Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập BÀI KIỂM TRA NGẮN MÔN GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài 1 - Giới thiệu chung sinx Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số sau: y = 1 − ex2−2x−3 ⃝ A. D = R\{−1,3, kπ(k ∈ N∗)} ⃝ C. D = R\{1,−3} ⃝ B. D = R\{−1,3, kπ (k ∈ N∗)} ⃝ D. D = R\{−1,3} 2 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] x ̸= −1 +) Điều kiện xác định: 1 − ex2−2x−3 ̸= 0 ⇔ x2 − 2x − 3 ̸= 0 ⇔ x ̸= 3 +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là: D = R\{−1,3} Câu 2. Hàm số nào sau đây xác định trên đoạn [1; 3]? √ … ⃝ A. −Åx2 + 3ãx − 2 x − 1 4 − x ⃝ C. ⃝ B. ln 3 − x x − 5 x − 1 ⃝ D. 4 − x Đáp án: D [Hướng dẫn giải] Yêu cầu bài toán tương đương với tập xác định phải chứa đoạn [1; 3]. √ +) −Åx2 + 3ãx − 2 : D = [1; 2] 4 − x +) ln : D = (4; 5) … x − 5 x − 1 +) : D = [1; 3) 3 − x x − 1 +) : D = [1; 4) 4 − x x − 1 Kết luận: Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 4 − x Câu 3. Tìm miền giá trị của hàm số y = sin(π cos 3x) 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ñ √ ô ⃝ A. [0; 1] 1 3 ⃝ C. ; ⃝ B. [−1; 1] 2 2 ⃝ D. [−1; 0] Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Tập xác định: D = R +) Ta có: −1 ≤ cos 3x ≤ 1 ⇒ −π ≤ π cos 3x ≤ π ⇒ −1 ≤ sin(π cos 3x) ≤ 1. +) Kết luận: Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là [−1; 1] Câu 4. Tìm miền giá trị của hàm số y = ln(3 sinx + 1) ⃝ A. (0; 4] ⃝ C. [−2; ln 4] ⃝ B. (0; ln 4] ⃝ D. (−∞,ln 4] Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Điều kiện xác định: 3 sinx + 1 > 0 +) Ta có: −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ −3 ≤ 3 sinx ≤ 3 ⇒ −2 ≤ 3 sinx + 1 ≤ 4 Do đó 0 < 3 sinx + 1 ≤ 4 ⇒ −∞ < ln(3 sinx + 1) ≤ ln 4. +) Kết luận: Vậy miền giá trị của hàm số là (−∞,ln 4] Câu 5. Hàm số nào dưới đây là hàm chẵn? ⃝ A. y = cosx ⃝ C. y = cosx + sin 2x ⃝ B. y = sin 2x ⃝ D. y = ex − 1 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] Nhận xét: +) y = cosx: hàm chẵn +) y = sin 2x: hàm lẻ +) y = cosx + sin 2x: hàm không chẵn, không lẻ +) y = ex − 1: hàm không chẵn, không lẻ Kết luận: Vậy hàm chẵn thỏa mãn đề bài là f(x) = cosx 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 6. Tìm hàm ngược của hàm số f(x) = ln(x + 2) ∀x > −2 ⃝ A. y = ex + 2 ⃝ C. y = ex − 2 ⃝ B. y = e2x ⃝ D. y = ex Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) Đặt y = ln(x + 2) ⇒ x + 2 = ey ⇔ x = ey − 2. +) Kết luận: Vậy hàm ngược cần tìm là y = ex − 2 Câu 7. Trong các nhận định sau, có bao nhiêu nhận định là đúng: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0): a) Nếu f(x) và g(x) là hàm chẵn thì tổng và tích của chúng là hàm chẵn b) Nếu f(x) và g(x) là hàm lẻ thì tổng của chúng là hàm lẻ, còn tích của chúng là hàm chẵn. c) Nếu f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn thì tích của chúng là hàm lẻ ⃝ A. 1 ⃝ C. 0 ⃝ B. 2 ⃝ D. 3 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] Gọi miền xác định của hai hàm số trên là D a) f(x) = f(−x) +) Ta có: f(x) và g(x) là hàm chẵn nên ∀ x ∈ D g(x) = g(−x) +) Gọi h(x) = f(x) + g(x) là hàm tổng của f(x) và g(x) k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x) h(x) = f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x) = h(−x) Khi đó: ∀ x ∈ D k(x) = f(x).g(x) = f(−x).g(−x) = k(−x) +) Kết luận: Hàm tổng và tích của f(x) và g(x) là hàm chẵn b) f(−x) = −f(x) +) Ta có: f(x) và g(x) là hàm lẻ nên ∀ x ∈ D g(−x) = −g(x) 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Gọi h(x) = f(x) + g(x) là hàm tổng của f(x) và g(x) k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x) h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) − g(x) = −h(x) Khi đó: ∀ x ∈ D k(−x) = f(−x).g(−x) = f(x).g(x) = k(x) +) Kết luận: Hàm tổng của f(x) và g(x) là hàm lẻ, hàm tích của f(x) và g(x) là hàm chẵn c) f(−x) = −f(x) +) Ta có: f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn nên ∀ x ∈ D g(x) = g(−x) +) Gọi k(x) = f(x).g(x) là hàm tích của f(x) và g(x) Khi đó: k(−x) = f(−x).g(−x) = −f(x).g(x) = −k(x) ∀ x ∈ D +) Kết luận: Hàm tích f(x) và g(x) là hàm lẻ. Câu 8. Tìm hàm ngược của hàm số y = x|x| khi y < 0 √ ⃝ A. y = x2 ⃝ C. y = x √ ⃝ B. y = −x2 ⃝ D. y = − −x Đáp án: D [Hướng dẫn giải] √ +) Ta có: y < 0 ⇒ x|x| < 0 ⇒ x < 0 ⇒ y = −x2 ⇒ x = − −y √ +) Kết luận: Vậy hàm ngược cần tìm là y = − −x với x < 0 2x + 5 1 Câu 9. Tìm hàm ngược của hàm số y = ∀x ̸= 3x − 1 3 x + 5 x + 5 ⃝ A. ⃝ C. −3x + 2 3x − 2 x + 5 x − 5 ⃝ B. ⃝ D. 3x + 2 3x − 2 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Ta có: 2x + 5 y = 3x − 1 ⇔ 3xy − y = 2x + 5 ⇔ x(3y − 2) = y + 5 y + 5 ⇔ x = 3y − 2 x + 5 +) Kết luận: Vậy hàm ngược cần tìm là y = 3x − 2 Câu 10. Tìm chu kỳ của hàm số: y = sin3 x π ⃝ C. π ⃝ A. 3 2π ⃝ B. ⃝ D. Đáp án khác 3 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Gọi T là chu kỳ cơ sở của sin3 x. +) Xét y(x) = y(x + T) ⇔ sin3 x = sin3(x + T) ⇔ sinx = sin(x + T) Để sinx = sin(x + T) ⇒ T = k2π(k ∈ Z) Vì T là chu kì cơ sở nên k = 1 và T = 2π. +) Kết luận: Vậy chu kì của hàm số đã cho là T = 2π. x Câu 11. Tìm chu kỳ của hàm số: y = 4 sin2 + sin(2x) 3 ⃝ A. π ⃝ C. 2π ⃝ B. 3π ⃝ D. 4π Đáp án: B [Hướng dẫn giải] ï Å ã ò Å ã x 2x 2x +) Ta có: y = 4 sin2 + sin(2x) = 2 1 − cos + sin 2x = 2 − 2 cos + sin 2x 3 3 3 Å ã 2x • Chu kỳ cơ sở của cos là T1 = 3π 3 • Chu kỳ cơ sở của sin 2x là T2 = π +) Kết luận: Vậy T = BCN N(T1, T2) = 3π 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Å ã 2πx Câu 12. Cho 2 hàm số f(x) = sin(2πx) và g(x) = cos √ . Hỏi hàm số h(x) = f(x) + g(x) có 3 tuần hoàn không? Nếu có thì tuần hoàn với chu kỳ là bao nhiêu? ⃝ A. 1 ⃝ C. 2 ⃝ B. Không tuần hoàn ⃝ D. 2π Đáp án: B [Hướng dẫn giải] Å ã 2πx +) Xét h(x) = f(x) + g(x) = sin(2πx) + cos √ : 3 • Chu kỳ cơ sở của sin(2πx) : T1 = 1 Å ã √ 2πx • Chu kỳ cơ sở của cos √ : T2 = 3 3 T1 1 ⇒ = √ vô tỉ. T2 3 +) Kết luận: Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. Câu 13. Tìm tập xác định hàm số y = arcsin (2x − 1) ⃝ A. [−1; 0] ⃝ C. [0; 1] ⃝ B. (−1; 0) ⃝ D. (0; 1) Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) Điều kiện xác định: −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 ⇔ D = [0; 1] +) Kết luận: Vậy tập xác định hàm số y = arcsin (2x − 1) là D = [0; 1] √ Å ã 4x − 1 Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số: y = 1 − 3x + 3 arcsin 3 ï ò ï ò 1 1 1 ⃝ A. − , ⃝ C. ,1 ï 2 3ò Å3 ò 1 1 ⃝ B. − ,1 ⃝ D. −∞, 2 3 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 − 3x ≥ 0 x ≤ −1 1 +) Điều kiện xác định: 4x − 1 ⇔ 3 ⇒ ≤ x ≤ −1 2 3 −1 ≤ ≤ 1 ≤ x ≤ 1 3 2 ï ò 1 1 +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là − ; 2 3 Ä ä Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số: y = arcsin ln(x1 ) 5 ï ò 1 ⃝ C. (0;e5] ⃝ A. ;e5 e5 ⃝ D. (0; +∞) ⃝ B. R Đáp án: A [Hướng dẫn giải] x1 > 0 x > 0 1 5 +) Điều kiện xác định: ⇒ 1 ⇒ ≤ x ≤ e5 −1 ≤ ln(x1 ) ≤ 1 ≤ x1 ≤ e e5 5 e 5 ï ò 1 +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ;e5 e5 x Câu 16. Tìm hàm ngược của hàm số sau: y = arctan 3 ⃝ A. 3 cotx ⃝ C. tan(x) 3 ⃝ B. 3 tanx ⃝ D. tan 3x Đáp án: B [Hướng dẫn giải] x x +) Từ y = arctan ⇒ tany = ⇒ x = 3 tany. 3 3 +) Kết luận: Vậy hàm ngược của hàm số đã cho là y = 3 tanx 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 2 - Dãy số Câu 17. Nhận định nào sau đây sai về các khái niệm dãy số: ⃝ A. Một dãy số có thể bị chặn trên, hoặc chặn dưới, hoặc bị chặn 2 phía ⃝ B. Một dãy số có thể tăng, hoặc giảm ⃝ C. Một dãy số có thể có nhiều giới hạn ⃝ D. Một dãy số có thể hội tụ, hoặc phân kì Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Theo tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn của một dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất nπ Câu 18. Nhận xét nào là đúng về dãy số xn = sin : 2 ⃝ A. lim xn = 0 ⃝ C. lim xn = −1 n→∞ n→∞ ⃝ B. lim xn = 1 ⃝ D. Dãy xn không có giới hạn n→∞ Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Chọn dãy số (an): ak = 2k, (bn): bm = 4m + 1 ∀m, k ∈ N. +) Nhận thấy: lim xa = 0 ̸= lim xb = 1. k→∞ k m→∞ m nπ +) Kết luận: Dãy xn = sin không có giới hạn. 2 2nπ Câu 19. Cho dãy số un = tan . Tính lim un 1 + 8n n→∞ √ ⃝ A. 0 ⃝ C. 3 √ 3 ⃝ B. 3 ⃝ D. 1 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] 2nπ 2π Ta có: lim tan = tan = 1 n→∞ 1 + 8n 8 nsin (n3 + n2 + n + 1) Câu 20. Tính giới hạn sau: I = lim ? n→∞ n2 + 1 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⃝ A. 0 ⃝ C. 1 ⃝ B. −1 ⃝ D. +∞ Đáp án: A [Hướng dẫn giải] nsin(n3 + n2 + n + 1) +) Xét I = lim n→∞ n2 + 1 +) Ta có: − 1 ≤ sin(n3 + n2 + n + 1) ≤ 1 −n n 3 2 n ≤ sin(n + n + n + 1) ≤ n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 −n n +) Mà lim = lim = 0 ⇒ I = 0 (Tiêu chuẩn kẹp). n→∞ n2 + 1 n→∞ n2 + 1 +) Kết luận: Vậy I = 0 Câu 21. Tính giới hạn của dãy số: lim (n2 + 1)1 n n→∞ ⃝ A. −∞ ⃝ C. 1 ⃝ B. +∞ ⃝ D.0 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Ta có giới hạn cần tính bằng với giới hạn: ln(n2 + 1) 2n lim lim n2 + 1 = I = en→∞ n = en→∞ e0 = 1 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 22. Trong ba dãy số cho dưới đây, có bao nhiêu dãy số hội tụ: n sinn + 3 √ √ un = , vn = , wn = n + 4 − n n2 + 1 n + 1 ⃝ A. 3 ⃝ C. 1 ⃝ B. 2 ⃝ D.0 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] n 1 +) Xét lim un = lim = lim = 0 n→∞ n→∞ n2 + 1 n→∞ n sinn + 3 4 4 +) Xét 0 < ≤ , mà lim = 0 n + 1 n + 1 n→∞ n + 1 sinn + 3 ⇒ lim vn = lim = 0 n→∞ n→∞ n + 1 4 +) Xét lim wn = lim √ √ = 0 n→∞ n→∞ n + 4 + n +) Kết luận: Vậy cả 3 dãy số trên đều hội tụ 1 1 1 Câu 23. Cho dãy un = + + ... + . Tính lim un n2 + 1 n2 + 2 n2 + n n→∞ ⃝ A. 1 ⃝ C. 0 ⃝ B. ∞ ⃝ D.2 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) Đặt L = lim un. Có n→∞ n • un ≤ n2 + 1 n • un ≥ n2 + n n n +) Mà lim = lim = 0 ⇒ L = 0 (tiêu chuẩn kẹp). n→∞ n2 + 1 n→∞ n2 + n +) Kết luận: Vậy lim un = 0 n→∞ 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 < x < 2 Câu 24. Cho dãy số 1 . Tìm lim x 1 n→∞ n x = x + 1 − x2 ∀n ∈ N∗ n+1 n 2 n √ ⃝ A. 0 ⃝ C. 2 3 ⃝ B. 1 ⃝ D. 2 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] 1 1 +) Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh: xn − < ∀n ≥ 3 2 2n 1 1 √ √ +) Ta có: xn+1 − = xn − 2 2 − 2 − xn 2 2 ! 1 1 √ √ √ 1 √ 1 1 ⇒ xn+1 − ≤ xn − 2 2 − xn + 2 − 2 2 < xn − 2 < . 2 2 2 2 2n+1 √ 1 √ 1 ⇒ Bất đẳng thức đúng ∀n ≥ 3 ⇒ xn − 2 < ⇒ xn − 2 < lim = 0 2n n→+∞ 2n √ √ ⇒ lim xn − 2 = 0 ⇒ lim xn = 2 n→+∞ n→+∞ √ +) Kết luận: lim xn = 2 n→+∞ Câu 25. Nhận định nào dưới đây là đúng: "Dãy số {an} được gọi là dãy số Cauchy nếu:" ⃝ A. Tồn tại ϵ > 0, với mọi N ∈ N thì |an − am| > ϵ với mọi m, n > N. ⃝ B. Tồn tại ϵ > 0, với mọi N ∈ N thì |an − am| < ϵ với mọi m, n > N. ⃝ C. Với mọi ϵ > 0, tồn tại N ∈ N sao cho |an − am| < ϵ với mọi m, n > N. ⃝ D. Với mọi ϵ > 0, tồn tại N ∈ N sao cho |an − am| > ϵ với mọi m, n > N. Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Theo định nghĩa dãy số Cauchy: "Dãy số {an} được gọi là dãy số Cauchy nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − am| < ϵ với mọi m, n > N" Câu 26. Nhận định nào dưới đây là sai: ⃝ A. Nếu 1 dãy số là dãy Cauchy thì dãy số đó hội tụ ⃝ B. Nếu 1 dãy số hội tụ thì nó là dãy Cauchy ⃝ C. Nếu 1 dãy số là dãy Cauchy thì không thể khẳng định dãy số đó hội tụ ⃝ D. Nếu 1 dãy số phân kỳ thì nó không phải dãy Cauchy 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Ta có định lý: "Dãy số {an} là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy số Cauchy." Câu 27. Nhận xét nào về dãy số sau đây là chính xác: cos(1!) cos(2!) cos(n!) xn = + + ... + 22 23 2n ⃝ A. xn hội tụ ⃝ C. xn vừa hội tụ vừa phân kỳ ⃝ B. xn phân kỳ ⃝ D. Không xác định Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) Ta có: cos(n + 1)! cos(n + 2)! cos(n + p)! 1 1 1 p |xn+p − xn| = + + ... + < + + ... + < 2(n+2) 2n+3 2n+p+1 2(n+2) 2n+3 2n+p+1 2n p +) Mà lim = 0 n→∞ 2n ⇒ ∀ϵ > 0,∃n0 ∈ N : |xn+p − xn| < ϵ,∀n > n0, p > 0 ⇒ Dãy số đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. Câu 28. Trong các dãy số dưới đây, có bao nhiêu dãy là dãy Cauchy? 1 (2n + 1)! √ √ un = n · en2+1 vn = wn = 3 n + 1 − 3 n [(n)!]2 ⃝ A. 3 ⃝ C. 1 ⃝ B. 2 ⃝ D. 0 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) Ta có: lim n · e 1 = lim n · 1 = +∞ n2+1 n→+∞ n→+∞ (2n + 1)! n! n + 1 n + 2 n + n vn = = · · · · · · (2n + 1) ≥ 2n + 1 ⇒ lim vn = +∞ (n!)2 n! 1 2 n n→+∞ √ √ 1 lim wn = lim ( 3 n + 1 − 3 n) = lim p = 0 n→+∞ n→+∞ n→+∞ (n + 1)2 + n2 + 3 n(n + 1) 3 3 +) Kết luận: Vậy có duy nhất 1 dãy Cauchy trong các dãy đã cho. 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 3 - Giới hạn hàm số Câu 29. Cho lim xα lnx = 0. Giá trị α thoả mãn x→0+ ⃝ A. α ≤ 0 ⃝ C. α ≥ 0 ⃝ B. α > 0 ⃝ D. α < 0 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] I = lim xα lnx x→0+ α = 0, I = lim lnx = −∞ ⇒ loại A, C x→0+ 1 α < 0, I = lim lnx = −∞ ⇒ loại D x→0+ x−α √ √ Câu 30. Tính giới hạn sau: lim sin x + 2 − sin x − 2 x→+∞ ⃝ A. 3 ⃝ C. 2 ⃝ B. 0 ⃝ D. 1 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] √ √ ! √ √ ! √ √ x + 2 + x − 2 x + 2 − x − 2 lim sin x + 2 − sin x − 2 = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ ! x + 2 + x − 2 4 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2 x + 2 + x − 2 √ √ ! x + 2 + x − 2 Do −1 ≤ cos ≤ 1 2 √ √ ! x + 2 + x − 2 4 4 ⇒ 2 cos sin √ √ ≤ 2 sin √ √ 2 2 x + 2 + x − 2 2 x + 2 + x − 2 4 Lại có: lim 2 sin √ √ = 2 sin 0 = 0 x→+∞ 2 x + 2 + x − 2 √ √ ! x + 2 + x − 2 4 ⇒ lim 2 cos sin √ √ = 0 x→+∞ 2 2 x + 2 + x − 2 Câu 31. Cho f(x), g(x), h(x) là các vô cùng bé thỏa mãn f(x) ∼ g(x) khi x → x0 . Khẳng định nào sau đây là sai? ⃝ A. f(x) + g(x) là vô cùng bé bậc cao hơn f(x) và g(x) khi x → x0. 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⃝ B. f(x) + g(x) − h(x) là vô cùng bé khi x → x0. ⃝ C. f(x) · g(x) là vô cùng bé bậc cao hơn f(x) và g(x) khi x → x0. ⃝ D. f(x) − g(x) là vô cùng bé bậc cao hơn f(x) và g(x) khi x → x0. [Hướng dẫn giải] f(x) Khi x → x0: f(x) ∼ g(x) ⇒ lim = 1. x→x0 g(x) Ta có: f(x), g(x) là các vô cùng bé khi x → x0 ⇒ f(x) + g(x) là vô cùng bé khi x → x0 g(x) lim = 1 f(x) + g(x) f(x) g(x) Ta có: x→x0 g(x) ⇒ lim = lim + lim = 1 + 1 = 2. f(x) x→x g(x) x→x g(x) x→x g(x) lim = 1 0 0 0 x→x0 g(x) ⇒ f(x) + g(x) là vô cùng bé cùng bậc với f(x), g(x) khi x → x0. Câu 32. Trong trường hợp nào α(x), β(x) là hai vô cùng bé tương đương? ⃝ A. α(x) = x3 + sin2 x, β(x) = ln(1 + arctan(x2)), khi x → 0 √ √ ⃝ B. α(x) = 3 x − x, β(x) = cosx − 1, khi x → 0+ p √ ⃝ C. α(x) = x + x, β(x) = esinx − cosx, khi x → 0+ √ √ ⃝ D. α(x) = 12( 3 cosx − cosx), β(x) = sin3 x, khi x → 0 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] Xét từng đáp án: A. Khi x → 0 : α(x) = x3 + sin2 x ∼ x2 ⇒ α(x), β(x) là hai vô cùng bé tương đương. β(x) = ln(1 + arctan(x2)) ∼ arctan(x2) ∼ x2 B. Khi x → 0+ : √ √ √ α(x) = 3 x − x ∼ 3 x x2 ⇒ α(x), β(x) không là hai vô cùng bé tương đương. β(x) = cosx − 1 ∼ − 2 C. Khi x → 0+ : p √ p√ α(x) = x + x ∼ x = x1 4 β(x) = esinx − cosx = (esinx − 1) + (1 − cosx) ∼ x ⇒ α(x), β(x) không là hai vô cùng bé tương đương. 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập D. Khi x → 0+ : p √ 1 −x2 3 cosx − 1 = 3 1 + (cosx − 1) − 1 ∼ .(cosx − 1) ∼ 3 6 √ √ p −1 x2 1 − cosx = −( cosx − 1) = −( 1 + (cosx − 1) − 1) ∼ .(cosx − 1) ∼ 2 4 √ √ √ √ α(x) = 12( 3 cosx − cosx) = 12[( 3 cosx − 1) + (1 − cosx)] ∼ x2 ⇒ β(x) = sin3 x ∼ x3, khi x → 0 ⇒ α(x), β(x) không là hai vô cùng bé tương đương. Câu 33. Cho α(x) = x2 + x, β(x) = ex − 1. Khi x → ∞, khẳng định nào dưới đây đúng ⃝ A. α(x) là VCL bậc cao hơn β(x) ⃝ C. β(x) là VCL bậc cao hơn α(x) ⃝ B. α(x) và β(x) là 2 VCB tương đương ⃝ D. α(x) và β(x) là 2 VCB cùng bậc Đáp án: C [Hướng dẫn giải] α(x) x2 + x 2x + 1 2 Xét lim = lim = lim = lim = 0 x→∞ β(x) x→∞ ex − 1 x→∞ ex x→∞ ex ⇒ β(x) là VCL bậc cao hơn α(x) e2x − 1 a a Câu 34. Cho lim = với a < b và phân số tối giản. Giá trị a + b là x→0 ln(1 − 3x) b b ⃝ A. 5 ⃝ C. −1 ⃝ B. −5 ⃝ D. 1 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] Khi x → 0: e2x − 1 ∼ 2x ln(1 − 3x) ∼ −3x e2x − 1 2x 2 Do đó: lim = lim = − ⇒ a = −2, b = 3 ⇒ a + b = 1 x→0 ln(1 − 3x) x→0 −3x 3 ln(1 + 4 sinx) a Câu 35. Cho lim = với a, b ∈ N∗. Giá trị a + b là x→0 3x − 1 lnb ⃝ A. 7 ⃝ C. 6 ⃝ B. 5 ⃝ D. 4 Đáp án: A 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập [Hướng dẫn giải] Khi x → 0: ln(1 + 4 sinx) ∼ 4 sinx ∼ 4x 3x − 1 ∼ xln 3 ln(1 + 4 sinx) 4 sinx 4x 4 a Do đó lim = lim = lim = = ⇒ a + b = 7 x→0 3x − 1 x→0 exln 3 − 1 x→0 xln 3 ln 3 lnb x − sinx Câu 36. Tính I = lim x→∞ x − arctanx ⃝ A. ∞ ⃝ C. 1 2 ⃝ B. 0 ⃝ D. 1 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] Khi x → ∞ : π − 1 ≤ sinx ≤ 1,arctanx → 2 =⇒ x − sinx ∼ x − arctanx =⇒ I = 1. ex − 1 Câu 37. Tính lim x→0 arctan 2x ⃝ A. 1 ⃝ C. 2 ⃝ B. 0 ⃝ D. 1/2 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] Khi x → 0 : ex − 1 ∼ x; arctan(2x) ∼ 2x. x 1 Nên I = lim = . x→0 2x 2 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập tan 2x − sin 2x a Câu 38. Giới hạn sau được cho bởi công thức lim = với a, b là các số nguyên dương x→0 [ln(1 + 3x)3] b a b và là phân số tối giản. Biểu thức √ nhận giá trị bằng b a2 + 11 √ √ ⃝ A. 3 ⃝ C. 3 3 ⃝ B. 27 ⃝ D. 1 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Khi x → 0: [ln(1 + 3x)3]3 ∼ 27x3 Å ã 1 1 − cos 2x 2 sin2 x 2x.2x2 tan 2x − sin 2x = sin 2x − 1 = sin 2x. = sin 2x. ∼ ∼ 4x3 cos 2x cos 2x cos 2x 1 tan 2x − sin 2x a 4 b √ Suy ra lim = = và √ = 3 3 x→0 [ln(1 + 3x)3] b 27 a2 + 11 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 4 - Hàm số liên tục Câu 39. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1. (a − x)1 , x > 1 3 f(x) = . arccosx, 0 < x ≤ 1 ⃝ A. 2 ⃝ C. 1 1 ⃝ B. 0 ⃝ D. 2 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] (a − x)1 , x > 1 3 +) Xét hàm số f(x) = . arccosx, 0 < x ≤ 1 +) Tại x = 1 −→ f(1) = 0 +) lim f(x) = (a − 1)1/3 x→1+ +) lim f(x) = arccos(1) = 0 x→1− +) Để hàm số f(x) liên tục tại x = 1 ⇔ (a − 1)1/3 = 0 ⇔ a = 1. Câu 40. Tìm a để hàm số liên tục tạix = 0 : sin 2x + tanx2 + xarcsinx , x ̸= 0 f(x) = arctan 3x + ln (1 + x2) a, x = 0 ⃝ A. a = 2 1 ⃝ C. a = 2 3 ⃝ B. a = ⃝ D. a = ±2 3 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] sin 2x ∼ 2x; tanx2 ∼ x2 +) Khi x → 0 : xarcsinx ∼ x2; arctan 3x ∼ 3x ln(1 + x2) ∼ x2; sin 2x + tan(x2) + xarcsinx ∼ 2x ⇒ arctan 3x + ln(1 + x2) ∼ 3x 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập sin 2x + tanx2 + xarcsinx 2x 2 2 ⇒ lim = lim = ⇒ a = x→0 arctan 3x + ln (1 + x2) x→0 3x 3 3 1 − cosax , x ̸= 0 Câu 41. Tìm tất cả số thực a để f(x) = x2 liên tục tại x = 0 2 , x = 0 ⃝ A. a = 2 ⃝ C. a = 1 ⃝ B. a = 4 ⃝ D. a = ±2 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Ta có: f(0) = 2 (ax)2 1 − cosax 2 a2 +) Mặt khác: lim f(x) = lim = lim = x→0 x→0 x2 x→0 x2 2 a2 ⇒ Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ = 2 ⇔ a = ±2. 2 1 − cosx , x ̸= 0 Câu 42. Tìm a để hàm số f(x) = x2 liên tục tại x = 0 a, x = 0 ⃝ A. 1 ⃝ C. −1 1 1 ⃝ B. ⃝ D. − 2 2 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Dễ thấy với ∀x ̸= 0 thì hàm số liên tục. +) Tại x = 0 ta có: 1 − cos(x) x2 1 +) lim f(x) = lim = lim = (Bởi 1 − cosx ∼ x2 , x → 0) x→0 x→0 x2 x→0 2x2 2 2 1 1 ⇒ Để hàm số liên tục tại x = 0 ⇒ f(0) = lim f(x) = ⇒ a = x→0 2 2 x Câu 43. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số f(x) = x3 − 2x2 + x − 2 ⃝ A. x = 2, loại 2 ⃝ C. x = 2, loại 1 ⃝ B. x = 1, loại 2 ⃝ D. x = 1, loại 1 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) x3 − 2x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2 x x +) lim = lim = +∞ x→2+ x3 − 2x2 + x − 2 x→2+ (x − 2)(x2 + 1) x x +) lim = lim = −∞ x→2− x3 − 2x2 + x − 2 x→2− (x − 2)(x2 + 1) +) Vậy x = 2 là điểm gián đoạn loại 2. Å ã 1 Câu 44. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số y = cot arctan x ⃝ A. x = 0, Điểm gián đoạn bỏ được ⃝ C. x = 0, Điểm gián đoạn loại 2 ⃝ B. x = 1, Điểm gián đoạn loại 1 ⃝ D. x = 1, Điểm gián đoạn loại 2 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) Điểm gián đoạn của hàm số làÅ x = 0ã 1 +) lim y = lim cot arctan = 0 (1) x→0+ x→0+ Å x ã 1 +) lim y = lim cot arctan = 0 (2) x→0− x→0− x Từ (1) và (2) ⇒ x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!