Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV Nhóm ngành 1 Bài 1: Cho ánh xạ f : R3 → R2 xác định bởi công thức f(x , x , x ) = (3x + x − x ,2x + x ). 1 2 3 1 2 3 1 3 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc. c) Tìm một cơ sở của Ker f. Lời giải a) Với x, y ∈ R3, ta có: f(x + y) = (3 (x1 + y1) + (x2 + y2) − (x3 + y3),2 (x1 + y1) + (x3 + y3)) = (3x1 + x2 − x3,2x1 + x3) + (3y1 + y2 − y3,2y1 + y3) =f(x) +f(y) Với x ∈ R3 và k ∈ R, ta có: f(kx) = (3kx1 + kx2 − kx3,2kx1 + kx3) = k (3x1 + x2 − x3,2x1 + x3) = kf(x) Vậy f là ánh xạ tuyến tính b) Gọi I là cơ sở chính tắc của R2. Ta có: f(1,0,0) = (3,2) ⇒ [f(1,0,0)] = (3,2)T E f(0,1,0) = (1,0) ⇒ [f(0,1,0)] = (1,0)T E f(0,0,1) = (−1,1) ⇒ [f(0,0,1)] = (−1,1)T E " # 3 1 −1 ⇒Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 2 0 1 c) Ker f = {x ∈ R3 | f(x) = θ} 3x + x − x = 0 Xét f(x) = θ ⇔ 1 2 3 2x + x = 0 1 3 x = t 1 Đặt x1 = t, khi đó ta có: x = −5t ⇔ x = t(1,−5,−2) 2 x3 = −2t Vậy {(1,−5,−2)} là một cơ sở của Ker f Bài 2: Cho ánh xạ f : P [x] → P [x] xác định như sau: f(p) = p + x2p,∀p ∈ P [x]. 2 4 2 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc E = {1, x, x2} của P [x] và E = {1, x, x2, x3, x4} 1 2 2 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập của P4[x] c) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở E′ = {1 + x,2x,1 + x2} của P [x] và E = {1, x, x2, x3, x4} 1 2 2 của P4[x] Lời giải a) Với p, q ∈ P2[x] và k, h ∈ R,ta có: f(kp + hq) = (kp + hq) + x2 (kp + hq) = (kp + x2kp) + (hq + x2hq) = k (p + x2p) + h(q + x2q) = kf(p) + hf(q) Vậy f là ánh xạ tuyến tính b) Ta có: f(1) = 1 + x2 ⇒ [f(1)] = (1,0,1,0,0)T E2 f(x) = x + x3 ⇒ [f(x)] = (0,1,0,1,0)T E2 f(x2) = x2 + x4 ⇒ [f(x2)] = (0,0,1,0,1)T E2 1 0 0 0 1 0 ⇒ Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 c) Ta có: f(1 + x) = 1 + x2 + x3 + x4 ⇒ [f(1 + x)] = (1,1,1,1,0)T E2 f(2x) = 2x + 2x3 ⇒ [f(2x)] = (0,2,0,2,0)T E2 f(1 + x2) = 1 + 2x2 + x4 ⇒ [f(1 + x2)] = (1,0,2,0,1)T E2 1 0 1 1 2 0 ⇒ Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 1 0 2 1 2 0 0 0 1 Bài 3: Cho ánh xạ tuyến tính f :P2[x] → P2[x] thoả mãn: f(1 − x2) = −3 + 3x − 6x2, f(3x + 2x2) = 17 + x + 16x2, f(2 + 6x + 3x2) = 32 + 7x + 25x2. a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P [x]. Tính f(1 + x2). 2 b) Xác định m để véctơ v = 1 + x + mx2 thuộc Im f. Lời giải a) Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E của P2[x], khi đó ta có: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập [f(x)]E = A.[x]E ⇒ [f(x1)]E [f(x2)]E [f(x3)]E = A ·[x1]E [x2]E [x2]E −1 −3 17 32 1 0 2 −3 17 32 1 0 2 ⇒ 3 1 7 = A · 0 3 6 ⇒ A = 3 1 7 · 0 3 6 −6 16 25 −1 2 3 −6 16 25 −1 2 3 1 3 4 ⇒ A = 2 1 −1 −1 2 5 Ta có: 1 3 4 1 5 [f(1 + x2)] = A.[1 + x2] = 2 1 −1 · 0 = 1 E E −1 2 5 1 4 ⇒f(1 + x2) = 5 + x + 4x2 b) Im f = { f(x) | x ∈ P2[x]} 1 1 3 4 u1 Để v ∈ Im f thì tồn tại u ∈ P2[x] sao cho: [v]E = A .[u]E ⇔ 1 = 2 1 −1 · u2 m −1 2 5 u3 u + 3u + 4u = 1 1 2 3 ⇒ Hệ phương trình 2u + u − u = 1 có nghiệm 1 2 3 −u1 + 2u2 + 5u3 = m Ta có: 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 2 1 −1 1 −H−2−−−2−H−1→−−H→2 0 −5 −9 −1 −H−3−+−H−2→−−H→3 0 −5 −9 −1 H +H →H 3 1 3 −1 2 5 m 0 5 9 m + 1 0 0 0 m Để hệ phương trình có nghiệm thì m = 0 Vậy m = 0 thì v ∈ Im f Bài 4. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi công thức f(x , x , x ) = (x +x −x , x −x +x ,−x + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 x2 + x3). Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (1; 0; 0), v2 = (1; 1; 0), v3 = (1; 1; 1)} Lời giải Ta có: f(v1) = (1; 1;−1) = 2.(1; 1; 0) − (1; 1; 1) = 0.v1 + 2.v2 − v3 Tương tự: f(v2) = (2; 0; 0) = 2.v1 + 0.v2 + 0.v3, f(v3) = (1; 1; 1) = 0.v1 + 0.v2 + v3 Nên: [f(v )] = (0; 2;−1)T ,[f(v )] = (2; 0; 0)T ,[f(v )] = (0; 0; 1)T 1 B 2 B 3 B Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 0 2 0 ⇒Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 2 0 0 −1 0 1 Bài 5. Cho ánh xạ tuyến tính f :P2[x] → P2[x] thoả mãn: f (1 − x2) = −3 + 3x − 6x2, f (3x + 2x2) = 17 + x + 16x2, f (2 + 6x + 3x2) = 32 + 7x + 25x2. a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P [x]. Tính f (1 + x2). 2 b) Xác định m để véctơ v = 1 + x + mx2 thuộc Im f. Lời giải a) Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E của P2[x], khi đó ta có: [f(x)]E = A.[x]E ⇒ [f(x1)]E [f(x2)]E [f(x3)]E = A ·[x1]E [x2]E [x2]E −1 −3 17 32 1 0 2 −3 17 32 1 0 2 ⇒ 3 1 7 = A · 0 3 6 ⇒ A = 3 1 7 · 0 3 6 −6 16 25 −1 2 3 −6 16 25 −1 2 3 1 3 4 ⇒ A = 2 1 −1 −1 2 5 Ta có: 1 3 4 1 5 [f (1 + x2)] = A.[1 + x2] = 2 1 −1 · 0 = 1 E E −1 2 5 1 4 ⇒ f (1 + x2) = 5 + x + 4x2 b) Im f = { f(x) | x ∈ P2[x]} 1 1 3 4 u1 Để v ∈ Im f thì tồn tại u ∈ P2[x] sao cho: [v]E = A .[u]E ⇔ 1 = 2 1 −1 · u2 m −1 2 5 u3 u + 3u + 4u = 1 1 2 3 ⇒ Hệ phương trình 2u + u − u = 1 có nghiệm 1 2 3 −u1 + 2u2 + 5u3 = m Ta có: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 2 1 −1 1 −H−2−−−2−H−1→−−H→2 0 −5 −9 −1 −H−3−+−H−2→−−H→3 0 −5 −9 −1 H +H →H 3 1 3 −1 2 5 m 0 5 9 m + 1 0 0 0 m Để hệ phương trình có nghiệm thì m = 0 Vậy m = 0 thì v ∈ Im f 1 3 −1 Bài 6. Cho A = 2 0 5 là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → P2[x] đối với cơ sở 6 −2 4 B = {v , v , v } trong đó: v = 3x + 3x2, v = −1 + 3x + 2x2, v = 3 + 7x + 2x2 1 2 3 1 2 3 a) Tìm f(v1), f(v2), f(v3) b) Tìm f(1 + x2) Lời giải 1 3 −1 a) Ánh xạ f : P [x] → P [x] có ma trận là A = 2 0 5 đối với cơ sở B = {v , v , v } nên 2 2 1 2 3 6 −2 4 f(v ) = v + 2v + 6v 1 1 2 3 f(v ) = 3v − 2v với v = 3x + 3x2, v = −1 + 3x + 2x2, v = 3 + 7x + 2x2 2 1 3 1 2 3 f(v3) = −v1 + 5v2 + 4v3 f(v ) = 16 + 51x + 19x2 1 Ta nhận được f(v ) = −6 − 5x + 5x2 2 f(v ) = −7 + 40x + 15x2 3 b) Ta có 1 + x2 = v − v nên f(1 + x2) = f(v ) − f(v ) = 22 + 56x + 14x2 1 2 1 2 3 −2 1 0 Bài 7: Cho ma trận A = 1 6 2 1 là ma trận ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 đối với −3 0 7 1 cặp cở sở B = {v , v , v , v } của R4 và B′ = {u , u , u } của R3 trong đó v = (0; 1; 1; 1), v = 1 2 3 4 1 2 3 1 2 (2; 1;−1;−1), v3 = (1; 4;−1; 2), v4 = (6; 9; 4; 2) và u1 = (0; 8; 8), u2 = (−7; 8; 1), u3 = (−6; 9; 1) a) Tìm [f(v1)]B′,[f(v2)]B′,[f(v3)]B′,[f(v4)]B′ b) Tìm f(v1), f(v2), f(v3), f(v4) c) Tìm f(2,2,2,0) Lời giải Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) Ta thấy: 3 −2 1 0 [f(v1)]B′ = 1 ; [f(v2)]B′ = 6 ; [f(v3)]B′ = 2; [f(v4)]B′ = 1 −3 0 7 1 b) Ta có: f(v1) = 3u1 + u2 − 3u3 = (11; 5; 22) f(v2) = −2u1 + 6u2 = (−42; 32;−10) f(v3) = u1 + 2u2 + 7u3 = (−56; 87; 17) f(v4) = u2 + u3 = (−13; 17; 2) c) Giả sử v = (2; 2; 0; 0) = λ1v1 + λ2v2+ λ3v2 + λ4v4 2λ2 + λ3 + 6λ4 = 2 λ1 = 1 λ1 + λ2 + 4λ3 + 9λ4 = 2 λ2 = 1 ⇔ ⇔ λ − λ − λ + 4λ = 0 λ = 0 1 2 3 4 3 λ − λ + 2λ + 2λ = 0 λ = 0 1 2 3 4 4 ⇒ f(2; 2; 0; 0) = 2f(v1) + f(v2) = (−31; 37; 12) Bài 8. Cho toán tử tuyến tính trên P2[x] xác định bởi: f(1 + 2x) = −19 + 12x + 2x2;f(2 + x) = −14 + 9x + x2;f(x2) = 4 − 2x − 2x2 Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P2[x] và tìm rank(f). Lời giải Từ f(1 + 2x) = −19 + 12x + 2x2;f(2 + x) = −14 + 9x + x2;f(x2) = 4 − 2x − 2x2 ta có hệ phương trình f(1) + 2f(x) = −19 + 12x + 2x2 2f(1) + f(x) = −14 + 9x + x2 với f(1), f(x), f(x2) là các giá trị cần tìm. f(x2) = 4 − 2x − 2x2 2(−14 + 9x + x2) − (−19 + 12x + 2x2) f(1) = = −3 + 2x 3 =⇒ f(x) = (−14 + 9x + x2) − 2(−3 + 2x) = −8 + 5x + x2 f(x2) = 4 − 2x − 2x2 −3 8 4 =⇒ Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là A = 2 5 −2 0 1 −2 Ta có det(A) = 64 ̸= 0 =⇒ rank(A) = 3 =⇒ rank(f) = 3 Bài 9. Cho V, V ′ là 2 không gian vector n chiều và f : V → V ′ là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh các khẳng định sau tương đương: a) f là đơn ánh. b) f là toàn ánh. Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập c) f là song ánh. Lời giải • Hiển nhiên từ c) suy ra a) và b) và nếu có a) và b) thì suy ra c). Từ đó ta chỉ cần chứng minh a) =⇒ b) và b) =⇒ a). • Trước hết ta chứng minh a) =⇒ b). Ta có dim V = dim(Ker f) + dim(Im f) (1) Giả sử có a) tức là f đơn ánh. Ta có Ker f = {Ø} nên dim(Ker f) = 0 Từ (1) =⇒ dim V = dim(Im f) = n và do đó dim(Im f) = dim V’ = n Suy ra Im f là không gian con vủa V’ và cùng số chiều với V’ nên Im f = V’ Vậy f là toàn ánh và do đó là toàn cấu. a) =⇒ b) • Chứng minh b) =⇒ a) Giả sử có b) tức là f toàn ánh.// Khi đó Im f = V’ nên dim(Im f) = dim V’ = n = dim V. Từ (1) thì dim(Ker f) = 0 nên Ker f = Ø Vậy f đơn ánh nên f là đơn cấu. b) =⇒ a). Bài 10: Cho toán tử tuyến tính trên R3 xác định bởi: f(x1;x2;x3) = (x1 − 2x2 + x3;x1 + x2 − x3;mx1 − x2 + x3) , với m là tham số. Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc R3 và tìm m để f là một toàn ánh Lời giải 1 −2 1 Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là:A = 1 1 −1 m −1 1 f là toàn ánh ⇔ dimImf = dimR3 ⇔ r(A) = 3 Ta có: 1 −2 1 1 −2 1 ! L − L → L A = 1 1 −1 → 0 3 −2 2 1 2 L − mL → L m −1 1 0 2m − 1 1 − m 3 1 3 1 −2 1 →0 3 −2 L − (2m − 1)L → L 3 2 3 0 0 3(1 − m) + 2(2m − 1) Ta thấy r(A) = 3 ⇔ 3(1 − m) + 2(2m − 1) ̸= 0 ⇔ m ̸= −1 Vậy f là toàn ánh ⇔m ̸= −1 Bài 11: Tìm các giá trị riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập " # " # 2 −1 0 3 0 10 −9 a) A = b) B = c) C = 5 −3 3 8 −1 4 −2 −1 0 −2 0 1 0 4 −5 2 d) D = −4 4 0 e) E = 5 −7 3 −2 1 2 6 −9 4 Lời giải " 3 − λ 0 λ1 = −1 a) Xét det(A − λI) = 0 ⇔ = (λ − 3)(λ + 1) = 0 ⇔ 8 −1 − λ λ2 = 3 • Với λ1 = −1: " # " # " # ( 4 0 x 0 x = 0 (A + I)X = 0 ⇔ . = ⇔ 8 0 y 0 y = a ⇒ u1 = (0,1) là một véc tơ riêng • Với λ2 = 3: " # " # " # ( 0 0 x 0 x = a (A − 3I)X = 0 ⇔ . = ⇔ 8 −4 y 0 y = 2a ⇒ u2 = (1,2) là một véc tơ riêng Ma trận A có 2 trị riêng là λ1 = −1 và λ2 = 3. Cơ sở không gian riêng của ma trận A là {(0,1),(1,2)}. 10 − λ −9 b) Xét det(B − λI) = 0 ⇔ = λ2 − 8λ + 16 = (λ − 4)2 = 0 ⇔ λ = 4 4 −2 − λ 1 +) Với λ = 4: " # " # " # ( 6 −9 x 0 x = 3a (B − 4I)X = 0 ⇔ . = ⇔ 4 −6 y 0 y = 2a ⇒ u1 = (3,2) là một véc tơ riêng Ma trận B có 1 trị riêng là λ = 4. Cơ sở không gian riêng của ma trận B là {(3,2)}. 2 − λ −1 0 c) Xét det(C − λI) = 0 ⇔ 5 −3 − λ 3 = −(λ − 1)(λ2 + 4λ + 5) = 0 ⇔ λ = 1 −1 0 −2 − λ +) Với λ = 1: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 −1 0 x 0 x = 3a (C − I)X = 0 ⇔ 5 −4 3 .y = 0 ⇔ y = 3a −1 0 −3 z 0 z = −a ⇒ u = (3,3,−1) là một véc tơ riêng Ma trận C có 1 trị riêng là λ = 1. Cơ sở không gian riêng của ma trận C là {(3,3,−1)}. 0 − λ 1 0 d) Xét det(D−λI) = 0 ⇔ −4 4 − λ 0 = (2−λ)(λ2−4λ+4) = −(λ−2)3 = 0 ⇔ λ = 2 −2 1 2 − λ +) Với λ = 2: −2 1 0 x 0 x = a (D − 2I)X = 0 ⇔ −4 2 0.y = 0 ⇔ y = 2a −2 1 0 z 0 z = b ⇒ u1 = (1,2,0), u2 = (0,0,1) là các véc tơ riêng Ma trận D có 1 trị riêng là λ = 2. Cơ sở không gian riêng của ma trận D là {(1,2,0),(0,0,1)}. 4 − λ −5 2 " λ1 = 0 e) Xét det(E − λI) = 0 ⇔ 5 −7 − λ 3 = −λ3 + λ2 = −λ2(λ − 1) = 0 ⇔ λ2 = 1 6 −9 4 − λ +) Với λ1 = 0: 4 −5 2 x 0 x = a (E − 0.I)X = 0 ⇔ 5 −7 3.y = 0 ⇔ y = 2a 6 −9 4 z 0 z = 3a ⇒ u1 = (1,2,3) là một véc tơ riêng +) Với λ2 = 1: 3 −5 2 x 0 x = a (E − I)X = 0 ⇔ 5 −8 3.y = 0 ⇔ y = a 6 −9 3 z 0 z = a ⇒ u2 = (1,1,1) là một véc tơ riêng Ma trận E có 2 trị riêng là λ1 = 0 và λ2 = 1. Cơ sở không gian riêng của ma trận D là {(1,2,3),(1,1,1)}. Bài 12: Cho biến đổi tuyến tính f : P2[x] → P2[x] xác định như sau: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập f(a + a x + a x2) = (5a + 6a + 2a ) − (a + 8a )x + (a − 2a )x2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 a) Tìm các trị riêng của f. b) Tìm các vector riêng ứng với các trị riêng tìm được. Lời giải 5 6 2 a) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là A = 0 −1 −8 1 0 −2 Xét phương trình: det(A − λI) = 0 5 − λ 6 2 ⇔ 0 −1 − λ −8 = 0 1 0 −2 − λ ⇔ (5 − λ)(−1 − λ)(−2 − λ) + (−48 − 2(−1 − λ)) = 0 ⇔ −(λ − 3)2(λ + 4) = 0 " λ = 3 ⇔ λ = −4 Vậy các trị riêng của f là λ1 = 3, λ2 = −4 b) • Với λ1 = 3 Xét phương trình: 5 − 3 6 2 x 0 x = 5t 1 1 0 −1 − 3 −8 ·x = 0 ⇔ x = −2t với (t ∈ R) 2 2 1 0 −2 − 3 x 0 x = t 3 3 Vậy các vector t(5;−2; 1) là các vector riêng ứng với trị riêng λ1 • Với λ2 = −4 Xét phương trình: 5 + 4 6 2 x 0 x = −6t 1 1 0 −1 + 4 −8 ·x = 0 ⇔ x = 8t với (t ∈ R) 2 2 1 0 −2 + 4 x 0 x = 3t 3 3 Vậy các vector t(−6; 8; 3) là các vector riêng ứng với trị riêng λ2 Bài 13: Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P−1AP khi đó với: " # " # 1 0 0 2 1 −2 −14 12 1 0 a) A = b) B = c) C = 0 1 1 d) D = 0 3 1 −20 17 6 −1 0 1 1 0 0 3 Vận dụng tính An Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Lời giải " −14 − λ 12 λ1 = 1 a) Xét det(A − λI) = 0 ⇔ = λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ −20 17 − λ λ2 = 2 +) Với λ1 = 1: " # " # −15 12 a 5 (A − 1I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ b = a −20 16 b 4 ⇒ u1 = (4; 5) là một véc tơ riêng ứng với λ1 = 1 +) Với λ2 = 2: " # " # −16 12 a 3 (A − 2I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ a = b −20 15 b 4 ⇒ u2 = (3; 4) là một véc tơ riêng ứng với"λ2 = 2# " # 4 3 1 0 Suy ra: ma trận làm chéo hóa A là: P = ⇔ P−1AP = 5 4 0 2 " # " #n " #−1 " # " # " #−1 4 3 1 0 4 3 4 3 1n 0 4 3 Ta có: An = P.(P−1AP)n.P−1 = · · = · · 5 4 0 2 5 4 5 4 0 2n 5 4 " # " #−1 " # 4 3.2n 4 3 16 − 15.2n −12 + 12.2n ⇔ An = · = 5 4.2n 5 4 20 − 20.2n −15 + 16.2n " 1 − λ 0 λ1 = 1 b) Xét det(B − λI) = 0 ⇔ = −(1 − λ)(1 + λ) = 0 ⇔ 6 −1 − λ λ2 = −1 +) Với λ1 = 1: " # " # 0 0 a 1 (B − 1I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ a = b 6 −2 b 3 ⇒ u1 = (1; 3) là một véc tơ riêng ứng với λ1 = 1 +) Với λ2 = −1: " # " # ( 2 0 a a = 0 (B + I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ 6 0 b b tùy ý ⇒ u2 = (0; 1) là một véc tơ riêng ứng với λ2 = −1 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập " # " # 1 0 1 0 Suy ra: ma trận làm chéo hóa B là: P = ⇔ P−1BP = 3 1 0 −1 Ta có: " # " # " # " # " # " # n −1 −1 1 0 1 0 1 0 1 0 1n 0 1 0 Bn = P.(P−1BP)n.P−1 = · · = · · 3 1 0 −1 3 1 3 1 0 (−1)n 3 1 " # " #−1 " # 1 0 1 0 1 0 ⇔ Bn = · = 3 (−1)n 3 1 3 − 3.(−1)n (−1)n 1 − λ 0 0 λ1 = 0 c) Xét det(C − λI) = 0 ⇔ 0 1 − λ 1 = λ(1 − λ)(λ − 2) = 0 ⇔ λ2 = 1 0 1 1 − λ λ3 = 2 +) Với λ1 = 0: 1 0 0 a ( a = 0 (C − 0I)X = 0 ⇔ 0 1 1 · b = 0 ⇔ b = −c 0 1 1 c ⇒ u1 = (0; 1;−1) là một véc tơ riêng ứng với λ1 = 0 +) Với λ2 = 1: 0 0 0 a ( a tùy ý (C − 1I)X = 0 ⇔ 0 0 1 · b = 0 ⇔ b = c = 0 0 1 0 c ⇒ u2 = (1; 0; 0) là một véc tơ riêng ứng với λ2 = 1 +) Với λ3 = 2: −1 0 0 a ( a = 0 (C − 2I)X = 0 ⇔ 0 −1 1 · b = 0 ⇔ b = c 0 1 −1 c ⇒ u3 = (0; 1; 1) là một véc tơ riêng ứng với λ3 = 2 0 1 0 0 0 0 Suy ra: ma trận làm chéo hóa B là: P = 1 0 1 ⇔ P−1BP = 0 1 0 −1 0 1 0 0 2 −1 0 1 0 0n 0 0 0 1 0 Ta có: Cn = P.(P−1CP)n.P−1 = 1 0 1 · 0 1n 0 · 1 0 1 −1 0 1 0 0 2n −1 0 1 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập −1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 ⇔ Cn = 0 0 2n · 1 0 1 = 0 2n−1 2n−1 0 0 2n −1 0 1 0 2n−1 2n−1 2 − λ 1 −2 " λ1 = 2 d) Xét det(D − λI) = 0 ⇔ 0 3 − λ 1 = (2 − λ)(3 − λ)2 = 0 ⇔ λ2 = λ3 = 3 0 0 3 − λ +) Với λ1 = 2: 0 1 −2 a ( a tùy ý (D − 2I)X = 0 ⇔ 0 1 1 · b = 0 ⇔ b = c = 0 0 0 1 c ⇒ u1 = (1; 0; 0) là một véc tơ riêng ứng với λ = 2 +) Với λ2 = λ3 = 3: −1 1 −2 a ( a = b (D − 3I)X = 0 ⇔ 0 0 1 · b = 0 ⇔ c = 0 0 0 0 c ⇒ u2 = (1; 1; 0) là một véc tơ riêng ứng với λ = 3 Vì D là ma trận cấp 3 chỉ có 2 véc tơ riêng độc lập tuyến tính nên ma trận này không chéo hóa được. Bài 14. Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có, tìm ma trận chéo đó: −1 4 −2 5 0 0 0 0 0 a) A = −3 4 0 b) B = 1 5 0 c) C = 0 0 0 −3 1 3 0 1 5 3 0 1 Lời giải Ký hiệu vx(a) là không gian các vector riêng của ma trận x với trị riêng λ = a a) Xét det (A − λI) = 0 −1 − λ 4 −2 λ = 1 ⇔ −3 4 − λ 0 = 0 ⇔ −(λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0 ⇔ λ = 2 −3 1 3 − λ λ = 3 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập - Với λ = 1 Xét phương trình (A −λ)x = 0 −2 4 −2 x −2x + 4x − 2x = 0 1 1 2 3 ⇔ −3 3 0 x = 0 ⇔ −3x + 3x = 0 ⇔ x = x = x = t(t ∈ R) 2 1 2 1 2 3 −3 1 2 x −3x + x + 2x = 0 3 1 2 3 ⇔ x = t(1,1,1) ⇒ vA(1) = span{(1,1,1)} 2 vA(2) = span ,1,1 Tương tự 3 ⇒ A có ba vector riêng độc lập tuyến tính ⇒ A chéo 1 3 vA(1) = span , ,1 4 4 1 0 0 hóa được. Ma trận chéo: 0 2 0 0 0 3 5 − λ 0 0 b) Xét det (B − λI) = 0 ⇔ 1 5 − λ 0 = 0 ⇔ (5 − λ)3 = 0 ⇔ λ = 5 0 1 5 − λ 0 0 0 x ( 1 x = 0 Với λ = 5, xét: (B − 5I)x = 0 ⇔ 1 0 0x = 0 ⇔ 1 2 x = 0 0 1 0 x 2 3 ⇔ x = (0,0, t)(t ∈ R) = t(0,0,1) ⇒ v3(5) = span{(0,0,1)} ⇒ B chỉ có một vector riêng độc lập tuyến tính ⇒ B không chéo hóa được, tức không tổn tại ma trận chéo đồng dạng với B. −λ 0 0 " λ = 0 c) Xét det (C − λI) = 0 ⇔ 0 −λ 0 = 0 ⇔ λ2(1 − λ) = 0 ⇔ λ = 1 3 0 1 − λ - Với λ = 0 xét: (C − 0I)x = 0 0 0 0 x x = t 1 1 ⇔ 0 0 0x = 0 ⇔ 3x + x = 0 ⇔ x = h (h, t ∈ R) 2 1 3 2 3 0 1 x x = −3t 3 3 ⇔ x = (t, h,−3t) = t(1,0,−3) + h(0,1,0) ⇔ vC(0) = span{(−1,0,3),(0,1,0)} - Với λ = 1 xét: (C − 1I)x = 0 −1 0 0 x x = 0 1 1 ⇔ 0 −1 0x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ x = (0; 0;t)(t ∈ R) = t(0; 0; 1) 2 2 3 0 0 x x = t(t ∈ R) 3 3 ⇒ vC(1) = span{(0; 0; 1)} ⇒ C có ba vector riêng độc lập tuyến tính ⇒ C chéo hóa được. Ma Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 0 0 0 trận chéo: 0 0 0 0 0 1 Bài 15. Tìm cơ sở của R3 để ma trận của f : R3 → R3 có dạng chéo trong đó: a) f(x1;x2;x3) = (2x1 + x2 + x3;x1 + 2x2 + x3, x1 + x2 + 2x3) b) f(x1;x2;x3) = (2x1 − x2 − x3;x1 − x2,−x1 + x2 + 2x3) Lời giải 2 1 1 a) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là: A = 1 2 1 1 1 2 Ta có: 2 − λ 1 1 det(A − λI) = 1 2 − λ 1 = (1 − λ)2.(4 − λ) 1 1 2 − λ +)Với λ1 = λ2 = 1. Xét: (A − I) = 0 1 1 1 a ⇔ 1 1 1 · b = 0 ⇔ a + b + c = 0 1 1 1 c Do đó: ta chọn được u1 = (1; 0;−1) và u2 = (0; 1;−1) là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A ứng với λ = 1. +)Với λ3 = 4. Xét: (A − 4I).X = 0 −2 1 1 a ⇔ 1 −2 1 · b = 0 ⇔ a = b = c 1 1 −2 c Do đó: ta chọn được u3 = (1; 1; 1) là một véc tơ riêng của A. Suy ra: 1 0 1 P = 0 1 1 là ma trận làm chéo hóa A. −1 −1 1 ⇒ P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang cơ sở cần tìm B. Vậy cơ sơ cần tìm B = {(1; 0;−1),(0; 1;−1),(1; 1; 1)} Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2 −1 −1 b) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là: A = 1 −1 0 −1 1 2 Ta có: 2 − λ −1 −1 det(A − λI) = 1 −1 − λ 0 = (1 − λ).(λ2 − 2λ − 2) −1 1 2 − λ +)Với λ1 = 1. Xét: (A − 1I).X = 0 1 −1 −1 a a = 2b ⇔ 1 −2 0 · b = 0 ⇔ −1 1 1 c c = b Do đó: ta chọn được u1 = (2; 1; 1) là một véc tơ riêng của A. √ √ +)Với λ2 = 1 + 3. Xét: (A − (1 + 3)I).X = 0 √ 1 − 3 −1 −1 a √ √ a = (2 + 3)b ⇔ 1 −2 − 3 0 · b = 0 ⇔ √ √ c = (−2 − 3)b −1 1 1 − 3 c √ √ Do đó: ta chọn được u2 = (2 + 3; 1;−2 − 3) là một véc tơ riêng của A. √ √ +)Với λ3 = 1 − 3. Xét: (A − (1 − 3)I).X = 0 √ 1 + 3 −1 −1 a √ √ a = (2 − 3)b ⇔ 1 −2 + 3 0 · b = 0 ⇔ √ √ c = (−2 + 3)b −1 1 1 + 3 c √ √ Do đó: ta chọn được u3 = (2 − 3; 1;−2 + 3) là một véc tơ riêng của A. Suy ra: √ √ 2 2 + 3 2 − 3 P = 1 1 1 là ma trận làm chéo hóa A. √ √ 1 −2 − 3 −2 + 3 ⇒ P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang cơ sở cần tìm B. √ √ √ √ Vậy cơ sơ cần tìm B = {(2; 1; 1),(2 + 3; 1;−2 − 3),(2 − 3; 1;−2 + 3)} Bài 16 (CK 20172). Cho toán tử tuyến tính trên R3 xác định bởi: f(1; 2;−1) = (4;−2;−6), f(1; 1; 2) = (5; 5; 0), f(1; 0; 0) = (1; 2; 1) Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) Tìm m để u = (6;−3;m) ∈ Im(f). b) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của f. Lời giải 1 2 2 a) Xét ma trận:A = 2 1 0 ⇒ detA = 10. Suy ra {(1; 2;−1),(1; 1; 2),(1; 0; 0)} là một cơ sở −1 2 0 của f. Do đó để u = (6;−3;m) ∈ Im(f) ⇔ u = span{(4;−2; 6),(5; 5; 0),(1; 2; 1)} ⇔ u = k1(4;−2;−6) + k2(5; 5; 0) + k3(1; 2; 1) 4k + 5k + 1k = 6 1 2 3 ⇔ hệ phương trình −2k + 5k + 2k = −3 có nghiệm. 1 2 3 −6k1 + 0k2 + 1k3 = m 4 5 1 6 -2 5 2 -3 -2 5 2 -3 -2 5 2 -3 −H−1−↔−H→2 4 5 1 6 −H−3−−−3−H−1↔−−H→3 0 15 5 0 H +2H →H 2 1 2 -6 0 1 m -6 0 1 m 0 -15 -5 m + 9 -2 5 2 -3 −H−3−+−H−2→−−H→3 0 15 5 0 0 0 0 m + 9 Để hệ phương trình có nghiệm ⇔ m + 9 = 0 ⇔ m = −9. Vậy u ∈ Im(f) ⇔ m = −9. b) Gọi ma trận của f đối với cơ sơ chính tắc là: B Ta có: −1 1 1 1 4 5 1 4 5 1 1 1 1 1 2 1 B · 2 1 0 = −2 5 2 ⇒ B = −2 5 2 · 2 1 0 ⇒ B = 2 −1 2 −1 2 0 −6 0 1 −6 0 1 −1 2 0 1 −3 1 1 − λ 2 1 " λ1 = λ2 = 0 Xét det (B − λI) = 0 ⇔ 2 −1 − λ 2 = 0 ⇔ −λ3 + λ2 = 0 ⇒ λ3 = 1 1 −3 1 − λ +) Xét trị riêng λ1 = λ2 = 0: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 2 1 a ( a = −c (A − 0I)X = 0 ⇔ AX = 0 ⇔ 2 −1 2 · b = 0 ⇔ b = 0 1 −3 1 c Từ đó, ta được véc tơ riêng u1 = t1(−1; 0; 1) ( với t1 ∈ R \ {0} ) +) Xét trị riêng λ3 = 1 : 0 2 1 a ( a = −1.5c (A − 1I)X = 0 ⇔ 2 −2 2 · b = 0 ⇔ b = −0.5c 1 −3 0 c Từ đó, ta chọn được véc tơ riêng u2 = t2(−1.5;−0.5; 1) ( với t2 ∈ R \ {0} ) Bài 17. Cho f : V → V là toán tử tuyến tính. Giả sử f2 = f ◦ f : V → V có giá trị riêng λ2. Chứng minh rằng một trong 2 giá trị hoặc λ hoặc −λ là giá trị riêng của f. Lời giải Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → V ⇒ A2 là ma trận của ánh xạ tuyết tính f2 = f ◦ f : V → V Vì λ2 là trị riêng của f2 hay là trị riêng của A2 nên: det (A2 − λ2I2) = 0 ⇔ det (A2 − (λI)2) = 0 ⇔ det [A2 − AλI + AλI − (λI)2] = 0 ⇔ det [A(A − λI) + λI(A − λI)] = 0 ⇔ det [(A + λI)(A − λI)] = 0 ⇔ det (A + λI) det (A − λI) = 0 " det (A + λI) = 0 ⇔ det (A − λI) = 0 " det (A − (−λI)) = 0 ⇔ det (A − λI) = 0 " " −λ là trị riêng của A −λ là trị riêng của f Do đó: ⇔ λ là trị riêng của A λ là trị riêng của f Vậy một trong hai giá trị λ hoặc −λ là giá trị riêng của f. −3 1 2 Bài 18. Cho ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → P2[x] có ma trận A = 6 0 −3 đối với cơ sở chính −10 2 6 tắc {1, x, x2} của P [x] 2 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) Tính f(1 + x + x2). Tìm m để v = 1 − x − mx2 thuộc Kerf. b) Tìm một cơ sở của P2[x] để ma trận của f đối với cơ sở đó có dạng chéo. Lời giải Gọi E là cơ sở chính tắc của P2[x] 1 a) Ta có 1 là tọa độ của x2 + x + 1 trong cơ sở chính tắc. 1 1 −3 1 2 1 0 ⇒ [f(1 + x + x2)] = A1 = 6 0 −31 = 3 E 1 −10 2 6 1 −2 ⇒ f(1 + x + x2) = 3x − 2x2 Ta có: v = 1 − x + mx2 ∈ Ker f 1 −3 1 2 1 ⇔ f(1 − x + mx2) = 0 ⇔ A −1 = 0 ⇔ 6 0 −3 −1 = 0 m −10 2 6 m 2m − 4 2m − 4 = 0 ⇔ 6 − 3m = 0 ⇔ 6 − 3m = 0 ⇔ m = 2 −12 + 6m −12 + 6m = 0 Vậy m = 2 thì v thuộc Kerf. b) Xét det(A − λI) = 0 −3 − λ 1 2 λ1 = 2 ⇔ 6 −λ −3 = 0 ⇔ −λ3 + 3λ2 − 2λ = 0 ⇔ λ = 1 2 −10 2 6 − λ λ3 = 0 • Vớiλ1 = 2, xét: (A− 2I)x = 0 −5 1 2 x −5x + x + 2x = 0 1 1 2 3 ⇔ 6 −2 −3x = 0 ⇔ 6x − 2x − 3x = 0 2 1 2 3 −10 2 4 x −10x + 2x + 4x = 0 3 1 2 3 ⇔ x = (x , x , x )T = t(1,−3,4)T 1 2 3 ⇒ v = (1,−3,4)T là vector riêng của A tương ứng với λ = 2 1 1 • Tương tự v = (1,0,2)T là vector riêng của A tướng ứng với λ = 1 2 2 • Tương tự v = (1,−1,2)T là vector riêng của A tướng ứng với λ = 0 3 3 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 1 2 0 0 ⇒ D = [v v v ] = −3 0 −1 là ma trận thỏa mãn:D−1AD = 0 1 0 là ma trận chéo. 1 2 3 4 2 2 0 0 0 ⇒ Cơ sở cần tìm là {(1,−3,4),(1,0,2),(1,−1,2)} Bài 19. Cho A là ma trận kích thước m×n, B là ma trận kích thước n×p. Chứng minh rằng rank(AB)≤ min{rank(A),rank(B)}, với rank(A) = hạng của ma trận A. Lời giải Giả sử U, V, W là các không gian vector, dimU = p, dimV = n, dimW = m và các ánh xạ tuyến tính U →−g V →−f W thỏa mãn • g có ma trận là B trong cặp cơ sở B1, B2 của U và V • f có ma trận là A trong cặp cơ sở B2, B3 của V và W. Ta có: 1. Im(f ◦ g) ⊂ Imf. Thật vậy, nếu u ∈ Im(f ◦ g) thì tồn tại v ∈ U sao cho u = (f ◦ g)(v) ⇒ u = f(g(v)) ∈ Imf Vậy rank(AB) = rank(f ◦ g) = dim Im(f ◦ g) ≤ dim Imf = rankf = rankA 2. Ker g ⊂ Ker(f ◦ g). Thật vậy, ta có: v ∈ Kerg ⇒ g(v) = 0 ⇒ f(g(v)) = 0 ⇒ v ∈ Ker(f ◦ g). Do đó, dimKerg ≤ dimKer(f ◦ g). Mặt khác, theo định lý về số chiều p = dimU = dim Img + dimKerg = dimIm(f ◦ g) + dimKer(f ◦ g). Điều này dẫn đến rank(AB) = rank(f ◦ g) = dim Im(f ◦ g) ≤ dim Img = rankg = rank(B). Tóm lại ta có rank(AB) ≤ rankA,rankAB ≤ rankB dẫn đến điều phải chứng minh Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 20
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！