Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG MÔN GIẢI TÍCH 1 NHÓM NGÀNH 1 - KỲ 2025.1 CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.4. Dãy số, hàm số Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số: r 2x−1 a) 4 b) y = ln(tanx) 1+3x √ 2x c) y = 2 arccotx−π d) y = arcsin r 1+x x e) y = 3 f) y = arccos(cosh(x)−1) 1−sinh2 x Hướng dẫn chung Bước 1: Xét các hàm có điều kiện xác định trong hàm số. a √ Hàm số lna 2n a, n ∈ N∗ arcsina arccosa tana cota b ĐKXĐ a > 0 b ̸= 0 a ≥ 0 a ∈ [−1; 1] a ∈ [−1; 1] cosa ̸= 0 sina ̸= 0 Bước 2: Viết tất cả điều kiện thành một hệ bất đẳng thức / loại trừ. Bước 3: Giải hệ bất đẳng thức, rút ra điều kiện rồi kết luận. Chú ý: Kiểm tra kĩ ở các giá trị biên xem có thực sự tồn tại không. Hướng dẫn giải r 2x−1 a) 4 1+3x 2x−1 1 ≥ 0 2x−1 ≥ 0, 1+3x > 0 x ≥ +) ĐKXD: 1+3x ⇔ ⇔ 2 1 1+3x ̸= 0 2x−1 ≤ 0, 1+3x < 0 x < − 3 1 1 +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:D = −∞,− ∪ ,+∞ 3 2 b) y = ln(tanx) ( tanx > 0 π +) ĐKXĐ: ⇔ kπ < x < +kπ (k ∈ Z) ( sử dụng đường tròn lượng giác ) cosx ̸= 0 2 π +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là: D = kπ; +kπ (k ∈ Z) 2 √ c) y = 2 arccotx−π — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập π +) ĐKXĐ: 2 arccotx−π ≥ 0 ⇔ arccotx ≥ ⇔ x ≤ 0 ( dựa vào bảng biến thiên hàm arccotx ) 2 +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là: D = (−∞,0] 2x d) y = arcsin 1+x 2x x ̸= −1 −1 ≤ ≤ 1 +) ĐKXĐ: 1+x ⇔ −1 1+x ̸= 0 ≤ x ≤ 1 3 " # −1 +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:D = ,1 3 r x e) y = 3 1−sinh2 x +) ĐKXD: 1−sinh2 x ̸= 0 ⇔ sinh2 x ̸= 1 ⇔ sinhx ̸= ±1 ex −e−x +)sinhx = 1 ⇔ = 1 (Do ex > 0 ∀x ∈ R) 2 ⇔ e2x −2ex −1 = 0 √ ⇔ ex = 1+ 2 √ ⇔ x = ln(1+ 2) ex −e−x +)sinhx = −1 ⇔ = −1 (Do ex > 0 ∀x ∈ R) 2 ⇔ e2x +2ex −1 = 0 √ ⇔ ex = 2−1 √ ⇔ x = −ln(1+ 2). √ √ +) Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R\ {ln(1+ 2),−ln(1+ 2)} f) y = arccos(cosh(x)−1) +) ĐKXD: −1 ≤ cosh(x)−1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cosh(x) ≤ 2 ex +e−x +) Ta biết rằng cosh(x) = ≥ 1 với mọi x ∈ R ⇒ cosh(x) ≥ 0 luôn đúng. 2 ex +e−x +) Xét cosh(x) ≤ 2 ⇔ ≤ 2 2 ⇔ ex +e−x −4 ≤ 0 ⇔ (ex)2 −4ex +1 ≤ 0 √ √ ⇔ 2− 3 ≤ ex ≤ 2+ 3 √ √ ⇔ ln(2− 3) ≤ x ≤ ln(2+ 3) h √ √ i +) Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là: D = −ln(2+ 3),ln(2+ 3) — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sinh(−x) = −sinh(x) b) sinh(x+y) = sinh(x)cosh(y) +cosh(x)sinh(y) c) cosh(x+y) = cosh(x)cosh(y) +sinh(x)sinh(y) d) sinh 2x = 2 sinhxcosh(x) e) cosh2 x−sinh2 x = 1 f) cosh 2x = cosh2 x+sinh2 x Hướng dẫn giải Nhận xét: Đây là dạng chứng minh đẳng thức dựa trên 2 công thức nền tảng: ex −e−x ex +e−x sinh(x) = , cosh(x) = . 2 2 ex −e−x sinh(x) = a) sinh(−x) = −sinh(x) Ta có: 2 ⇒ sinh(−x) = −sinh(x) e−x −ex sinh(−x) = 2 b) sinh(x+y) = sinh(x)cosh(y) +cosh(x)sinh(y) ex −e−x ey +e−y ex +e−x ey −e−y V P = . + . 2 2 2 2 1 1 = ex+y +ex−y −e−x+y −e−x−y + ex+y −ex−y +e−x+y −e−x−y 4 4 ex+y −e−(x+y) = = sinh(x+y) 2 c) cosh(x+y) = cosh(x)cosh(y) +sinh(x)sinh(y) ex +e−x ey +e−y ex −e−x ey −e−y V P = . + . 2 2 2 2 1 1 = ex+y +ex−y +e−x+y +e−x−y + ex+y −ex−y −e−x+y +e−x−y 4 4 ex+y +e−(x+y) = = cosh(x+y) 2 d) sinh 2x = 2 sinhxcosh(x) ex −e−x ex +e−x e2x −e−2x +) Ta có: V P = 2 sinhxcosh(x) = 2. . = = sinh 2x 2 2 2 e) cosh2 x−sinh2 x = 1 2 2 ex +e−x ex −e−x 1 +) Ta có: V T = − = (2+2) = 1 2 2 4 f) cosh 2x = cosh2 x+sinh2 x 2 2 ex +e−x ex −e−x 2e2x +2e−2x +) Ta có: V P = + = = cosh(2x) 2 2 4 — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 3. Tìm miền giá trị của các hàm số sau: a) y = coshx d) y = arcsin(lnx) b) y = sinh(sinx) e) y = arccot(sinx) c) y = log(1−2 cosx) f) y = arctan(ex) Hướng dẫn chung Nhận xét: thường các bài toán sẽ cho ở dạng hàm hợp Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tìm khoảng giá trị của đối số (hàm bên trong). Bước 3: Lấy ánh xạ khoảng giá trị vừa tìm được ra hàm ngoài ⇒ khoảng giá trị của toàn bộ hàm rồi kết luận. *** Thường ở những bài đầu chưa sử dụng đạo hàm để xác định biến thiên mà chỉ sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của các hàm có sẵn để biện luận. Chú ý: Viết tập giá trị chính xác bằng khoảng, đoạn, hoặc hợp khoảng. Kiểm tra kĩ xem biên có lấy giá trị được không. Hướng dẫn giải a) y = coshx +) Ta có: D = R. Với mọi x ∈ D ⇒ 1 ≤ coshx +) Kết luận : Vậy tập giá trị của y là: [1;+∞) b) y = sinh(sinx) e−e−1 e−e−1 +) Ta có: D = R. Với mọi x ∈ D ⇒ −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ − ≤ sinh(sinx) ≤ 2 2 e−e−1 e−e−1 +) Kết luận : Vậy tập giá trị của y là: − ; 2 2 c) y = log(1−2 cosx) +) ĐKXĐ: 1−2 cosx > 0 +) Với mọi x thuộc tập xác định, ta có: 0 < 1−2 cosx ≤ 3 ⇒ log(1−2 cosx) ≤ log 3 +) Kết luận : Vậy tập giá trị của y là: −∞,log 3 d) y = arcsin(lnx) ( x > 0 1 +) ĐKXĐ: ⇒ ≤ x ≤ e −1 ≤ lnx ≤ 1 e π π +) Với mọi x thuộc tập xác định, ta có: −1 ≤ lnx ≤ 1 ⇒ − ≤ arcsin(lnx) ≤ 2 2 — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập −π π +) Kết luận : Vậy tập giá trị của y là: , 2 2 e) y = arccot(sinx) π 3π +) Ta có: D = R. Với mọi x ∈ D ⇒ −1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ arccot(1) ≤ y ≤ arccot(−1) ⇒ ≤ y ≤ 4 4 π 3π +) Kết luận : Vậy tập giá trị của y là: ; 4 4 f) y = arctan(ex) x π +) Ta có: D = R. Với mọi x ∈ D ⇒ e > 0 ⇒ 0 < y < 2 π +) Kết luận : Vậy tập giá trị của y là: 0, 2 Câu 4. Từ ngày 10/5/2025, Tập đoàn Điện lực Việt Nam áp dụng biểu giá bán lẻ điện sinh hoạt theo 6 bậc như bảng dưới đây: Bậc Số điện (kWh) Giá điện (đồng/kWh) Bậc 1 0 – 50 1 984 Bậc 2 51 – 100 2 050 Bậc 3 101 – 200 2 380 Bậc 4 201 – 300 2 998 Bậc 5 301 – 400 3 350 Bậc 6 401 trở lên 3 460 a) Một hộ gia đình tiêu thụ 355 số điện trong một tháng thì số tiền điện phải trả là bao nhiêu? b) Với x là mức tiêu thụ điện của hộ gia đình (kWh), hãy viết hàm số f(x) biểu diễn giá tiền điện phải trả của hộ gia đình đó (đơn vị: đồng). Hướng dẫn giải a) Tiền điện mà hộ gia đình phải trả là: A = 50·1984+50·2050+100·2380+100·2998+55·3350 = 923750đồng b) Hàm số f(x) biểu diễn giá tiền điện phải trả của hộ gia đình đó là 1.984x nếu 0 ≤ x ≤ 50 99.200+2.050(x−50) nếu 50 < x ≤ 100 201.700+2.380(x−100) nếu 100 < x ≤ 200 f(x) = 439.700+2.998(x−200) nếu 200 < x ≤ 300 739.500+3.350(x−300) nếu 300 < x ≤ 400 1.074.500+3.460(x−400) nếu x > 400 — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 5. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: a. f(x) = ax +a−x, (a > 0) c. f(x) = sinx+cosx p b. f(x) = ln(x+ 1+x2) d. f(x) = arcsin(tanx) Hướng dẫn chung Nhắc lại lí thuyết: • Hàm số chẵn: với mọi x ∈ D, −x ∈ D và f(−x) = f(x) với mọi x. • Hàm số lẻ: với mọi x ∈ D, −x ∈ D và f(−x) = −f(x) với mọi x. Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số và nhận xét: nếu D không đối xứng thì kết luận ngay hàm không chẵn cũng không lẻ. Bước 2: Xét giá trị của hai biểu thức: • Nếu f(x)− f(−x) = 0 với mọi x ∈ D ⇒ hàm chẵn. • Nếu f(x) + f(−x) = 0 với mọi x ∈ D ⇒ hàm lẻ. • Các trường hợp còn lại là hàm số không chẵn, không lẻ. Bước 3: Kết luận. Hướng dẫn giải a. f(x) = ax +a−x, (a > 0) +) Có D = R ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D +) Xét f(−x) = a−x +ax = f(x),∀x ∈ D +) Kết luận: Vậy f(x) là hàm chẵn p b. f(x) = ln(x+ 1+x2) p +) Ta có: x+ 1+x2 > 0, ∀x ∈ R ⇒ D = R ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D p p 1 +) Xét f(−x) = ln(−x+ 1+x2) = ln √ = −ln(x+ 1+x2) = −f(x),∀x ∈ R x+ 1+x2 +) Kết luận: Vậy f(x) là hàm lẻ c. f(x) = sinx+cosx +) Có D = R ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D √ 2π 3 1 f = − −2π 2π +) Xét 3 2 √ 2 ⇒ f ̸= ±f −2π − 3 1 3 3 f = − 3 3 2 +) Kết luận: Vậy f(x) không chẵn không lẻ — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập d. f(x) = arcsin(tanx) −π π +) ĐKXĐ: −1 ≤ tanx ≤ 1 ⇒ +kπ ≤ x ≤ +kπ,k ∈ Z 4 4 ⇒ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D +) Xét f(−x) = arcsin(tan(−x)) = arcsin(−tan(x)) = −arcsin(tanx) = −f(x) +) Kết luận:Vậy f(x) là hàm lẻ. x+1 2x Câu 6. Cho hàm số f(x) = và hàm số g(x) = . x−1 x+2 a) Tính f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)). b) Tìm hàm số h(x) sao cho f(h(x)) = g(x). Hướng dẫn giải x+1 x+1+x−1 2x x+1 +1 a) +) Ta có : f(f(x)) = f = x−1 = x−1 = x−1 = x. x−1 x+1 x+1−(x−1) 2 −1 x−1 x−1 x−1 2x 4x 4x 2x 2· 4x x +) Ta có : g(g(x)) = g = x+2 = x+2 = x+2 = = . x+2 2x 2x+2(x+2) 4x+4 4x+4 x+1 +2 x+2 x+2 x+2 2x 2x+x+2 3x+2 2x +1 3x+2 +) Ta có : f(g(x)) = f = x+2 = x+2 = x+2 = . x+2 2x 2x−(x+2) x−2 x−2 −1 x+2 x+2 x+2 h(x) +1 2x b) +) Ta có : f(h(x)) = g(x) ⇔ = . ( Xem h(x) là ẩn, x là tham số ) h(x)−1 x+2 +) Khi đó: (h(x) +1)(x+2) = 2x(h(x)−1) ⇔ xh(x) +x+2h(x) +2 = 2xh(x)−2x ⇔ h(x)(x+2−2x) = −2x−2−x ⇔ h(x)(2−x) = −3x−2 3x+2 ⇔ h(x) = . x−2 3x+2 +) Kết luận : Vậy hàm số cần tìm là h(x) = . x−2 Câu 7. Tìm hàm ngược của các hàm số sau: a) f : [π,2π] → [−1,1], f(x) = cosx b) y = 2 arcsinx 1−x c) y = d) y = sinhx 1+x [Hướng dẫn chung] — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập - Bài toán yêu cầu ta tìm hàm ngược, tức ta sẽ coi x là hàm số, y là ẩn rồi giải x theo y. - Ta có thể giải theo các bước sau: • Bước 1: Tìm điều kiện xác định. • Bước 2: – Nhận dạng hàm số có thể áp dụng các công thức hàm ngược lượng giác không. – Nếu không ta sẽ phải đi biến đổi hàm số (tuỳ dạng bài) hoặc giải phương trình biến x với ẩn y để suy ra hàm số x theo y. • Bước 3: Kết luận. [Hướng dẫn giải] a) Xét f : [π,2π] → [−1,1], f(x) = cosx. Trên [π,2π], hàm cosx đồng biến (vì đạo hàm −sinx ≥ 0 trên khoảng này). Giải y = cosx với x ∈ [π,2π]: x = 2π −arccosy, y ∈ [−1,1] Kiểm tra: • Khi y = −1: arccos(−1) = π ⇒ x = 2π −π = π. • Khi y = 1: arccos(1) = 0 ⇒ x = 2π −0 = 2π. Vậy: f−1(y) = 2π −arccosy b) y = 2 arcsinx Điều kiện: x ∈ [−1,1], y ∈ [−π,π]. y y Giải: y = 2 arcsinx ⇐⇒ arcsinx = ⇐⇒ x = sin y 2 2 Vậy: f−1(y) = sin , y ∈ [−π,π] 2 1−x c) y = 1+x Điều kiện: x ̸= −1, y ̸= −1. Giải: y(1+x) = 1−x ⇔ y+yx = 1−x ⇔ yx+x = 1−y ⇔ x(1+y) = 1−y 1−y ⇔ x = 1+y −1 1−y Vậy: f (y) = , y ̸= −1 1+y d) y = sinhx ex −e−x Ta có: y = 2 — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Đặt t = ex > 0, ta có: t − 1 t2 −1 y = t = 2 2t ⇔ 2ty = t2 −1 ⇔ t2 −2yt −1 = 0 p 2y± 4y2 +4 p ⇔ t = = y± y2 +1 2 p p Chọn nghiệm dương: t = y+ y2 +1 (vì y− y2 +1 < 0 khi y ∈ R). p p Do đó ex = y+ y2 +1 ⇒ x = ln y+ y2 +1 p Kết luận: f−1(y) = ln y+ y2 +1 , y ∈ R Câu 8. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ (nếu có) của các hàm số sau: a) f(x) = arccos(sinx) b) f(x) = cos(arcsinx) 2 sin 2x c) f(x) = cos x d) f(x) = √ 2 cosx e) f(x) = 2 sinx+sin 2x f) f(x) = sin(x2) Hướng dẫn chung - Bài toán yêu cầu xét tình tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số ( ở đây là các hàm số lượng giác): - Ta có thể giải theo các bước tổng quát như sau : *** Chú ý : dưới đây là bài toán tổng quát, tuy nhiên 1 số bài có thể làm theo các hướng khác giúp tiết kiệm thời lượng, không nhất thiết phải làm theo thứ tự dưới đây. • Bước 1: Giả sử ta coi hàm số là tuần hoàn, như vậy sẽ tồn T0 nào đó thỏa mãn đẳng thức : f(x) = f(x+T0) với mọi x ∈ D ( 1 ). • Bước 2: Ta tiến hành tìm T0 ở phương trình ( 1 ) thỏa mãn điều kiện. – Nếu tồn tại ít nhất 1 giá trị thỏa mãn. Ta kiểm tra lại điều kiện và kết luận hàm số tuần hoàn và chuyển sang bước 3. – Nếu không tồn tại. Ta kết luận hàm số không tuần hoàn. *** Việc giải tìm T0 thường khá phức tạp, tuy nhiên sẽ có 1 hướng hay gặp. Ta sẽ tách phương trình g(x,T0) = A(x).B(T0) với g(x,T0) = f(x)− f(x+T0) khi này T0 cần tìm chính là nghiệm phương trình B(T0) = 0. ) • Bước 3: Trong tất cả giá trị T0 tìm được chọn T = T0 nhận giá trị dương nhỏ nhất. → Ta thu được chu kỳ cần tìm. • Bước 4: Kết luận và kết thúc bài toán. Hướng dẫn giải a) f(x) = arccos(sinx) TXĐ: D = R +) ∀x ∈ D : f(x+2π) = arccos(sin(x+2π)) = arccos(sinx) — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⇒ f(x) là hàm tuần hoàn. +) Ta sẽ chứng minh T = 2π là chu kỳ cơ sở. 2π Giả sử tồn tại T1 < T sao cho f(x+T1) = f(x) ⇒ T1 = ,k1 ∈ N k1 Xét tại điểm x = 0, ta có f(0+T1) = f(0) 2π π ⇒ arccos sin = arccos(sin 0) = k1 2 2π 2π ⇒ sin = 0 ⇒ = k2π (k2 ∈ Z) k1 k1 ⇒ k1k2 = 2 ⇒ k1 = 1 hoặc k = 2 +) Nếu k = 1 ⇒ T1 = 2π = T +) Nếu k = 2 ⇒ T1 = π Tuy nhiên arccos(sin(x+π)) = arccos(−sin(x)) ̸= arccos(sin(x)) (không thoả mãn) +) Kết luận: Vậy f(x) là hàm tuần hoàn, T = 2π là chu kỳ cơ sở. b) f(x) = cos(arcsinx) TXĐ: D = [−1; 1] +) Giả sử hàm này có tính tuần hoàn, tồn tại T > 0 sao cho f(x+T) = f(x), ∀x ∈ D. +) Xét tại x = 1, (1+T) ∈/ D ⇒ không tồn tại f(1+T) → không thể thoả mãn f(x+T) = f(x) ∀x ∈ D. +) Kết luận: Vậy hàm f(x) không tuần hoàn. c) f(x) = cos2 x 2 cos 2x+1 +) Ta có: f(x) = cos x = 2 cos 2x+1 cos(2x+2π) +1 cos 2(x+π) +1 +) Dễ thấy: f(x) = = = = f(x+π) 2 2 2 +) Vậy f(x) tuần hoàn với chu kỳ T = π +) Ta sẽ chứng minh T = π là chu kỳ cơ sở của f(x) +) Giả sử tồn tại T1 sao cho 0 < T1 < T và f(x) = f(x+T1) cos 2x+1 cos 2(x+T1) +1 ⇒ = 2 2 ⇒ cos 2 x = cos 2(x+T1) (1) +) Tại (1) cho x = 0 ta được: cos 2T = 1 ⇒ 2T = k2π ⇒ T = kπ,(k ∈ N∗) 1 1 1 Do 0 < T1 < T nên không tồn tại T1 +) Kết luận: Vậy f(x) hàm tuần hoàn T = π là chu kỳ cơ sở sin 2x π d) f(x) = √ TXĐ: D = 2kπ; +2kπ (k ∈ Z) 2 cosx 2 — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập sin 2(x+2π) sin 2x +) ∀x ∈ D ta có : f(x+2π) = p = √ = f(x). 2 cos(x+2π) 2 cosx ⇒ f(x) là hàm tuần hoàn. +) Ta có T = 2π là một chu kỳ, và ta sẽ chưng minh T = 2π là chu kỳ cơ sở. 2π ∗ Giả sử tồn tại T1 < T sao cho f(x+T1) = f(x) ⇒ T1 = ,k ∈ N . k1 4π sin 4π sin = 0 +) Xét tại x = 0, ta có f(0+T ) = f(0) = 0 ⇒ s k1 = 0 ⇒ k1 1 2π 2π cos > 0 2 cos k1 k1 4π ⇒ = k2π,k2 ∈ Z. k1 ⇒ k1k2 = 4 ⇒ k1 ∈ {1,2,4} 2π +) Nếu k1 = 2 ⇒ cos = −1 < 0 ( không thoả mãn ) 2 2π +) Nếu k1 = 4,cos = 0 (không thoả mãn.) 4 +) Khi k1 = 1 thì T1 = 2π = T +)Kết luận: Vậy f(x) là hàm tuần hoàn, T = 2π là chu kỳ cơ sở. e) f(x) = 2 sin(x) +sin(2x) +) sin(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T1 = 2π +) sin(2x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T2 = π +) Như vậy f(x) = 2 sin(x) +sin(2x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π f) f(x) = sinx2 +) Giả sử hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ T > 0: ⇒ sinx2 = sin(x+T)2 ∀x ∈ R (1) √ √ +) Tại (1) cho x = π ta được: sin( π +T)2 = 0 √ ⇒ ( π +T)2 = lπ (l ∈ N∗) √ √ ⇒ ( π + kπ)2 = lπ ⇒ k là số chính phương do l ∈ N∗ √ +) Đặt k = h2,(h ∈ N∗) ⇒ T = h π r r π π 2 +) Tại (1) cho x = ta được: sin +T = 1 2 2 r π 2 π ∗ ⇒ +T = +2mπ (m ∈ N ) 2 2 r π √ 2 π ⇒ +h π = +2mπ 2 2 — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập π 2hπ 2 π ⇒ + √ +h π = +2mπ 2 2 2 √ ⇒ 2m = h2 + 2h vô lý do m ∈ N∗ +) Kết luận: Vậy hàm số f(x) không tuần hoàn. Câu 9. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn(nếu có) của các dãy số với số hạng tổng quát un như sau: p 1 1 1 a) un = n− n2 −n b) un = + +...+ 1.2 2.3 (n−1)n sin2 n−cos3 n n+cosn c) un = d) un = n n2 +sin(n2) 2n ncos(nπ) e) un = f) un = n2 n+1 Hướng dẫn chung - Bài toàn yêu cầu xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số (nếu có), vậy ở đây ta có thể đưa bài toán về bài toán tìm giới hạn của dãy số: • Nếu dãy số có giới hạn hữu hạn, ta kết luận dãy số hội tụ và có giới hạn. • Nếu dãy số không có giới hạn hoặc giới hạn không hữu hạn (vô cùng) thì ta kết luận dãy số phân kỳ và không có giới hạn. - Để tìm giới hạn dãy số, ta có những cách sau: n n 1 • Sử dụng các dạng giới hạn đặc biệt khi n → +∞ như: q = 0(|q| < 1),q = ∞(|q| > 1), = 0(k > nk 0),nk = ∞(k > 0). ∞ • Nếu ta nhận thấy giới hạn đang ở dạng vô định như ,∞−∞,0.∞ thì ta khử vô định và đưa về các ∞ giới hạn có thể tính được. • Sử dụng nguyên lí kẹp để tính giới hạn. • Chứng minh dãy số không tồn tại giới hạn: Ta chứng minh n tiến tới vô cùng theo 2 cách khác nhau và cho ra 2 giới hạn khác nhau. Hướng dẫn giải p a) un = n− n2 −n p n 1 1 +) Ta có: lim un = lim n− n2 −n = lim √ = lim r = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n+ n2 −n n→+∞ 1 2 1+ 1− n ⇒ Dãy un hội tụ 1 +) Kết luận: Dãy số đã cho hội tụ và giới hạn bằng 2 1 1 1 b) un = + +...+ 1.2 2.3 (n−1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +) Ta có: un = + +...+ = − + − +...+ − = 1− 1.2 2.3 (n−1)n 1 2 2 3 n−1 n n — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 ⇒ lim xn = lim 1− = 1−0 = 1 n→+∞ n→+∞ n ⇒ Dãy un hội tụ +) Kết luận: Dãy số đã cho hội tụ và giới hạn bằng 1 sin2 n−cos3 n c) un = n 2 3 2 3 −1 2 +) Ta thấy: Do 0 ≤ sin n ≤ 1,−1 ≤ cos n ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin n−cos n ≤ 2 ⇒ ≤ un ≤ n n −1 lim = 0 n→+∞ n +) Lại có: ⇒ lim un = 0 theo tiêu chuẩn kẹp. 2 n→+∞ lim = 0 n→+∞ n ⇒ Dãy un hội tụ +) Kết luận: Dãy số đã cho hội tụ và giới hạn bằng 0 n+cosn d) un = n2 +sin(n2) n+cosn n+1 +) Ta có: 0 ≤ |un| = ≤ n2 +sin(n2) n2 −1 n+1 Mà lim = 0. Theo nguyên lý kẹp lim un = 0. ⇒ Dãy un hội tụ n→+∞ n2 −1 n→+∞ +) Kết luận: Dãy số đã cho hội tụ và giới hạn bằng 0 2n e) un = n2 +) Dễ thấy tốc độ tăng của 2n lớn hơn rất nhiều so với n2 ⇒ Dãy un phân kỳ +) Kết luận: Dãy số đã cho phân kỳ ncos(nπ) n·(−1)n (−1)n f) un = un = = n+1 n+1 1+ 1 n −1 +) Nếu n lẻ : un = lim un = −1 (1) 1+ 1 n→+∞ n 1 +) Nếu n chẵn : un = lim un = 1 (2) 1+ 1 n→+∞ n Từ (1),(2) suy ra dãy un không hội tụ. +) Kết luận: Dãy số đã cho phân kỳ — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1.5-1.6. Giới hạn hàm số Câu 10. Tính giới hạn limx2 bằng định nghĩa. x→1 Hướng dẫn giải - Để tính giới hạn limx2 bằng định nghĩa ε −δ, ta cần chứng minh rằng: x→1 Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu 0 < |x−1| < δ, thì |x2 −1| < ε. +) Ta có: |x2 −1| = |(x−1)(x+1)| = |x−1| · |x+1| < δ(δ +2) < ε √ ⇒ δ2 +2δ < ε ⇒ δ < 1+ε −1 √ 1+ε −1 2 +) Kết luận: Với mọi ε > 0, chọn δ = . Khi 0 < |x−1| < δ, ta có: |x −1| < ε. 2 Do đó, theo định nghĩa: limx2 = 1. x→1 Câu 11. Tìm các giới hạn sau: 1√ 1 √ m 1+αx−1 a) lim 1+x− d) lim , (m ∈ N∗, α ̸= 0) x→0 x x x→0 x p b) lim 3 x3 +x2 −1−x α 1 x→+∞ e) lim x sin , α,β ∈ R x→0+ xβ p c) lim (x+ x2 +1) f) lim cosx x→−∞ x→+∞ Hướng dẫn chung - Bài toán yêu cầu tìm giới hạn của các hàm số. Do chưa được học nhiều phương pháp mới để tìm giới hạn nên ta có thể điểm lại một vài hướng đi hay gặp như sau : • Thay vô cùng bé tương đương. Đặc biệt trong bài này chú ý dạng (1+x)n −1 ∼ nx khi x → 0. • Ngoài ra, ta cũng có thể nhớ đến cách liên hợp để triệt tiêu dạng ∞−∞ ( ở bài này có thể thấy ở câu a,b,c,d ) • Và 1 số phương pháp đã được học ở giới hạn dãy số cũng có thể gặp như : Tiêu chuẩn kẹp, hoặc chứng minh không tồn tại giới hạn,... Hướng dẫn giải 1√ 1 a) lim 1+x− x→0 x x √ x +) Ta có: 1+x−1 ∼ khi x → 0 2 x √ 1√ 1 1+x−1 2 1 ⇒ lim 1+x− = lim = lim = x→0 x x x→0 x x→0 x 2 p b) lim 3 x3 +x2 −1−x x→+∞ — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập p (x3 +x2 −1)−x3 +) lim 3 x3 +x2 −1−x = lim √ √ x→+∞ x→+∞ 3 x3 +x2 −1 2 +x 3 x3 +x2 −1+x2 x2 −1 = lim √ √ x→+∞ 3 x3 +x2 −1 2 +x 3 x3 +x2 −1+x2 1 1− 1 = lim x2 = r !2 r 3 x→+∞ 1 1 1 1 3 1+ − + 3 1+ − +1 x x3 x x3 p c) lim (x+ x2 +1) x→−∞ √ √ p (x+ x2 +1)(x− x2 +1) +) lim (x+ x2 +1) = lim √ x→−∞ x→−∞ x− x2 +1 x2 −(x2 +1) = lim √ x→−∞ x− x2 +1 −1 = lim √ x→−∞ x− x2 +1 −1 = lim r x→−∞ 1 x− |x| 1+ x2 −1 = lim r ! = 0 (vì x → −∞ nên |x| = −x) x→−∞ 1 x 1+ 1+ x2 √ m 1+αx−1 d) lim (m ∈ N∗, α ̸= 0) x→0 x √ αx +) Do m 1+αx−1 ∼ khi x → 0 m √ αx m 1+αx−1 α ⇒ lim = lim m = x→0 x x→0 x m α 1 e) lim x sin , α,β ∈ R x→0+ xβ • Trường hợp 1: α > 0. Ta có: α 1 α 0 ≤ |x sin | ≤ x . xβ Vì α > 0, lim xα = 0. Theo nguyên lý kẹp, giới hạn là 0 (với mọi β). x→0+ • Trường hợp 2: α = 0. Ta có: 1 L = lim sin . x→0+ xβ 1 1 – Nếu β > 0: → +∞, sin dao động, không có giới hạn. xβ xβ – Nếu β = 0: L = sin 1. 1 – Nếu β < 0: → 0, nên L = sin 0 = 0. xβ — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập • Trường hợp 3: α < 0. Viết lại: 1 sin 1 xα sin = xβ . xβ x−α 1 – Nếu β > 0: sin dao động, không có giới hạn. xβ sin 1 – Nếu β = 0: L = → +∞ (vì −α > 0). x−α 1 1 −β α 1 α−β – Nếu β < 0: sin ∼ = x , nên x sin ∼ x . xβ xβ xβ * α −β > 0: L = 0. * α −β = 0: L = 1. * α −β < 0: L = +∞. +) Kết luận: Giới hạn có thể là 0, 1, sin 1, +∞, hoặc không tồn tại, tùy thuộc vào α và β. f) lim cosx x→+∞ +) Ta có lim f(x) = lim cosx x→+∞ x→+∞ +) Xét xm = 2mπ. Khi m → +∞ thì xm → +∞ Có lim f(xm) = lim cos(2mπ) = 1 m→+∞ m→+∞ +) Xét xn = (2n+1)π. Khi n → +∞ thì xn → +∞ Có lim f(xn) = lim cos((2n+1)π) = −1 n→+∞ n→+∞ +) Do 2 giới hạn trên khác nhau nên không tồn tại lim cosx x→+∞ +) Kết luận: Vậy không tồn tại lim cosx x→+∞ 1 Câu 12. Cho hàm số f(x) = 1+xsin với x ̸= 0 và hàm số x 1 2+ (x−1)sin , nếu x ̸= 1, g(x) = x−1 0, nếu x = 1. 1. Chứng minh rằng lim f(x) = 1 và limg(x) = 2. x→0 x→1 2. Khẳng định limg(f(x)) = 2 có đúng không? Giải thích. x→0 Hướng dẫn giải 1) 1 +) Với f(x), ta có : 0 ≤ |f(x)−1| = xsin ≤ |x|. x +) Khi x → 0 thì |x| → 0 ⇒ lim f(x) = 1.(Theo nguyên lý kẹp) x→0 1 +) Với g(x), đặt t = x−1. Khi x → 1 thì t → 0, và |g(x)−2| = tsin ≤ |t| = |x−1| → 0. t — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Do đó limg(x) = 2. (Theo nguyên lý kẹp) x→1 2) Ta có f(x) → 1 khi x → 0, nhưng g(x) không liên tục tại x = 1 vì g(1) = 0 trong khi limg(x) = 2. x→1 +) Xét hai dãy: 1 1 • Với xn = , ta có sin = sin(nπ) = 0 ⇒ f(xn) = 1 nên g(f(xn)) = g(1) = 0. nπ xn ′ 1 1 ′ ′ • Với xn = π , ta có sin = 1 ⇒ f(xn) = 1+xn. +2nπ x′ n 2 Khi n → ∞, f(x′ ) → 1 nhưng f(x′ ) ̸= 1, do đó lim g(f(x′ )) = limg(t) = 2. n n n→∞ n t→1 +) Kết luận : Như vậy tồn tại dãy cho giới hạn 0, và dãy khác cho giới hạn 2. Suy ra limg(f(x)) không tồn tại. x→0 Câu 13. So sánh các cặp VCB sau:q √ a) α(x) = x+ x và β(x) = esinx −cosx, khi x → 0+ √ √ b) α(x) = 3 x− x và β(x) = cosx−1, khi x → 0+ c) α(x) = x3 +sin2 x và β(x) = ln 1+2 arctan(x2) , khi x → 0 d) α(x) = sinx−tanx+x2 và β(x) = sinx−tanx, khi x → 0 Hướng dẫn chung - Bài toán yêu cầu so sánh các cặp VCB khi x → x0. α(x) - Như vậy theo lý thuyết để so sánh ta cần xét giới hạn : k = lim nếu : x→x0 β(x) • k = 0 ta gọi a(x) là VCB bậc cao hơn b(x). • k = 1 ta gọi a(x) và b(x) là hai vô cùng bé tương đương. • k hữu hạn khác 0 ta gọi là 2 vô cùng bé cùng bậc. • k tiến tới vô cùng ta gọi a(x) là vô cùng bé bập thấp hơn b(x). Hướng dẫn giải q √ a) α(x) = x+ x và β(x) = esinx −cosx, khi x → 0+ p √ p√ √ α(x) x+ x x 4 x +) Xét lim = lim = lim = lim (Ngắt VCB bậc cao ) x→0+ β(x) x→0+ esinx −cosx x→0+ esinx −cosx x→0+ esinx −cosx √ ′ 4 x 1 +) Xét L1 = lim ′ = lim √ = +∞ x→0+ esinx −cosx x→0+ 4 4 x3 cosxesinx +sinx √ α(x) 4 x ⇒ lim = lim = +∞ theo quy tắc L’hospital x→0+ β(x) x→0+ esinx −cosx +) Kết luận : Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0+ — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ b) α(x) = 3 x− x và β(x) = cosx−1, khi x → 0+ √ √ √ α(x) 3 x− x 3 x √ √ √ x2 +) Xét lim = lim = lim do ( 3 x− x) ∼ 3 x,1−cosx ∼ khi x → 0+ x→0+ β(x) x→0+ cosx−1 x→0+ −x2 2 2 √ α(x) 3 x −2 ⇒ lim = lim = lim = −∞ x→0+ β(x) x→0+ −x2 x→0+ x5 3 2 +) Kết luận : Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0+ c) α(x) = x3 +sin2 x và β(x) = ln 1+2 arctan(x2) , khi x → 0 α(x) x3 +sin2 x x3 +sin2 x x3 +sin2 x +) Xét lim = lim = lim = lim x→0 β(x) x→0 ln 1+2 arctan(x2) x→0 2 arctan(x2) x→0 2x2 do ln 1+2 arctan(x2) ∼ 2 arctan(x2),arctan(x2) ∼ x2 khi x → 0 x3 x lim = lim = 0 +) Ta có: x→0 2x2 x→0 2 sin2 x x2 1 lim = lim = dosinx ∼ xkhix → 0 x→0 2x2 x→0 2x2 2 α(x) x3 +sin2 x 1 1 ⇒ lim = lim = 0+ = x→0 β(x) x→0 2x2 2 2 +) Kết luận : Vậy α(x) và β(x) là 2 VCB cùng bậc khi x → 0 d) α(x) = sinx−tanx+x2 và β(x) = sinx−tanx, khi x → 0 cosx−1 2 α(x) sinx−tanx+x2 sinx +x +) Xét lim = lim = lim cosx x→0 β(x) x→0 sinx−tanx x→0 cosx−1 sinx cosx −x2 +) Khi x → 0 thì sinx ∼ x và cosx−1 ∼ 2 −x3 +x2 α(x) 2 Do dó lim = lim = ∞ x→0 β(x) x→0 −x3 2 +) Kết luận : Vậy α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x → 0 Câu 14. Tìm các giới hạn: x+sin2 x+tan3 x ln x+arcsin3 x −lnx a) lim b) lim x→0 ex −cos 2x+2x x→0+√ √x2 √ √ cosx− 3 cosx c) lim sin x+1−sin x d) lim x→+∞ x→0 sin2 x 1−cosxcos 2x x x e) lim f) lim (3 |sinx|+2 |cosx|) x→0 1−cosx x→+∞ [Hướng dẫn chung] Một số phương pháp: — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Thay thế VCB tương đương +) Ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp 0 ∞ +) sử dụng quy tắc L’Hospital cho các dạng và 0 ∞ +) Ngoài ra, một số bài chúng ta cần phải các công thức lượng giác( công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích) để đưa bài toán về những dạng quen thuộc Hướng dẫn giải x+sin2 x+tan3 x a) A = lim x→0 ex −cos 2x+2x +) Khi x → 0, x+sin2 x+tan3 x ∼ x (ngắt bỏ VCB bậc cao) x+sin2 x+tan3 x x x ⇒ lim = lim = lim x→0 ex −cos 2x+2x x→0 ex −cos 2x+2x x→0 ex −1+1−cos 2x+2x +) Khi x → 0, ex −1+1−cos 2x+2x ∼ 3x (ngắt bỏ VCB bậc cao) x 1 ⇒ A = lim = x→0 3x 3 1 +) Kết luận : Vậy A = 3 arcsin3 x ln 1+ ln x+arcsin3 x −lnx b) B = lim = lim x x→0+ x2 x→0+ x2 arcsin3 x x3 arcsin3 x arcsin3 x x3 +) Do lim = lim = 0 nên khi x → 0+,ln 1+ ∼ ∼ = x2 x→0+ x x→0+ x x x x x2 ⇒ B = lim = 1 x→0+ x2 +) Kết luận : Vậy B = 1 √ √ c) C = lim sin x+1−sin x x→+∞ √ √ ! √ √ ! √ √ x+1+ x x+1− x lim sin x+1−sin x = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ ! x+1+ x 1 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2 x+1+ x √ √ ! x+1+ x +) Do −1 ≤ cos ≤ 1 2 √ √ ! x+1+ x 1 1 ⇒ 2 cos sin √ √ ≤ 2 sin √ √ 2 2 x+1+ x 2 x+1+ x 1 +) Lại có: lim 2 sin √ √ = 2 sin 0 = 0 x→+∞ 2 x+1+ x — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập √ √ ! x+1+ x 1 ⇒ lim 2 cos sin √ √ = 0 x→+∞ 2 2 x+1+ x +) Kết luận : Vậy C = 0 √ √ √ √ cosx− 3 cosx cosx− 3 cosx d) lim = lim (do sinx ∼ x khi x → 0) x→0 sin 2 x x→0 x2 √ √ ′ cosx− 3 cosx Xét L1 = lim ′ x→0 x2 −sinx sinx √ + √ 2 cosx 3 3 cos2 x = lim x→0 2x −1 1 √ + √ 2 cosx 3 3 cos2 x = lim (do sinx → x khi x → 0) x→0 2 −1 = 12 √ √ cosx− 3 cosx −1 ⇒ lim = L1 = theo quy tắc L’hospital x→0 √ x2 √ 12 cosx− 3 cosx −1 ⇒ lim = x→0 sin2 x 12 1−cosxcos 2x 0 e) lim (Dạng nên áp dụng L’Hospital) x→0 1−cosx 0 sinxcos 2x+cosx.2 sin 2x 4 cosxsinxcosx +) lim = lim cos 2x+ x→0 sinx x→0 sinx = lim(cos 2x+4 cos2 x) x→0 = 1+4 = 5 f) lim (3x|sinx|+2x|cosx|) x→+∞ Khi x → +∞ ta có: f(x) = 3x|sinx|+2x|cosx| > 2x (|sinx|+|cosx|) Có (|sinx|+|cosx|)2 = 1+2|sinx||cosx| p ⇒ |sinx|+|cosx| = 1+2|sinx||cosx| ≥ 1 ⇒ f(x) > 2x ·1 = 2x > M (M là số lớn tùy ý) ⇒ x > log2 M = δ Như vậy, ∀M > 0, tùy ý, luôn tồn tại δ = log2 M sao cho ∀x > δ : f(x) > M ⇒ lim f(x) = +∞ x→+∞ — Biên soạn bởi: Team Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ Học tập — 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!