HubDocu

Đề 4: Toán học và xử lý số liệu HSA

Phan Thành Đạt

Tổng điểm

51

Số phần

1

Số câu

51

  • Phần 1Trắc nghiệm · Trả lời ngắn · Tự luận51 câu · 51 điểm
Chi tiết

Miễn phí, chấm điểm ngay và xem lời giải từng câu.

Câu hỏi mẫu

  1. Câu 1

    Cho hàm số y=2x+1x−2y=\frac{2 x+1}{x-2} có đồ thị (C)(C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C)(C) mà tiếp tuyến của (C)(C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 25\frac{2}{5} ?

    Xem đáp án

    Đáp án: C

    Phương trình tiếp tuyến của (C)(C) tại điểm có hoành độ x0x_{0} là: y=−5(x0−2)2(x−x0)+2x0+1x0−2y=\frac{-5}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{2 x_{0}+1}{x_{0}-2}

    Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là A(2x02+2x0−25;0),B(0;2x02+2x0−2)(x0−2)2)A\left(\frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{5} ; 0\right), B\left(0 ; \frac{\left.2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2\right)}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\right)

    Do đó diện tích tam giác SΔOAB=12.OA.OB=(2x02+2x0−2)10(x−2)2=25⇔0x=1xx0=−3S_{\Delta O A B}=\frac{1}{2} . O A . O B=\frac{\left(2 x_{0}{ }^{2}+2 x^{0}-2\right)}{10(x-2)^{2}}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow{ }_{0}^{x=1}{ }_{x}^{x_{0}=-3}

    Vậy có 2 điểm thỏa mãn

  2. Câu 2

    Tìm mm để đồ thị hàm số (C)(C) của hàm số : y=−x3m+3mx2−2y=\frac{-x^{3}}{m}+3 m x^{2}-2 có điểm uốn nằm trên đường parabol (P):y=2x2−2?(P): y=2 x^{2}-2 ?

    Xem đáp án

    Đáp án: C

    Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho từ trước, từ đó suy ra giá trị của tham số

  3. Câu 3

    Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số : y=x3x2−1y=\frac{x^{3}}{x^{2}-1} là?

    Xem đáp án

    Đáp án: C

    Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên

    Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng : y=ax+b(a≠0)y=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(a \neq 0)

    Τa có:

    a=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3x(x2−1)=1a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x_{3}}{x\left(x^{2}-1\right)}=1

    b=lim⁡x→±∞[f(x)−x]=lim⁡x→±∞(x3x2−1−x)=0b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{x_{3}}{x^{2}-1}-x\right)=0

    Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: y=xy=x

  4. Câu 4

    Cho x,yx, y là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây log⁡x+13y+1≤9y4+6y3−x2y2−2y2x\log \frac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^{4}+6 y^{3}-x^{2} y^{2}-2 y^{2} x.

    Biết y≤1000y \leq 1000. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y)(x ; y) thỏa mãn bất đẳng thức trên?

    Xem đáp án

    Đáp án: D

    Phương pháp giải
    Dùng hàm đặc trưng
    Lời giải
    Ta có: log3y+1x+13y+1≤9y4+6y3−x2y2−2y2xlog_{3y+1} \frac{x+1}{3y+1} \le 9y^4 + 6y^3 - x^2y^2 - 2y^2x
    ⇔logxy+y3y2+y≤(9y4+6y3+y2)−(x2y2+2xy.y+y2)\Leftrightarrow log \frac{xy+y}{3y^2+y} \le (9y^4+6y^3+y^2) - (x^2y^2+2xy.y+y^2)
    ⇔log(xy+y)−log(3y2+y)≤(3y2+y)2−(xy+y)2\Leftrightarrow log(xy+y) - log(3y^2+y) \le (3y^2+y)^2 - (xy+y)^2
    ⇔log(xy+y)+(xy+y)2≤log(3y2+y)+(3y2+y)2\Leftrightarrow log(xy+y) + (xy+y)^2 \le log(3y^2+y) + (3y^2+y)^2
    Xét hàm : f(t)=logt+t2f(t) = log t + t^2 với t∈(0;+∞)t \in (0;+\infty)
    f′(t)=1tln10+2t>0∀t∈(0;+∞)⇒f'(t) = \frac{1}{tln10} + 2t > 0 \forall t \in (0;+\infty) \Rightarrow Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)(0;+\infty)
    ⇒f(xy+y)≤f(3y2+y)⇔xy+y≤3y2+y⇔x≤3y\Rightarrow f(xy+y) \le f(3y^2+y) \Leftrightarrow xy+y \le 3y^2+y \Leftrightarrow x \le 3y
    Vì y≤1000y \le 1000 nên ta có các trường hợp sau:
    y=1⇒x∈{1;2;3}y=1 \Rightarrow x \in \{1;2;3\}
    y=2⇒x∈{1;2;3;4;5;6}y=2 \Rightarrow x \in \{1;2;3;4;5;6\}
    .........
    y=1000⇒x∈{1;2;3;....;3000}y=1000 \Rightarrow x \in \{1;2;3;....;3000\}
    Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3+6+9+...+3000=15015003+6+9+...+3000=1501500

  5. Câu 5

    Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y)(x, y) thỏa mãn điều kiện 0≤y≤1000 \leq y \leq 100 và x6+6x4y+12x2y2−19y3+3x2−3y=0?x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0 ?

    Xem đáp án

    Đáp án: D

    Sử dụng hàm đặc trưng
    Lời giải
    x6+6x4y+12x2y2−19y3+3x2−3y=0x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 - 19y^3 + 3x^2 - 3y = 0
    ⇔x6+6x4y+12x2y2+8y3−27y3+3x2−3y=0\Leftrightarrow x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 + 8y^3 - 27y^3 + 3x^2 - 3y = 0
    ⇔x6+6x4y+12x2y2+8y3+3x2+6y=27y3+9y\Leftrightarrow x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 + 8y^3 + 3x^2 + 6y = 27y^3 + 9y
    ⇔(x2+2y)3+3(x2+2y)=(3y)3+3.3y(∗)\Leftrightarrow (x^2 + 2y)^3 + 3(x^2 + 2y) = (3y)^3 + 3.3y (*)
    Xét hàm số: f(t)=t3+3tf(t) = t^3 + 3t
    Ta có : f′(t)=3t2+3>0∀t∈Rf'(t) = 3t^2 + 3 > 0 \forall t \in \mathbb{R}
    ⇒f(t)\Rightarrow f(t) là hàm đồng biến trên R\mathbb{R}
    Vì vậy (∗)⇔f(x2+2y)=f(3y)⇔x2+2y=3y⇔x2=y(*) \Leftrightarrow f(x^2 + 2y) = f(3y) \Leftrightarrow x^2 + 2y = 3y \Leftrightarrow x^2 = y
    Theo giả thiết ta có : 0≤y≤100⇔0≤x2≤100⇔−10≤x≤100 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le x^2 \le 100 \Leftrightarrow -10 \le x \le 10
    Vì xx nguyên nên x∈{−10;−9;−8;...;8;9;10}x \in \{-10;-9;-8;...;8;9;10\}, với mỗi xx xác định duy nhất giá trị y=x2y = x^2.
    Vậy có 21 cặp (x;y)(x;y) thỏa mãn bài toán.

Làm trọn 51 câu để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết.