hàm số nghịch biến

Định nghĩa. Hàm số $y = f(x)$ gọi là nghịch biến trên khoảng $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$, khi $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.

Hiểu bằng hình ảnh. Hãy tưởng tượng đồ thị hàm số như đường dốc khi bạn đi từ trái sang phải. Nếu con đường cắm đầu đi xuống dốc, thì hàm số đó đang nghịch biến.

Điều kiện xét tính nghịch biến

• Theo tỉ số: $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < 0$.
• Theo đạo hàm (Lớp 12): $f'(x) \le 0$ với mọi $x \in K$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Ví dụ giải từng bước. Khảo sát tính biến thiên của hàm số $y = -2x + 3$ trên $\mathbb{R}$.

• Bước 1: Lấy hai điểm bất kỳ $x_1 < x_2$.
• Bước 2: Ta có $x_1 < x_2 \Rightarrow -2x_1 > -2x_2$.
• Bước 3: Cộng 3 vào hai vế: $-2x_1 + 3 > -2x_2 + 3 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.
• Bước 4: Kết luận hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Cách nhận biết. Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải, hoặc đạo hàm mang dấu âm ($f'(x) < 0$).

Lỗi hay gặp:

• Nhầm dấu: $x$ tăng mà $y$ cũng tăng thì kết luận nghịch biến (đó là đồng biến).
• Kế luận khoảng nghịch biến hợp nhau bằng dấu $\cup$ thay vì từ "và" hoặc dấu chấm phẩy.

Liên hệ thực tế. Giá trị của chiếc xe máy giảm dần theo số năm sử dụng (khấu hao tài sản).

Mẹo làm trắc nghiệm. Đạo hàm $y' < 0$ trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.