Trang 1
Cơ học kỹ thuật II Engineering ĐỘ NG LỰ C HỌ C Mechanics GS.TS. Đinh Văn Phong Bộ môn Cơ học ứng dụng C3-307/308 (C1-224) 0903200960 / (024)36230949 phong.dinhvan@hust.edu.vn Department of Applied Mechanics
Trang 2
Mộ t số khá i niệ m cơ bả n củ a cơ họ c giả i tí ch Cá c phương phá p cơ bả n để giả i quyế t bà i toá n độ ng lự c họ c (nhắ c lạ i) 2 cá ch tiế p cậ n: - Phương phá p vector (cá c đạ i lượ ng tiên quyế t là cá c đạ i lượ ng vector: lự c,vậ n tố c, gia tố c, độ ng lượ ng...) - Phương phá p năng lượ ng (cá c đạ i lượ ng tiên quyế t là cá c đạ i lượ ng vô hướ ng: công, độ ng năng,…) Cá c phương phá p cơ bả n: - Lự c – Gia tố c (Đị nh lý chuyể n độ ng khố i tâm, phương trì nh vi phân chuyể n độ ng củ a điể m, vậ t rắ n,..) - Công – Năng lượ ng (Đị nh lý độ ng năng, bả o toà n cơ năng,…) - Xung lự c – Độ ng lượ ng (Đị nh lý độ ng lượ ng, định lý moment độ ng lương,…) - Mộ t số nguyên lý cơ họ c vớ i cả 2 cá ch tiế p cậ n - Nguyên lý di chuyể n khả dĩ (công ả o) - Nguyên lý D’Alembert Hôm nay - Nguyên lý D’Alembert-Lagrange - Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Chú ý: vớ i từ ng phương phá p cầ n lưu ý phân loạ i lự c - Nộ i lự c-Ngoạ i lự c - Lự c hoạ t độ ng- lự c liên kế t - Lự c có khả năng sinh công- Lự c không có khả năng sinh công Department of Applied Mechanics 2
Trang 3
CHAPTER6 Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Engineering Mechanics: KINETICS ĐỘ NG LỰ C HỌ C CƠ HỆ : NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT-LAGRANGE Department of Applied Mechanics
Trang 4
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Nguyên lý công ảo (Principle of virtual work ) (nhắ c lạ i) Nguyên lý. Điều kiện cần và đủ để cho cơ hệ chịu các liên kết holonom, giữ, dừng và lý tưởng cân bằng tại một vị trí đang xét là tổng công ảo của tất cả các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ trong mọi di chuyển ảo của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu. N Cơ hệ cân bằng A = Fa r = 0 k k k =1 Department of Applied Mechanics 4
Trang 5
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Nguyên lý di chuyể n khả dĩ cho hệ chịu liên kết ở dạng tọa độ suy rộng đủ (nhắ c lạ i) Xét hệ chịu liên kết giữ dừng và lý tưởng, f bậc tự do, với f tọa độ suy rộng q1,q2,…,qf. N Cơ hệ cân bằng A = Fa r = 0 k k k =1 f A = Q q = 0 Q = 0, i = 1,2,..., f i i i i=1 Các q 0và độc lập) Hệ f phương trình cân bằng i Department of Applied Mechanics 5
Trang 6
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm (nhắ c lạ i) Với định nghĩa lực quán tính: m Fqt ma F Fqt Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm : Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của nó thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh. ( ,F Fqt ) 0 Ghi chú: - Việc đưa khái niệm lực quán tính vào đã chuyển bài toán động lực học về dạng bài toán tĩnh học. Department of Applied Mechanics 6
Trang 7
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Nguyên lý d’Alembert đối với hệ nhiều vật rắn (nhắ c lạ i) Xét hệ gồm n vật rắn. z Thu gọn các ngoại lực tác dụng lên vật rắn k về khối tâm C của nó Fe Fe k k m j j (Fe ,Me ) C k, C k, g Thu gọn lực quán tính của vật rắn k về khối tâm Ck của nó (Fqt ,Mqt ) m Fe k C k, C k, l Nguyên lý d’Alembert hệ n vật rắn: O Tại mỗi thời điểm, hệ lực gồm các ngoại lực tác dụng lên các vật của cơ hệ y và các lực quán tính / ngẫu lực quán tính của các vật thu về khối tâm mỗi x vật thuộc cơ hệ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. (Fe ,Me ,...,Fe ,Me ,Fqt ,Mqt ,...,Fqt ,Mqt ) 0 C,1 C,1 C n, C n, C,1 C,1 C n, C n, Department of Applied Mechanics 7
Trang 8
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Nguyên lý d’Alembert đối với cơ hệ gồm nhiều chất điểm và nhiều vật rắn (nhắ c lạ i) Đối với hệ nhiều chất điểm và nhiều vật rắn, ta vẽ sơ đồ giải phóng liên kết cho các chất điểm và vật rắn, gồm: - Các lực “thông thường” - Các lực quán tính cho các chất điểm - Các lực quán tính và ngẫu lực quán tính thu gọn về khối tâm C cho các vật rắn (hoặ c điểm thuận lợ i hơn như trường hợ p vật quay quanh trục cố định) Hệ lực gồm các lực tác dụng lên cơ hệ và các lực quán tính/ngẫu lực quán tí nh thuộc cơ hệ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. Department of Applied Mechanics 8
Trang 9
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Thu gọn lực quán tính của vật rắn (nhắ c lạ i) Vật rắn tịnh tiến: ma C Thu gọn về khối tâm C: Rqt ma , Mqt 0 a C C C C C Tấm phẳng chuyển động song phẳng Thu gọn về khối tâm, A=C: k Rqt ma u C C C A C Mqt I dm C C u z Tấm phẳng quay quanh trục Oz vuông góc tấm, lấy A = O k u C Thu gọn về điểm O: O C dm Rqt ma , Mqt I u O C O Oz Department of Applied Mechanics 9
Trang 10
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Ví dụ (áp dụng nguyên lý d’Alembert ) Một thanh mảnh đồng chất được gắn bằng bản lề vào một trục quay thẳng đứng O; OA = l ; OB = l . Trục quay đều với vận tốc góc , chốt bản lề nằm 1 2 ngang. Bỏ qua ma sát. Tìm hệ thức giữa vận tốc góc và góc nghiêng giữa A trục quay và thanh AB khi chuyển động đã ổn định (khi đó là hằng số). Lời giải s O Khảo sát thanh AB quay cùng trục đứng. Khi = const, thanh có vận tốc góc C ds bằng vận tốc góc của trục. adm a B Để tính lực quán tính, ta xét phân tố khối lượng dm, cách O một đoạn là s, phân tố có chiều dài ds. Gia tốc, khối lượng và lực quán tính của phân tố: m m a = s sin 2, dm = ds, dFqt = adm = s sin 2 ds l +l l +l 1 2 1 2 Thu gọn lực quán tính về gốc O được: Rqt = −ma , Mqt = − s adm O C O Department of Applied Mechanics 10
Trang 11
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Ví dụ (…) Theo nguyên lý d’Alembert ta có hệ lực cân bằng c =OC = 1 (l −l ) R 2 2 1 (R ,P R, qt,Mqt ) 0 A O Mqt = − s adm O O O O Rqt = −ma PTCB m (F ) = Mqt − Pc sin = 0 qt s O C O k O M O O C Tính được adm m l a Mqt = s cos adm = 2 s cos s sin 2ds O l + l −l 1 2 1 P B m l 1 = cos sin 2 2 s ds2 = m l( 2 −l l + l2) cos sin 2 l + l −l 3 2 1 2 1 1 2 1 sin = 0 PTCB 1 m l( 2 −l l + l2)cos sin2 − mg 1 (l −l )sin = 0 3 (g l −l ) 3 2 1 2 1 2 2 1 cos = 2 1 22(l2 −l l + l2) 2 1 2 1 Department of Applied Mechanics 11
Trang 12
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Nguyên lý d’Alembert-Lagrange 1. Nguyên lý d’Alembert-Lagrange 2. Ví dụ áp dụng Department of Applied Mechanics 12
Trang 13
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange 1. Nguyên lý d'Alembert – Lagrange Đối với hệ N chất điểm chịu các liên kết lý tưởng Xét chất điểm thứ k: m ,Fa,Fc a m k k k k 1 Tiên đề 2 Newton m a Fa Fc Fc m a Fa Fc k k k k k k k k k z m k Nhân vô hướng hai vế với di chuyển ảo của chất điểm k và tính tổng với tất cả các chất điểm thuộc hệ r k Các liên kết là lý tưởng Fa k N N N y Fc r ( m a Fa ) r Fc r 0 k k k k k k k k x k 1 k 1 k 1 Nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Đối với cơ hệ chịu các liên kết giữ và lý tưởng, tại mỗi thời điểm tổng công ảo của các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyển ảo của cơ hệ đều bằng không. N N (Fa m a ) r 0 Fa m x x Fa m y y Fa m z z 0 k k k k kx k k k ky k k k kz k k k k 1 k 1 Phương trình này còn được gọi là phương trình tổng quát động lực học hệ chất điểm. Department of Applied Mechanics 13
Trang 14
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange 1. Nguyên lý d'Alembert – Lagrange y Đối với hệ N vật rắn phẳng chịu các liên kết lý tưởng Xét vật thứ k: m ,I ,Fa ,Fc ,Ma ,Mc a , O x k Ck Ck Ck Ck k Ck k Quan hệ lực – gia tốc (pt Newton-Euler) C1 A 1 m a Fa Fc ( Fc Fa m a ) (1) r C k Ck Ck Ck Ck Ck k Ck Ck 2 F I Ma Mc ( Mc Ma I ) (2) P Ck k Ck Ck Ck Ck Ck k k 1 B 2 Nhân vô hướng hai vế pt (1) với r và pt (2) với . P Ck k 2 Tính tổng với k = 1,…,N: N N N (Fc r Mc ) (Fa m a ) r (Ma I ) 0 Ck Ck Ck k Ck k Ck k Ck Ck k k k 1 k 1 k 1 N (Fa m x ) x (Fa m y ) y (Ma I ) 0 Ckx k Ck Ck Cky k Ck Ck Ck Ck k k k 1 Department of Applied Mechanics 14
Trang 15
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange 2. Ví dụ áp dụng Lực suy rộng của các lực hoạt động: x A F( a ) G y m g y Q G m g m, I k 1 1 y 1 1 C k Đặt các lực quán tính: mg r, R I [1 / (R r)] y m1 C y x R [R / (R r)] y G 1 mx Lực suy rộng của các lực quán tính: mg A F( qt ) m y y mx x I F k 1 C N m y k 1 m m R[ / (R r)]2 I [1 / (R r)]2 y y 1 C G1 Qqt m m R[ / (R r)]2 I [1 / (R r)]2 y y 1 C Department of Applied Mechanics 15
Trang 16
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange 2. Ví dụ áp dụng x Theo nguyên lý d’Alembert-Lagrange: m,IC Q Qqt 0 y y G m m R[ / (R r)]2 I [1 / (R r)]2 y 0 C 1 1 C r, R Gia tốc vật khối lượng m1 m 1 m g y y 1 G m m R[ / (R r)]2 I [1 / (R r)]2 1 1 C Gia tốc khối tâm con lăn y / (R r) Gia tốc góc con lăn x R Ry / (R r) Hãy so sánh với kết quả khi sử dụng phương pháp tách vật, phương pháp năng lượng (định lý động năng) Department of Applied Mechanics 16
Trang 17
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 Xét hệ nhiều vật hô lô nôm với các liên kết giữ, dừng và lý tưởng. Số bậc tự do = f Chọn tọa độ suy rộng đủ q [q ,q ,...,q ]T 1 2 f Nguyên lý d’Alembert-Lagrange đối với hệ N chất điểm: f (Q Qqt ) q 0 N i i i (Fa m a ) r 0 i 1 k k k k k 1 Q Qqt 0, i 1,2,..., f i i đối với hệ N vật rắn phẳng: N N (Fa r Ma ) ( m a r I ) 0 Ck Ck Ck k k Ck Ck Ck k k k 1 k 1 Hệ quả: Tại mỗi thời điểm lực suy rộng của các lực hoạt động và các lực quán tính triệt tiêu. Department of Applied Mechanics 17
Trang 18
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 (...) Lực suy rộng của các lực quán tính d N 1 1 N 1 1 Qqt v m v I v m v I i dt q 2 Ck k Ck 2 k Ck k q 2 Ck k Ck 2 k Ck k i k 1 i k 1 d T T 1 N , T m v2 I 2 dt q q 2 k Ck Ck k i i k 1 Phương trình Lagrange loại 2 cho hệ nhiều vật rắn phẳng hô lô nôm d T T Qqt Q 0 Q Qkt i i dt q q i q i i i i Định nghĩa hàm Lagrange của hệ L T q( ,...,q ,q ,...,q , )t (q ,...,q ) 1 f 1 f 1 f d L L Qkt T q( ,...,q ,q ,...,q , )t là biểu thức động năng dt q q i 1 f 1 f i i (q ,...,q ) là biểu thức thế năng của hệ 1 f Department of Applied Mechanics 18
Trang 19
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại 2 Phương trình Lagrange loại 2 là phương trình vi phân chuyển động của hệ các chất điểm và các vật rắn chịu liên kết hình học ở dạng tọa độ suy rộng đủ với số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ. Với cơ hệ f bậc tự do có các toa độ suy rộng đủ [q1,q2,…,qf], phương trình chuyển động Lagrange loại 2 như sau: d L L kt d T T kt Q Q , (i 1,2,..., f) dt q q i dt q q q i i i i i i Department of Applied Mechanics 19
Trang 20
Nguyên lý D’Alembert - Lagrange Bài tập về nhà Học theo chương trình trên lms Làm các bài tập theo hướng dẫn Trao đổ i vớ i cá c bạ n Làm bài QUIZ (mỗi bài tối đa 3 lần ) Hẹ n gặ p lạ i Department of Applied Mechanics 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!