cách xếp

Định nghĩa. Cách xếp là bài toán đếm số hoán vị hoặc chỉnh hợp khi sắp đặt $k$ phần tử vào $k$ vị trí có thứ tự rõ ràng (hàng ngang, dãy ghế, phân công chức vụ).

Hiểu bằng hình ảnh. Xếp 5 quyển sách lên một kệ sách theo hàng ngang: vị trí đầu tiên có 5 lựa chọn, vị trí thứ hai có 4... tạo nên tích các số giảm dần $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5!$.

Công thức cần nhớ

• Số cách xếp $n$ phần tử vào $n$ vị trí hàng ngang: $P_n = n!$
• Số cách xếp $k$ phần tử từ $n$ phần tử vào $k$ vị trí: $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
• Số cách xếp vào bàn tròn $n$ ghế: $P_n^* = (n-1)!$

Ví dụ giải từng bước. Có 5 học sinh xếp thành một hàng ngang chụp ảnh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

• Bước 1: Nhận diện bài toán xếp $n = 5$ phần tử vào 5 vị trí hàng ngang.
• Bước 2: Áp dụng công thức hoán vị $P_5 = 5!$.
• Bước 3: Tính $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ cách xếp.

Cách nhận biết. Từ khóa "xếp thành hàng ngang", "xếp vào dãy ghế", "phân công chức vụ Lớp trưởng, Lớp phó".

Lỗi hay gặp:

• Nhầm bài toán cách xếp (có thứ tự $A_n^k$) thành bài toán cách chọn (không thứ tự $C_n^k$).