Page 1
Toán – Hình học 12 hubdocu.com GIẢI HHKG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA A - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Bước 1: Chọn hệ trục tọa Oxyz. Xác định ba đường thẳng đồng quy và đôi một cắt nhau trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều …), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ. Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán. Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận. Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian. Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích … Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật A B C D A. 'B C' 'D ' Với hình lập phương: Chọn hệ trục tọa độ sao cho : z D' A(0; 0; 0), B a( ; 0; 0), C a a( ; ; 0), D(0; a; 0) A' B' C' A '(0; 0; a), B '( ; 0;a a), C '( ;a a a; ), D '(0; a a; ) Với hình hộp chữ nhật: Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0; 0; 0), B a( ; 0; 0), C a b( ; ; 0), D(0;b; 0) D A y A '(0; 0; c) ; B '( ; 0;a c) ; C '( ;a b c; ) ; D'(0; ;c)b B C x Chú ý: Tam diện vuông là một nửa của hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự như hình hộp chữ nhật. Với hình hộp đứng có đáy là hình thoi A B C D A. 'B C' 'D ' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : z Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình D' A' thoi A B C D B' Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy C' Nếu A C a B D, b A A, ' c thì A D a b a A 0; ; 0 , B ; 0; 0 , C 0; ; 0 B O 2 2 2 x C y b a b D ; 0; 0 , A ' 0; ; c, B ' ; 0; c 2 2 2 a b C ' 0; ; c, D ' ; 0; c 2 2 Chú ý: Với lăng trụ đứng A B C A. 'B C' ' có đáy A B C là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ tọa độ tương tự như trên với gốc tọa độ là trung điểm A C , B Ox C, Oy còn trục Oz đi qua trung điểm hai cạnh A C, A 'C '. Hình chóp đều H 521
Page 2
Toán – Hình học 12 hubdocu.com 1) Hình chóp tam giác đều S A B C. , A B a, S H h, ta chọn hệ z S tọa độ sao cho O là trung điểm B C , A Ox B, Oy . a 3 a a a 3 A ; 0; 0 , B 0; ; 0 , C 0; ; 0 , S ; 0; h 2 2 2 6 Khi đó x C A H O y B Hình chóp từ giác đều S A B C D. , A B a, S H h, ta chọn hệ tọa z độ sao cho O là tâm đáy B Ox C, Oy S, Oz . Khi đó: S a 2 a 2 a 2 A 0; ; 0 , B ; 0; 0 , C 0; ; 0 2 2 2 , A D B O a 2 C D ; 0; 0 , S 0; 0; h x y 2 Chú ý: Ngoài cách chọn hệ trục như trên ta có thể chọn hệ trục bằng cách khác. Chẳng hạn với hình chóp tam giác đều ta có thể chọn H O , trục Oy đi qua H và song song với B C . Hình chóp S A B C D. có S A (A B C D), S A h 1) Nếu đáy là hình chữ nhật ta chọn hệ trục sao cho z A O B, Ox D, Oy S, Oz S A y D xB C Nếu đáy là hình thoi, ta chọn hệ trục sao cho O là tâm của S B Ox C, Oy Oz / /S A z đáy, và . A D xB O C y Chú ý: Cho hình chóp S A B C. có S A (A B C) Nếu đáy A B C là tam giác vuông tại A thì cách chọn hệ trục hoàn toàn tương tự như hình chóp S A B C D. có đáy là hình chữ nhật. Nếu đáy A B C là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ trục tọa độ như hình chóp S A B C D. có đáy là hình thoi, khi đó gốc tọa độ là trung điểm cạnh A C . Hình chóp S A B C. có (S A B) (A B C) H 522
Page 3
Toán – Hình học 12 hubdocu.com Đường cao S H h của tam giác S A B là đường cao của hình chóp. z S Nếu tam giác A B C vuông tại A , A B a A C, b ta chọn hệ trục sao cho A O B, Oy C, Ox, Oz / /S H A 0; 0; 0 , B 0; a; 0 , C b( ; 0; 0) . Khi đó H y A H c H 0; ; 0 ,c S(0; ;c h) A . B C x Chú ý: Nếu vuông tại B ta chọn B O , vuông tại C chọn C O . Nếu tam giác A S B cân tại S , A B C cân tại C thì ta chọn H O C, Ox B, Oy S, Oz Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải. Ví dụ 1: Cho hình chóp O A B C. có OA a OB, b OC, c đôi một vuông góc. Điểm M cố định A B C mp OB C mp OC A mp OA B 1, 2, 3 thuộc tam giác có khoảng cách lần lượt đến các , , là . Tính a, b, c để thể tích O A B C. nhỏ nhất. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A a( ; 0; 0), B(0;b; 0), C(0; 0; c) mp OB C mp OC A z Vì khoảng cách từ M đến các mặt phẳng , , mp OA B 1, 2, 3 M 1; 2; 3 C là nên . Suy ra phương trình x y z (A B C) : 1 M a b c 1 2 3 O y M (A B C) 1 Vì a b c B 1 A VO A B C. abc x (1).Thể tích khối chóp O A B C. : 6 1 2 3 3 1 2 3 1 (1) 1 3 . . abc 27 Từ a b c a b c 6 1 2 3 1 min V 27 Vậy OA B C đạt được khi a b c 3 a 3,b 6, c 9 Ví dụ 2: Cho hình chóp S A B C D. có đáy A B C D là hình vuông cạnh 2a, S A a , S B a 3 và mặt phẳng (S A B) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A B B C, . Tính theo a thể tích của khối chóp S B M D N. và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng S M, D N Lời giải. Gọi H là hình chiếu của S lên A B S H (A B C D) S A2 a a 3 S A2 S B2 A B2 S A S B A H , S H Ta có: A B 2 2 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: H 523
Page 4
Toán – Hình học 12 hubdocu.com z S M A D y B H N C x a a a 3 A 0; 0; 0 , B 2 ; 0; 0 ,a D 0; 2 ; 0 ,a C 2 ; 2 ; 0 ,a a H ; 0; 0 , S ; 0; 2 2 2 M a; 0; 0 , N 2 ;a a; 0 . 1 2 2 2 2 SA D M SC D N a.2a a SB N D M 4a 2a 2a Ta có 2 1 1 a 3 a3 3 V S H S. . .2a2 Thể tích khối chóp S B M D N. : 3 B M D N 3 2 3 a a 3 S M ; 0; , D N 2 ;a a; 0 S M D N. a2 2 2 Vì S M D N. a2 5 cos S M, D N Vậy S M D N. a. 5a 5 . Ví dụ 3: Trên các tia Ox Oy Oz, , của góc tam diện vuông Oxyz lần lượt lấy các điểm A, B C, sao cho OA a OB, a 2,OC c, ( ,a c 0) .Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật A OB D và M là trung điểm của đoạn B C. Mặt phẳng () qua A, M cắt mặt phẳng (OC D) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng A M. 1. Gọi E là giao điểm của () với đường thẳng OC. Tính độ dài đoạn thẳng OE ; 2. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C A OB D. bởi mặt phẳng () . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng () Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , sao cho: z B 0; a 2; 0 , C O(0; 0; 0), A a( ; 0; 0), D a; a 2; 0 , C(0; 0; c) M E G a 2 c M 0; ; . F 2 2 B 1. Vì M là trung điểm của B C nên O K y OC(0; 0; c), OD a; a 2; 0 H I OC; OD ac 2; ac; 0 A x D (OC D) nOC D 2; 1; 0 . Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là Gọi F () C D thì E F là giao tuyến của () với (OC D) , ta có E F A M. H 524
Page 5
Toán – Hình học 12 hubdocu.com a 2 c A M a; ; c 2 2 nOC D , A M (1; 2; 0), Vì nên 2 do đó một véc tơ chỉ phương của E F là uE F (1; 2; 0). 1 u , A M c 2; c; 3 2a Ta có E F 2 nên phương trình mặt phẳng () 2cx cy 3 2az ac 2 0. c c () Oz E 0; 0; OE . Do đó 3 3 2a 2 2a c C F 2 () C D F ; ; . 3 3 3 C D 3 V 2V 2V 2. Ta có Mà C OA D B C A OD C B OD nên VC E A F M VC A E F VC M E F 1 C E C F C M C E C F 1 . . . VC OA D B 2VC A OD 2VC B OD 2 C O C D C B C O C D 3 1 Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C A OD B. bởi mặt phẳng () là 2 (hay 2). 3 2ac ac 2 2 6ac d C( , ()) . 2c2 c2 18a2 3 c2 6a2 Khoảng cách cần tìm : Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật A B C D A. 'B C' 'D ' có A O B, Ox D, Oy A, ' Oz và A B 1, A D 2, A A ' 3. 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp; 2. Tìm điểm E trên đường thẳng D D ' sao cho B 'E A 'C 3. Tìm điểm M thuộc A 'C , N thuộc B D sao cho M N B D M N, A 'C . Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A 'C và B D Lời giải. 1. Ta có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), z D(0; 2; 0), A '(0; 0; 3) . (Oxy) A' Hình chiếu của C lên là C , D' hình chiếu của C lên Oz là A nên C' B' C 1; 2; 0 . B ',C ', D ' A D y Hình chiếu của lên mp (Oxy) và trục Oz lần lượt là các điểm B C, , D x B C và A ' nên B ' 1; 0; 3 , C '(1; 2; 3), D '(0; 2; 3) . E 0; 2; z B 'E 1; 2; z 3 2. Vì E thuộc đường thẳng D D ' nên , suy ra A 'C 1; 2; 3 B 'E A 'C B 'E A. 'C 0 1 4 3 z 3 0 z 4 E 0; 2; 4 Mà nên . Vậy 3. Đặt A 'M x A. 'C; B N y B D. A M A A ' A 'M A A ' x A. 'C x; 2 ; 3x 3x M x; 2 ; 3x 3x Ta có , suy ra A N A B B N A B y B D. 1 y; 2 ; 0y N 1 y; 2 ; 0y H 525
Page 6
Toán – Hình học 12 hubdocu.com M N A. 'C 0 Theo giả thiết của để bài, ta có:M N B D. 0 ( ) M N 1 x y; 2y 2 ; 3x x 3 A 'C 1; 2; 3 B D 1; 2; 0 Mà , , 53 1 x y 4y 4x 9x 9 0 14x 3y 10 x 61 1 x y 4y 4x 0 3x 5y 1 44 y Khi đó ( ) trở thành 61 53 106 24 17 88 M ; ; , N ; ; 0 Do đó 61 61 61 61 61 . Vì M N là đường vuông góc chung của hai đường thẳng A 'C, B D 2 2 2 6 61 d A 'C, B D M N 1 x y (2y 2 )x (3x 3) 61 . Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, A B B C 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a Lời giải. Vì hai mặt phẳng (S A B) và (S A C) cùng vuông góc với mặt phẳng (A B C) nên suy ra S A (A B C) . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, đặt S A x x, 0 z S Vì M N / /B C N là trung điểm cạnh A C Tọa độ các đỉnh là: B(0; 0; 0), A(2 ; 0; 0),a C 0; 2 ; 0 ,a S(2 ; 0;a x), B M a; 0; 0 , N a a; ; 0 C y M N A x B S 2 ; 0;a x , B C 0; 2 ; 0a B S, B C 2ax; 0; 4a2 Suy ra n x; 0; 2a (S B C) k (0; 0;1) (A B C) Do đó là VTPT của mặt phẳng , là VTPT của mặt phẳng n k. 1 2a 1 cos 600 x2 12a2 x 2a 3 n . k 2 x2 4a2 2 Theo giả thiết ta có: 1 3 3a2 SA M N SA B C SB M N C SA B C Vì M, N là trung điểm của A B C B, nên 4 4 2 1 1 3a2 V S A S. .2a 3. a3 3 Từ đó suy ra thể tích khối chóp S B M N C. là: S B M N C. 3 B M N C 3 2 . B A 2 ; 0; 0 ,a S N a a; ; 2a 3 , B N a a; ; 0 Ta có: H 526
Page 7
Toán – Hình học 12 hubdocu.com B A S N, 0; 4 3a2; 2a2 B A S N, .B N 4 3a3 Suy ra B A S N, .B N 3 4a 3 2a 39 d A B S N, B A S N, 2 13a2 13 Vậy . B – C©u hái tnkq Câu 1: Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng ; , hai điểm nằm trên hai cạnh , . Đặt , . Hệ thức liên hệ giữa và để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A S A D N B M C Tọa độ hóa với , , , . Đặt , ta có , , . Do đó . . Mặt phẳng nhận là một VTPT. Mặt phẳng nhận là một VTPT. Ta có . H 527
Page 8
Toán – Hình học 12 hubdocu.com Câu 2: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Biết , ; góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Từ là trung điểm của và là trung điểm của , suy ra , hay tam giác cân đỉnh . Đặt . Do suy ra . Đặt . Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: z S A H C x M y B Ta có , , ; , . Ta có ; . Nên . Suy ra có một véc-tơ pháp tuyến là . Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng nên . Khi đó , đường thẳng có véc-tơ chỉ phương . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , ta có H 528
Page 9
Toán – Hình học 12 hubdocu.com . Do đó . Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trọng tâm của tam giác và lần lượt là trung điểm của (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ; ; ; ; suy ra ; ; Ta có mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , ta có . H 529
Page 10
Toán – Hình học 12 hubdocu.com Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Gọi là điểm thỏa mãn . Hình chiếu của trên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn sao cho . Biết tạo với đáy một góc . Góc giữa hai đường thẳng và bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có . . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , , , . Ta có là một vtcp của . là một vtcp của . Ta có Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng . Câu 5: Cho hình lâ op phương cạnh bằng . Lấy điểm thuô oc đoạn , điểm thuô oc đoạn sao cho , . Tìm theo để đoạn ngắn nhất. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải A B Chọn B. Chọn hê otrục tọa đô o sao cho , , , . N D C , , , , M , , , . A' B' H 530 D' C'
Page 11
Toán – Hình học 12 hubdocu.com , . . . Vâ oy ngắn nhất . Câu 6: Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , , . có một vtcp . có một vtcp , . . Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc tọa độ , các đỉnh , , với và . Gọi là trung điểm của cạnh . Khi đó thể tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Tọa độ điểm H 531
Page 12
Toán – Hình học 12 hubdocu.com Ta có Câu 8: Cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , và . Tính thể tích khối tứ diện . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ sao cho: . Khi đó: , , , , , , , , , . Ta có: , , . Câu 9: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . là một điển thỏa mãn . Cô sin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. H 532
Page 13
Toán – Hình học 12 hubdocu.com Xét hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gắn hệ trục như hình vẽ quy ước ( đơn vị ). Gọi là giao điểm của và . Vì tam giác là tam giác cân cạnh bằng nên ta suy ra độ dài các đường trung tuyến là . Suy ra tọa độ các điểm như hình vẽ. Theo giả thiết ta có vậy Vậy tọa độ của điểm là: Ta có mặt phẳng có phương trình Mặt khác mặt phẳng là mặt phẳng đi qua ba điểm và . Ta có: và Vậy cô sin góc tạo bởi hai mặt phẳng và là: . . Câu 10: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Một đường thẳng d đi qua đỉnh và tâm I của mặt bên . Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng và sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Cho . Chọn hê otrục như hình vẽ. , , , là trung điểm H 533
Page 14
Toán – Hình học 12 hubdocu.com . Đường thẳng đi qua , có mô ot VTCP là có phương trình là: Mặt phẳng : , Mặt phẳng , là trung điểm . . . Dấu bằng xảy ra . Câu 11: Cho hình lập phương A B C D A. 'B C' 'D ' có cạnh bằng a. Chứng minh hai đường chéo B 'D ' và A 'B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'D ' và A 'B . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: A(0; 0; 0), A '(0; 0; a), B(0; a; 0), B '(0; a a; ),C a a( ; ; 0),C '( ;a a a; ), D a( ; 0; 0), D '( ; 0;a a) Ta có: B 'D ' ( ;a a; 0) , A 'B (0; a; a) , B B ' (0; 0; a) , B 'D ', A 'B (a2; a2; a2) B 'D ', A 'B .B B ' a3 0 Suy ra nên Vậy ba vectơ B 'D '; A 'B B B, ' không đồng phẳng hay B 'D ' và A 'B chéo nhau. z D' A' B' C' A y D B x C [B 'D ', A 'B].B B ' a3 a3 a 3 d B 'D ', A 'B [B 'D ', A 'B] a4 a4 a4 a2 3 3 . Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng A B C A. 'B C' ', có đáy A B a A C, 2 ,a H 534
Page 15
Toán – Hình học 12 hubdocu.com B A C 1200 M B B ' (M A C) (M A 'C ') .Gọi là trung điểm cạnh bên , biết hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (M A C) và (B C C 'B ') . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt A A ' 2 ,x x 0. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z A' C' B' K A 2a M a 30 A C C y y B H B x x Ta có A(0; 0; 0),C(0; 2 ; 0),a A '(0; 0; 2 ),x C '(0; 2 ; 2 )a x Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên các trục Ox Oy, , suy ra 0 a 3 0 a A H A B. cos 30 , A K B H A B. sin 30 2 2 a 3 a a 3 a a 3 a B ; ; 0 , B ' ; ; 2x, M ; ; x 2 2 2 2 2 2 Do đó a 3 a A M ; ; x, A C 0; 2 ; 0a A M, A C 2ax; 0; a2 3 2 2 Ta có n1 2 ; 0;x a 3 (M A C) là VTPT của mặt phẳng a 3 a A 'M ; ; x, A 'C ' 0; 2 ; 0a A 'M, A 'C ' 2ax; 0; a2 3 2 2 n2 2 ; 0;x a 3 (M A 'C ') là VTPT của mặt phẳng a 3 n .n 0 4x2 3a2 0 x A A ' a 3 Vì (M A C) (M A 'C ') nên 1 2 2 a 3 5a 5a2 3 3a2 C C ' 0; 0; a 3 , B C ; ; 0 C C ', B C ; ; 0 2 2 2 2 Ta có n3 5; 3; 0 (B C C 'B ') là VTPT của mặt phẳng Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (M A C) và (B C C 'B ') , ta có: n1.n3 5 5 14 cos n . n 2. 28 28 1 3 . H 535
Page 16
Toán – Hình học 12 hubdocu.com Câu 13: Cho lăng trụ A B C A. 'B C' ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy A B C là tam giác vuông tại A, A B a A C, a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng (A B C) là trung điểm của cạnh B C . Tính theo a thể tích khối chóp A '.A B C A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là trung điểm đoạn B C z A' C' B' C y A x B a a 3 A(0; 0; 0), B a; 0; 0 ,C 0; a 3; 0 , M ; ; 0 2 2 Ta có tọa độ các đỉnh là: a a 3 1 2 2 A ' ; ; a 3 A M B C a M A ' A ' A A M a 3 2 2 Vì 2 , suy ra 3a a 3 a 3a 3 A 'B ' A B B ' ; ; a 3, A 'C ' A C C ' ; ; a 3 2 2 2 2 Vì 1 1 a2 3 a3 V A 'M S. A B C .a 3. Thể tích khối chóp A '.A B C : 3 3 4 4 Câu 14: Cho lăng trụ đứng A B C A. 'B C' ' có đáy A B C là tam giác vuông, A B B C a , cạnh bên A A ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh B C . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A M, B C' . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ H 536
Page 17
Toán – Hình học 12 hubdocu.com z C' A' B' A C y B M x A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C 0; a; 0 , A ' 0; 0; a 2 , B 'a; 0; a 2 Tọa độ các đỉnh là: C ' 0; a a; 2 , M a ; a ; 0 2 2 . a2 a3 2 V A A '.SA B C a 2. Thể tích khối lặng trụ: 2 2 . a a A M ; ; 0 , A C 0; a; 0 , B C' a a a; ; 2 Ta có: 2 2 a2 2 a2 2 a3 2 A M, B C' ; ; a2 A M, B C' .A C 2 2 2 Suy ra A M, B C' .A C a d A M, B C' A M, B C' 2 Vậy Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác A B C A. 'B C' ' có B B ' a, góc giữa đường thẳng B B ' và mặt phẳng (A B C) 600 A B C C B A C 600 bằng ; tam giác vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng (A B C) trùng với trọng tâm của tam giác A B C . Tính thể tích khối tứ diện A ' A B C theo a. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ H 537
Page 18
Toán – Hình học 12 hubdocu.com z C' A' B' C A y H B M x Gọi M, H lần lượt là trung điểm của B C và trọng tâm của tam giác A B C 0 x A C A B. cot 60 Đặt B C x S H, y x y; , 0 suy ra 3 . Tọa độ các đỉnh là: x x x x x C 0; 0; 0 , B x; 0; 0 , A 0; ; 0 , H ; ; 0 , B ' ; ; y 3 3 3 3 3 3 3 2x x B B ' ; ; y 3 3 3 k 0; 0;1 (A B C) Suy ra , là VTPT của B B '.k a 3 0 2y a y sin 60 2 B B ' . k 13 x2 y2 a 27a2 27 x2 B B ' a 52 Theo đề bài ta có: 1 1 x x2 81a2 SA B C C A C B. x. Suy ra 2 2 3 2 3 104 3 1 x2 1 3a 27a2 9a3 VA ' A B C VB '.A B C y. . . Vậy thể tích khối chóp A '.A B C là: 3 2 3 3 2 104 3 208 . Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng A B C A. 'B C' ' có đáy A B C là tam giác vuông tại B, A B a, A A’ 2 ,a A C’ 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ', I là giao điểm của A M và A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IA B C A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt B C x x, 0. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ H 538
Page 19
Toán – Hình học 12 hubdocu.com z B' C' M A' I B C y x A B 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , C 0; x; 0 , B '(0; 2 ; 0),a A 'a; 0; 2a,C '(0; x; 2 )a Tọa độ các điểm là: A 'C a x; ; 2a A 'C2 a2 x2 (2 )a 2 (3 )a 2 x 2a Suy ra a a M ; a; 2a A M ; a; 2a Trung điểm 2 2 x a t A M : y 2t I a t; 2 ; 4t t A 'I t; 2 ; 4t t 2a z 4t Phương trình t 2t 4t 2a a 2a 2a 4a I A 'C t I ; ; Vì a 2a 2a 3 3 3 3 2a 2a 4a 2a 4a 4a 8a2 4a2 B I ; ; ,C I ; ; B I C I, ; 0; 3 3 3 3 3 3 3 3 Suy ra a 2a 4a 8a3 A I ; ; B I C I, .A I 3 3 3 3 1 4a3 V B I C I, .A I Thể tích khối chóp IA B C : 6 9 A B C A. 'B C' ' A B a A 'B C Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa hai mặt phẳng và A B C 600 G A 'B C bằng . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G A B C theo a. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt A A ' x x, 0. Chọn hệ trục như hình vẽ H 539
Page 20
Toán – Hình học 12 hubdocu.com z A' C' B' A C y x B a 3 a A 0; 0; 0 ,C 0; a; 0 , A ' 0; 0; x ,C ' 0; a x; , B ; ; 0 2 2 Tọa độ các điểm: a 3 a ax ax 3 a2 3 A 'B ; ; x, A 'C (0; a; x) A 'B, A 'C ; ; 2 2 2 2 2 Suy ra n x x; 3; a 3 (A 'B C) k 0; 0;1 (A B C) Nên là VTPT của , là VTPT của n k. 3a cos 600 2 3a 4x2 3a2 x n . k 2 Theo đề bài: a 3 a a G ; ; 6 2 2 Tọa độ trọng tâm . I x y z; ; GA B C Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , ta có 2 2 2 2 2 a 3 a 2 a 3 x y z x y z x IA2 IB2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 a IA IC x y z x (y a) z y 2 IA2 IG2 2 2 2 2 2 2 a 3 a a a x y z x y z z 6 2 2 12 a 3 a a I ; ; 7a 6 2 12 R IA Tâm , bán kính 12 . Câu 18: Cho lăng trụ A B C D A B C D. 1 1 1 1 có đáy A B C D là hình chữ nhật. A B a, A D a 3 . Hình A A B C D A C chiếu vuông góc của điểm 1 trên mặt phẳng trùng với giao điểm và B D . Góc A D D A A B C D 600 B giữa hai mặt phẳng 1 1 và bằng . Tính khoảng cách từ điểm 1 đến mặt A B D a phẳng 1 theo . A. . B. . C. . D. . H 540
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !