Trang 1
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LÝ THUYẾT MÔN GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Mục lục I Hàm số 3 1 Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Một số khái niệm cơ bản về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II Dãy số 6 1 Định nghĩa dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Dãy số hội tụ - phân kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Giới hạn vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Tính duy nhất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Tiêu chuẩn của dãy số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Tiêu chuẩn kẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 Tiêu chuẩn Cauchy (Phần 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III Giới hạn hàm số 11 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Giới hạn trái, giới hạn phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Các tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Định nghĩa Vô cùng bé, Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 So sánh các VCB, VCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.1 So sánh các VCB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 So sánh các VCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 Quy tắc thay VCB,VCL tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
Trang 2
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập IV Hàm số liên tục 18 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Định nghĩa điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Phân loại điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 V Đạo hàm và vi phân 23 1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Đạo hàm của hàm hợp, Đạo hàm của hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 Đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 VI Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 31 1 Các định lý Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Hàm số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Bất đẳng thức hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7 Phương pháp Newton (tiếp tuyến) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 VIIKhảo sát hàm số, đường cong 40 1 Một số khái niệm bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Sơ đồ khảo sát đồ thị hàm số y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2
Trang 3
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập I Hàm số 1 Định nghĩa hàm số Định nghĩa 1. Cho X và Y là các tập hợp con của R. Một hàm số f đi từ tập hợp X vào tập hợp Y , kí hiệu f : X → Y , là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x ∈ X với một giá trị duy nhất y ∈ Y . Lưu ý 1. Điều ngược lại không đúng, với một giá trị y ∈ Y có thể có hai giá trị x1 ̸= x2,(x1, x2 ∈ X) sao cho f(x ) = f(x ) = y. Chẳng hạn như f(x) = x2. 1 2 2 Một số khái niệm cơ bản về hàm số Định nghĩa 2. - Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = f(−x). - Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = −f(−x). - Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn ⇔ ∃T > 0,∀x ∈ D : x + T ∈ D và f(x + T) = f(x) - Hàm hợp: y = f(x), x = g(t) có hàm hợp y = f ◦ g := f(g(t)). - Hàm ngược: y = f(x) có TXĐ X, TGT Y có hàm ngược x = g(y) ⇔ (f ◦ g)(y) = y,∀y ∈ Y và (g ◦ f)(x) = x,∀x ∈ X. Hàm số ngược của y = f(x) được kí hiệu là y = f−1(x), x ∈ Y . Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f(x) = x2 + cos 3x + x4 Lời giải +) Tập xác định của hàm số: D = R. +) ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D +) Ta có: f(x) = x2 + cos 3x + x4 f(−x) = (−x)2 + cos(−3x) + (−x)4 = x2 + cos 3x + x4 ⇒ f(x) = f(−x), ∀x ∈ D Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau (nếu có): 1 1 a) f(x) = sinx + sin 2x + sin 3x b) f(x) = sinx2 2 3 Lời giải 1 1 a) f(x) = sinx + sin 2x + sin 3x 2 3 *) Phân tích: +) y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T1 = 2π 3
Trang 4
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) y = sin 2x tuần hoàn với chu kỳ T1 = π 2π +) y = sin 3x tuần hoàn với chu kỳ T1 = 3 Nên ta dễ dàng thấy f(x) tuần hoàn với chu kỳ T = 2π *) Giải: 1 1 1 1 +) Dễ thấy: sinx + sin 2x + sin 3x = sin (x + 2π) + sin 2(x + 2π) + sin 3(x + 2π), ∀x ∈ R 2 3 2 3 Ta sẽ chứng minh T = 2π là chu kỳ cơ sở của f(x) +) Giả sử tồn tại T1 sao cho 0 < T1 < T và: 1 1 1 1 sinx + sin 2x + sin 3x = sin (x + T1) + sin 2(x + T1) + sin 3(x + T1), ∀x ∈ R (1) 2 3 2 3 1 1 Tại (1) cho x = 0 ta có: sinT1 + sin 2T1 + sin 3T1 = 0 (2) 2 3 1 1 Tại (1) cho x = π ta có: −sinT1 + sin 2T1 − sin 3T1 = 0 (3) 2 3 1 +) Từ (2) và (3) ⇒ sinT1 + sin 3T1 = 0 3 1 3 ⇒ sinT1 + 3 sinT1 − 4 sin T1 = 0 3 4 2 ⇒ sinT1 2 − sin T1 = 0 ⇒ sinT1 = 0 ⇒ T1 = π 3 π +) Thử lại với T1 = π thì tại x0 = : 2 1 1 1 1 sinx0 + sin 2x0 + sin 3x0 ̸= sin (x0 + π) + sin 2(x0 + π) + sin 3(x0 + π) 2 3 2 3 Vậy không tồn tại T1, do đó hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T = 2π b) f(x) = sinx2 *) Phân tích: +) Một hàm số tuần hoàn thì đạo hàm của nó cũng sẽ tuần hoàn +) Ta dễ thấy f′(x) = 2xcosx2 không tuần hoàn nên ta sẽ chứng minh hàm số f(x) không tuần hoàn +) Để chứng minh hàm số không tuần hoàn cách đơn giản nhất là dùng phương pháp phản chứng. *) Giải: +) Giả sử hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ T > 0: ⇒ sinx2 = sin (x + T)2 ∀x ∈ R (1) √ Tại (1) cho x = 0 ta được: sinT2 = 0 ⇒ T2 = kπ ⇒ T = kπ (k ∈ N∗) √ √ √ Tại (1) cho x = π ta được: sin ( π + T)2 = 0 ⇒ ( π + T)2 = lπ (l ∈ N∗) √ √ ⇒ ( π + kπ)2 = lπ ⇒ k là số chính phương do l ∈ N∗ √ +) Đặt k = h2,(h ∈ N∗) ⇒ T = h π r r π π 2 Tại (1) cho x = ta được: sin + T = 1 r 2 2 π 2 π ⇒ + T = + 2mπ (m ∈ N∗) r2 2 π √ 2 π ⇒ + h π = + 2mπ 2 2 π 2hπ π ⇒ + √ + h2π = + 2mπ 2 2 √ 2 ⇒ 2m = h2 + 2h vô lý do m ∈ N∗ Vậy hàm số f(x) không tuần hoàn. 4
Trang 5
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 3 Các hàm số cơ bản Định nghĩa 3. - Hàm lũy thừa: xα, TXĐ: phụ thuộc vào α. - Hàm số mũ: ax,0 < a ̸= 1, TXĐ: R, TGT: (0; +∞). - Hàm số logarit: loga x,0 < a ̸= 1, TXĐ: (0; +∞), TGT: R - Các hàm lượng giác: sinx,cosx,tanx,cotx - Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx y = arccosx y = arctanx y = arccotx TXĐ [−1; 1] [−1; 1] (−∞;∞) (−∞;∞) −π π −π π TGT ; [0;π] ; (0;π) 2 2 2 2 - Các hàm hyperbolic: ex − e−x ex + e−x sinhx = ; coshx = ; 2 2 sinhx ex − e−x coshx ex + e−x tanhx = = ; cothx = = coshx ex + e−x sinhx ex − e−x √ Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = arccot 3 − x4 Lời giải √ √ √ √ +) ĐKXĐ: 3 − x4 ≥ 0 ⇒ − 4 3 ≤ x ≤ 4 3 ⇒ Tập xác định: D = − 4 3; 4 3 . √ √ √ √ +) Ta có: − 4 3 ≤ x ≤ 4 3 ⇒ 0 ≤ x4 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ 3 − x4 ≤ 3 √ π π Vì hàm arccotx là hàm nghịch biến trên R nên arccot 3 ≤ y ≤ arccot 0 ⇒ ≤ y ≤ 6 2 π π Vậy tập giá trị của hàm số là ; 6 2 √ 3x − 1 Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số: y = 2x − 1 + 4 arcsin 4 Lời giải 1 2x − 1 ≥ 0 x ≥ +) Điều kiện xác định: 3x − 1 ⇒ 2 5 −1 ≤ ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 4 3 1 5 ⇒ Tập xác định: D = ; 2 3 1 5 Vậy tập xác định của hàm số là D = ; . 2 3 Ví dụ 5. Tìm hàm ngược của hàm số y = sinh 2x. Lời giải 5
Trang 6
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Tập xác định: D = R +) Xét phương trình: e2x − e−2x y = sinh 2x ⇔ y = 2 ⇔ 2y = e2x − e−2x ⇔ 2y.e2x = (e2x)2 − 1 ⇔ (e2x)2 − 2y.e2x + y2 − y2 − 1 = 0 ⇔ (e2x − y)2 = y2 + 1 p p ⇔ e2x = y + y2 + 1 (thỏa mãn) hoặc e2x = y − y2 + 1 (loại vì e2x > 0) p 1 ⇔ x = ln y + y2 + 1 2 √ 1 Vậy hàm ngược của hàm số y = sinh 2x là hàm f(x) = ln x + x2 + 1 . 2 4 Hàm số sơ cấp Định nghĩa 4. Các hàm số sơ cấp được tạo bởi số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hợp với các hàm số cơ bản. Các hàm số sơ cấp chia thành 2 loại: - Hàm số đại số: là những hàm số mà khi tính giá trị của nó ta chỉ phải làm một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Ví dụ: các đa thức, phân thức, ... - Hàm số siêu việt: là những hàm số sơ cấp nhưng không phải là hàm số đại số. Ví dụ: y = lnx, y = sinx, ... II Dãy số 1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 5. Một dãy số là một hàm số N → R, n 7→ an. Kí hiệu {an}n∈N. - Dãy số đơn điệu: tăng (an ≤ an+1), giảm (an ≥ an+1), ∀n. - Dãy số bị chặn: chặn trên nếu tồn tại số M sao cho an ≤ M ∀n, chặn dưới nếu tồn tại số K sao cho an ≥ K,∀n. 2 Các khái niệm cơ bản 2.1 Giới hạn của dãy số Định nghĩa 6. Một dãy số {an} được gọi là có giới hạn L và viết lim an = L nếu: n→∞ ∀ϵ > 0,∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |an − L| < ϵ 6
Trang 7
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2.2 Dãy số hội tụ - phân kì Định nghĩa 7. Ta nói dãy số {an} là hội tụ nếu có số L ∈ R sao cho lim an = L. n→∞ Ngược lại, ta nói dãy số {an} là phân kì 2.3 Giới hạn vô cùng Định nghĩa 8. Ta nói lim an = +∞ nếu: ∀M > 0,∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ an > M n→∞ 2.4 Tính duy nhất của giới hạn Định nghĩa 9. Giới hạn của một dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất 3 Ví dụ x1 + x2 + .. + xn Ví dụ 6. Cho lim xn = a. Tính lim n→∞ n→∞ n Hướng dẫn giải ϵ +) Ta có: lim xn = a → ∀ϵ > 0,∃n0 ∈ N : |xn − a| < .∀n > n0 n→∞ ϵ 2 x + ... + x (n − n )a n ϵ → n0+1 n − 0 < 2 = n n n 2 x1 + ... + xn + xn +1 + ... + xn x1 + ... + xn n0a ϵ +) → 0 − a < 0 − + ,∀n > n0. n n n 2 x1 + ... + xn n0a ϵ +) ∃n1 ∈ N : 0 − < ,∀n > n0. n n 2 x1 + ... + xn → ∀ϵ > 0,∃n2 = max{n0;n1} ∈ N : − a < ϵ,∀n > n2 n x1 + x2 + .. + xn → lim = a n→∞ n nπ Ví dụ 7. Chứng tỏ dãy xn = sin không có giới hạn. 2 Hướng dẫn giải +) Chọn dãy số (an): ak = 2k, (bn): bm = 4m + 1 ∀m, k ∈ N. +) lim xa = 0, lim xb = 1. k→∞ k m→∞ m nπ ⇒ Dãy xn = sin không có giới hạn. 2 7
Trang 8
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 4 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 4.1 Tiêu chuẩn của dãy số đơn điệu Định nghĩa 10. Một dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ, tức là tồn tại giới hạn hữu hạn. 4.2 Tiêu chuẩn kẹp Định nghĩa 11. Cho các dãy số thực (an),(bn),(cn) thỏa mãn: - ∃N ∈ N : an ≤ bn ≤ cn,∀n ≥ N - lim an = lim cn = L n→+∞ n→+∞ Khi đó, lim bn = L. n→+∞ 4.3 Tiêu chuẩn Cauchy Định nghĩa 12. Dãy số {an} được gọi là dãy số Cauchy nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − am| < ϵ với mọi m, n > N. Định lý 1. Dãy số {an} là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy số Cauchy. 5 Giới hạn của dãy số Định nghĩa 13. Nếu tồn tại lim an = A, lim bn = B hữu hạn thì: n→+∞ n→+∞ - lim (an + bn) = lim an + lim bn n→+∞ n→+∞ n→+∞ - lim (an − bn) = lim an − lim bn n→+∞ n→+∞ n→+∞ - lim (anbn) = lim an . lim bn n→+∞ n→+∞ n→+∞ a lim an - lim n = n→+∞ , nếu lim b ̸= 0 b lim b n n→+∞ n n n→+∞ n→+∞ 0 ∞ Lưu ý 2. Bốn dạng vô định: ∞ − ∞, , , 0 × ∞ 0 ∞ Ví dụ 8. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy với số hạng tổng quát như sau: √ sin2 n − cos3 n a) xn = n − n2 − n b) xn = ! n 1 1 c) xn = xn−1 + , x0 > 0 2 xn−1 Lời giải 8
Trang 9
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ a) xn = n − n2 − n √ n lim xn = lim n − n2 − n = lim √ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n + n2 − n 1 1 = lim r = n→+∞ 1 2 1 + 1 − n 1 Vậy xn hội tụ và có giới hạn lim xn = n→+∞ 2 sin2 n − cos3 n b) xn = n 0 ≤ sin2 n ≤ 1, −1 2 +) Ta thấy: ⇒ −1 ≤ sin2 n − cos3 n ≤ 2 ⇒ ≤ x ≤ n n n −1 ≤ cos3 n ≤ 1 −1 lim = 0 +) Lại có: n→+∞ n ⇒ lim x = 0 theo tiêu chuẩn kẹp. 2 n→+∞ n lim = 0 n→+∞ n Vậy xn hội tụ và có giới hạn lim xn = 0 n→+∞ ! 1 1 c) xn = xn−1 + , x0 > 0 2 xn−1 *) Phân tích: Ta sẽ chứng minh dãy hội tụ bằng tiêu chuẩn đơn điệu và bị chặn trên hoặc dưới. 1 − x2 +) Đầu tiên kiểm tra: x − x = n−1 n n−1 2x n−1 +) Bây giờ để biết dãy tăng hay giảm chỉ cần kiểm tra xem dấu của 1 − x2 ! r n−1 1 1 1 1 Dễ thấy x0 > 0 ⇒ x1 = x0 + ≥ .2 x0. = 1 theo BĐT Cauchy. 2 x0 2 x0 Tương tự ta thấy x , x , ... ≥ 1. Dự đoán 1 − x2 ≤ 0,∀n ≥ 2. 2 3 n−1 +) Vậy ta sẽ chứng minh dãy giảm, và để chứng minh xn−1 ≥ 1 ta sẽ dùng quy nạp. *) Giải: +) Dễ thấy xn > 0,∀n ∈ N +) Chứng minh: xn ≥ 1 ∀n > 0 (1) ! r 1 1 1 1 – Ta thấy (1) đúng với n = 1 do x1 = x0 + ≥ .2 x0. = 1 theo BĐT Cauchy 2 x0 2 x0 – Giả sử (1) đúng với n = k ⇒ xk ≥ 1 – Ta sẽ chứng minh (1) đúng với!n = k + 1 r 1 1 1 1 Thật vậy: xk+1 = xk + ≥ .2 xk. = 1 theo BĐT Cauchy. 2 xk 2 xk Vậy (1) đúng theo giả thiết quy nạp. 1 − x2 +) Ta có: x − x = n−1 ≤ 0 ∀n > 0 (do x ≥ 1,∀n > 0 ) n n−1 2x n n−1 Vậy dãy xn là dãy giảm và bị chặn dưới do xn > 0,∀n ∈ N 9
Trang 10
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Do đó xn hội tụ. Gọi lim xn = a n→+∞ ! 1 1 Ta có: lim xn = lim xn−1 + n→+∞ 2 n→+∞ lim xn−1 ! n→+∞ 1 1 ⇒ a = a + ⇒ a = ±1 ⇒ a = 1 (do xn ≥ 1,∀n > 0 ) 2 a Vậy lim xn = 1. n→+∞ 6 Tiêu chuẩn Cauchy (Phần 2) Định nghĩa 14. Dãy số {an} được gọi là dãy số Cauchy nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − am| < ϵ với mọi m, n > N. Định lý 2. Dãy số {an} là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy số Cauchy. 1 1 1 Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy (xn) với xn = 1 + + + ... + hội tụ 22 32 n2 [Hướng dẫn giải] 1 1 1 +) Ta có: |xn+p − xn| = + + ... + (n + 1)2 (n + 2)2 (n + p)2 1 1 1 < + + ... + n(n + 1) (n + 1)(n + 2) (n + p − 1)(n + p) 1 1 1 1 1 1 = − + − + ... + − n n + 1 n + 1 n + 2 n + p − 1 n + p 1 1 1 = − < n n + p n 1 1 +) Với ε > 0 cho trước, nếu n > + 1, khi đó ta chọn n0 = + 1 ∈ N thỏa mãn n + p > n0 và ε ε 1 n > n0 sao cho |xn+p − xn| < < ε n +) Kết luận: Dãy đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy 1 1 1 Ví dụ 10. Chứng minh (xn) xác định bởi xn = + + ... + là phân kì ln 2 ln 3 lnn [Hướng dẫn giải] 1 1 1 +) Ta có: |xn+p − xn| = + + ... + ln(n + 1) ln(n + 2) ln(n + p) 1 1 1 > + + ... + ln(n + p) ln(n + p) ln(n + p) p p 1 = > = khi p = n ln(n + p) n + p 2 1 Khi đó, với ε = > 0, ∀n ∈ N, p = n: |xn+p − xn| > ε 2 10
Trang 11
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⇒ Dãy số trên không thỏa mãn điều kiện hội tụ của tiêu chuẩn Cauchy +) Kết luận: Dãy đã cho là dãy phân kì Ví dụ 11. (TN-K61) Xét sự hội tụ, phân kỳ của dãy số cos(1!) cos(2!) cos(n!) xn = + + ... + 22 32 (n + 1)2 Lời giải cos((n + 1)!) cos((n + 2)!) cos(n + p)!) +) Ta có: |xn+p − xn| = + + ... + (n + 2)2 (n + 3)2 (n + p + 1)2 1 1 1 < + + ... + (n + 2)2 (n + 3)2 (n + p + 1)2 1 1) 1 < + + ... + (n + 2)(n + 1) (n + 2)(n + 3) (n + p + 1)(n + p) 1 1 1 1 1 1 < − + − + ... + − n + 1 n + 2 n + 2 n + 3 n + p n + p + 1 p = (n + 1)(n + p + 1) p +) Mà lim = 0 n→∞ (n + 1)(n + p + 1) ⇒ ∀ϵ > 0,∃n0 ∈ N : |xn+p − xn| < ϵ,∀n > n0, p > 0 ⇒ Dãy số đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. Ví dụ 12. Xét sự hội tụ, phân kỳ của dãy số sin(1) sin(2) sin(n) xn = + + ... + 22 23 2n Lời giải sin(n + 1) sin(n + 2) sin(n + p) +) Ta có: |xn+p − xn| = + + ... + 2(n+2) 2n+3 2n+p+1 1 1 1 p < + + ... + < 2(n+2) 2n+3 2n+p+1 2n p +) Mà lim = 0 n→∞ 2n ⇒ ∀ϵ > 0,∃n0 ∈ N : |xn+p − xn| < ϵ,∀n > n0, p > 0 ⇒ Dãy số đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. III Giới hạn hàm số 1 Định nghĩa 1.1 Giới hạn hàm số Hai định nghĩa tương đương 11
Trang 12
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định nghĩa 15. Giả sử rằng hàm số f(x) được xác định tại mọi điểm x ∈ (a, b)\x0. Ta nói giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến x0 bằng L và viết lim f(x) = L nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số δ > 0 x→x0 sao cho với 0 < |x − x0| < δ thì |f(x) − L| < ϵ. Định nghĩa 16. lim f(x) = L ⇔ ∀{xn}, xn ̸= x0, lim xn = x0 thì lim f(xn) = L. x→x0 n→+∞ n→+∞ 1.2 Giới hạn trái, giới hạn phải Định nghĩa 17. Giới hạn trái Kí hiệu x → x− là x dần tới x nhưng luôn nhỏ hơn x . Ta nói A là giới hạn trái tại x nếu 0 0 0 0 lim f(x) = A. x→x− 0 Định nghĩa 18. Giới hạn phải Kí hiệu x → x+ là x dần tới x nhưng luôn lớn hơn x . Ta nói A là giới hạn phải tại x nếu 0 0 0 0 lim f(x) = A. x→x+ 0 Định lý 3. Điều kiện tồn tại giới hạn Một hàm số tồn tại giới hạn, khi giới hạn trái và giới hạn phải của chúng tồn tại và bằng nhau. ∃ lim f(x) = A ⇔ lim f(x) = lim f(x) = A x→x0 x→x+ x→x− 0 0 ( x + 1 (x ≥ 0) Ví dụ 13. Xét hàm f(x) = −x2 (x < 0) [Hướng dẫn giải] Ta có: lim f(x) = lim(x + 1) = 1, lim f(x) = lim(−x2) = 0 x→0+ x→0 x→0− x→0 Do đó lim f(x) ̸= lim f(x) nên không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 0. x→0+ x→0− 2 Các tính chất của giới hạn Tính chất 1. Tính duy nhất của giới hạn Giới hạn lim f(x), nếu tồn tại là duy nhất. x→x0 Tính chất 2. Giả sử lim f(x) = a, lim g(x) = b, ở đó a, b là các số thực hữu hạn. Khi đó : x→x0 x→x0 • Tổng: lim [f(x) + g(x)] = a + b x→x0 12
Trang 13
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập • Hiệu: lim [f(x) − g(x)] = a − b x→x0 • Tích : lim [c.f(x)] = c. lim f(x) x→x0 x→x0 lim [f(x)g(x)] = ab x→x0 • Thương: f(x) a lim = , nếu b ̸= 0 x→x0 g(x) b Nếu các giới hạn ở dạng vô định, những phép toán trên sẽ không thực hiện được. Các dạng vô định bao gồm: ∞ 0 ∞ 0 0 ∞ − ∞,0 × ∞, , ,1 ,0 ,∞ ∞ 0 Lưu ý 3. Một số cách khử dạng vô định • Sử dụng các phép biến đổi đại số (Nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử,...) • Sử dụng các giới hạn đặc biệt: sinx arcsinx tanx a) lim = 1 b) lim = 1 c) lim = 1 x→0 x x→0 x x→0 x arctanx ex − 1 ln(1 + x) d) lim = 1 e) lim = 1 f) lim = 1 x→0 x x→0 x x→0 x (1 + x)α − 1 g) lim(1 + x)1 = e h) lim = α, x x x→0 x→0 (α ∈ R) • Thay thế VCB, VCL tương đương; ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp. • Dùng quy tắc L’Hospital • Sử dụng khai triển Taylor, Maclaurin để tính giới hạn Trong tài liệu này sẽ tập trung trình bày 3 phương pháp đầu, 2 mục còn lại sẽ trình bày chi tiết trong các tài liệu sau. arctan 2x + 3 sinx 0 Ví dụ 14. Tính lim x→0 x 0 [Hướng dẫn giải] arctan 2x 2 arctan 2x Ta có: lim = lim = 2. x→0 x x→0 2x sinx lim = 1 x→0 x arctan 2x + 3 sinx arctan 2x 3 sinx → lim = lim + lim = 2 + 3 = 5 x→0 x x→0 x x→0 x 13
Trang 14
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ví dụ 15. Tính giới hạn của các hàm số sau, áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử: x100 − 2x + 1 (xn − an) − nan−1(x − a) a) lim b) lim x→1 x50 − 2x + 1 x→a (x − a)2 [Hướng dẫn giải] a) Ta áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử: T S = x100 − ... − x2 + x2 − 2x + 1 = (x − 1) x99 + x98 + x97 + ... + x2 + (x − 1)2 = (x − 1) x99 + x98 + ... + x2 + x − 1) Tương tự ta có: M S = (x − 1) (x49 + x48 + . . . + x2 + x − 1) Do đó T S/M S khi x → 1 có giá trị là 98/48 = 49/24 b) Khái quát hơn câu a TS = (x − a) (xn−1 + xn−2a + . . . + an−2 · x + an−1) − nan−1(x − a) MS = (x − a)2 ⇒ TS/MS khi x → 1 có giá trị là (n−1)n · an−2 2 Ví dụ 16. Áp dụng phương pháp nhân liên hợp, tính giới hạn √ lim 3 x3 + x2 − 1 − x x→+∞ [Hướng dẫn giải] Đây là dạng ∞ − ∞. Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp, sẽ có : √ x3 + x2 − 1 − x3 3 x3 + x2 − 1 − x = q √ 3 (x3 + x2 − 1)2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 Nên ta có : √ x2 − 1 1 lim 3 x3 + x2 − 1 − x = lim q √ = x→+∞ x→∞ 3 (x3 + x2 − 1)2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2 3 Định lý 4. Nguyên lý kẹp: Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) trong một lân cận nào đó của a và tồn tại các giới hạn lim f(x) = x→a lim h(x) = L. Khi đó tồn tại lim g(x), và x→a x→a lim f(x) = lim g(x) = lim h(x) = L x→a x→a x→a 14
Trang 15
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 3 Giới hạn của hàm hợp Định lý 5. Nếu có lim u(x) = uo, lim f(u) = f (uo) và có hàm hợp f(u(x)) thì: x→x0 u→uo lim f(u(x)) = f (u0) x→x0 Áp dụng: B(x) lim B(x) lnA(x) lim A(x) = ex→x0 x→x0 4 Định nghĩa Vô cùng bé, Vô cùng lớn Định nghĩa 19. - Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a ( a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim f(x) = 0. x→a - Hàm f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a (a hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim |f(x)| = +∞. x→a Lưu ý 4. Khi nói một hàm số là VCB hoặc VCL, cần nói rõ x dần tới đâu. Tính chất 3. a) Tổng, hiệu, tích của 2 VCB là một VCB 0 b) Tuy nhiên thương của hai VCB chưa chắc đã là một VCB, vì chúng thuộc dạng vô định . 0 5 So sánh các VCB, VCL 5.1 So sánh các VCB f(x) Định lý 6. Cho 2 vô cùng bé f(x), g(x) khi x → x0. Xét giới hạn lim = L: x→x0 g(x) • Nếu L = 0, ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi x → x0. Kí hiệu: f(x) = o(g(x))(x → x0) • Nếu L = k, k ̸= 0, ta nói f(x) và g(x) là 2 VCB cùng bậc khi x → x0. Đặc biệt, k = 1, ta nói f(x) và g(x) là 2 VCB tương đương khi x → x0. Kí hiệu: f(x) ∼ g(x)(x → x0) • Nếu L = ∞, ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) khi x → x0. Lưu ý 5. Một số VCB tương đương hay dùng khi x → 0 ax − 1 x ∼ sinx ∼ tanx ∼ arcsinx ∼ arctanx ∼ ex − 1 ∼ ∼ ln(1 + x) lna (1 + x)a − 1 ∼ ax Đặc biệt, √ αx m 1 + αx − 1 ∼ m 15
Trang 16
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập x2 1 − cosx ∼ 2 Ví dụ 17. Khi x → 0, ta có x2 + x là một VCB tương đương với x. Ta có x2 + x ∼ x khi x → 0 Ví dụ 18. So sánh các cặp vô cùng bé sau : a) a(x) = x + x2 và b(x) = ln(1 + x) khi x → 0 1 b) a(x) = tanx − sinx và b(x) = arctan(x2) khi x → 0 3 [Hướng dẫn giải] a) Khi x → 0: a(x) = x + x2 ∼ x b(x) = ln(1 + x) ∼ x Do đó a(x), b(x) là hai VCB cùng bậc b) Khi x → 0: 1 1 a(x) = tanx − sinx = tanx(1 − cosx) ∼ x. x2 = x3 2 2 1 1 b(x) = arctan(x2) ∼ x2 3 3 tanx − sinx 1x3 → lim = lim 2 = 0 x→0 1 arctan(x2) x→0 1x2 3 3 Do đó a(x) là VCB bậc cao hơn b(x). 5.2 So sánh các VCL f(x) Định lý 7. Cho 2 vô cùng lớn f(x), g(x) khi x → x0. Xét giới hạn lim = L: x→x0 g(x) • Nếu L = 0, ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x) khi x → x0. • Nếu L = k, k ̸= 0, ta nói f(x) và g(x) là 2 VCL cùng bậc khi x → x0. Đặc biệt, k = 1, ta nói f(x) và g(x) là 2 VCL tương đương khi x → x0. Kí hiệu: f(x) ∼ g(x)(x → x0) • Nếu L = ∞, ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x) khi x → x0. Ví dụ 19. Khi x → +∞, ta có x2 + x là một V CL tương đương với x2. 6 Quy tắc thay VCB,VCL tương đương Định lý 8. Nếu α1(x) ∼ α2(x), β1(x) ∼ β2(x) khi x → a thì: α1(x) α2(x) lim = lim , lim α1(x)γ(x) = lim α2(x)γ(x). x→a β1(x) x→a β2(x) x→a x→a sin(2x) Ví dụ 20. Tính lim . x→0 arctan(3x) [Hướng dẫn giải] 16
Trang 17
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập sin(2x) 2x 2 Khi x → 0, sin(2x) ∼ 2x, arctan(3x) ∼ 3x ⇒ lim = lim = x→0 arctan(3x) x→0 3x 3 Ví dụ 21. Áp dụng VCL VCB để giải bài tập tính giới hạn: √ √ √ √ m 1 + αx − k 1 + βx 0 n 1 + αx · n 1 + βx − 1 0 a) lim b) lim x→0 x 0 x→0 x 0 [Hướng dẫn giải] a) Ta có : √ √ √ √ m 1 + αx − n 1 + βx m 1 + αx − 1 n 1 + βx − 1 = − x x x Mà cũng có các VCB tương đương khi x → 0: √ α p β m 1 + αx − 1 ∼ x, n 1 + βx − 1 ∼ x m n Do đó nên suy ra được giới hạn cần tìm là : √ √ m 1 + αx − n 1 + βx α β lim = − x→0 x m n b) Ta có: √ √ √ √ m 1 + αx · n 1 + βx − 1 √ n 1 + βx − 1 m 1 + αx − 1 α β lim = lim m 1 + αx · + = + x→0 x x→0 x x m n Lưu ý 6. Không được thay thế tương đương trong tổng hoặc hiệu. 7 Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp Định lý 9. Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao Nếu α1(x) = o(α2(x)), β1(x) = o(β2(x)) khi x → a thì: α1(x) + α2(x) α2(x) α1(x) + α2(x) ∼ α2(x) và lim = lim . x→a β1(x) + β2(x) x→a β2(x) Định lý 10. Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp Nếu α1(x) là VCL bậc cao hơn α2(x) và β1(x) là VCL bậc cao hơn β2(x) khi x → a thì: α1(x) + α2(x) α1(x) α1(x) + α2(x) ∼ α1(x) và lim = lim x→a β1(x) + β2(x) x→a β1(x) ln(1 + sin(2x)) + x3 Ví dụ 22. Tính lim . x→0 arctan(3x) + x4 [Hướng dẫn giải] Khi x → 0, ta có: ln(1 + sin(2x)) ∼ sin(2x) ∼ 2x,ln(1 + sin(2x)) + x3 ∼ 2x 17
Trang 18
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập arctan(3x) ∼ 3x,arctan(3x) + x4 ∼ 3x ln(1 + sin(2x)) + x3 2x 2 ⇒ lim = lim = x→0 arctan(3x) + x4 x→0 3x 3 IV Hàm số liên tục 1 Định nghĩa Định nghĩa 20. Cho hàm số f(x) xác định trong (a;b), ta nói rằng f(x) liên tục tại x0 ∈ (a;b) nếu lim f(x) = f(x0) x→x0 Lưu ý 7. Điểm x0 nhất thiết phải thuộc miền xác định của f(x) Như vậy f(x) xác định liên tục trong khoảng (a;b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ (a;b) Định nghĩa 21. Liên tục một phía a) Liên tục trái: lim f(x) = f(x0) x→x− 0 b) Liên tục phải: lim f(x) = f(x0) x→x+ 0 2 Định lý Định lý 11. Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn i) Hàm số f(x) liên tục trên (a, b) nếu nó liên tục tại mọi x0 ∈ (a, b), ii) Hàm số f(x) liên tục trên [a, b] nếu nó liên tục tại mọi x0 ∈ (a, b), đồng thời liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Khi đó, nó a) bị chặn trên đoạn đó, tức là m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a, b]. b) đạt được GTLN, GTNN trên đó. Định lý 12. Liên tục từng khúc Ta nói hàm số f(x) liên tục từng khúc trên [a, b] nếu a) a = a0 < a1 < ... < an = b, b) f(x) liên tục trên mỗi khoảng (ai, ai+1), c) tồn tại lim f(x) và lim f(x) hữu hạn x→a+ x→a− i i+1 Định lý 13. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trong khoảng (a;b), khi đó: • f(x) ± g(x) liên tục trong khoảng (a;b) • f(x).g(x) liên tục trong khoảng (a;b) Đặc biệt : Cf(x) (C là hằng số) liên tục trong khoảng (a;b) f(x) • liên tục trong khoảng (a;b) trừ ra những điểm x làm g(x) = 0 g(x) 18
Trang 19
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Lưu ý 8. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các khoảng mà hàm số đó xác định. Như vậy: Các đa thức là các hàm số liên tục; phân thức hữu tỉ là các hàm số liên tục trừ các điểm làm cho đa thức mẫu số bằng 0; các hàm lượng giác liên tục trong miền xác định của nó. Ví dụ 23. Xác định giá trị của a để hàm số sau liên tục tại x = 0: 1 − cosx , nếu x ̸= 0 f(x) = x2 a, nếu x = 0 [Hướng dẫn giải] x x2 2 sin2 2. 1 − cosx 2 2 1 Ta có: lim = lim = lim = . x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2 2 1 − cosx Hàm số đã cho liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi lim = a. x→0 x2 1 Điều này tương đương với a = . 2 1 Vậy a = là giá trị cần tìm. 2 3 Tính chất của hàm liên tục Định lý 14. Nếu hàm u = φ(x) liên tục tại x0 , hàm y = f(u) liên tục tại u0 = φ(x0) thì hàm hợp y = (f ◦ u)(x) = f[φ(x)] liên tục tại x0. Định lý 15. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a;b] thì nó bị chặn trên đoạn đó, đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất; lấy mọi giá trị trung gian giữa các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất đó. Ta kí hiệu, giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá tị lớn nhất (GTLN) là min f = m; a≤x≤b max f = M a≤x≤b Từ đó có hệ quả: Lưu ý 9. Hệ quả Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì: a) Phương trình f(x) = 0 có nghiệm nếu f(a).f(b) < 0; b) Phương trình f(x) = k có nghiệm khi minf ≤ k ≤ maxf; [a,b] [a,b] c) Bất phương trình f(x) ≥ k có nghiệm thì maxf ≥ k; [a,b] d) Bất phương trình f(x) ≥ k có nghiệm ∀x ∈ [a;b] khi minf ≥ k [a,b] Định lý 16. Định lý giá trị trung gian Cho f : [a, b] → R là một hàm số liên tục. Khi đó f(x) nhận tất cả giá trị trung gian giữa f(a) và f(b). Nghĩa là, nếu f(a) ≤ f(b) thì ∀ c ∈ [f(a), f(b)],∃ α ∈ [a, b] : f(α) = c. 19
Trang 20
Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định lý 17. Định lý Cauchy Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì ∃ α ∈ (a, b) sao cho f(α) = 0. 4 Định nghĩa điểm gián đoạn của hàm số Định nghĩa 22. Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn tại điểm đó. Vậy x0 là điểm gián đoạn của f(x) nếu: (i) x0 không thuộc miền xác định của f(x) hoặc (ii) x0 thuộc miền xác định của f(x) nhưng lim f(x) ̸= f(x0) hay không tồn tại lim f(x) x→x0 x→x0 5 Phân loại điểm gián đoạn Định nghĩa 23. Điểm gián đoạn bỏ loại I Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số f nếu lim f(x), lim f(x) tồn tại hữu x→x0+ x→x0− hạn. Khi đó, nếu: - lim f(x) ̸= lim f(x) x→x0+ x→x0− Thì lim f(x) − lim f(x) được gọi là bước nhảy của f tại x0. x→x+ x→x− 0 0 - lim f(x) = lim f(x) x→x0+ x→x0− Thì x0 còn được gọi là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số. Định nghĩa 24. Điểm gián đoạn loại II Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số f nếu ít nhất một trong hai giới hạn lim f(x), lim f(x) không tồn tại hữu hạn hoặc không tồn tại. x→x+ x→x− 0 0 1 Ví dụ 24. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số y = arctan x [Hướng dẫn giải] +) Hàm số xác định khi x ̸= 0 → x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số. +) Xét các giới hạn: 1 π 1 1 π lim arctan = (vì x → 0+ ⇒ → +∞ ⇒ arctan → ) x→0+ x 2 x x 2 1 −π 1 1 −π lim arctan = (vì x → 0− ⇒ → −∞ ⇒ arctan → ) x→0− x 2 x x 2 1 1 +) Hai giới hạn trên hữu hạn, lim arctan ̸= lim arctan nên x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của x→0+ x x→0− x hàm số đã cho. Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số. 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!