Đề 3: Toán học và xử lý số liệu HSA

Câu hỏi mẫu

1. Câu 1

   Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mă̆t Trái Đất khoảng 400 km (Hình 1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị. Hinh 1.1
   Đáp án:
   Xem đáp án

   Đáp án: (1) 5341

   Phương pháp giải

   Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là: $R=6400+400=6800$

   Đổi $45^{\circ}=45 \cdot \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4} \mathrm{rad}$

   Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là

   $l=R \alpha=6800 \cdot \frac{\pi}{4} \approx 5341(\mathrm{~km})$

   Đáp án cần điền là: 5341

2. Câu 2

   Số giá trị nguyên của tham số m trên đoạn [-10;10] để bất phương trình $m x^{2}-2 m x+2 m-1 \leq 0$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ là:

   A

   10.

   B

   11.

   C

   18.

   D

   20.

   Xem đáp án

   Đáp án: B

   Lời giải

   Đặt $f(x)=m x^{2}-2 m x+2 m-1$

   (1)

   Với $m=0$ (luôn đúng)

   Với $m \neq 0$ thì (1) là phương trình bậc hai

   Để $f(x) \leq 0, \forall x$ thì $\left\{\begin{array}{l}m<0 \\ \Delta^{\prime} \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<0 \\ m^{2}-m(2 m-1) \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<0 \\ \left\{\begin{array}{l}m \geq 1 \\ m \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Rightarrow m<0\right.\right.\right.$

   Vậy $m \leq 0$. Kết hợp $m \in[-10 ; 10] \Rightarrow m \in\{-10 ;-9 ; \ldots 0\} \Rightarrow$ có 11 giá trị.

   Đáp án cần chọn là B

3. Câu 3

   Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân $P_{n}$ (nghìn người) của thành phố đó sau $n$ năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức $P_{n}=500(1+0,02)^{n}$. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người? Đáp án:
   Xem đáp án

   Đáp án: (1) 609,5

   Lời giải

   Ở đây ta có: $n=2030-2020=10$.

   Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là: $P_{10}=500 \cdot(1,02)^{10} \approx 609$ (nghìn người)

4. Câu 4

   Thêm 5 số xen giữa hai số 25 và 1 ta được một cấp số cộng có 7 số hạng. Số hạng thứ 50 là Đáp án:
   Xem đáp án

   Đáp án: (1) -171

   Lời giải

   Ta có: $d=\frac{1-25}{6}=-4$.

   Do đó: $u_{50}=u_{1}+49 d=25-49 \cdot 4=-171$.

5. Câu 5

   Tại một công ty sản xuất đồ chơi A, công ty phải chi 50000 USD để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi A, công ty phải trả 5 USD cho nguyên liệu thô và nhân công. Gọi $x(x \geq 1)$ là số đồ chơi A mà công ty đã sản xuất và $T(x)$ (đơn vị USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất $x$ đồ chơi A. Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi A là $M(x)=\frac{T(x)}{x}$. Khi $x$ đủ lớn $(x \rightarrow+\infty)$ thì chi phí trung bình (USD) cho mỗi sản phẩm đồ chơi A gần nhất với kết quả nào sau đây?

   A

   50000.

   B

   50005.

   C

   10.

   D

   5.

   Xem đáp án

   Đáp án: D

   Lời giải

   Gọi $T(x)$ (đơn vị USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất $x$ đồ chơi A thì $T(x)=50000+5 x$.

   Ta có : $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{T(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{50000}{x}+5\right)=5$.

   Đáp án cần chọn là: D

Làm trọn 50 câu để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết.