khoảng cách

Định nghĩa. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng/mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng/mặt phẳng đó.

Hiểu bằng hình ảnh: Khoảng cách ngắn nhất từ bạn đứng trên vỉa hè sang bờ bên kia đường chính là đường kẻ vuông góc sang mép đường đối diện.

Công thức tọa độ Oxyz cốt lõi

• Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
• Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Ví dụ giải từng bước: Tính khoảng cách từ điểm $M(1, 2, 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - 2y + z - 3 = 0$.

• Bước 1: Thay tọa độ điểm $M$ vào vế trái phương trình mặt phẳng: $|2(1) - 2(2) + 3 - 3| = |2 - 4 + 0| = |-2| = 2$.
• Bước 2: Tính độ dài vectơ pháp tuyến $\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
• Bước 3: Khoảng cách $d = \dfrac{2}{3}$.

Cách nhận biết: Đề yêu cầu "tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng/đường thẳng".