第 1 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LÝ THUYẾT MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Mục lục I Khái niệm ánh xạ tuyến tính. Ảnh, hạt nhân, hạng của ma trận 2 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Tính chất của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Hạng của AXTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Ma trận của ánh xạ tuyến tính 6 1 Ma trận đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Ma trận của toán tử tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III Trị riêng. Vector riêng. Chéo hoá ma trận 12 1 Định nghĩa , ví dụ , tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Bài toán tìm trị riêng, vector riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 1
第 2 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập I Khái niệm ánh xạ tuyến tính. Ảnh, hạt nhân, hạng của ma trận || Section 1 - Định nghĩa, ví dụ, tính chất. 1 Định nghĩa Định nghĩa 1. (Ánh xạ tuyến tính) Cho V và W là hai không gian vector trên cùng trường số K là R hoặc C. Ánh xạ f : V → W được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu: 1. f(u+v) = f(u) + f(v), ∀u,v ∈ V 2. f(ku) = k f(u), ∀k ∈ K, u ∈ V Trong trường hợp W ≡ V, ánh xạ tuyến tính f : V → V còn được gọi là một toán tử tuyến tính của không gian vector V Lưu ý 1. Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra rằng ánh xạ f :V →W là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi f(ku+lv) = k f(u) +l f(v) ∀k,l ∈ K, u,v ∈ V Ví dụ 1. Các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính: • Ánh xạ không f : V → W, f(v) = θw. • Phép chiếu f : R2 → R2 , f(x,y) = (x,0). • Ánh xạ f : R2 → R , f(x,y) = 2x+3y . Ví dụ 2. Các ánh xạ sau không là ánh xạ tuyến tính: • f : R2 → R2, f(x,y) = (x+1,y). • f : R2 → R, f(x,y) = x2 +1. • f : R → R2, f(x) = sinx. 2 Tính chất của ánh xạ tuyến tính Tính chất 1. ChoV vàW là hai không gian vector trên trường K và f :V →W là ánh xạ tuyến tính khi đó: 1. f(θv) = θw 2. f(−v) = −f(v),∀v ∈V 3. f(u−v) = f(u)− f(v),∀u,v ∈V 4. f(k1u1 +k2u2 +...+knun) = k1 f(u1) +k2 f(u2) +...+kn f(un),∀u1,u2, ...,un ∈V;k1,k2, ...kn ∈ R Công thức 1. Cho V và W là hai không gian vector trên trường K và f,g là ánh xạ tuyến tính từ V →W khi đó 1. Tổng của hai ánh xạ này kí hiệu là f +g, là ánh xạ f +g xác định bởi (f +g)(v) = f(v) +g(v),∀v ∈V 2. Tích của một số k ∈ K với ánh xạ tuyến tính f là ánh xạ tuyến tính k f xác định bởi (k f)(v) = k f(v),∀k ∈ K,∀v ∈V — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 2
第 3 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Tính chất 2. Cho V và W là hai không gian vector trên trường K và f,g là ánh xạ tuyến tính từ V →W khi đó 1. Tổng f +g :V →W là ánh xạ tuyến tính 2. Với k ∈ K, tích k f :V →W là ánh xạ tuyến tính Tính chất 3. Cho V và W là hai không gian vector trên trường K. Tập hợp hom(V,W) = {f :V →W|f tuyến tính} cùng hai phép toán trên K là không gian vector trên trường K Tính chất 4. Cho V, W , Z là các không gian vector trên trường K và các ánh xạ tuyến tính V −→f W →−g Z Khi đó hợp thành g◦ f :V → Z cũng là một ánh xạ tuyến tính. || Section 2 - Ảnh, nhân, hạng của AXTT. 3 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 2. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó Ker f := {v ∈V | f(v) = θ } = f−1 ({θ }) W W được gọi là hạt nhân của f. Im f := {f(v) | v ∈V} = {w ∈W | ∃v ∈V, f(v) = w} = f(V) được gọi là ảnh của f. Ví dụ 3. Tìm hạt nhân và ảnh của ánh xạ sau: 1. f : R2 → R2, f(x,y) = (x,0). 2. f : R2 → R, f(x,y) = 2x+3y. [Hướng dẫn giải] 1. Theo định nghĩa, Ker f = (x,y) ∈ R2 | f(x,y) = (0; 0) Ta có: f(x,y) = (0; 0) ⇔ (x,0) = (0; 0) ⇔ x = 0. Do đó Ker f = {(0,y),y ∈ R} = span{(0,1)}. Theo định nghĩa, Im f = (a,b) ∈ R2 | ∃(x,y) ∈ R2, f(x,y) = (a,b). Ta có: f(x,y) = (a,b) ⇔ (x,0) = (a,b). Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi b = 0. Vậy Im f = {(a,0),a ∈ R} = span{(1,0)}. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 3
第 4 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2. Ker f = (x,y) ∈ R2 : f(x,y) = 2x+3y = 0 = {(3t,−2t),t ∈ R} = span{(3,−2). lm f = a ∈ R,∃(x,y) ∈ R2, f(x,y) = 2x+3y = a . Phương trình 2x+3y = a có nghiệm với mọi a nên lm f ≡ R. Định lý 1. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K và f :V →W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó: 1. Kerf là một không gian véc tơ con của V. 2. Im f là một không gian véc tơ con của W. Lưu ý 2. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K và f :V →W là một ánh xạ tuyến tính. Xét hệ véc tơ S = {v1, . . . ,vm} của V và f(S) = {f (v1), . . . , f (vm)} của W. Khi đó: 1. Nếu hệ S là phụ thuộc tuyến tính thì hệ f(S) cũng phụ thuộc tuyến tính. 2. Nếu hệ f(S) là độc lập tuyến tính thì hệ S là độc lập tuyến tính. Định lý 2. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K và f :V →W là một ánh xạ tuyến tính. Nếu hệ véc tơ {v1, . . . ,vm} của V là một hệ sinh của V thì hệ véc tơ {f (v1), . . . , f (vm)} là hệ sinh của Im f. Hơn nữa Im f = span{f (v1), . . . , f (vm)}. Công thức 2. Các bước xác định không gian ảnh Im f Bước 1. Chọn một hệ sinh (thông thường ta chọn một cơ sở) B = {v1, . . . ,vn} của V. Bước 2. Tìm ảnh của B qua f : S = f(B) = {f (v1), f (v2), . . . , f (vn)} Bước 3. Kết luận Im f = span(S) = span{f (v1), . . . , f (vn)}. Định lý 3. ChoV,W là hai không gian véc tơ trên trường K với dimV hữu hạn và f :V →W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó: dim Im f +dim Ker f = dimV 4 Hạng của AXTT Định nghĩa 3. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K,dimV hữu hạn và f :V →W là một ánh xạ tuyến tính. Số chiều của không gian lm f được gọi là hạng của f, kí hiệu là rank f : rank f = dim(Im f) Ví dụ 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi: f(x,y,z) = (x+2y,y+z) Tìm số chiều và cơ sở của Im f và Ker f. [Hướng dẫn giải] Ta có: Ker f = (x,y,z) ∈ R3 : x+2y = y+z = 0 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 4
第 5 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Vì hệ phương trình thuần nhất: ( x+2y = 0 y+z = 0 có nghiệm dạng {(−2t,t,−t),t ∈ R} nên Ker f = {(−2t,t,−t),t ∈ R} = span{(−2,1−1)} Mặt khác, áp dụng định lý về số chiều ta được: dim(Im f) = 3−dim(Ker f) = 3−1 = 2 Hơn nữa Im f là không gian con của không gian R2 nên Im f ≡ R2. Do đó, cơ sở của Im f là cơ sở chính tắc của R2. || Section 3 - Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Định nghĩa 4. Ánh xạ tuyến tính được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh.) Ví dụ 5. 1. Ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2 xác định bởi f (x1,x2) = (x1 +x2,x1 −x2) là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. 2. Ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2 xác định bời f (x1,x2) = (x1 −x2,x1 −x2) không là đơn cấu, cũng không là toàn cấu. 3. Ánh xạ tuyến tính f : P [x] → P [x] xác định bởi f(p(x)) = p′(x), (đạo hàm của p(x) ) là toàn n n−1 cấu nhưng không là đơn cấu. Tính chất 5. Cho ánh xạ tuyến tính f :V →W. 1. f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker f = {θV }. 2. f là toàn cấu khi và chỉ khi dim(Im f) = dimW Lưu ý 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V′,dimV = dimV′. Ta có các khẳng định sau là tương đương: 1. f là đơn cấu 2. f là toàn cấu 3. f là đẳng cấu. Định nghĩa 5. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K. Ta nói V,W là đồng cấu nếu tồn tại đẳng cấu f :V →W. Khi đó ta kí hiệu: V ∼=W. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 5
第 6 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập II Ma trận của ánh xạ tuyến tính || Section 1 - Định nghĩa ma trận của AXTT đối với một cặp cơ sở bất kì. Quy trình xác định ma trận của AXTT đối với một cặp cơ sở bất kì. Cho V,W là hai không gian véc tơ trên trường K,dimV = n,dimW = m và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Giả sử B là một cơ sở của V và B′ là một cơ sở của W với B = {v ,v , . . . ,v },B′ = {w ,w , . . . ,w } 1 2 n 1 2 m Khi đó mọi véc tơ v ∈V được xác định bởi toạ độ của v đối với cơ sở B và f(v) được xác định bởi toạ độ của nó đối với cơ sở B′. Ta có thể xây dựng ma trận của ánh xạ f để biểu diễn mối quan hệ giữa hai tọa độ này. Định nghĩa 6. Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ n chiều V tới không gian véc tơ m chiều W. Giả sử B là một cơ sở của V và B′ là một cơ sở của W với B = {v ,v , . . . ,v },B′ = {w ,w , . . . ,w } 1 2 n 1 2 m Ma trận A cỡ m×n được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở B,B′ nếu với mọi véc tơ v ∈V [f(v)]B′ = A[v]B ở đó [f(v)] là tọa độ cột của véc tơ f(v) trong cơ sở B′ và [v] là tọa độ của véc tơ v trong cơ sở B. B′ B Ví dụ 6. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 được xác định bởi f (x1,x2,x3) = (x1 −3x2 +x3,x1 +2x3) Xét cơ sở chính tắc của R3 và R2 là: E = {e = (1; 0; 0),e = (0; 1; 0),e = (0; 0; 1)},E′ = e′ = (1; 0),e′ = (0; 1) 1 2 3 1 2 Tìm ma trận của f dối với cặp cơ sở chính tắc của R3 và R2. [Hướng dẫn giải] Ta có f (e1) = f(1; 0; 0) = (1; 1) f (e2) = f(0; 1; 0) = (−3; 0) f (e3) = f(0; 0; 1) = (1; 2) Với mọi véc tơ v(x ,x ,x ) ∈ R3, 1 2 3 f(v) = x1 f (e1) +x2 f (e2) +x3 f (e3) — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 6
第 7 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Do f(v) ∈ R2, giả sử f(v) = (y ,y ) biểu thức trên được viết lại dưới dạng: 1 2 x1 y1 1 −3 1 = x y 2 2 1 0 2 x3 1 −3 1 Từ đó nếu đặt A = thì với mọi véc tơ v ∈ R3 ta có 1 0 2 [f(v)]E′ = A[v]E A chính là ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc của R3 và R2. Lưu ý 4. Nếu thay vi vào (1) ta được [f (vi)]B′ = A[vi]B ,∀i = 1,n Do đó cột thứ i của ma trận A là véc tơ toạ độ của f (v ) đối với cơ sở B′. Cụ thể, nếu biểu diễn các i ảnh f (v ) qua cơ sở B′ là: i f (v ) = a w +a w +. . .+a w 1 11 1 21 2 m1 m f (v2) = a12w1 +a22w2 +. . .+am2wm · · · f (vn) = a1nw1 +a2nw2 +. . .+amnwm thì ta có ma trận A thu được từ phép chuyển vị đối với ma trận của các hệ số trong biểu diễn (*) a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · ann Công thức 3. Quy trình xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với mỗi cặp cớ sở B của V và B′ của W. Bước 1. Tính f (vi) với mọi vi ∈ B Bước 2. Tìm tọa dộ của f (v ) trong cơ sở B′. i Bước 3. Lập A là ma trận tọa độ cột của hệ véc tơ f (vi),i = 1,n : A = ([f (v1)]B′ [f (v2)]B′ . . .[f (vn)]B′) — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 7
第 8 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Lưu ý 5. 1. Ta có thể chọn các cơ sở B và B′ sao cho ma trận A càng đơn giản càng tốt. Khi đó ma trận có thể cung cấp những thông tin quan trọng về ánh xạ tuyến tính. 2. Mối quan hệ giữa tập hợp các ánh xạ tuyến tính f và ma trận tương ứng được thể hiện qua đẳng cấu F : Hom(V,W) → M (K) được xác bởi F(f) = A. Như vây Hom(V,W) ∼= M (K). m×n m×n Ví dụ 7. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi f (x1,x2,x3) = (x1 +x2,x2 +x3) đối với các cơ sở B = {e (1; 0; 0)e (0; 1; 0),e (0; 0; 1)} và B = e′ (1; 1),e′ (0; 1) . Ta có 1 1 2 3 2 1 2 f (e ) = (1; 0) = e′ −e′ 1 1 2 f (e ) = (1; 1) = e′ 2 1 f (e ) = (0; 1) = e′ 3 2 Do đó ma trận của f đối với cặp cơ sở B1,B2 là: 1 1 0 A = −1 0 1 Ví dụ 8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc của R3,R2 là 2 −4 1 A = 1 3 −2 a) Tính f(1; 2; 3). b) Tìm cơ sở và số chiều của Ker f. c) Tìm cơ sở và số chiều của Im f. [Hướng dẫn giải] a) Ta có f(1; 2; 3) = f(1; 0; 0) +2f(0; 1; 0) +3f(0; 0; 1) = (2; 1) + (−4; 3) + (1;−2) = (−1; 1) — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 8
第 9 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập b) Ta có Ker f = (x,y,z) ∈ R3 | f(x,y,z) = (0,0) . Do đó x 2 −4 1 0 (x,y,z) ∈ Ker f ⇔ y = 1 3 −2 0 z ( 2x−4y+z = 0 ⇔ x+3y−2z = 0 Không gian nghiệm của hệ trên là {(x,y,z) = (t,t,2t),t ∈ R} nên dim Ker f = 1 và một cơ sở của Ker f là {(1,1,2)}. c) Từ định lý về số chiều ta có: dim Im f = 3−dim Ker f = 2. Mặt khác lm f là không gian con của R2. Do đó Im f ≡ R2. Ta có thể chọn một cơ sở của Im f chính là cơ sở chính tắc của R2 là {(1; 0),(0; 1)}. || Section 2 - Ma trận đồng dạng. Ma trận của toán tử tuyến tính. Các phép toán. 1 Ma trận đồng dạng Ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với các cặp cơ sở khác nhau Xét ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ n chiều V tới không gian véc tơ m chiều W. Giả sử B ,B là hai cơ sở của V và B′ ,B′ là hai cơ sở của 1 2 1 2 W với B = {v ,v , . . . ,v },B′ = {w ,w , . . . ,w } 1 1 2 n 1 1 2 m B = v′ ,v′ , . . . ,v′ ,B′ = w′ ,w′ , . . . ,w′ 2 1 2 n 2 1 2 m Giả sử A ,A lần lượt là ma trận của f tương ứng với cặp cơ sở B ,B′ và B ,B′ . Khi đó: 1 2 1 1 2 2 [f(v)]B′ = A1[v]B ,[f(v)]B′ = A2[v]B 1 1 2 2 Gọi P là các ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ,P là các ma trận chuyển từ cơ sở B′ sang B′ . Theo 1 1 2 2 1 2 tính chất của ma trận chuyển cơ sở: [f(v)]B′ = P2[f(v)]B′ ,[v]B = P1[v]B 1 2 1 2 Từ đó ta có: A [v] = [f(v)] = P [f(v)] = P A [v] = P A P−1[v] ,∀v ∈V 1 B1 B′ 2 B′ 2 2 B2 2 2 1 B1 1 2 Suy ra: A = P A P−1 1 2 2 1 Khi m = n và V ≡W, tức là B′ ≡ B ,B′ ≡ B thì P ≡ P := P, ta có 1 1 2 2 2 1 A = PA P−1 1 2 với P là ma trận chuyển từ cơ sở B1 sang cơ sở B2. Ta cũng có thể viết A = P−1A P 2 1 — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 9
第 10 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định nghĩa 7. Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng cấp n. Ta nói A và B đồng dạng với nhau, kí hiệu A ∼ B nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho B = P−1AP 2 Ma trận của toán tử tuyến tính. Định nghĩa 8. Cho T là một toán tử tuyến tính của không gian véc tơ n chiều V. Giả sử B là một cơ sở của V với B = {v1,v2, . . . ,vn} Ma trận A tương ứng với "cặp" cơ sở {B,B} được gọi là ma trận của T đối cơ sở B. Lưu ý 6. 1 Ma trận của toán tử tuyến tính là ma trận vuông cỡ n×n thoã mãn tính chất [T (vi)]B = A·[vi]B ,∀i = 1,n 2 Hai ma trận của một ánh xạ tuyến tính tương ứng với hai cơ sở khác nhau là hai ma trận đồng dạng. 3 Các phép toán Định nghĩa 9. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính Xét V là không gian véc tơ n chiều và W là không gian véc tơ m chiều trên trường K. Cho hai ánh xạ tuyến tính f,g :V →W. Nhắc lại tổng của hai ánh xạ này, ký hiệu f +g, là ánh xạ tuyến tính cho bởi (f +g)(u) = f(u) +g(u),∀u ∈V Tính chất 6. Nếu các ánh xạ tuyến tính f,g có ma trận tương ứng là A,B đối với cặp cơ sở nào đó của V,W thì tổng f +g có ma trận là A+B dối với các cơ sở này. Đối với tích k f của số k ∈ K với ánh xạ tuyến tính f :V →W ta có Nếu ánh xạ tuyến tính f có ma trận là A đối với một cặp cơ sở của V,W thì tích k f, với k ∈ K, có ma trận là kA dối với cặp cơ sở này. Định nghĩa 10. Hợp thành của hai ánh xạ tuyến tính Cho các ánh xạ tuyến tính xác định trên các không gian véc tơ hữu hạn chiều V,W,Z V −→f W →−g Z Khi đó dễ thấy hợp thành g◦ f :V → Z cũng là một ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa 11. Ánh xạ ngược Cho V,W là hai không gian véc tơ có cùng số chiều. Ánh xạ tuyến tính f :V →W được gọi là không suy biến nếu ma trận của nó không suy biến. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 10
第 11 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Tính chất 7. Ánh xạ tuyến tính f : V → W không suy biến khi và chỉ khi nó là một đẳng cấu. Hơn nữa, nếu đẳng cấu f có ma trận A đối với cặp cơ sở nào đó thì ánh xạ ngược f−1 có ma trận là A−1 dối với cặp cơ sở này. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 11
第 12 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập III Trị riêng. Vector riêng. Chéo hoá ma trận || Section 1 - Định nghĩa , ví dụ , tính chất. Bài toán tìm trị riêng, vector riêng. 1 Định nghĩa , ví dụ , tính chất Định nghĩa 12. Số λ ∈ K được gọi là giá trị riêng hay trị riêng của f nếu tồn tại véc tơ u ̸= θ sao cho f(u) = λu. Khi đó ta nói u là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ. Ví dụ 9. Xét ánh xạ f : R2 → R2 được xác định bởi: f(x,y) = (y,x)∀(x,y) ∈ R2. Ta có: f(1;−1) = (−1; 1) = (−1)·(1;−1) nên λ = −1 là một giá trị riêng của f và (1;−1) là véc tơ riêng tương ứng với nó. Tính chất 8. Tính chất của véc tơ riêng và giá trị riêng 1. Véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính có giá trị riêng duy nhất. 2. Nếu u là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ và 0 ̸= k ∈ K thì ku cũng là vectơ riêng ứng với cùng giá trị riêng λ. 3. Nếu u1,u2 là hai véc tơ riêng độc lập tuyến tính của toán tử tuyến tính f với cùng một giá trị riêng λ thì tổng u1 +u2 cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ. 4. Nếu u1,u2, . . . ,us là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của toán tử tuyến tính f với cùng một giá trị riêng λ thì mọi tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các véc tơ này cũng là một véc tơ riêng với giá trị riêng λ. Lưu ý 7. Tập hợp gồm véc tơ không và mọi véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của f là một không gian con của V. Không gian này được gọi là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ của f . Kí hiệu là Vλ. Định nghĩa 13. Nếu u1,u2, . . . ,us là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của f với giá trị riêng λ1 và v1,v2, . . . ,vr là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của f với giá trị riêng λ2 (λ1 ̸= λ2) thì hệ S = {u1, . . . ,us,v1, . . . ,vr} là độc lập tuyến tính. Lưu ý 8. Nếu f có các giá trị riêng λ1,λ2,· · · ,λi ̸= λj ∀i ̸= j,i, j = 1, ...k) và u1,u2, ...uklà k véc tơ riêng tương ứng thì u1,u2, ...uk là độc lập tuyến tính. 2 Bài toán tìm trị riêng, vector riêng. Định nghĩa 14. Trong không gian véc tơ n chiều V chúng ta đã chọn một cơ sở: B = {v1,v2, . . . ,vn} và giả sử A = ai j là ma trận của toán tứ tuyến tính f dới với cơ sở này. Giả sử λ là một giá trị n×n — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 12
第 13 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập riêng của f và u là một véc tơ riêng của nó. Khi đó f(u) = λu Ta có [f(u)]B = A[u]B Do đó A[u]B = λ[u]u Tưong dương với (A−λI)[u]B = 0 trong đó I là ma trận đơn vị. Giả sử (x1,x2, . . . ,xn) là tọa độ của u đối vơi cơ sở B và X = [u]b là tọa độ cột của u. Phương trình (1) trờ thành (A−λI)X = 0 Phương trình ma trận này biếu diễn một hệ n phương trình tuyến tính đẳng cấp n ẩn (a −λ)x +a x +· · ·+a x = 0 11 1 12 2 1n n a21x1 + (a22 −λ)x2 +· · ·+a2nxn = 0 · · · an1x1 +an2x2 +· · ·+ (ann −λ)xn = 0 Nó có nghiệm không tầm thường khi và chi khi định thức |A−λI| = 0 Định thức |A−λI| là một đa thức bậc n đối với λ. Nó được gọi là đa thức đẳc trưng của ma trân A, hay của toán tử tuyến tính f. Phương trình (3) được gọi là phương trình đặc trưng của toán tử f, và cũng được goi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Các nghiệm của phương trình (3) là các giá trị riêng của f, và c¯ung được goi là các giá tri riêng của ma trận. Với mỗi giá trị riêng λ tìm được như là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) chúng ta thay vào phương trình (2) để tìm vecto riêng u. Định lý 4. Số λ ∈ K là một giá trị riêng của f khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình đặc trưng của phép biến đổi này. Lưu ý 9. Đa thức đặc trưng là đa thức bậc n, tổng các nghiệm của đa thức (tính cả nghiệm phức nếu có) luôn bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận. Đó cũng chính là tổng của các giá trị riêng thu được (tính cả giá trị riêng phức nếu có). Lưu ý 10. Các giá trị riêng của toán tử tuyến tính trong một R-không gian véc tơ chỉ tính các nghiệm thực của phương trình đặc trưng. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 13
第 14 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Định nghĩa 15. Các bước tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của toán tử tuyến tính Bước 1. Viết ma trện A của f theo một cơ sở B của V. Bước 2. Giải |A−λI| = 0 tìm giá trị riêng. Bước 3. Giải (A−λI)[u]B = 0 véc tơ riêng tương ứng với λ. Ví dụ 10. Cho toán từ tuyến tính f : R3 → R3 được xác định bodi: f(x,y,x) = (−2y−3z,−2x−3z,2x+5y+5z) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f. [Hướng Dẫn Giải] Ta có ma trận A của f dối với cơ sở chính tắcc của R3 là 0 −2 −3 A = −2 0 −3 2 2 5 Phương trình đặc trưng ( 3 ) của f có dạng −λ −2 −3 −2 −λ −3 = 0 2 2 5−λ Sau khi tính định thức ở vế trái ta được: λ3 −5λ2 +8λ −4 = 0 ⇔ λ3 −λ2 − 4λ2 −4λ + (4λ −4) = 0 ⇔ (λ −1) λ2 −4λ +4 = 0 Bởi vậy, phương trình đặc trưng có hai nghiệm λ1 = 1,λ2 = 2. Để tìm véc tơ riêng chúng ta giải hệ phương trình (2). - Với λ = 1, hệ phuơng trình (2) có dạng −x −2x −3x = 0 1 2 3 −2x1 −x2 −3x3 = 0 2x +2x +4x = 0 1 2 3 Nghiệm của hệ là các véc tơ có tọa độ {(c,−c,c),c ∈ R}. Từ đó ta có không gian con riêng Vλ=1 = span{u1 = (1;−1; 1)} ứng với giá trị riêng λ = 1. Các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 1 là: — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 14
第 15 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập {t1(1;−1; 1),t ̸= 0}. - Với λ = 2, hệ phương trình (2) có dạng −2x −2x −3x = 0 1 2 3 −2x1 −2x2 −3x8 = 0 ⇔ 2x1 +2x2 +3x3 = 0 2x +2x +3x = 0 1 2 3 Nghiệm của hệ là các vectơ có tọa độ là {(3c,3d,−2(c+d)),c,d ∈ R}. Ta có không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ = 2 B Vλ=2 = span{u2(3; 0;−2),u3(0; 3;−2)}, do đó các véc tơ riêng là: t (3; 0;−2) +t (0; 3;−2),t2 +t2 ̸= 0 2 3 2 3 || Section 2 - Chéo hoá ma trận. Định nghĩa 16. Cho A là ma trận vuông cấp n. A được goi là ma trận chéo hoá được nếu nó đồng dạng với ma trận đường chéo, tức là tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho P−1AP = D với D là ma trận đường chéo. Ma trận P đưa A về dạng chéo được gọi là ma trận làm chéo hoá ma trận A. Định lý 5. Cho A,B là hai ma trận đồng dạng. Khi đó A,B sẽ có cùng đa thức đặc trưng, và do đó có cùng các trị riêng. Tính chất 9. Nếu λ1,λ3, . . . ,λk là các trị riêng phân biệt của ma trận A thì các véc tơ riêng tương ứng v1,v3, . . . ,vk tương ứng là độc lập tuyến tính. Định lý 6. A là chéo hoá được khi và chỉ khi A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Ví dụ 11. Cho ma trận 1 −4 −8 A = −4 7 −4 −8 −4 1 Chéo hoá ma trận A. [Hướng Dẫn Giải] Ta có |A−λI| = −(λ −9)2(λ +9). Với λ = 9, hệ phương trình (A−λI)X = 0 tương đuơng với 1 phương trình 2x1 +x2 +2x3 = 0 Bởi vậy không gian con riêng ứng với λ = 9 Vλ−9 = {u = (c,−2c−2d,d),c,d ∈ R} = {u = c(1;−2; 0) +d(0;−2; 1),c1d ∈ R} Ta được một cơ sở của không gian riêng con này là u1 = (1;−2; 0),u2 = (0;−2; 1). Với λ2 = −9, — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 15
第 16 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập hê phương trình (A−λI)X = 0 tương đương với hệ phương trình. −10x −4x −8x = 0 1 2 3 x1 −4x2 +x3 = 0 −4x1 −16x2 −4x3 = 0 ⇔ 4x +2x −5x = 0 −8x −4x +10x = 0 1 2 3 1 2 3 Bởi vậy không gian riêng ứng với λ = −9 Vλ=−9 = {v = (2t,t,2t),t ∈ R} = {v = t(2; 1; 2),t ∈ R} Ta chọn một vecto cơ sở của không gian riêng con này là u3 = (2,1,2). Khi đó 1 0 2 P = −2 −2 1 0 1 2 thỏa mãn 9 0 0 P−1AP = D = 0 9 0 0 0 −9 Định nghĩa 17. Quy trình chéo hoá ma trận Bước 1. Tìm các giá trị riêng của của ma trận A từ việc giải phương trình đa thức det(A−λI) = 0 Bước 2. Với mỗi giá trị riêng λi(i = 1,2, . . . ,s), tìm một cơ sở Bi của không gian con riêng tương ứng là không gian nghiệm của hệ phương trình: (A−λiI)X = 0 Bước 3. Lập B là hợp các cơ sở Bi vừa tìm được ở Bước 2 để thu được các véc tơ riêng. Nếu số véc tơ bằng n, giả sử B = {u1, . . . ,un}, thiết lập ma trận chéo hóa P với cột thứ j là véc tơ uj,P = (u1u2 . . .un). Khi đó ma trận P sẽ làm chéo hoá ma trận A, hơn nữa P−1AP = diag[λ ,λ , . . . ,λ ] 1 2 n trong đó λi(i = 1,2, . . . ,n) là các trị riêng ứng với véc tơ riêng ui. Nếu số véc tơ trong B nhỏ hơn n, kết luận ma trận A không chéo hoá được. Lưu ý 11. Ta sẽ chỉ ra rằng có những ma trận không đưa được về dạng chéo. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 16
第 17 页
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Cho ma trận 1 0 0 A = −1 1 2 3 0 1 Đa thức đặc trưng P (λ) = (1−λ)3, nên ma trận chỉ có một giá trị riêng là λ = 1. Tuy nhiên với A λ = 1 hệ phương trình xác định các vectơ riêng là −x +2x = 0 1 3 3x = 0 1 Do đó nghiệm của hệ có dạng (0,c,0),c ∈ R. Như vậy, không gian nghiệm của hệ này là một chiều nên hệ vectơ riêng độc lập tuyến tính chỉ gồm một vectơ, do đó A không thể đưa về dạng chéo. — Biên soạn bởi: Team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập — 17
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！