第 1 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LÝ THUYẾT MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG III: KHÔNG GIAN VECTOR Mục lục I Không gian vector 2 1 Định nghĩa không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Các tính chất cơ bản của KGVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Không gian vector con 4 1 Định nghĩa không gian vec tơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Các ví dụ về không gian vec tơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Một số nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III Hệ vector 6 1 Tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Hệ sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV Cơ sở, toạ độ 10 1 Khái niệm cơ sở và tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Tọa độ của vector theo cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Ma trận chuyển đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Công thức đổi toạ độ và bài toán chuyển đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 1
第 2 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập I Không gian vector || Khái niệm KGVT, định nghĩa KGVT, các tính chất cơ bản. Một số ví dụ. 1 Định nghĩa không gian véc tơ Định nghĩa 1. Ta nói tập hợp V là một không gian véc tơ trên trường K, hay một K-không gian véc tơ, nếu V được trang bị một phép toán hai ngôi (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng của K, ký hiệu (.) thỏa mãn 8 điều kiện sau: 1. Tính giao hoán của phép cộng: ∀u,v ∈V ta có u+v = v+u; 2. Tính kết hợp của phép cộng: ∀u,v,w ∈V ta có (u+v) +w = u+ (v+w); 3. Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là θ (gọi là véc tơ không) thỏa mãn: ∀u ∈ V ta có u+θ = θ +u = u; 4. ∀u ∈ V luôn tồn tại một phần tử đối (gọi là véc tơ đối), ký hiệu là −u thỏa mãn: u+ (−u) = (−u) +u = θ; 5. ∀u,v ∈V,∀α ∈ K ta có α(u+v) = αu+αv; 6. ∀u ∈V,∀α,β ∈ K ta có (α +β)u = αu+βu; 7. ∀u ∈V,∀α,β ∈ K ta có (α.β)u = α.(βu); 8. ∀u ∈V ta có 1.u = u với 1 là đơn vị của trường K; Lưu ý 1. Các nhận xét: - Các phần tử θ trong điều kiện (3) và phần tử −u trong điều kiện (4) là duy nhất. - Các phần tử của V được gọi là véc tơ được ký hiệu bởi các chữ La tinh nhỏ như u,v,w, . . . Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và ký hiệu là h;k;. . . hoặc các chữ Hy Lạp nhỏ α,β,γ, . . . - Nếu K = R thì ta gọi V là không gian véc tơ thực, còn nếu K = C thì ta gọi V là không gian véc tơ phức. - Ta định nghĩa phép trừ véc tơ bằng công thức sau: u−v = u+ (−v). - Luật phân phối đối với hiệu: (α −β)u = αu−βu. - Quy ước: Nếu nói đơn thuần là không gian véc tơ, ta hiểu là không gian véc tơ thực. 2 Các ví dụ Ví dụ 1. Cho V = Kn = {(x ,x , . . . ,x ) | x ∈ K} với các phép toán như sau: 1 2 n i ∀u = (x1,x2, . . . ,xn),v = (y1,y2, . . . ,yn) thì u + v = (x1 +y1,x2 +y2, . . . ,xn +yn) và αu = (αx1,αx2, . . . ,αxn) là một K-không gian véc tơ. Ví dụ 2. Tập hợp những véc tơ tự do trong mặt phẳng với những phép toán cộng véc tơ và phép nhân véc tơ với một số thực mà chúng ta đã biết trong chương trình toán phổ thông là một không gian véc tơ trên trường số thực. Ví dụ 3. Tập hợp M(m,n,K) với các phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số tạo thành một không gian véc tơ trên K. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 2
第 3 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ví dụ 4. Tập hợp K[x] các đa thức một biến với hệ số trên trường K cùng với phép toán cộng đa thức và nhân đa thức với một số K tạo thành một không gian véc tơ trên trường K. Ví dụ 5. Với n là một số nguyên dương, ta đặt tập hợp Pn[x] = f = a +a x+a x2 +. . .+a xn | a ∈ R là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có o 1 2 n i bậc nhỏ hơn hoặc bằng n. Trong đó 2 phép toán là cộng hai đa thức (cộng các hệ số cùng bậc) và nhân đa thức với một số thực (nhân số đó vào tất cả các hệ số của đa thức). Kiểm tra dễ dàng các điều kiện ta thu được là không gian véc tơ trên trường số thực. Ví dụ 6. Gọi C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [a,b]. Định nghĩa các phép toán trong như sau: Nếu f(t),g(t) ∈ C[a,b] thì ta đặt (f +g)(t) = f(t) +g(t);(k· f)(t) = k· f(t). và cũng thu được một không gian véc tơ trên trường số thực 3 Các tính chất cơ bản của KGVT Tính chất 1. ∀ véc tơ v ∈V ta luôn có 0.v = θ. Tính chất 2. ∀ véc tơ v ∈V ta luôn có −v = (−1)·v. Tính chất 3. ∀ véc tơ v ∈V và k ∈ K ta luôn có (−k)·v = k·(−v) = −kv. Tính chất 4. ∀ véc tơ k ∈ K ta luôn có k·θ = θ. Tính chất 5. Nếu ku = kv và k ̸= 0 thì u = v. Tính chất 6. Nếu ku = hu và u ̸= θ thì h = k. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 3
第 4 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập II Không gian vector con || Định nghĩa KGVT con. Các ví dụ. Một số nhận xét. 1 Định nghĩa không gian vec tơ con Định nghĩa 2. - Cho V là một K-không gian véc tơ và W là một tập con khác rỗng của V. Ta nói tập hợp W đóng kín đối với các phép toán trên V nếu thỏa mãn: ∀w1,w2 ∈ W;k ∈ K ta luôn có w1 +w2 ∈W;kw1 ∈W. - Khi đó các phép toán trên V sẽ trở thành các phép toán trên W, gọi là các phép toán cảm sinh từ V lên W. - Nếu W cùng hai phép toán cảm sinh tạo thành một K-không gian véc tơ thì W gọi là K không gian véc tơ con của V. Một câu hỏi đặt ra là các phép toán cảm sinh này trên V thì thỏa mãn 8 điều kiện, nhưng trên W thì sao?. Ta có thể chứng minh rằng khi đó các phép toán cảm sinh sẽ thỏa mãn cả 8 điều kiện của khái niệm không gian véc tơ. Nên ta có định lý sau: Định lý 1. (Tiêu chuẩn không gian vec tơ con): W là không gian véc tơ con của V khi và chỉ khi W đóng kín đối với hai phép toán của V. 2 Các ví dụ về không gian vec tơ con Ví dụ 7. Cho không gian véc tơ V = R3.Khi đó - U1 = {(x;y;z) | x+y+z = 0} ⊂ V. Khi đó U1 đóng kín với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên R3 nên U là không gian véc tơ con của V. 1 -U2 = {(x;y;z) | x+y+z = 1} ⊂V. Khi đó U2 không đóng kín với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên R3 ví dụ như 2.(1; 0; 0) = (2; 0; 0) ∈/ V nên U không là không gian véc tơ con của V. 2 - U3 = {(x;y;z) | x.y.z = 0} ⊂ V. Khi đó U3 không đóng kín với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên R3 ví dụ như (1; 0; 0) + (0; 1; 1) = (1; 1; 1) ∈/ V nên U không là không gian véc tơ con của V. 3 - Cho trước A là ma trận kích thức m×3 và U = u = (x;y;z) | A·uT = 0 ⊂ V. Khi đó U đóng kín 4 4 với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên R3 nên U là không gian véc tơ con của V. Tổng quát cho 4 A là ma trận kích thức m×n ta luôn có tập nghiệp của 1 hệ phương trình tuyến tính thuần nhất A.x = 0 luôn là một không gian véc tơ con của không gian Rn. Ví dụ 8. Cho không gian véc tơ V = Mat(2; 2);R. Khi đó - U1 = {A ∈V | det(A) = 0} ⊂V. Khi đó U1 không đóng kín với 2 phép toán trên V, ví dụ như 1 0 0 0 1 0 A = ;B = ∈U ;A+B = ∈/ U 1 1 0 0 0 1 0 1 Nên U1 là không gian véc tơ con của V. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 4
第 5 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a b - U = a = 0 ⊂V. Khi đó U đóng kín với 2 phép toán trên V nên U là không gian véc 2 2 2 c d tơ con của V. - U3 = {A ∈V | det(A) ̸= 0} ⊂V. Khi đó U3 không đóng kín với 2 phép toán trên V, ví dụ như 1 0 0 0 A = ∈U ; 0.A = ∈/ U 3 3 0 1 0 0 Nên U3 không là không gian véc tơ con của V. Ví dụ 9. Cho không gian véc tơ V = Pn[x],n ≥ 3. Khi đó - U = P [x] ⊂V. Khi đó U đóng kín với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên R3 nên U là không 1 2 1 1 gian véc tơ con của V. - U2 = {p(x) ∈V | p(1) = 0} ⊂V (Có nghiệm x0 = 1 ). Khi đó U2 đóng kín với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên V nên U2 là không gian véc tơ con của V. - U3 = { các đa thức bậc 2} ⊂ V. Khi đó U3 không đóng kín với 2 phép toán cộng, nhân với vô hướng trên R3 ví dụ như −x2 +2x+1 + x2 +5x−3 = 7x−2 ∈/ U 3 nên U3 không là không gian véc tơ con của V. 3 Một số nhận xét Lưu ý 2. Nhận xét: - Véc tơ không θ của V luôn nằm trong mọi không gian con. Tập chỉ gồm duy nhất véc tơ không là không gian con bé nhất của mọi không gian véc tơ. Lưu ý 3. Cho trước các không gian véc tơ con W1,W2, . . ., khi đó ta có: - Giao W1 ∩W2 của các không gian con lại là không gian con. Dây là không gian con lớn nhất nằm trong W1 và W2. Nhận xét này cũng đúng cho giao tùy ý các không gian con. - Hợp W1 ∪W2 của các không gian con chưa chắc đã là không gian con. Ví dụ W1 = {(x; 0) | x ∈ R} ⊂ R2, W = {(0;y) | y ∈ R} ⊂ R2 thì (1,0);(0; 1) ∈W ∪W nhưng (1; 0) + (0; 1) ∈/ W ∪W . 1 1 2 1 2 - TổngW1 +W2 = {u1 +u2 | u1 ∈W1,u2 ∈W2} của các không gian con lại là không gian véc tơ con, tổng các không gian con. Đây là không gian con bé nhất chứa W1 và W2. Đặc biệt khi có thêm điều kiện W1 ∩W2 = {0}, ta có khái niệm tổng trực tiếp của 2 không gian con, ký hiệu W1 ⊕W2. Nhận xét vẫn đúng cho trường hợp nhiều các không gian véc tơ. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 5
第 6 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập III Hệ vector || Section 1 - Tổ hợp tuyến tính, bao tuyến tính , hệ sinh. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. Một số tính chất. 1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa 3. Cho V là một K-không gian véc tơ trên trường và u1,u2, . . . ,un là các véc tơ của V và x1,x2, . . . ,xn là các vô hướng của K. Khi đó véc tơ w = x1u1 +x2u2 +·+xnun gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1,u2, . . . ,un. Ví dụ 10. Cho V = R4,u = (1; 0; 2; 1),u = (3; 1; 0;−1),u = (4; 1; 1; 2) ∈ V. Khi đó w = v + 1 2 3 1 2v2 −v3 = (3; 1; 1;−3) là một tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3. Nếu xét véc tơ u = (1; 1; 1; 1) = x1u1 +x2u2 +x3u3 thì tương đương với hệ phương trình x1 −2x2 −x3 = 0 3x1 +x2 +4x3 = 0 x +2x +3x = 0 1 2 3 2x1 −x2 +x3 = 0 Do hệ vô nghiệm nên u không phải là một tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3. Lưu ý 4. Nhận xét: - Véc tơ không θ luôn là một tổ hợp tuyến tính của các hệ véc tơ khác (hệ số biểu diễn là 0 ). - Tổng của hai hay nhiều tổ hợp tuyến tính lại thu được một tổ hợp tuyến tính. 2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 4. Hệ các véc tơ u1,u2, . . . ,un của không gian véc tơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng x1,x2, . . . ,xn của K thỏa mãn không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: x1u1 +x2u2 +·+xnun = θ. Hệ véc tơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính. Định nghĩa 5. Mở rộng: Cho S là tập các véc tơ của V (có thể hữu hạn hoặc vô hạn). S gọi là hệ phụ thuộc tuyển tính nếu trong S có hệ các véc tơ u1,u2, . . . ,un phụ thuộc tuyến tính. Hệ S không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính. Lưu ý 5. Nhận xét: - Hệ các véc tơ u1,u2, . . . ,un phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất 1 hệ số xi nào đó trong số x1,x2, . . . ,xn khác không. Giả sử đó là xn. Khi đó, x1 x2 xn−1 un = − u1 − u2 − · · · − un−1 xn xn xn Suy ra, nếu các véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. - Các véc tơ u1,u2, . . . ,un độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu khi x1u1 +x2u2 +·+xnun = θ sẽ kéo theo x1 = x2 = · · · = xn = 0. Nói cách khác, hệ phương trình véc tơ x1u1 +x2u2 +·+xnun = θ có — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 6
第 7 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập nghiệm duy nhất tầm thường là (0,0, . . . ,0). Ví dụ 11. Trong không gian véc tơ V = R4, xem xét hệ véc tơ B = {u = (1; 2; 3; 4), 1 u2 = (−1; 2;−2; 1),u3 = (0; 4; 1; 5)} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? [Hướng dẫn giải] Xét x1u1 +x2u2 +x3u3 = θ ta có hệ phương trình x −x = 0 1 2 2x1 +2x2 +4x3 = 0 3x −2x +x = 0 1 2 3 4x1 +x2 +5x3 = 0 1 −1 0 2 2 4 Ta có ma trận hệ số A = . Do r(A) = 2 < 3 (số ẩn) nên hệ có nghiệm không tầm thường. 3 −2 1 4 1 5 Do đó hệ phụ B phụ thuộc tuyến tính. Lưu ý 6. Khi có các véc tơ trong Rn, ta thành lập ma trận A từ các véc tơ (có thể theo hàng hoặc cột vì đều có hạng như nhau), so sánh hạng ma trận r(A) và số véc tơ: +) r(A) < số véc tơ, thì hệ phụ thuộc tuyến tính. +) r(A) = số véc tơ, thì hệ độc lập tuyến tính. Tính chất 7. 1. Diều kiện cần và đủ để hệ các véc tơ phụ thuộc tuyến tính là một trong các véc tơ đó là tổ hợp của các véc tơ còn lại. 2. Trong hệ véc tơ nếu có chứa véc tơ θ thì hệ véc tơ này phụ thuộc tuyến tính. 3. Nếu một phần của họ các véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các véc tơ của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính. 4. Một hệ độc lập tuyến tính thì một phần của hệ đó cũng độc lập tuyến tính. 5. Hệ một véc tơ {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v ̸= θ 3 Hệ sinh Định nghĩa 6. - Cho S là một tập con của không gian véc tơ V. Ta có tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính tạo thành một không gian véc tơ con của V. Ta gọi không gian con này là bao tuyến tính của S và ký hiệu là span(S). - Hệ S được gọi là hệ sinh của V nếu span(S) =V. - Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. - Không gian véc tơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh. - Quy ước khi S = 0/ thì span(S) = {θ} — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 7
第 8 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ví dụ 12. - Cho V = Rn thì hệ B gồm các véc tơ e = (1; 0; 0;. . . ,0),e = (0; 1; 0;. . . ,0), . . . ,e = 1 2 n (0; 0;. . . ,0; 1) làm thành một hệ sinh của V - Cho V = P [x] thì hệ B = 1,x,x2, . . . ,xn và B gồm các véc tơ u = 1,u = 1+x,u = 1+x+ n 1 2 1 2 3 x2, . . . ,u = 1+x+· · ·+xn là các hệ sinh của V. n+1 Ví dụ 13. Chứng minh rằng hệ 3 vectơ u1 = (1; 1; 2),u2 = (2; 1; 0),u3 = (3;−1; 2) là hệ sinh của không gian vectơ R3. [Hướng dẫn giải] Lấy véc tơ u = (b ,b ,b ) ∈ R3 bất kỳ và xét u = x u +x u +x u tương đương với hệ phương trình 1 2 3 1 1 2 2 3 3 x +2x +3x = b 1 2 3 1 x1 +x2 −x3 = b2 2x1 +2x3 = b3 1 2 3 Ta có ma trận hệ số A = 1 1 −1 khả nghịch. Nên hệ phương trình luôn có nghiệm. Do đó hệ 2 0 2 {u ,u ,u } là hệ sinh của R3. 1 2 3 Lưu ý 7. Nhận xét : - Khi có các véc tơ trong Rn, ta thành lập ma trận A từ các véc tơ (có thể theo hàng hoặc cột vì đều có hạng như nhau), so sánh hạng ma trận r(A) và n : +) r(A) < n, thì hệ không phải là hệ sinh. +) r(A) = n, thì hệ là hệ sinh. - Span(S) là không gian véc tơ con bé nhất của V chứa hệ véc tơ S. - S là hệ sinh, S ⊂ S′ thì S′ cũng là hệ sinh. - S là hệ sinh, thực hiện biến đổi sơ cấp trên hệ S để thu được hệ S′ thì S′ cũng là hệ sinh. Lưu ý rằng ta luôn có Span(S) = Span S′ - S là hệ sinh tối tiểu của Span(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính. || Section 2 - Không gian nghiệm của HPTTT thuần nhất. Định nghĩa 7. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn AX = θ trong đó A = ai j là ma trận các hệ số, còn X là ma trận cột của các ẩn x1,x2, . . . ,xn. m×n Mỗi nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên là một bộ c = (c ,c , . . . ,c ) ∈ Rn. Hệ luôn có ít 1 2 n nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường nên tập hợp U các nghiệm là một tập khác rỗng. Dễ thấy tổng hai nghiệm của hệ cũng là một nghiệm của hệ và tích của số k ∈ R với một nghiệm c cũng là một nghiệm của hệ. Bởi vậy tập U các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tạo thành một không gian con của không gian Rn. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 8
第 9 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ví dụ 14. Xét hệ phương trình x +x −x +x = 0 1 2 3 4 −x +2x −3x = 0 2 3 4 Từ đó suy ra x3 = s;x4 = t;x2 = 2s−3t;x1 = −s+2t Nghiệm tổng quát của hệ là (−s+2t; 2s−3t;s;t) = s(−1; 2; 1; 0) +t(2;−3; 0; 1) s,t ∈ R Do đó không gian nghiệm của hệ thuần nhất cũng là không gian tuyến tính sinh bởi 2 véc tơ u1 = (−1; 2; 1; 0), và u2 = (2;−3; 0; 1). Lưu ý 8. Tổng quát: Với mọi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = θ ta tiến hành giải hệ phương trình biểu diễn qua k = n−r(A) tham số x = t1u1 +t2u2 +· · ·+tkuk Do đó không gian nghiệm U = Span(u1,u2, . . . ,uk) Hơn thế, các tham số là độc lập nên hệ B = {u1,u2, . . . ,uk} là độc lập tuyến tính. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 9
第 10 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập IV Cơ sở, toạ độ || Section 1 - Khái niệm cơ sở, số chiều, tọa độ. Tọa độ của vector theo cơ sở. 1 Khái niệm cơ sở và tọa độ Định nghĩa 8. Cho V là không gian véc tơ và S là một hệ các véc tơ của V. Khi đó các khẳng định tương đương: 1. S là hệ sinh độc lập tuyến tính. 2. S là hệ sinh tối tiểu ( S không có tập con thực sự nào là hệ sinh). 3. S là hệ độc lập tuyến tính tối đại ( S không là tập con thực sự của một hệ độc lập tuyến tính nào khác). 4. Mọi véc tơ của V dều biểu diễn một cách duy nhất qua hệ S. Hệ S thỏa mãn một trong các khẳng định tương đương trên gọi là một cơ sở của không gian véc tơ V. Ví dụ 15. • {(1,1),(1,2)} là một cơ sở của R2. • {(1,0),(0,1)} là một cơ sở của R2. • {(1,1),(1,2),(1,3)} không là một cơ sở của R2. Ví dụ 16. - Hệ {e , . . . ,e } trong Rn gồm các vectơ 1 n e1 = (1,0,0, . . . ,0),e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . ,en = (0,0, . . . ,0,1) là một cơ sở của Rn. Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc (hay chuẩn tắc) của Rn. - Hệ 1,x,x2, . . . ,xn là một cơ sở của P [x]. Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của P [x]. n n - Một cơ sở của M2×2(R) là 1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 Định lý 2. - Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V. - Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở. - Cho V là không gian véc tơ hữu hạn sinh với S = {v1,v2, . . . ,vm} là một hệ sinh của V và T = {u1,u2, . . . ,un} là một hệ độc lập tuyến tính của V. Khi đó n ≤ m. - Cho V là không gian véc tơ hữu hạn sinh thì khi đó mọi cơ sở S của V đều có số phần tử hữu hạn. - Cho V là không gian véc tơ với S = {v1,v2, . . . ,vm},T = {u1,u2, . . . ,un} là hai cơ sở của V. Khi đó m = n. Định nghĩa 9. Số phần tử của một cơ sở của không gian véc tơ hữu hạn chiều gọi là chiều của không gian V, ký hiệu dim(V). Lưu ý 9. - Nếu V = {0}, thì ta quy ước dimV = 0, và 0/ là cơ sở của V. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 10
第 11 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập - Nếu V ̸= {0} và V không có một cơ sở gồm hữu hạn vectơ thì ta nói V là vô hạn chiều, ký hiệu dimV = ∞. - Trường hợp dimV = n hoặc dimV = 0 thì ta nói V là hữu hạn chiều. Ví dụ 17. 1. Cho V = Rn, khi đó E gồm các véc tơ e = (1; 0; 0;. . . ,0),e = (0; 1; 0;. . . ,0), . . . ,e = 1 2 n (0; 0;. . . ,0; 1) làm thành một cơ sở của V. Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của Rn, do đó ta có dim(Rn) = n. 2. Cho V = P [x] thì hệ E gồm các véc tơ u = 1;u = x;u = x2;. . .;u = xn là một cơ sở của V. n 1 2 3 n+1 Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của Pn[x], do đó ta có dim(Pn[x]) = n+1. 1 0 0 1 3. Cho V = Mat(2,2,R), khi đó hệ B gồm các véc tơ E = ,E = ,E = 11 12 21 0 0 0 0 0 0 0 0 ,E = . làm thành một cơ sở của V. Do đó dim(Mat(2,2,R)) = 4 22 1 0 0 1 4. Cho V = Rn và hệ B gồm m véc tơ u = (a ,a , . . . ,a ),u = (a ,a , . . . ,a ), . . .„ u = 1 11 21 n1 2 12 22 n2 m (a ,a , . . . ,a ). Do dim(Rn) = n nên B là cơ sở của Rn khi và chỉ khi m = n và ma trận A = a 1m 2m nm i j là một ma trận khả nghịch. Lưu ý 10. Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dim(V) = n. Khi đó: - Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. - Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V. - Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V dều là cơ sở của V. - Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm (n−k) vectơ để lập thành một cơ sở của V. Ví dụ 18. Tìm số chiều của không gian vectơ con sau của R3 : W = {(a,a+b,b) | a,b ∈ R} [Hướng dẫn giải] • Xét v = (a,a+b,b) ∈W bất kỳ. Ta có (a,a+b,b) = (a,a,0) + (0,b,b) = a(1,1,0) +b(0,1,1). • Như vậy W sinh bởi S = {(1,1,0),(0,1,1)}. • Xét c1 · {1,1,0}+c2 · {0,1,1} = θ. 1 0 0 1 0 0 1 0 0 h −h →h h −h →h A¯ = [A | B] = 1 1 0 −−2−−1−−→2 0 1 0 −−3−−2−−→3 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 ⇒ r(A) = r(A¯) = 2 ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất ⇒ S là ĐLTT. • Do vậy S là một cơ sở của W và dimW = 2. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 11
第 12 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định lý 3. (Số chiều không gian nghiệm thuần nhất) Gọi V là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0, với n = số ẩn=số cột của A. Khi đó dimV = n−rank(A) Ví dụ 19. (CK20151) Tìm m để không gian nghiệm của hệ sau có số chiều là 2 : 2x +x −x +3x −2x = 0 1 2 3 4 5 x1 −2x2 +3x3 +mx4 +x5 = 0 3x1 −x2 +2x3 +4x4 −x5 = 0 [Hướng dẫn giải] Ta có: dimV = n−r(A) ⇒ r(A) = 5−2 = 3 2 1 −1 3 −2 2 1 −1 3 −2 2h −3h →h A¯ = [A | B] = 1 −2 3 m 1 −−2−−−1−−→3 0 −5 7 2m−3 4 2h2−h1→h2 3 −1 2 4 −1 0 −5 7 −1 4 2 1 −1 3 −2 2 1 −1 −2 3 h −h →h c ↔c −−3−−2−−→3 0 −5 7 2m−3 4 −−4−−→5 0 −5 7 4 2m−3 0 0 0 2−2m 0 0 0 0 0 2−2m Để r(A) = 3 thì 2−2m ̸= 0 ⇔ m ̸= 1. 2 Tọa độ của vector theo cơ sở Định nghĩa 10. Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều có B = {u1,u2, . . . ,un} là một cơ sở của V (có tính thứ tự các véc tơ trong cơ sơ). Khi đó mọi véc tơ v bất kỳ của V dều biểu diễn duy nhất qua B là: v = x1u1 +x2u2 +· · ·+xnun. Ta định nghĩa bộ hệ số biểu diễn có thứ tự (x1,x2, . . . ,xn) gọi là tọa độ của véc tơ v theo cơ sở B. Nếu viết bộ tọa độ này dưới dạng cột ta dùng ký hiệu [v]B hay x1 x2 [v]B = . . . xn Lưu ý 11. Khi xem xét tọa độ của véc tơ theo cơ sở B, thì cơ sở B có xét đến tính thứ tự của các véc tơ trong cơ sở. Khi đổi thứ tự các véc tơ trong cơ sở ta được cơ sở khác, và tọa độ các véc tơ khi đó cũng sẽ thay đổi theo. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 12
第 13 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ví dụ 20. 1. Cho V = Rn và E cơ sở chính tắc của Rn. Véc tơ v = (x ,x , . . . ,x ) ∈ Rn có tọa dộ cũng vẫn là 1 2 n bộ (x1,x2, . . . ,xn) hay x1 x2 [v]E = . . . xn 2. Cho V = P [x] và E cơ sở chính tắc của P [x]. Véc tơ v = a +a x+· · ·+a xn có tọa độ với cơ sở n n 0 1 n E là bộ (a0,a1, . . . ,an) hay a0 a [v] = 1 E . . . an 1 0 0 1 3. Cho V = Mat(2,2,R) và cơ sở B gồm các véc tơ E = ,E = , 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 a b E = ,E = . Véc tơ v = có tọa độ đối với cơ sở B là bộ (a,b,c,d). 3 4 1 0 0 1 c d 4. Cho V = R3 và hệ B gồm 3 véc tơ u = (1; 1; 2),u = (2;−1; 3),u = (0; 2; 1). Do 1 2 3 1 2 0 v = 1 −1 2 = 5 ̸= 0 nên B là một cơ sở của R3. Với véc tơ v = (7; 3; 13), ta xét hệ phương trình 2 3 −1 v = x1u1 +x2u2 +x3u3 thu được x1 = 3,x2 = 2,x3 = 1 nên 3 [v]B = 2 1 5. Cho V = P [x] và hệ B gồm 4 véc tơ u = 1,u = 1+x,u = 1+x+x2,u = 1+x+x2 +x3 là một 3 1 2 3 4 cơ sở của V. Với véc tơ v = 3+5x−3x2 +4x3, ta xét hệ phương trình v = x u +x u +x u +x u 1 1 2 2 3 3 4 4 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 13
第 14 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập thu được x1 = −2,x2 = 8,x3 = −7,x4 = 4 nên −2 8 [v]B = −7 4 Lưu ý 12. Trong trường hợp tổng quát, việc tìm tọa độ của một véc tơ theo một cơ sở luôn đưa đến việc xem xét một hệ Crame (có nghiệm duy nhất). Ví dụ 21. Trong R2 tìm tọa độ của v = (1,4) đối với cơ sở B = {v = (1,1), ,v = (−1,2)}. 1 2 [Hướng dẫn giải] c −c = 1 c = 2 • (v) = (c ,c )⇔v=c v +c v ⇔(1,4) =c (1,1)+c (−1,2)⇔ 1 2 ⇔ 1 B 1 2 1 1 2 2 1 2 c1 +2c2 = 4 c2 = 1 2 • (v) = (2,1), hoặc [v] = . B B 1 || Section 2 - Ma trận toạ độ của hệ vector theo cơ sở.Hạng của hệ vector, cơ sở và số chiều của KGVT con sinh bởi hệ vector. Định nghĩa 11. Cho V là một không gian véc tơ với B = {u1,u2, . . . ,un} là một cơ sở của V. • Cho S = {v1,v2, . . . ,vm} là một hệ véc tơ của V, khi đó ma trận A = ai j kích thước n×m xác định bởi các cột lần lượt là [v1]B ,[v2]B , . . . ,[vm]B gọi là ma trận của hệ véc tơ S đối với cơ sở B, ký hiệu là [S]B. • Hạng của ma trận A được gọi là hạng của hệ véc tơ S, đây cũng chính là số véc tơ độc lập tuyến tính nhiều nhất của hệ S, ký hiệu r(S). Do đó r(S) = r(A) = dim(Span(S)). Ví dụ 22. Trong không gian P [x] cho các vectơ v =1+x+x2,v =2+mx−x2, v =4+5x+x2,v= 2 1 2 3 10+11x−5x2. a) Xác định m để hệ B = {v1,v2,v3} phụ thuộc tuyến tính. b) Với m = 2, chứng minh B lập thành cơ sở của không gian P2[x]. Tìm tọa độ của vectơ v đối với cơ sở B. [Hướng dẫn giải] - Ma trận tọa độ hàng của B đối với cơ sở chính tắc 1,x,x2 là 1 1 1 A = 2 m −1 4 5 1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 14
第 15 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập - B phụ thuộc tuyến tính ⇔ rank(B) < 3 ⇔ rank(A) < 3 ⇔ det(A) = 0. 1 1 1 - det(A) = 2 m −1 = 9−3m. 4 5 1 - B phụ thuộc tuyến tính ⇔ 9−3m = 0 ⇔ m = 3. - Với m = 2,det(A) ̸= 0, do đó B là một cơ sở của P2[x]. - Gọi (v)B = (c1,c2,c3) là tọa độ củav đối với cơ sở B. c +2c +4c = 10 c = −2 1 2 3 1 - Khi đó v = c1v1 +c2v2 +c3v3 ⇔ c1 +2c2 +5c3 = 11 ⇔ c2 = 4 c −c +c = −5 c = 1 1 2 3 3 - (v)B = (−2,4,1). Lưu ý 13. Muốn tìm hạng của họ véctơ S, chỉ cần tìm ma trận toạ độ của nó trong một cơ sở bất kì của V (thông thường ta chọn cơ sở chính tắc). Sau đó áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, cột để đưa ma trận đã cho về ma trận bậc thang. Ví dụ 23. Trong không gian P3[x], tìm hạng của hệ véc tơ sau B = u = 2+x+x2,u = x−x2 +2x3,u = 4+x+3x2 −2x3 . 1 2 3 [Hướng dẫn giải] Xét E = 1,x,x2,x3 là cơ sở chính tắc của P [x]. Ta có ma trận tọa độ hàng của B đối với cơ sở E: 3 2 1 1 0 A = 0 1 −1 2 4 1 3 −2 Do đó ta có r(B) = r(A) = 2 (tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận A ). Đây cũng chính là số chiều của không gian Span(B). Lưu ý 14. (Tìm một cơ sở của span (S)): - Viết ma trận tọa độ hàng A của hệ S đối với cơ sở B nào đó. - Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về ma trận bậc thang A′. Ma trận A′ có r hàng khác 0 . - Gọi v′ , . . . ,v′ là các vectơ trong V mà nhận r hàng khác 0 này của A′ làm các hàng tọa độ (đối 1 r với cơ sởB ). - Khi đó v′ , . . . ,v′ lập thành một cơ sở của span(S). 1 r — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 15
第 16 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập || Section 3 - Ma trận chuyển cơ sở. Công thức đổi toạ độ và bài toán chuyển đổi cơ sở 3 Ma trận chuyển đổi cơ sở Định nghĩa 12. Giả sử trong không gian vectơ V, ngoài cơ sở B1 = {u1,u2, . . . ,un} còn có một cơ sở khác là B2 = {v1,v2, . . . ,vn}. Khi đó ma trận tọa độ [B2]B của hệ B2 theo cơ sở B1 được gọi là ma 1 trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2, ký hiệu CB →B . 1 2 Tính chất 8. - Ma trận chuyển cơ sơ CB →B luôn là một ma trận khả nghịch. 1 2 - Ma trận chuyển cơ sơ C = (C )−1. B2→B1 B1→B2 - Với 3 cơ sở của V là B1,B2,B3 ta có CB →B =CB →B ·CB →B 1 3 1 2 2 3 4 Công thức đổi toạ độ và bài toán chuyển đổi cơ sở Công thức 1. Cho không gian vectơV, với hai cơ sở là B1 ={u1,u2, . . . ,un} và B2 ={v1,v2, . . . ,vn}. Khi đó với véc tơ v bất kỳ của V ta có công thức sau [v] = (C )−1 ·[v] B2 B1→B2 B1 hay [v]B =CB →B ·[v]B 2 2 1 1 Ví dụ 24. Cho V = R3 và hai cơ sở E = {e = (1; 0; 0),e = (0; 1; 0),e = (0; 0; 1)} và B = 1 2 3 {v1 = (1; 2; 1),v2 = (−1; 1; 3),v3 = (3; 2;−1)}. (a) Xác định ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. (b) Áp dụng công thức đổi tọa độ để tìm tọa độ của véc tơ w = (2; 9; 10) đối với cơ sở B. [Hướng dẫn giải] (a) Ma trận chuyển cơ sở từ E sang B là 1 −1 3 CE→B = [B]E = 2 1 2 1 3 −1 (b) −1 1 −1 3 −7 8 −5 2 2 1 [w]B = 2 1 2 ·[w]E = 4 −4 4 · 9 = 3 4 1 3 −1 5 −4 3 10 1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 16
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！