〰️hàm số bậc ba

Định nghĩa. Hàm số bậc ba là hàm số có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$), có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Hiểu bằng hình ảnh. Đồ thị hàm số bậc ba giống như một con đường lượn sóng hình chữ N. Nó có thể có 2 điểm cực trị (1 đỉnh núi và 1 thung lũng) hoặc không có cực trị nào.

Tính chất cần nhớ

• Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$ (hàm bậc hai).
• Số cực trị: Có 2 cực trị khi $\Delta' = b^2 - 3ac > 0$; Không có cực trị khi $\Delta' \le 0$.
• Tâm đối xứng: Điểm uốn $I(x_0, y_0)$ với $x_0 = -\dfrac{b}{3a}$ (nghiệm của $y'' = 0$).

Ví dụ giải từng bước. Tìm điểm uốn của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

• Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1: $y' = 3x^2 - 6x$.
• Bước 2: Tính đạo hàm cấp 2: $y'' = 6x - 6$.
• Bước 3: Cho $y'' = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.
• Bước 4: Thay $x = 1$ vào hàm gốc: $y = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0 \Rightarrow$ Tâm đối xứng (điểm uốn) $I(1, 0)$.

Cách nhận biết. Biến $x$ có số mũ lớn nhất là 3. Đề bài hỏi cực trị, tiếp tuyến hoặc số giao điểm.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm công thức hoành độ điểm uốn $x = -\dfrac{b}{3a}$ với hoành độ đỉnh parabol $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Bỏ sót trường hợp $a < 0$ khiến dáng đồ thị bị ngược (chữ N ngược).

Liên hệ thực tế. Đường cong của thành cầu treo dây văng thường được thiết kế theo dáng hàm bậc ba để phân bổ tải trọng.

Mẹo làm trắc nghiệm. Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi $a \cdot c < 0$.