 4+ 0, 02+ 0, 04 = 4, 04 x y 2 4 Vậy A 4, 04 . x2 x2 Câu 3. Chứng minh: cosx 1− ,x 0 cosx+ −1 0,x 0. 2 2 x2 Xét f ( )x = cosx+ −1 trên [0;+). Ta có: f ( )x = −sinx+ x, f ( )x = −cosx+10,x 0 2 f ( )x đồng biến trên [0;+ ) f ( )x f (0) =0,x 0 f ( )x đồng biến trên [0;+) f ( )x f (0) = 0,x 0 Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 −3 ,x y =0, x =0, x =3 quay quanh trục Oy thì thu được vật thể có thể tích là: V = 23 x x( 2 −3x)dx = 2x(3x− x2 )dx (vì 0 x2 −3x0, x [0,3]) 3 3( ) x4 27 = 2 3x2 − x3 dx = 2 x3 − = (đvtt) 0 4 2 0 Câu 5. Điều kiện: 3 2 2 2 , do đó: 2x −3 0 x 1− x 0 1− x = x −1 2 −1 ( )−1 I = 2x −3 + 1− x2 2 dx = 2x −3 + x2 −1 2 dx = 2x −3 dx + 1 dx = 1 (2x −3)3 +ln(x + x2 −1)+C x2 −1 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Trang 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 6. Ta có: f ( )x =3x2 +1. Với y =2 x3 +x =2 x =1. 0 0 0 0 f ( )x = x3 +x ( ) 1 1 1 Vì y = g x( ) là hàm ngược của nên: g y = ( ) = = . 0 f x f (1) 4 0 Vậy 1 . g (2) = 4 Câu 7. Điều kiện xác định P là y 0 . 2z 12x2 −3y2 Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z x y( , ) nên: = . x2 ( )7 x2 + y2 2z 2z 3 z 12x2 −3y2 +12y2 −3x2 3 −3y P = + + = + x2 y2 y y ( )7 y ( )5 x2 + y2 x2 + y2 9 9 = − = 0,y 0. (x2 + y2 )5 (x2 + y2 )5 Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm t(s) là V t( ) cm( 3 ). Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 100cm / s3 V( )t =100 cm / s( 3 ). Tại thời điểm t nào đó, R t( )=50(cm) . 0 0 Ta có: 4 3 . Lấy đạo hàm hai vế theo t, ta có: V( )t = 4(R t( ))2 R t( ) V t( ) = (R t( )) 3 Tại t = t , ta có: V (t ) = 4 R t( )2 R (t ) 100 = 4 (50)2 R (t ) 0 0 0 0 0 ( ) 100 1 R t = = (cm / s). 0 4 (50)2 100 Khi bán kính quà bóng bằng 50cm, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là 1 . (cm / s) 100 /2 Câu 9. I = cot x dx. 0 /2 /2 sin x cosx /2 sin x+cosx Xét L = ( tan x + cot x)dx = + dx = dx . 0 0 cosx sin x 0 sin xcosx Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Trang 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Đặt t = sin x −cos x dt = (cos x +sin x)dx . 1−t2 t2 = (sin x−cosx)2 =1−2sin xcosx sin xcosx = . 2 Đổi cận: - Khi + thì t → −1; x → 0 Khi x → thì t →1 2 1 dt 0 2 1 2 L = = dt + dt −1 1−t2 −1 1−t2 0 1−t2 2 0 2 B 2 = lim dt + lim dt A→(−1)+ A 1−t2 B→1− 0 1−t2 0 B = lim ( 2 arcsin )t + lim ( 2 arcsin )t A→ −( 1)+ B→1− 0 A − = lim (− 2 arcsin A) + lim ( 2 arcsin B) = − 2 + 2 = 2 A→ −( 1)+ B→1− 2 2 /2 f x( )= cotx 0 Giờ xét cot xdx, với liên tục trên 0, . 0 2 cos x x→0+ 1 x→0+ 1 1 cot x = ~ ~ = , sin x sin x x x1/2 1 1 /2 mà / 2 dx hội tụ (vì = (0,1) cot x dx hội tụ. 0 x1/ 2 2 0 Đổi biến , ta có: t = − x x = −t 2 2 /2 0 /2 /2 cot x dx = cot −t( d )− t = tant dt = tan x d .x 0 /2 2 0 0 /2 1 /2 1 cot xdx = ( tan x + cot x)dx = L = . 0 2 0 2 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Trang 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 ex −1x a) lim . x→0 x xy4 b) lim (x y, )→(0,0) 4x2 +3y8 Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân A = 4,032 +2,022 +5 . x2 Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng ex 1+ x+ ,x 0 . 2 Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường y = x2 − 4x và y = 0 quanh trục Oy một vòng. Câu 5 (1 điểm). Tính −1 . −4−3x + 1− x2 2 dx Câu 6 (1 điểm). Hàm số f ( )x = x5 + x có hàm ngược là y = g x( ) . Tính g (2) . 2z 2z 5 z 1 Câu 7 (1 điểm). Tính P = + + với z = . x2 y2 y y ( )5 x2 + y2 Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ 200cm / s3 . Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60cm. Câu 9 (1 diểm). Tính 2 tan x dx. 0 Cách giải tham khảo đề số 1 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Trang 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) x − . lim x→ sin x 2y2 ln x b) lim . (x y, )→(1,0) (x−1)2 + y2 Câu 2 (1 điểm). Phương trình x3 + 3x y2 + y5 −5 = 0 xác định hàm ẩn y = y x( ). Tính y (1) . 2x Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arctan ,x 1. 1− x2 Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1+ 2 )x đến x3 . Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x . y = ex +1 Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) tan(2 )dx x . b) + dx . 0 (x +3)(x2 − x +1) Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 x2 + 3 y2 = 4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra. Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 −(x + y)2 . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Trang 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. x − 1 1 . (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) lim = lim = = −1 x→ sin x x→ cos x cos Vậy x − . lim = −1 x→ sin x 2y2 ln x b) Đặt f ( ,x y) = (x−1)2 + y2 2y2 ln1 +) Nếu x =1 và y → 0 thì f ( ,x y) = = 0 → 0 khi y → 0. (1) 02 + y2 +) Nếu x 1 và ( ,x y) → (1, 0) thì: 2y2 ln x ln x 2y2(x−1) lim = lim lim ( ,x y)→(1,0) (x−1)2 + y2 ( ,x y)→(1,0) x−1 ( ,x y)→(1,0) (x−1)2 + y2 x1 x1 x1 Ta có: ln x ln x VCB x −1 lim = lim = lim =1 (x y, )→(1,0) x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 2y2 (x −1) 2 | (x −1)y | (x −1)2 + y2 0 = | y | | y | |= y |, mà lim | y |= 0 (x −1)2 + y2 (x −1)2 + y2 (x −1)2 + y2 (x y, )→(1,0) 2y2 (x−1) 2y2 (x −1) lim = 0 theo nguyên lý kẹp lim = 0 (x y, )→(1,0) (x−1)2 + y2 (x 1)2 + y2 (x y, )→(1,0) x1 x1 2y2 ln x lim =1.0 = 0 (2) (x y, )→(1,0) (x −1)2 + y2 x 2y2 ln x Tù̀ (1) và (2) lim = 0 (x y, )→(1,0) (x−1)2 + y2 Câu 2. +) Với x =1 thì 1+3y+ y5 −5=0 y5 +3y = 4 y =1 y(1) =1. Theo bài ra: x3 +3x y x2 ( )+[ ( )]y x 5 −5=0 +) Lấy đạo hàm hai vế theo x, ta có: 3x2 +6xy x( )+3x y2 ( )x +5y( )[ ( )]x y x 4 =0 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Trang 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x =1, ta có: 3+6 (1)y +3y(1)+5y(1)[ (1)]y 4 =03+6+3y(1)+5y(1) =0 ( do y(1) =1) −9 y (1) = 8 Vậy −9 y (1) = 8 Cách giải khác: Đặt F x y( , ) = x3 +3x y2 + y5 −5. −F( ,x y) −(3x2 +6xy) Ta có: y( )x = x = .(*) F ( ,x y) 3x2 +5y4 y Với x =1 thì 1+3y+ y5 −5=0 y5 +3y = 4 y =1 y(1) =1. Thay vào (*), ta có: −(3+ 6) −9 . x =1, y =1 y (1) = = 3+5 8 2 1( − x2 )−2x −( 2 )x 2x2 + 2 (1− x2 )2 (1− x2 )2 2(x2 +1) 2 Câu 3. y = = = = ,x 1. 1+ 2x 2 x4 + 2x2 +1 (x2 +1)2 x2 +1 1− x2 ( )2 1− x2 Vậy 2 . y = ,x 1 x2 +1 x2 x3 ( ) Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: ln(1+ x) = x− + +o x3 . 2 3 Khi x →0 thì 2x→0, thay x bởi 2x, ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: (2 )x 2 (2 )x 3 ( ) 8 ( ) y = ln(1+2 )x = 2x− + +o (2 )x 3 = 2x−2x2 + x3 +o x3 2 3 3 Vậy khai triển cần tìm là 2 8 3 ( 3 ). y = 2x − 2x + x + o x 3 Câu 5. +) Tập xác định D = Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. +) Khi x→ +: x L Hospital 1 (Dạng vô định) lim y = lim = lim = 0 x→+ x→+ ex +1 x→+ ex y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Trang 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x → − : x a = lim y = lim ex +1 = lim 1 =1 0( vì lim ex = 0) Khi x → − không có tiệm cận x→− x x→− x x→− 0+1 x→− ngang. x xex x b = lim (y −ax) = lim − x = lim = lim ( dạng x→− x→− ex +1 x→− ex +1 x→− 1+e−x L'Hospital = lim 1 = 0 ( do lim e−x = +) x→− −e−x x→− y = x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y = 0 là tiệm cận ngang bên phải, y là tiệm cận xiên bên trái. Câu 6. sin(2 )x −1−2sin(2 )dx x −1d(cos(2 ))x −1 a) tan(2 )dx x = dx = = = ln | cos 2x| +C cos(2 )x 2 cos(2 )x 2 cos(2 )x 2 Vậy −1 tan(2 )dx x = ln | cos 2x | +C. 2 b) + dx A dx ( ) = lim ( ) 0 (x +3) x2 − x +1 A→+ 0 (x +3) x2 − x +1 A 1 1 1 2x −1 7 1 = lim − + dx A→+ 0 13 x +3 26 x2 − x +1 26 1 2 3 x − + 2 4 A 1 ln | x +3 | ln x2 − x +1 7 2 x − = lim − + arctan 2 A→+ 13 26 26 3 3 2 0 ln | A+3 | ln A2 − A+1 7 2A−1 ln 3 7 = lim − + arctan − + A→+ 13 26 13 3 3 13 78 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Trang 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 | A+1|2 7 2A−1 ln 3 7 = lim ln + arctan − + A→+ 26 A2 − A+1 13 3 3 13 78 3 1 7 ln 3 7 14 ln 3 = ln1+ − + = − 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 14 ln 3 Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng − . 39 3 13 2 2 3 x 3 y Câu 7. 3 x2 + 3 y2 = 4 + =1 2 2 Tham số hoá đường cong: x t( ) = 8cos3 t (0 t 2) y t( ) = 8sin3 t Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật thể thu được, khi quay phần ứng với quanh trục Ox. 0 t 2 Diện tícch cần tính là: = 22 /2| ( ) |y t (x t'( ))2 +(y( )t )2 dt = 4 /2 8sin3 t (−24sin cost 2 t)2 +(24 cos sint 2 t)2 dt 0 0 = 768 /2 sin3t sin2 tcos2 t(cos2 t +sin2 t)dt = 768 /2sin4tcos dt t 0 0 768 /2 768 /2 4 5 = 768 sin td(cos )t = sin t = (dvdt) 0 5 5 0 Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8. Tập xác định: D = 2 Tìm điểm dừng: x = −y { x = y = 0 z = 3x2 −2(x+ y) = 0 y2 = x2 3x2 = 0 x 4 z = 3y2 −2(x+ y) = 0 3x2 −2x−2y = 0 x = y x = y = y { 3 3x2 −4x = 0 4 4 M (0, 0) hàm số có 2 điểm dừng là M , và . 1 3 3 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Trang 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Ta có: A= z = 6x−2, B = z = −2, C = z = 6y−2 xx xy yy = B2 − AC = 4−(6x−2)(6y−2). 4 4 - Tại điểm M , , ta có = −320 và A= 6 0 1 3 3 đạt cực tiểu tại z ( ) −64 . z x y( , ) M (1,1), = z M = 1 CT 1 27 - Tại điểm M (0, 0). 2 Xét z = z(0+ x,0+ y)− f (0,0) = ( x)3 + ( y)3 − + ( x y)2 Khi x = −y → 0 ta có: =z 0, điều này chứng tỏ z M( )= z M( ), với 2 3 M (x,−y) thuộc lân cận của M hàm số không đạt cực trị tại M 3 2 2 4 4 Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là M , (cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1 3 3 ( ) −64 . z = z M = CT 1 27 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Trang 15
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) 2x− lim . x→ cos x 2 2x3 ln y b) lim . (x y, )→(0,1) x2 +(y −1)2 Câu 2 (1điểm). Phương trình x4 + 4xy3 +3y5 −8 = 0 xác định hàm ẩn y = y x( ). Tính y (1) . 2x Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arcsin ,x 1. 1+ x2 Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1−3 )x đến x3 . Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x . y = 2ex +1 Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) cot(3 )x dx . b) + dx 0 (x + 4)(x2 + x +1) Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 x2 + 3 y2 = 9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra. Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 + (x + y)2 . Cách giải tham khảo đề số 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Trang 16
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2 1 Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim − . x→0 e2x −1 x Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số xác định bởi x = t +t3 . Tính . y = f ( )x f ( ),x f ( )x y = 2t2 +3t4 Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số y = 3 x x( −3)2 . 2 2 Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi x 0, ta có ln 1 + . x 2+ x Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn 16 + 26 ++ n6 . lim n→ n7 Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: sin3 xdx a) . sin x+cos x b) 3 arccot 3− x dx . 2 Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng + dx . 1 x(3x4 −2) Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x2 + (y − 2)2 =1 quanh trục Ox . Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số: x arctan 3 ,x x 0 f ( )x = ae3x +bsin x, x 0 Tìm a và b để hàm số f ( )x khả vi tại x =0. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Trang 17
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2 1 2x−e2x +1 Câu 1. L = lim − = lim ( ) x→0 e2x −1 x x→0 e2x −1 x Dùng VCB: (e2x −1)x→0 ~ 2x cho mẫu số, ta có: VCB 2x−e2x +1 L = lim (dạng 0 ) x→0 2x x 0 L Hospital 2−2e2x L Hospital −4e2x −4e0 = lim (dạng 0 ) = lim = = −1. x→0 4x 0 x→0 4 4 Vậy giới hạn cần tính bằng −1. Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin: (2 )x 2 ( ) ( ) 2x −2x + +o x2 2x − e2x −1 2! L = lim = lim (Khai triển Maclaurin) x→0 (e2x −1)x x→0 2x x −2x2 −o x( 2 ) −2x2 = lim = lim = −1. x→0 2x2 x→0 2x2 Câu 2. x = x t( ) Ta có công thức: Với Xác định hàm y = f ( )x y = y t( ) y t( ) y( )t x t( )− y t x( ) ( )t f ( )x = và f ( )x = . x t( ) x t( )3 Áp dụng công thức trên ta có: dy y t( ) 4t +12t3 f ( )x = = = = 4 .t dx x t( ) 1+3t2 d2 y d dy d 1 d 1 4 f ( )x = = = (4 )t = (4 )t = 4 = . dx2 dx dx x t( )dt x t( ) dt 1+3t2 1+3t2 Câu 3. +) Tập xác định: D= . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Trang 18
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên: (x x( −3)2 ) (x−3)2 +2(x−3)x x−3+2x y = = = ,x 0,x 3. 3 (x x( −3)2 )2 3 x2 (x−3)4 3 x2 (x−3) $ x−3+2x y = 0 = 0 x =1. 3 x2 (x−3) Lập bảng biến thiên: Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị: - Hàm số đạt cực đại tại điểm x =1, y = y(1) = 3 4 . CD - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =3, y = y(3) =0. CT Câu 4. Xét hàm số 2 2 trên f ( )x = ln(1+ ) − (0,+ ) x 2+ x x + 2 2 2 do f ( )x = ln − = ln(x + 2) −ln x − ( x 0) x 2+ x 2+ x 1 1 2 (x+2)x−(x+2)2 +2x −4 f ( )x = − + = = 0,x 0. x+2 x (x+2)2 x x( +2)2 x(2+ x)2 2 2 lim f ( )x = lim ln 1 + − = + x→0+ x→0+ x 2+ x 2 2 lim f ( )x = lim ln 1 + − = ln(1+0)−0 = 0 x→+ x→+ x 2+ x Ta có bảng biến thiên: Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Trang 19
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Từ bảng biến thiên, suy ra: f ( )x 0,x 0 2 2 ln 1 + − 0,x 0 x 2+ x 2 2 ln 1 + ,x 0(đpcm) x 2+ x Câu 5. 16 +26 ++n6 1 16 +26 ++ n6 1 1 6 2 6 n 6 L = lim = lim = lim + ++ n→ n7 n→ n n6 n→ n n n n 1 n k 6 =lim n→ n k=1 n = 1 f ( )d ,x x trong đó f ( )x = x6 hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 x7 1 1 = 1 x6 dx = = . 0 7 7 0 Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6. Giải: sin x +cos x = 2 sin x + . Đặt t = x+ x = t − dx = dt . Tích phân cần tính trở 4 4 4 thành: 3 1 1 3 sint − sint − cost 4 2 2 I = dt = dt 2 sint 2 sint 1 sin3 t −3sin2 tcost +3sin cost 2 t −cos3 t 1 cos3 t = dt = sin2 t −3sin cost t +3cos2 t − dt 4 sint 4 sint 1 1 1 3 3 3 cost ( ) = − cos 2t− sin 2t + + cos 2t− 1−sin2 t dt 4 2 2 2 2 2 sint 1 3 cost = 2+cos 2t − sin 2t − +cos sint tdt 4 2 sint Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Trang 20
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 cost 1 1 1 = 2+cos 2t −sin 2t − dt = 2t + sin 2t + cos 2t −ln | sint |+C 4 sint 2 2 2 2 Thay t = x + 4 sin3 xdx 1 1 1 = 2x + + sin2x + + cos2x + −ln sin x + +C sin x +cos x 4 2 2 2 2 2 4 x cos(2 )x −sin(2 )x 1 = + − ln sin x+ +C 2 8 4 4 1 b) Xét nguyên hàm arccot 3− x dx = arccot 3− x d(x−4) = (x−4)arccot 3− x −(x−4) d(arccot 3− x) −1 −1 = (x−4) arccot 3− x − (x−4) dx 1+( 3− x)2 2 3− x −1 = (x−4) arccot 3− x − dx = (x−4) arccot 3− x − 3− x +C. 2 3− x 3 3 − − arccot 3− x dx =[(x−4) arccot 3− x − 3− x] = − −1 =1 2 2 2 2 Câu 7. 1 là hàm dương và liên tục trên . f ( )x = ( ) [1,+) x 3x4 −2 + dx là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường + ( ) 1 x 3x4 −2 1 x→+ 1 1 , mà + 1 hội tụ ( ) ~ = dx (do = 5 1) x 3x4 −2 x3x4 3x5 1 3x5 + dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. ( ) 1 x 3x4 −2 Câu 8. Tham số hoá đường tròn x2 +(y−2)2 =1: x = cost (0 t 2). y = 2+sint Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x2 +(y−2)2 =1 quanh trục Ox là: = 22 | ( ) |y t (x t( ))2 +(y t( ))2 dt = 22 |2+sint | (−sin )t 2 +(cos ) dt 2 t 0 0 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!