第 1 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I: TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC Bài 1 - Logic Câu 1. Chọn bảng giá trị chân lý phù hợp cho: (p → q) → (p¯∨q) p q (p → q) → (p¯∨q) p q (p → q) → (p¯∨q) 1 1 0 1 1 1 ⃝ A. 1 0 1 ⃝ C. 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 p q (p → q) → (p¯∨q) p q (p → q) → (p¯∨q) 1 1 1 1 1 1 ⃝ B. 1 0 0 ⃝ D. 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Ta lập được bảng giá trị chân lý như sau: p q p → q p¯ p¯∨q (p → q) → (p¯∨q) 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 1
第 2 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 2. Cho mệnh đề sau "Hoặc −2 ≤ x ≤ −1 hoặc 1 ≤ x ≤ 2 ". Phủ định của mệnh đề trên là ⃝ A. x < −2 hoặc 2 < x ⃝ C. −2 < x < 2 ⃝ B. −1 < x < 1 ⃝ D. x < −2 hoặc 2 < x hoặc −1 < x < 1 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Ta thấy, trong mệnh đề trên, x thuộc [−2; 1]∪[1; 2]. Phủ định của mệnh đề trên bằng cách lấy tất cả các giá trị x không nằm trong khoảng trên. +) Do đó, đáp án của bài toán là: x < −2 hoặc 2 < x hoặc −1 < x < 1 Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ⃝ A. Nếu 2024 là số chẵn thì 2023 là một số chính phương ⃝ B. Nếu 2021 là số lẻ thì nó chia hết cho 3 ⃝ C. 2021 chia hết cho 3 và 2020 chia hết cho 2 ⃝ D. 2021 chia hết cho 3 hoặc 2020 chia hết cho 2 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Đáp án A: A đúng, B sai nên A → B sai (nếu ... thì → phép kéo theo) +) Đáp án B: A đúng, B sai nên A → B sai (nếu ... thì → phép kéo theo) +) Đáp án C: A sai, B đúng nên A∧B sai (và → phép hợp) +) Đáp án D: A sai, B đúng nên A∨B sai (và → phép tuyển) Câu 4. Trong các câu sau, câu nào đúng? ⃝ A. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ Q,4x2 −1 = 0 " là mệnh đề " ∀x ∈ Q,4x2 −1 > 0 ". ⃝ B. Phủ định của mệnh đề " ∃n ∈ N,n2 +1 chia hết cho 4 " là mệnh đề " ∀n ∈ N,n2 +1 không chia hết cho 4”. ⃝ C. Phủ định của mệnh đề " ∀x ∈,(x−1)2 ̸= x−1 " là mệnh đề " ∀x ∈ R,(x−1)2 = (x−1) ". ⃝ D. Phủ định của mệnh đề " ∀n ∈ N,n2 > n " là mệnh đề " ∃n ∈ N,n2 < n ". Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Đáp án A: thiếu trường hợp nhỏ hơn 0 +) Đáp án B: đáp án đúng +) Đáp án C: sai ở chỗ "Với mọi" +) Đáp án D: thiếu trường hợp bằng — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 2
第 3 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 5. Cho biết hai mệnh đề p → (q∨r) và (q∨r) → p có cùng giá trị chân lý. Biết p, q không có cùng giá trị chân lý. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề là đúng: 1. p → r 2. p → (q∧r) 3. (q∧r)∨(p∧r) 4. (p∨q) → (r∧q) ⃝ A. 1 ⃝ C. 3 ⃝ B. 2 ⃝ D. 4 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Dễ dàng nhận thấy, 2 mệnh đề này không thể cùng sai. Nếu mệnh đề thứ hai sai, thì p sai, kéo theo mệnh đề thứ nhất đúng (vi phạm đề bài). +) Đối với trường hợp 2 mệnh đề cùng đúng: TH1: Nếu p sai, do p và q không có cùng giá trị chân lý nên q đúng. Suy ra q∨r đúng. Khi đó, 2 mệnh đề không có cùng giá trị chân lý. TH2: Nếu p đúng, suy ra q∨r đúng. Mặt khác, do p đúng nên q sai. Từ đó suy ra r đúng. +) Rút ra được: p đúng, q sai, r đúng +) Kiểm tra 4 mệnh đề trên, ta rút ra được mệnh đề 1 và 3 là mệnh đề đúng. Câu 6. Trong các cặp mệnh đề sau, cặp mệnh đề nào không tương đương logic? ⃝ A. A ↔ B và (A∧B)∨(A¯ ∧B¯) ⃝ C. A ↔ B và A¯ ↔B là tương đương logic. ⃝ B. (A → B) →C và A → (B →C) ⃝ D. (p → q) → q và p∨q Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Đáp án A: Ta có bảng giá trị chân lý: A B A B (A∧B) A∧B A ↔ B (A∧B)∨(A∧B) 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 Vậy hai mệnh đề trên là tương đương logic — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 3
第 4 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +)Đáp án B: Giả sử A = B =C = 0. Khi đó A → B = 1;(A → B) → C = 0 B → C = 1; A → (B → C) = 1 Vậy nên hai mệnh đề trên không tương đương logic. +)Đáp án C: Ta có bảng giá trị chân lý: A B A A ↔ B A ↔ B A ↔ B 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 Vậy hai mệnh đề trên tương đương logic. +)Đáp án D: Ta có bảng giá trị chân lý: p q p → q (p → q) → q p∨q 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Câu 7. Trong các phép tương đương trên, biến đổi nào sai: ⃝ A. a∨b ↔ b∨a ⃝ C. a∨(b∧c) ↔ (a∨b)∧(a∨c) ⃝ B. (a∨b)∨c ↔ a∨(b∨c) ⃝ D. a∨(b∧c) ↔ (a∨b)∨(a∨c) Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) a∨(b∧c) ↔ (a∨b)∧(a∨c) Do đó, ta có biến đổi trong phương án D là sai. Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào tương đương với mệnh đề [A → (A∧B)]∨C? ⃝ A. A∨B∨C ⃝ C. (A∨B¯) →C ⃝ B. (A∧B¯) →C ⃝ D. (A∧B) →C — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 4
第 5 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Cách 1: Lập bảng giá trị chân lý +) Cách 2: Biến đổi tương đương: [A → (A∧B)]∨C ↔ [A¯ ∨(A∧B)]∨C ↔ [(A¯ ∨A)∧(A¯ ∨B]∨C ↔ (A¯ ∨B)∨C ↔ (A∧B¯) →C Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào tương đương với mệnh đề [(A∧B) → A]∨(A∧B)? ⃝ A. A∧B ⃝ C. A → B ⃝ B. A∨B ⃝ D. B → A Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Cách 1: Lập bảng giá trị chân lý +) Cách 2: Biến đổi tương đương: [(A∧B) → A]∨(A∧B) ↔ [(A¯ ∨B¯)∨A]∨(A∧B) ↔ B¯∨(A∧B) ↔ (B¯∨A)∧(B¯∨B) ↔ B¯∨A ↔ B → A Câu 10. Cho các hàm mệnh đề:p(x) : x+1 < 7;q(x) : x+5chia hết cho 9;g(x) : x là số chính phương. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề là đúng: 1. p(2)∨q(4) 2. p(2) → [g(9)∧q(5)] 3. p(7) → [q(5)∨g(5)] 4. q(3)∧g(16) ⃝ A. 1 ⃝ C. 3 ⃝ B. 2 ⃝ D. 4 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +)Ý 1: p(2) đúng ⇒ p(2)∨q(4) đúng +)Ý 2: g(9) sai ⇒ g(9)∧q(5)sai. Lại cóp(2)đúng ⇒ p(2) → [g(9)∧q(5)] sai. +)Ý 3: p(7) sai nên p(7) → [q(5)∨g(5)] đúng. +)Ý 4: q(3) sai nên q(3)∧g(16) đúng. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 5
第 6 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 2 - Tập hợp Câu 11. Cho A, B, C là các tập hợp. Khẳng định nào dưới đây là sai? ⃝ A. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ⃝ C.A\(B∪C) = (A∪B)\(A∪C) ⃝ B.A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) ⃝ D.A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C) Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) Đáp án A và B đúng vì đó chính là các quy tắc phân phối của phép giao đối với phép hợp cũng như phép hợp đối với phép giao. Đáp án D là quy tắc phân phối của phép bù và phép hợp. (lưu ý về dấu hợp / giao ở vế trái và vế phải của đẳng thức). +) Xét đáp án C: Xét phần tử x ∈ A\(B∪C), điều này nghĩa là x ∈ A và x ∈/ (B∪C). x ∈ A +) Mệnh đề trên tương đương với: x ∈/ B (1) x ∈/ C +) Xét phần tử x ∈ (A∪B)\(A∪C), ta được x ∈ (A∪B) và x ∈/ (A∪C). x ∈ A x ∈/ A x ∈ B +) Mệnh đề trên tương đương với: ⇔ x ∈/ C (2) x ∈/ A x ∈ B x ∈/ C +) Rõ ràng mệnh đề (1) và (2) không tương đương với nhau, đáp án C sai. Câu 12. Cho tập A = [1,3]. Gọi B là tập thoả mãn B = {x | x2 −(a+1)x+a ≤ 0}, với a ∈ (−10,10), a ∈ Z. Số giá trị của a để A ⊂ B? ⃝ A. 20 ⃝ C.6 ⃝ B.13 ⃝ D.7 Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Để A ⊂ B thì x2 −(a+1)x+a ≤ 0, ∀x ∈ [1,3] +) Mệnh đề trên tương đương: x2 −ax−x+a ≤ 0,∀x ∈ [1,3] ⇔ (x−1)(x−a) ≤ 0,∀x ∈ [1,3] ⇔ x ≤ a, vì x−1 ≥ 0 ∀x ∈ [1,3] — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 6
第 7 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⇔ a ≥ 3 +) Mà a ∈ (−10,10) nên có 9−3+1 = 7 giá trị thoả mãn của a. Đáp án D đúng. Câu 13. Cho ba tập hợp A = {−1,2,3}, B = {−1,0,1}, C = [−2,2]. Đặt D = (A∪B)×C. Khẳng định nào sau đây là đúng? ⃝ A. (0,3) ∈ D, (−2,2) ∈/ D ⃝ C.(1,−3) ∈/ D, (2,−1) ∈/ D ⃝ B.(0,0) ∈ D, (−2,−2) ∈/ D ⃝ D.(0,1) ∈ D, (−2,2) ∈ D Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Dựa vào đề bài, ta có A∪B = {−1,0,1,2,3}. Vì vậy D = (A∪B)×C = {−1,0,1,2,3} ×[−2,2]. +) Đáp án A sai vì (0,3) ∈/ D. Đáp án C sai vì (2,−1) ∈ D. Đắp án D sai vì (−2,2) ∈/ D. Chọn đáp án B. Câu 14. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng? ⃝ A. {x ∈ R | x3 −3x2 +5x+7 = 0} ⃝ C.{x ∈ R | x2 +5x+7 = 0} ⃝ B.{x ∈ R | x4 −x3 −3x2 +5x+1 = 0} 3 2 .. ⃝ D.{x ∈ Z | x +2x +3x . 3} Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) Xét đáp án A và B, bấm nghiệm giải phương trình đa thức ta được mỗi phương trình có ít nhất một nghiệm thực, những tập hợp nghiệm này không rỗng. 3 2 .. +) Xét đáp án D, đặt f(x) = x +2x +3x. Với x = 1 thì f(1) = 6 . 3. Mà 1 ∈ Z nên tập hợp này có chứa phần tử 1, vì vậy nó không rỗng. +) Xét đáp án C, phương trình bậc hai có định thức ∆ = 52 −4·7 = −3 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm. Tập hợp nghiệm rỗng, chọn đáp án C. Câu 15. Cho các tập hợp A, B, C khác rỗng, thoả mãn A ⊂ B ⊂C. Khẳng định nào sau đây là sai? ⃝ A. A\B = ∅ ⃝ C.(A\B)\C = ∅ ⃝ B.B\C = ∅ ⃝ D.A\(B\C) = ∅ Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Đáp án A và B hiển nhiên đúng vì A ⊂ B và B ⊂C. +) Xét đáp án C, V T = (A\B)\C = ∅\C = ∅ =V P. Vậy mệnh đề đúng. +) Xét đáp án D, V T = A\(B\C) = A\∅ = A ̸=V P. Chọn đáp án D. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 7
第 8 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 3 - Ánh xạ Câu 16. Ánh xạ tương ứng nào sao đây đơn ánh từ R đến R? 1 ⃝ C. f(x) = x3 +4x+5 ⃝ A. f(x) = 2x2 +1 4 3 2 2 ⃝ D. f(x) = x +x +2x +3x+5 ⃝ B. f(x) = 2x +3x+5 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] 1 +) Xét đáp án A, với x1 = 1 và x2 = −1, x1,x2 ∈ R , ta đều có f(x1) = f(x2) = ∈ R nên ánh xạ này không 3 đơn ánh từ R đến R. ′ ′ −3 +) Xét đáp án B, ta có fx = 4x+3, fx = 0 khi x = , tại đây hàm số f(x) đạt cực trị, nên đồ thị hàm 4 số không thể nào đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Vì vậy luôn luôn tồn tại x1 ̸= x2, x1,x2 ∈ R sao cho f(x1) = f(x2). Suy ra ánh xạ không đơn ánh từ R đến R. +) Xét đáp án C, ta có f′ = 3x2 +4 > 0 nên đồ thị hàm số f(x) luôn đồng biến trên R ∀x, vì vậy ánh xạ đơn x ánh từ R đến R. +) Đáp án D tương tự câu B, khi có một điểm tại đó đồ thị hàm số f(x) đạt cực trị, không thể tạo thành đơn ánh. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = (m+1)x2 +3x+4. Khẳng định nào sau đây là đúng? ⃝ A. f là đơn ánh khi m = 0 ⃝ C. Không tồn tại m để f đơn ánh ⃝ B. f là đơn ánh khi m = −1 ⃝ D. f đơn ánh với mọi m Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Ta có f′ = 2(m+1)x+3 là một đa thức bậc nhất, xét hai trường hợp: x +) Với 2(m+1) = 0 ⇔ m = −1, khi đó f′x = 3 > 0, đồ thị hàm số f(x) đồng biến trên R ∀x. Vì vậy hàm số đơn ánh khi m = −1. ′ −3 +) Với m ̸= −1 thì f x = 0 luôn có nghiệm x = mà tại đó đồ thị hàm số f(x) đạt cực trị. Vì vậy 2(m+1) hàm số không đơn ánh khi m ̸= −1. +) Tóm lại hàm số đơn ánh từ R đến R khi và chỉ khi m = −1. Chọn đáp án B. Câu 17. Ánh xạ nào sau đây đơn ánh từ tập R2 đến R2? ⃝ A. f(x,y) = (x3 −y,x+y) ⃝ C. f(x,y) = (x3 −y,x−y) ⃝ B. f(x,y) = (x2 −y,x+y) ⃝ D. f(x,y) = (x2 +y,x+y) — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 8
第 9 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) Xét đáp án A, ta gọi (x ,y ) và (x ,y ) ∈ R2. Giả sử f(x ,y ) = f(x ,y ) ∈ R2. Điều này nghĩa là: 1 1 2 2 1 1 2 2 x 3 −y = x 3 −y x 3 −x 3 = x −x (x −x )(x 2 +x x +x 2 +1) = 0 +) 1 1 2 2 ⇔ 1 2 2 1 ⇔ 1 2 1 1 2 2 x +y = x +y x +y = x +y x +y = x +y 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 +) Xét hai trường hợp: Nếu x2 = x1 thì y1 = y2, suy ra (x1,y1) = (x2,y2) x 2 x 2 Nếu x ̸= x thì x 2 +x 2 +x x +1 = 0 ⇔ x + 2 +3 2 +1 = 0 (vô lí) 2 1 1 2 1 2 1 2 4 +) Vì vậy, nếu f(x1,y1) = f(x2,y2) thì (x1,y1) = (x2,y2). Ánh xạ này là đơn ánh. +) Dùng phương pháp tương tự cho các đáp án B, C, D ta không suy ra được khẳng định trên, các đáp án này là sai. Câu 18. Cho ánh xạ f : R2 → R2, f(x,y) = (ax+2y,6x+by). Khi ánh xạ f là một song ánh thì a·b ̸= u (với a, b, u là các số nguyên dương). Hãy tìm giá trị của u. ⃝ A. 8 ⃝ C. 16 ⃝ B. 12 ⃝ D. 20 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Để ánh xạ là song ánh thì với (x ,y ) và (x ,y ) ∈ R2, ta có f(x ,y ) = f(x ,y ) khi và chỉ khi (x ,y ) = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 (x2,y2). +) Giả sử (x ,y ) và (x ,y ) ∈ R2. Ta xét đẳng thức f(x ,y ) = f(x ,y ) 1 1 2 2 1 1 2 2 ax +2y = ax +2y 6ax +12y = 6ax +12y (12−ab)(y1−y2) = 0 ⇔ 1 1 2 2 ⇔ 1 1 2 2 ⇔ . 6x +by = 6x +by 6ax +aby = 6ax +aby 6ax +aby = 6ax +aby 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 +) Nếu a·b = 12 ⇒ y1 có thể khác y2 ⇒ (x1,y1) có thể khác (x2,y2) ⇒ ánh xạ không là một song ánh. Vì thế a·b ̸= 12. Chọn đáp án B. ï ò −3π π y Câu 19. Cho ánh xạ f : , ×R → A×(0,+∞), f(x,y) = (cosx+sinx,e ). Số giá trị nguyên 4 4 dương tối đa thuộc tập A nếu f là một toàn ánh là? ⃝ A. 0 ⃝ C. 2 ⃝ B. 1 ⃝ D. 3 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 9
第 10 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ï ò √ î √ √ ó −3π π π +) Với x ∈ , thì cosx+sinx = 2 sin x+ ∈ − 2, 2 . 4 4 î √ √ ó 4 +) Để ánh xạ là toàn ánh thì A ⊂ − 2, 2 ⇒ Số giá trị nguyên dương tối đa thuộc tập A chỉ có thể là 1. Chọn đáp án B. Câu 20. Cho ánh xạ f : R2 → R, f(x,y) = x2 +4y2 −6x+4y+15, A = [−4,5]×[0,2]. Tìm f(A) ⃝ A. [6,79] ⃝ C. [1,79] ⃝ B. [30,34] ⃝ D. [5,79] Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) Ta có f(A) = {f(x,y) | (x,y) ∈ A} +) f(x,y) = x2 +4y2 −6x+4y+15 = (x−3)2 + (2y+1)2 +5 x ∈ [−4,5] x−3 ∈ [−7,2] (x−3)2 ∈ [0,49] +) (x,y) ∈ A ⇒ ⇒ ⇒ y ∈ [0,2] 2y+1 ∈ [1,5] (2y+1)2 ∈ [1,25] +) minf(A) = 6 khi x = 3, y = 0; maxf(A) = 79 khi x = −4, y = 2 +) Chọn đáp án A. 2x+3 Câu 21. Cho ánh xạ f : R\{1} → R, f(x) = . Chọn câu trả lời sai: x−1 ï ò Å ã 1 −1 7 ⃝ A. f([−1; 0]) = −3,− ⃝ C. f ([4; 7)) = 2, 2 ß 2 ™ ⃝ B.f({0; 2}) = {7,−3} −1 3 ⃝ D. f ({0; 7}) = − ,2 2 Đáp án: C [Hướng dẫn giải] Å ò −1 7 Sai vì f ([4; 7)) = 2, 2 3 −1 √ Câu 22. Cho ánh xạ: F : x → y = x +2,R → R. Ánh xạ ngược của f : f (y) = b y−a trong đó a,b ∈ R. Chọn khẳng định đúng: a = 1 a = 2 ⃝ A. ⃝ C. b = 3 b = 3 a = 2 a = 1 ⃝ B. ⃝ D. b = 2 b = 2 Đáp án: C — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 10
第 11 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập [Hướng dẫn giải] f−1 : R → R y → x = f−1(y) p p Ta có f(x) = y = x3 +2 ⇒ x = 3 y−2 −→ f−1(y) = x = 3 y−2 Ä ä Câu 23. Cho ánh xạ f : R → R2, f(x) = 2x+1,2x2 +x . Tìm f−1(A) với A = [0; 3)×(−∞; 1] ⃝ A. f−1(A) = (−1; 1) ⃝ C. f−1(A) = [−1; 1] ï ò Å ã −1 1 1 −1 1 1 ⃝ B. f (A) = − ; ⃝ D. f (A) = − ; 2 2 2 2 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] ¶ Ä ä © Tập nghịch ảnh f−1(A) = x ∈ R | 2x+1; 2x2 +x ∈ [0; 3)×(−∞; 1] x ∈ f−1(A) 1 2x+1 ∈ [0; 3) − ≤ x < 1 1 1 ⇔ ⇔ 2 ⇔ − ≤ x ≤ 2 1 2 2 2x +x ∈ (−∞; 1] −1 ≤ x ≤ ï ò 2 −1 1 1 Vậy f (A) = − ; 2 2 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 11
第 12 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Bài 4 - Cấu trúc đại số Câu 24. Cho tập S ={1,2,3} và phép toán ∗ trên S được định nghĩa bởi: - 1∗1=1, 1∗2=3, 1∗3= 2 - 2∗1 = 3, 2∗2 = 2, 2∗3 = 1 - 3∗1 = 2, 3∗2 = 1, 3∗3 = 3 Phép toán ∗ có tính kết hợp hay không? ⃝ A. Có ⃝ C. Chỉ khi x = y ⃝ B. Không ⃝ D. Không xác định được Đáp án: B [Hướng dẫn giải] Để kiểm tra tính kết hợp, ta cần kiểm tra với mọi x,y,z ∈ S xem liệu (x∗y)∗z = x∗(y∗z) có đúng hay không. Dễ thấy (1∗2)∗3 ̸= 1∗(2∗3), nên phép toán ∗ không có tính kết hợp. Câu 25. Cho tập T = {a,b,c,d} và phép toán ∗ trên T được xác định bằng bảng sau: ∗ a b c d a a b c d b b b d c c c d c b d d c b d Phép toán * có phần tử đơn vị không? Nếu có, phần tử đơn vị là gi? ⃝ A. a ⃝ C. c ⃝ B. b ⃝ D. Không có Đáp án: A [Hướng dẫn giải] Phần tử đơn vị e phải thỏa mãn e∗x = x∗e = x với mọi x ∈ T. Từ bảng trên, ta thấy a∗x = x∗a = x với mọi x ∈ T, do đó a là phần tử đơn vị. Câu 26. Cho một tập S gồm n phần tử và một phép toán hai ngôi * trên S. Biết rầng * là một phép toán kết hợp và có phần tử đơn vị. Phép toán * có bao nhiêu phần tử nghich đảo? ⃝ A. n ⃝ C. 1 ⃝ B. n−1 ⃝ D. Phụ thuộc vào cách định nghĩa — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 12
第 13 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Đáp án: D [Hướng dẫn giải] Số phần tử nghịch đảo phụ thuộc vào cách định nghĩa phép toán *. Trong một nhóm Abel, tất cả các phần tử đều có nghịch đảo, nhưng với một phép toán bất kỳ, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Câu 27. Ta có tập K cùng với phép toán hai ngôi (+) và (·) làm thành một trường (K, +, ·). Trong các khẳng định sau: 1) ∀a,x,y ∈ K : a·x = a·y → x = y 2) K cùng với phép toán (+) tạo thành một nhóm giao hoán 3) ∀a,x,y ∈ K : a·(x+y) = a·x+a·y 4) ∀a ∈ K,∃!a−1 : a·a−1 = a−1 ·a = 1 (1 là đơn vị của phép toán (·)) Số khẳng định đúng là: ⃝ A. 1 ⃝ C. 3 ⃝ B. 2 ⃝ D. 4 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Ta kiểm tra các khẳng định: 1) Khẳng định này có thể sai khi a là phần tử trung hòa của phép toán (+), lấy ví dụ với tập K là tập số thực R cùng với phép toán cộng và nhân thông thường. 2) Khẳng định này đúng vì tập K cùng với phép toán hai ngôi (+) và (·) làm thành một trường. 3) Khẳng định này đúng, đây là tính chất phân phối của phép (+) và (·). 4) Khẳng định này có thể sai khi a là phần tử trung hòa của phép toán (+), lấy ví dụ với tập K là tập số thực R cùng với phép toán cộng và nhân thông thường. Vậy có 2 khẳng định đúng. z¯ Câu 28. Cho số phức z , biết |z| = 1 và ϕ là argumen của z. Tìm một argumen của số phức z ⃝ A. −2ϕ ⃝ C. −ϕ ⃝ B. 2ϕ ⃝ D. ϕ Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) |z| = 1 ⇒ z = cosϕ +isinϕ — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 13
第 14 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập z¯ cosϕ −isinϕ (cosϕ −isinϕ)(cosϕ −isinϕ) +) = = z cosϕ +isinϕ (cosϕ +isinϕ)(cosϕ −isinϕ) cos2 ϕ −2icosϕ sinϕ −sin2 ϕ = = cos(2ϕ)−isin(2ϕ) cos2 ϕ +sin2 ϕ = cos(−2ϕ) +isin(−2ϕ) z¯ ⇒ Một argumen của số phức là−2ϕ z Ç √ å20 1+ 3i Câu 29. Tìm phần ảo của số phức z = . 1+i √ ⃝ A. −29. 3 ⃝ C. −29 √ ⃝ B. 29. 3 ⃝ D. 29 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] Ç √ å20 Ç å20 1+ 3i cos π +i.sin π π π 20 +) z = = 210. 3 3 = 210. cos +i.sin 1+i cos π +isin π 12 12 4 4 Å ã 10 5π 5π 10 π π = 2 . cos +i.sin = 2 . cos − +i.sin − 3 3 3 3 Ç √ å Ä ä 1 3 √ √ = 210. −i. = 29. 1−i 3 = 29 −29.i 3 2 2 √ Vậy phần ảo của số phức đã cho là Imz = −29. 3 √ Câu 30. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để z = (1+i 3)n là số thực. ⃝ A. n = 1 ⃝ C. n = 3 ⃝ B. n = 2 ⃝ D. Không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu Đáp án: C [Hướng dẫn giải] √ π π nπ nπ +) z = (1+i 3)n = (2 cos +isin )n = 2n cos +isin 3 3 3 3 +) Để z là số thực, z phải có phần ảo bằng 0: nπ nπ ⇒ sin = 0 ⇔ = kπ (với k ∈ Z) 3 3 ⇔ n = 3k (với k ∈ Z) ⇒ n = 3 (Vì giá trị nguyên dương nhỏ nhất của n ứng với k = 1) — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 14
第 15 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 31. Nếu một đa thức bậc n có đúng m nghiệm thực (tính cả nghiệm bội), theo Định lý cơ bản của Đại số, điều gì có thể nói về các nghiệm còn lại? ⃝ A. Các nghiệm còn lại n−m là nghiệm ⃝ C. Các nghiệm còn lại n − m cũng là ảo. nghiệm thực. ⃝ B. Các nghiệm còn lại n−m là nghiệm ⃝ D. Các nghiệm còn lại n−m là nghiệm phức (không thực). hữu tỷ. Đáp án: B [Hướng dẫn giải] Vì theo Định lý cơ bản của Đại Số, mọi đa thức bậc n đều có đúng n nghiệm phức. Mà theo bài ra có đúng m nghiệm thực nên khi đó còn lại n−m nghiệm phức (không thực). 2x3 −6xy2 = 5 (1) Câu 32. Hệ phương trình sau có bao nhiêu cặp nghiệm: √ 2 3 6x y−2y = 5 3 (2). ⃝ A. 2 ⃝ D. 4 ⃝ B. 3 ⃝ D. 5 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] Nhân hai vế của (2) với i rồi cộng với (1) ta được c Ä ä √ 2x3 −6xy2 + 6x2y−2y3 i = 5+5 3i Ä ä √ 3 2 2 3 5 5 3 ⇔x −3xy + 3x y−y i = + i 2 2√ 3 2 2 2 3 3 5 5 3 ⇔x +3x yi+3xy i +y i = + i Ç √ å 2 2 3 1 3 ⇔(x+yi) = 5 + i 2 2 Ç √ å 1 3 π π Vậy x+yi là căn bậc ba của số phức z = 5 + i = 5 cos +isin . Mà z có các căn bậc ba là 2 2 3 3 √ π π z = 3 5 cos +isin 0 9 9 √ Å π π ã √ Å ã 3 +2π 3 +2π 7π 7π z = 3 5 cos +isin = 3 5 cos +isin 1 3 3 9 9 √ Å π π ã √ Å ã 3 +4π 3 +4π 13π 13π z = 3 5 cos +isin = 3 5 cos +isin 2 3 3 9 9 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 15
第 16 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Vậy các nghiệm của hệ phương trình là √ √ √ 3 π 3 7π 3 13π x = 5 cos x = 5 cos x = 5 cos 9 ; 9 ; 9 √ π √ 7π √ 13π y = 3 5 cos y = 3 5 cos y = 3 5 cos 9 9 9 1 1 1 3 1 5 1 7 Câu 33. Tính tổng S = C2n − C2n + C2n − C2n +. . . 2 4 6 8 ï √ ò ï √ ò 1 2n+1 2n+1 1 2n+1 2n+1 ⃝ A. 1−( 2) cos π ⃝ C. 1−( 2) cos π 2n+1ï 4 ò 2n−1 ï 4 ò 1 √ 2n+1 1 √ 2n+1 ⃝ B. 1+ ( 2)2n+1 cos π ⃝ D. 1+ ( 2)2n+1 cos π 2n+1 4 2n−1 4 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] 1 2k−1 1 2k Chú ý rằng C2n = C2n+1 nên: 2k 2n+1 1 1 1 3 1 5 1 7 S = C2n − C2n + C2n − C2n +. . . 2 4 6 8 1 2 1 4 1 6 1 8 = C2n+1 − C2n+1 + C2n+1 − C2n+1 +. . . 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 1 Ä ä = · C2 −C4 +C6 −C8 +. . . 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 Ä ä Ä ä Vì (1+i)2n+1 = C0 −C2 +C4 −. . . +i C1 −C3 +C5 −. . . 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 √ Å ã 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 Và (1+i) = ( 2) cos π +isin π nên: 4 4 √ 2n+1 C0 −C2 +C4 −C6 +. . . = ( 2)2n+1 cos π 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 4 ï √ ò 1 2n+1 2n+1 Vậy ta có S = 1−( 2) cos π . 2n+1 4 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 16
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！