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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 3 Corrig´e 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un call europ´een de prix d’exercice K = 20 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux hausses cons´ecutives puis une baisse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. Quelle serait la prime d’un put europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Solution a. et b. La dynamique de S et les prix du call aux diff´erents nœuds de l’arbre sont donn´es dans la figure ci-dessous. La probabilit´e de martingale est 1,02 − 0,9 3 q = = 1,1 − 0,9 5 et la prime `a t = 0 est c0 = 2,0721––C. 26,62 6,62 24,2 4,5922 22 21,78 3,1119 1,78 20 19,8 2,0721 1,0471 18 17,82 0,6159 0 16,2 0 14,58 0 Les calculs partent de l’extr´emit´e droite de l’arbre ; on utilise la formule d’esp´erance conditionnelle actualis´ee ∑k ( ) 1 k i k−i i k−i c(T − k, ST−k) = q (1 − q) c(T, ST−ku d ) (1 + r)k i i=0 avec T = 3 (la dur´ee δt d’une ´etape est 1) et k = 1, 2 ou 3. Les c(T, S uidk−i) sont les valeurs du pay-off T−k aux extr´emit´es de l’arbre sachant qu’`a la date T − k le sous-jacent S avait pour valeur ST−k. Dans le cas pr´esent, on a ( ) ( ) c(T, S uidk−i) = S uidk−i − K = S ×(1,1)i×(0,9)k−i − 20 . T−k T−k + T−k + 2002-2011 michel miniconi version du 5 mars 2011
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c. A la date` t = 0 le vendeur du call encaisse la prime 2,0721––C et ach`ete 3,1119 − 0,6159 ∆ = = 0,6234 22 − 18 parts d’actif sous-jacent. Il finance cet achat par un emprunt (au taux 2% sur la p´eriode `a venir) de la somme 0,6234×20 − 2,0721 = 10,4077––C. Il s’est ainsi constitu´e le portefeuille de couverture (b,∆) = (−10,4077––C , 0,6234 parts). A la date` t = 1 l’actif risqu´e est mont´e `a 22––C : le trader liquide son portefeuille, qui vaut maintenant 3,1119––C, et se constitue un nouveau portefeuille de couverture en achetant 4,5922 − 1,0471 ∆ = = 0,8057 24,2 − 19,8 parts de sous-jacent. Il emprunte la somme n´ecessaire `a cet achat, soit 0,8057×22 − 3,2816 = 14,6136––C. Il est ainsi en possession du portefeuille (b,∆) = (−14,6136––C , 0,8057 parts). A la date` t = 2 l’actif risqu´e est mont´e `a 24,2––C : le trader liquide son portefeuille, qui vaut maintenant 4,5922––C, et se constitue un nouveau portefeuille de couverture en achetant 6,62 − 1,78 ∆ = = 1 26,62 − 21,78 part de sous-jacent. Il emprunte la somme n´ecessaire `a cet achat, soit 24,2 − 4,5922 = 19,6078––C. Il est ainsi en possession du portefeuille (b,∆) = (−19,6078––C , 1 part). A la date` t = 3 l’actif risqu´e est descendu `a 21,78––C : le trader liquide son portefeuille, qui vaut maintenant 1,78––C, ce qui est pr´ecis´ement la somme qu’il doit verser `a son client au terme de ce contrat contingent. d. On reproduit dans la figure ci-dessous les prix du sous-jacent et du put europ´een aux diff´erents nœuds. Ces derniers peuvent s’obtenir comme les esp´erances actualis´ees du pay-off ou encore `a l’aide de la relation de parit´e call-put `a partir des r´esultats de la question pr´ec´edente. En particulier, la prime du put est p0 = 0,9185––C. 26,62 0 24,2 0 22 21,78 0,3353 0 20 19,8 0,9185 0,8549 18 17,82 1,8393 2,18 16,2 3,4078 14,58 5,42 2
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Examinons le cas du put am´ericain, r´esum´e sur la figure ci-dessous : 26,62 0 24,2 0 22 21,78 0,3353 0 20 19,8 0,9815 B 0,8549 18 17,82 2 A 2,18 (1,9931) 16,2 3,8 14,58 5,42 On recalcule les prix lorsque l’option est dans la monnaie. Au noeud A l’exercice anticip´e est optimal puisqu’il rapporte 3,8––C alors que le put ne vaut que 3,4078––C. Cependant, l’exercice est aussi optimal (au noeud B. En effet, apr`) es modification de prix en A le prix risque-neutre en B est 1,9931––C = (3/5)×0,8549 + (2/5)×3,8 /1,02––C qui est inf´erieur aux deux euros que rapporterait l’exercice. Le put am´ericain sera donc exerc´e `a t = 1 si le sous-jacent a subi une baisse, et il rapportera 2––C. La prime du put est ( ) pU S = 0,9815––C = (3/5)×0,3353 + (2/5)×2 /1,02––C. 0 En revanche, si le sous-jacent commence par une hausse, le put ne sera pas exerc´e avant l’´ech´eance. 2.— Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A` la derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,4 et le facteur de baisse d′ = 0,6. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? Solution La couverture a ´et´e constitu´ee sous la volatilit´e initiale, le portefeuille correspondant est vendu. La position du trader `a la date t = 2 et selon les diff´erentes valeurs de S2 est r´esum´ee dans le tableau ci-dessous : S2 put parts sous-jacent position en ––C 24,2 1 0 0 19,8 1 0,5505 -11,7549 16,21 1 1 -19,6078 A la date` t = 3 le bilan est le suivant : S2 S3 put achet´e ptf vendu bilan 33,88 0 0 0 24,2 14,52 5,48 0 5,48 27,72 0 3,27 3,27 19,8 11,88 8,12 -5,45 2,67 22,68 0 2,68 2,68 16,2 9,72 10,28 -10,28 0 Si la volatilit´e n’avait pas augment´e, le bilan aurait ´et´e nul dans toutes les ´eventualit´es. Le mouvement de hausse de volatilit´e est donc favorable au trader. On pourra v´erifier que la conclusion aurait ´et´e la mˆeme pour un call achet´e et couvert. En cas de baisse de volatilit´e, la conclusion est invers´ee (put ou call). 3
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 4 Corrig´e Dans ces exercices, W d´esignera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Soient s et t deux r´eels positifs. Montrer que la covariance de Ws et Wt est le plus petit des deux nombres s et t. Solution On suppose s < t et on ´ecrit Wt = Wt − Ws + Ws. On a alors : ( ) ( ) ( ) (1) cov(W , W ) = E W W = E W (W − W ) + E W2 s t s t s t s s puisque toutes les variables concern´ees sont centr´ees. Les accroissements Wt − Ws et Ws − W0 = Ws sont ind´ependants donc l’esp´erance du produit est le produit des esp´erances. Ces derni`eres sont nulles, `a nouveau en raison du caract`ere centr´e des variables. La variance de Ws ´etant ´egale `a s, on trouve finalement (2) cov(Ws, Wt) = s = s ∧ t. 2.— V´erifier que la variance de W2 est ´egale `a 2s2. s Solution On a (3) Var(W2) = E(W4) − E(W2)2 = E(W4) − s2 s s s s puisque E(W2) = Var(W ) = s. Il reste `a calculer E(W4). s s s Pour une variable al´eatoire quelconque X `a densit´e fX on a ∫ (4) E(h(X)) = h(x)fX(x)dx. R pour h fonction mesurable. Ainsi, avec h(x) = x4 et X = W s ∫ 4 4 1 −x2/2s (5) E(Ws ) = x √ e dx. R 2πs Par une int´egration par parties [ ] ∫ 4 3 −x2/2s +∞ 2 1 −x2/2s (6) E(Ws ) = −sx e + 3s x √ e dx. −∞ R 2πs L’int´egrale du second membre est ´egale `a s, la variance de Ws. Le terme tout int´egr´e est nul (croissance compar´ee `a l’infini de l’exponentielle et d’un polynˆome). On trouve donc (7) E(W4) = 3s2 s et par cons´equent (8) Var(W2) = 3s2 − s2 = 2s2. s 2002-2011 michel miniconi version du 5 avril 2011
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√ 3.— On consid`ere le processus Z d´efini par Zt = tY , o`u Y suit une loi normale standard. D´eterminer les lois marginales de Z. Le processus Z est-il un processus de Wiener ? Solution Comme√ Y est N(0; 1) (normale d’esp´erance 0 et de variance 1) la variable Zt est normale centr´ee de variance ( t)2 = t. Le processus Z a donc les mˆemes marginales qu’un processus de Wiener. Cependant Z n’est pas un processus de Wiener, comme on peut le voir en calculant les covariances ( ) (√ √ ) √ (9) cov Zs, Zt = cov sY, tY = st 6= s ∧ t. On aurait aussi pu remarquer que le processus Z n’est ni stationnaire ni `a accroissements ind´ependants. 4.— D´eterminer l’esp´erance et la variance d’une variable al´eatoire X > 0 dont le logarithme suit une loi normale de param`etres μ et σ2. Solution La densit´e de Y = log X est 1 ( (y − μ)2 ) (10) fY (y) = √ exp − . σ 2π 2σ2 En utilisant l’´egalit´e (4) on a donc ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 1 (y − μ)2 1 (y − μ)2 (11) E(X) = E eY = ey. √ exp − dy = √ exp − + y dy. R σ 2π 2σ2 R σ 2π 2σ2 On ´ecrit ensuite (y − μ)2 1 (( ) ) (12) − + y = − y − (μ + σ2) 2 − (μ + σ2)2 + μ2 2σ2 2σ2 soit (y − μ)2 1 (( ) ) 1 ( ) (13) − + y = − y − (μ + σ2) 2 − 2σ2(μ + σ2/2) = − y − (μ + σ2) 2 + μ + σ2/2. 2σ2 2σ2 2σ2 Par cons´equent ∫ ( ( )2 ) 1 y − (μ + σ2) (14) E(X) = eμ+σ2/2 √ exp − dy. R σ 2π 2σ2 L’int´egrand est une densit´e : son int´egrale vaut 1, donc (15) E(X) = eμ+σ2/2. On calcule maintenant la variance. On a Var(X) = E(X2) − E(X)2 et il reste `a calculer le terme E(X2). On a ( ) (16) E(X2) = E e2Y . On pose Z = 2Y , variable al´eatoire normale d’esp´erance 2μ et de variance 4σ2, `a laquelle on applique le r´esultat (21) ci-dessus avec 2μ et 4σ2 `a la place de μ et σ. On trouve imm´ediatement : 2 2 ( 2 ) (17) E(X2) = e2(μ+σ ) et par cons´equent Var(X) = e2(μ+σ /2) eσ − 1 . 2
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5.— Soit T > 0 un r´eel fix´e. Pour tout entier positif n on consid`ere une subdivision π = {0 = tn < tn < tn < . . . < tn = T} n 0 1 2 N de l’intervalle [0, T] (l’entier N d´epend de la subdivision). On suppose que le pas de la subdivision, δ = max (tn − tn), tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. n 0≤j≤N−1 j+1 j ∑N−1 a. Montrer que la somme (W − W )2 converge dans L2 vers la limite T. j=0 tn tn j+1 j b. On consid`ere les limites dans L2 N∑−1 I = limSn avec Sn = Wtn (Wtn − Wtn ) n j j+1 j j=0 et N∑−1 J = limTn avec Tn = Wtn (Wtn − Wtn ). n j+1 j+1 j j=0 Calculer J − I et I + J. En d´eduire la valeur de I et J. c. V´erifier que la suite de fonctions simples d´efinie par N∑−1 fn(t) = Wtn 1[tn,tn [(t) j j j+1 j=0 approche f(t) = W dans M2 . t T En d´eduire la valeur de l’int´egrale ∫ T Ws dWs. 0 d. Calculer la limite dans L2 de la somme N∑−1 (W + W ) tn tn j j+1 (Wtn − Wtn ) 2 j+1 j j=0 (int´egrale de Stratonovitch). Solution ∑N−1 a. Par un calcul direct, en remarquant que T = (tn − tn) : j=0 j+1 j (N∑−1 )2 (N∑−1{ })2 (18) (W − W )2 − T = (W − W )2 − (tn − tn) tn tn tn tn j+1 j j+1 j j+1 j j=0 j=0 N∑−1{ }2 ∑{ }{ } = (W −W )2−(tn −tn) +2 (W −W )2−(tn −tn) (W −W )2−(tn −tn) . tn tn j+1 j tn tn j+1 j tn tn k+1 k j+1 j j+1 j k+1 k j=0 j<k Posons ∆ = (W − W )2 − (tn − tn), on a : j tn tn j+1 j j+1 j (N∑−1 )2 N∑−1 ∑ (19) (W − W )2 − T = ∆2 + 2 ∆ ∆ . tn tn j j k j+1 j j=0 j=0 j<k Les accroissements du brownien ´etant ind´ependants, centr´es et de variance l’accroissement temporel corres- pondant, on a (20) E(∆j∆k) = E(∆j)E(∆k) = 0. 3
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Par ailleurs ( ) ( ) (21) E(∆2) = E (W − W )4 − 2(tn − tn)E (W − W )2 + (tn − tn)2 j tn tn j+1 j tn tn j+1 j j+1 j j+1 j et puisque les accroissements sont gaussiens, le moment d’ordre 4 vaut 3(tn − tn)2 et l’on a j+1 j (22) E(∆2) = 2(tn − tn)2. j j+1 j Finalement (N∑−1 )2 N∑−1 N∑−1 (23) E (W − W )2 − T = 2 (tn − tn)2 ≤ 2δ (tn − tn) = 2δ T → 0. tn tn j+1 j n j+1 j n j+1 j j=0 j=0 j=0 b. On a N∑−1 (24) T − S = (W − W )2 → T n n tn tn j+1 j j=0 d’apr`es le a (convergence dans L2) et N∑−1 (25) S + T = (W2 − W2 ) = W2. n n tn tn T j+1 j j=0 Ainsi J − I = T et J + I = W2 donc T 1 2 1 1 2 1 (26) J = WT + T et I = WT − T. 2 2 2 2 c. Soit t fix´e dans l’intervalle [0, T], il existe un indice j tel que t ∈ [tj, tj+1[. Alors ( ) ( ) (27) E (f (t) − W )2 = E (W − W )2 = t − tn ≤ δ → 0. n t tn t j n j D’apr`es la question b ∫ T ∫ T 1 2 1 (28) Sn = fn(s)dWs → I donc I = Ws dWs = WT − T. 0 0 2 2 d. D’apr`es b la limite cherch´ee est ´egale `a 1 1 2 (29) (I + J) = WT . 2 2 4
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6.— Montrer `a l’aide de la formule d’Itˆo que pour tout t > 0 on a ∫ t ∫ t s dWs = tWt − Ws ds. 0 0 Solution ∂ f ∂ f ∂2f En posant f(t, x) = tx on a (t, Wt) = Wt, (t, Wt) = t et (t, Wt) = 0. On applique la formule d’Itˆo ∂t ∂x ∂x2 et on obtient imm´ediatement ∫ t ∫ t (30) f(t, Wt) − f(0, W0) = tWt = Ws ds + s dWs. 0 0 7.— Montrer l’´egalit´e ∫ ∫ t 1 t W2 dW = W3 − W ds. s s 3 t s 0 0 Solution C’est `a nouveau une application directe de la formule d’Itˆo avec f(t, x) = x3 (par exemple). On a alors ∂ f ∂ f ∂2f (t, W ) = 0, (t, W ) = 3W2 et (t, W ) = 6W , d’o`u ∂t t ∂x t t ∂x2 t t ∫ t ∫ t 3 1 2 (31) f(t, Wt) − f(0, W0) = Wt = 6Ws ds + 3Ws dWs etc. 0 2 0 8.— Calculer l’esp´erance de W6 en utilisant la formule d’Itˆo et le fait qu’une int´egrale stochastique est une t martingale pour la filtration associ´ee `a W. Solution On choisit d’appliquer la formule d’Itˆo avec la fonction f(t, x) = x6 : ∫ t ∫ t 6 1 4 5 (32) Wt = 30Ws ds + 6Ws dWs 0 2 0 et on passe aux esp´erances ∫ t (∫ t ) (33) E(W6) = 15 E(W4)ds + E 6W5 dW t s s s 0 0 Dans le second membre de cette ´egalit´e, l’esp´erance de l’int´egrale stochastique est nulle (r´esulte de la propri´et´e de martingale) et l’esp´erance sous le signe de la premi`ere int´egrale est ´egale `a 3s2. On obtient finalement ∫ t (34) E(W6) = 15 3s2 ds = 15t3. t 0 5
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∫ t 9.— Calculer la variance de |W |1/2 dW en utilisant l’isom´etrie d’Itˆo. 0 s s Solution Comme int´egrale stochastique, l’int´egrale stochastique est d’esp´erance nulle. La variance est donc (∫ t ) ((∫ t ) ) ∫ t (35) Var |W |1/2 dW = E |W |1/2 dW 2 = E(|W |)ds s s s s s 0 0 0 par l’isom´etrie d’Itˆo. On calcule l’esp´erance ∫ ∫ √ 1 2 ∞ 2 [ ] 2√ (36) E(|W |) = √ |z|e−z2/2s ds = √ ze−z2/2s ds = √ −se−z2/2s ∞ = s s 2πs 2πs 2πs 0 π R 0 et par cons´equent (∫ ) √ ∫ √ t 2 t√ 2 2 (37) Var |W |1/2 dW = s ds = t3/2 s s π 3 π 0 0 10.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,2×St dt + 0,4×St dWt avec S0 = 100 ––C et o`u les coefficients 0,2 et 0,4 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit au moins ´egal `a 160 ––C au bout d’un an. Solution Rappelons comment on obtient la solution de l’´equation diff´erentielle stochastique (EDS) (38) dSt = μSt dt + σSt dWt , S0 > 0 donn´e. On d´etermine d’abord `a l’aide de la formule d’Itˆo l’EDS que v´erifie X = log S. Pour cela on consid`ere la fonction f(t, s) = log s : on a ∂ f ∂ f ∂2f (39) = 0 , = 1/s et = −1/s2 ∂t ∂s ∂s2 donc ( 1 1 ( 1 )) 1 ( ) (40) dX = 0 + μS + σ2S2 − dt + σS dW = μ − σ2/2 dt + σdW . t t S 2 t S2 t S t t t t t Ainsi X = log S est un brownien (affine) ( ) (41) X = log S + μ − σ2/2 t + σW t 0 t ( ) et la variable X suit la loi normale N log S + (μ − σ2/2)t ; σ2t (la variable S = eXt est log-normale). t 0 t On peut maintenant r´( epondre `a la question. On se place `) a t = 1 ann´ee. La variable Z = X1 − log 100 − (0,2 − 0,08) /0,4 est normale centr´ee r´eduite. On a alors ( log 1,6 − (0,2 − 0,08)) (42) P(S1 ≥ 160) = P(X1 ≥ log 160) = P Z ≥ = P(Z ≥ 0,8750). 0,4 6
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A l’aide d’une table de loi normale (et d’une interpolation lin´` eaire) on trouve finalement (43) P(S1 ≥ 160) = 1 − 0,8092 ≈ 0,191. 11.— Soit une action dont le prix S poss`ede une dynamique de brownien g´eom´etrique. Le prix spot est S0 = 50 ––C, le rendement esp´er´e annuel μ est de 16% et la volatilit´e de ce rendement σ de 30%. En utilisant la distribution de la variable al´eatoire YT = lnST , donner un intervalle de confiance `a 90% pour ST lorsque T = 2 ans. Solution Cet exercice est analogue `a l’exercice pr´ec´edent, on en reprend les notations. On a μ = 0,16, σ = 0,30, S0 = 50 et on se place `a t = 2. Il faut comprendre l’intervalle de confiance comme l’intervalle qui laisse 5% de valeurs extrˆemes de part et d’autre de la distribution de S. On cherche donc a et b r´eels positifs tels que (44) P(X2 < log a) = P(S2 < a) = 0,05 et P(X2 > log b) = P(S2 > b) = 0,05. La variable√ X2 = log S2 est normale, son esp´erance est log 50 + 2(0,16 − 0,09/2) = 4,1420 et son ´ecart-type 0,30 2 = 0,4243. Par ailleurs, la table de la loi normale standard nous donne, pour une variable Z normale centr´ee r´eduite, les valeurs α = −1,645 et β = 1,645 v´erifiant P(Z < α) = P(Z > β) = 0,05. On en d´eduit (45) log a = 0,4243×(−1,645) + 4,1420 = 3,44 et log b = 0,4243×1,645 + 4,1420 = 4,84. On en d´eduit l’intervalle cherch´e pour S2 (46) [a, b] = [31,31 , 126,47]. D’apr`es la formule (15) (voir exercice 4), l’esp´erance de S2 est √ (47) E(S ) = exp(4,142 + 0,5(0,30 2)2) = 68,86. 2 12.— On d´esigne par St la valeur `a la date t d’un dollar en euros (le cours du dollar), avec S0 > 0. On suppose que la dynamique de ce cours est celle d’un brownien g´eom´etrique de rendement annuel μ et de volatilit´e σ. a. D´eterminer l’EDS satisfaite par le cours Z = 1/S de l’euro en dollars. b. D´eduire de l’´equation satisfaite par U = log S celle satisfaite par V = log Z. c. Retrouver l’´equation satisfaite par Z en calculant la diff´erentielle d’Itˆo de eV . Solution a. On a (48) dSt = μSt dt + σSt dWt et, en choisissant le changement de variable Z = f(t, S) avec f(t, s) = 1/s, on a ∂ f ∂ f ∂2f (49) = 0 , = −1/s2 et = 2/s3. ∂t ∂s ∂s2 7
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La formule d’Itˆo donne alors ( 1 ) ( ) (50) dZ = μS (−1/S2) + σ2S2(2/S3) dt + σS (−1/S2)dW = − μ − σ2 Z dt − σZ dW t t t 2 t t t t t t t t qui est aussi la dynamique d’un brownien g´eom´etrique. b. On sait que U = log S est solution de l’EDS ( ) (51) dU = μ − σ2/2 dt + σdW . t t Par cons´equent V = −U v´erifie ( ) (52) dV = − μ − σ2/2 dt − σdW . t t c. En posant Z = g(t, V ) avec g(t, v) = ev on trouve ∂ g ∂ g ∂2g (53) = 0 , = ev = ∂t ∂v ∂v2 d’o`u l’EDS v´erifi´ee par Z : ( ( ) 1 ) ( ) (54) dZ = − μ − σ2/2 eVt + σ2eVt dt − σeVt dW = − μ − σ2 Z dt − σZ dW t 2 t t t t o`u l’on retrouve bien l’EDS de la formule (31). 8
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 5 Corrig´e Dans ces exercices, on a choisi le mod`ele de march´e Black-Scholes-Merton 1.— D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par X = Wn, n ≥ 1, W processus de Wiener. Solution Pour un processus d’Itˆo g´en´eral dYt = μt dt + σt dWt et Xt = f(t, Yt) la formule d’Itˆo donne { } ∂f ∂f 1 ∂2f ∂f dX = (t, Y ) + μ (t, Y ) + σ2 (t, Y ) dt + σ (t, Y )dW t ∂t t t ∂x t 2 t ∂x2 t t ∂x t t Avec la fonction f(t, x) = xn, dont les d´eriv´ees partielles sont ∂ f ∂ f ∂2f = 0 , = nxn−1 , = n(n − 1)xn−2 ∂t ∂x ∂x2 et avec Y = W c’est-`a-dire μ = 0, σ = 1, on trouve pour X = Wn : t t n(n − 1) n−2 n−1 dXt = Wt dt + nWt dWt . 2 2.— Soit λ un r´eel. V´erifier que les fonctions f(t, x) = λx et g(t, x) = λert sont chacune solution de l’´equation de Black-Scholes. D´eterminer les d´eriv´es qu’elles repr´esentent ainsi que les portefeuilles de couverture correspondants. Solution Les v´erifications sont imm´ediates. La fonction f repr´esente le prix d’un d´eriv´e qui assure la livraison de λ parts de sous-jacent au prix comptant ST `a l’´ech´eance T ; sa couverture `a t = 0 est simplement l’achat de λ parts de sous-jacent au prix λS0 ––C. La prime demand´ee sera de λS0 ––C. La fonction g repr´esente le prix d’un d´eriv´e qui paye exactement λerT ––C `a l’´ech´eance T et sa couverture `a t = 0 est le placement de la somme λ––C ; cette somme est aussi la prime qui sera r´eclam´ee par le vendeur. 3.— On appelle call digital (ou binaire) de strike K et d’´ech´eance T sur un sous-jacent S donn´e une option europ´eenne dont le pay-off `a l’´ech´eance est { 0 si ST < K, f(ST ) = 1 si ST ≥ K. D´eterminer le prix et la couverture `a la date t = 0 du call digital. Solution On rappelle la formule de calcul de prix d’une option europ´eenne ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f (S ) | S = s Q T T t o`u EQ repr´esente l’esp´erance pour la probabilit´e “risque neutre” Q. Sous cette probabilit´e l’actif S suit la dynamique d’un brownien g´eom´etrique dSt = rSt dt + σSt dWt. 2002-2011 michel miniconi version du 6 avril 2011
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La loi de ST est log-normale ; on peut trouver plus commode de calculer cette esp´erance en utilisant la densit´e de log S conditionn´ee par S qui est celle d’une loi normale d’esp´erance log S + (r − σ2/2)(T − t) T t t et de variance σ2(T − t). Cette densit´e est { ( ( ))2 } x − log s + (r − σ2 )(T − t) 1 2 flog S |S (x|s) = √ exp − . T t σ 2π(T − t) 2σ2(T − t) Avec un pay-off donn´e fT , on utilisera alors la formule de transfert ( ) ∫ E f (S )|S = s = f (ex)f (x|s)dx. T T t T log ST |St R Dans le cas pr´esent les calculs sont simplifi´es par le fait que t = 0 : la valeur S0 est le prix au comptant `a cette date et la prime du call binaire s’obtiendra par un calcul d’esp´erance actualis´ee (non-conditionnelle). On a ( ) c = e−rT E c (S ) bin,0 Q bin,T T { } avec S = S exp (r − σ2/2)T + σW et c = 1 . Par cons´equent T 0 T bin,T [K,+∞[ { ( ( ))2 } ∫ ∞ x − log S + (r − σ2 )T −rT 1 0 2 cbin,0 = e √ exp − dx. σ 2πT log K 2σ2T o`u l’on int`egre `a partir de log K puisque c (ex) est nul pour ex < K et vaut 1 sinon. bin,T ( ) x − log S + (r − σ2 )T En effectuant le changement de variable z = 0 √ 2 on trouve σ T ∫ ∞ ( ) 1 z2 c = e−rT √ exp − dz bin,0 2π 2 −d2 1 ( ( ) o`u d = √ log(S /K) + r − σ2/2)T , ce qui donne, en notant N la fonction de r´epartition de la loi 2 σ T 0 normale standard : c = e−rT (1 − N(−d )) = e−rT N(d ). bin,0 2 2 On calculerait de mˆeme qu’`a tout instant t interm´ediaire la valeur du call binaire est c = e−r(T−t)N(d ). bin,t 2 1 ( ( ) avec d = √ log(S /K) + r − σ2/2)(T − t) . 2 σ T − t t En d´erivant par rapport `a s = S0 on trouve que le delta du call binaire vaut e−rT N′(d ) ∆ = √ 2 call bin,0 S σ T 0 o`u d2 est calcul´e avec t = 0. Ce delta correspond `a la quantit´e de sous-jacent S0 que le vendeur du call binaire devra acheter pour couvrir le risque de hausse. Evidemment, la couverture est cens´´ ee ˆetre ensuite r´eajust´ee en temps continu. Remarque : N(d2) est la probabilit´e risque neutre pour que l’actif S soit de prix sup´erieur `a K `a la date T. 2
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4.— On consid`ere une option europ´eenne dont le pay-off est dessin´e ci-dessous (spread vertical haussier), synth´etis´ee par une position longue sur un call de strike K1 et une position courte sur un call de strike K2 > K1, les deux calls portant sur un mˆeme sous-jacent S et ayant mˆeme maturit´e T. La maturit´e est T = 6 mois. On suppose en outre qu’`a la date t = 0 la valeur de l’actif risqu´e est s0 = 50––C et que sa volatilit´e annuelle est estim´ee `a σ = 20%. Le rendement annuel de l’actif non-risqu´e sur la p´eriode [0, T] est r = 5%. Enfin, les prix d’exercice K1 et K2 sont respectivement 50––C et 60––C. a. D´eterminer le prix `a la date t = 0 de cette option. b. Un trader a vendu ce spread et le couvre : pr´eciser ses op´erations de couverture et son portefeuille `a la date t = 0 ; on admettra que le delta d’un call europ´een est ´egal `a N(d1). Solution a. Le prix de cette option est la diff´erence des prix des deux calls c1 − c2. On calculera donc d’abord le prix de chacun de ces calls en utilisant les formules de Black-Scholes. • pour c1 : on trouve, avec T = 0,5 ann´ee et t = 0 : 1 { 50 } √ d = √ log + (0,05 + 1(0,2)2)×0,5 ≈ 0,2475 et d = d − 0,2 0,5 ≈ 0,1061. 1 0,2 0,5 50 2 2 1 En utilisant la table de la loi normale on trouve N(d1) = 0,5977 et N(d2) = 0,5422. Par cons´equent c1 = 50×0,5977 − e−0,05×0,5×50×0,5422 = 3,4444––C. • pour c2 : on trouve de mˆeme d1 ≈ −1,0417 et d2 ≈ −1,1831 puis, en utilisant la relation N(−u) = 1 − N(u), N(d1) = 0,1488 et N(d2) = 0,1184. Par cons´equent c2 = 50×0,1488 − e−0,05×0,5×60×0,1184 = 0,5114––C. Le prix du portefeuille est donc c1 − c2 = 2,9330––C. b. Pour couvrir la vente d’un call contre un risque de hausse du sous-jacent, le trader ach`ete N(d1) parts d’actif S. De mˆeme, s’il a achet´e un call, le trader couvre sa position en se prot´egeant contre une baisse par la vente `a d´ecouvert d’une part analogue de sous-jacent. Dans le cas de ce spread, le trader va donc ins´erer 0,5977 − 0,1488 = 0,4489 parts de sous-jacent dans son portefeuille. Autrement dit, il va acheter ces parts d’actif risqu´e, ce qui va lui coˆuter 0,4489×50 = 22,4450––C. Il devra donc emprunter cette somme sur le march´e de la monnaie, diminu´ee toutefois de la prime de 2,9330––C qu’il a touch´ee pour la vente du spread. En d´efinitive, le trader va se constituer `a t = 0 le portefeuille de couverture suivant : (b,∆) = (−19,5120––C , 0,4489 part). 3
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5.— Le tableau suivant, cens´e montrer les prix de calls europ´eens `a diff´erentes maturit´es et pour diff´erents prix d’exercice, tous plac´es sur un mˆeme actif de prix initial 50––C, n’est pas en accord avec les hypoth`eses de march´e Black-Scholes-Merton : Maturit´e (mois) Prix Strike 3 6 12 45 1,6 2,9 5,1 50 3,7 5,2 7,5 55 7,0 8,3 10,5 En justifiant bri`evement et sans aucun calcul votre r´eponse, dites pourquoi ce tableau est incorrect. Solution Le tableau montre des prix de calls croissants en fonction du strike, ce qui est incorrect. En effet, si l’on consid`ere deux calls de strike K et K′ avec K < K′ alors les pay-offs v´erifient c (K) > c (K′) ; en absence T T d’opportunit´e d’arbitrage, ceci entraˆıne c (K) > c (K′). 0 0 En revanche, l’´evolution des prix de calls en fonction de la maturit´e est plausible. On peut en effet montrer que la d´eriv´ee temporelle (le theta) d’un call, ∂c, est n´egative. Le prix du call est donc une fonction d´ecroissante ∂t du temps, par cons´equent une fonction croissante du temps `a la maturit´e u = T −t restant ; il est donc aussi fonction croissante de la maturit´e T. 4
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 6 Corrig´e Dans ces exercices, on a choisi le mod`ele de march´e Black-Scholes-Merton 1.— Un stellage (straddle) est une option europ´eenne construite sur un sous-jacent S synth´etis´ee par l’achat simultan´e d’un call et d’un put sur S de mˆeme maturit´e et de mˆeme prix d’exercice K. a. D´eterminer le pay-off de cette option et tracer son graphe. Donner sa prime `a t = 0 en fonction des param`etres habituels des formules de Black-Scholes ( σ, K, S0, r, T, d1 et d2) et de la r´epartition N de la loi normale standard. Donner en particulier la formule pour K = S0. b. On suppose S0 = 30 ––C = K, T = 3 mois, σ = 30% et r = 5% (taux annuels). D´eterminer la prime de ce stellage. c. D´eterminer les gains et les pertes maximales que peut enregistrer un trader qui aurait achet´e ce stellage. Quelle est la strat´egie d’une telle option ? Solution a. Le pay-off du stellage est dessin´e ci-dessous : K S T Son prix est la somme des prix call et put qui le synth´etisent. Les formules de Black-Scholes donnent stell = (2N(d ) − 1)S − e−r(T−t)(2N(d ) − 1)K. t 1 t 2 Lorsque t = 0 et K = S0 (option `a la monnaie) on a { } stell = (2N(d ) − 1) − e−rT (2N(d ) − 1) S 0 1 2 0 avec √ √ 1 1 2 1 1 2 d1 = (r + σ ) T et d2 = (r − σ ) T . σ 2 σ 2 b. Dans ce cas d1 = 0,1583 et d2 = 0,0083. Par cons´equent N(d1) = 0,5629 et N(d2) = 0,5033 et stell0 = 3,5785––C. c. Les gains sont illimit´es dans les deux directions (hausse ou baisse), les pertes ne peuvent d´epasser la prime. Si le march´e monte ou baisse nettement, le stellage r´ealisera des profits croissants tant que le march´e ira dans la mˆeme direction. 2002-2011 michel miniconi version du 6 avril 2011
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2.— Un call europ´een (sur un actif dont le prix S est suppos´e suivre le mod`ele du brownien g´eom´etrique) est ´evalu´e sur le march´e `a 2,5 ––C. Le prix inital du sous-jacent est S0 = 15 ––C, le prix strike est K = 13 ––C, la date de maturit´e est `a trois mois (i.e. T = 0,25 ann´ee) et le taux d’int´erˆet sans risque est r = 5% par an. En utilisant les formules de Black-Scholes, montrer que la volatilit´e implicite est comprise entre 0,35 et 0,40. Solution Pour σ = 0,35, volatilit´e annuelle, on trouve d1 = 0,9766 et d2 = 0,8016, ce qui donne N(d1) = 0,8357 et N(d2) = 0,7881. On calcule alors le prix du call pour la volatilit´e la plus basse : c− = 2,4162 ––C. Pour une volatilit´e σ = 0,40, on trouve : d1 = 0,8780, d2 = 0,6780, N(d1) = 0,8100 et N(d2) = 0,7511. Le calcul du call donne alors c+ = 2,50786 ––C. Sur le march´e, le call est ´evalu´e `a 2,5 ––C. Comme le prix du call est une fonction strictement croissante de√ la volatilit´e du sous-jacent — le vega ∂c d’un call est ´egal `a S T − tN′(d ) > 0 (mˆeme vega pour le put) ∂σ t 1 — la volatilit´e implicite est comprise entre les deux valeurs 0,35 et 0,40. 3.— On reprend les notations usuelles des formules de Black-Scholes. a. Montrer l’´egalit´e S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ). t 1 2 b. En d´eduire que la valeur du delta d’un call europ´een peut s’´ecrire ∆call = N(d1). Donner une formule analogue pour le delta d’un put, puis montrer que ∆call − ∆put = 1. ∂2f c. Le gamma d’une option f = f(t, s) est la d´eriv´ee seconde (t, St). Calculer le gamma d’un call et d’un ∂s2 put europ´eens. Montrer que les prix de ces options sont des fonctions convexes du sous-jacent. Solution ( ) a. La d´eriv´ee de N est la densit´e de la loi normale standard N′(x) = 1 exp − x2 . On doit donc montrer √ 2π 2 l’´egalit´e St ( d2 ) Ke−r(T−t) ( d2 ) √ exp − 1 = √ exp − 2 . 2π 2 2π 2 En ´ecrivant d2 − d2 = (d − d )(d + d ) on trouve 1 2 1 2 1 2 ( St ) d2 − d2 = 2 log + r(T − t) 1 2 K et par cons´equent St ( d2 ) S N′(d ) =√ exp − 1 t 1 2π 2 St ( d2 ) ( St ) =√ exp − 2 exp −log − r(T − t) 2π 2 K St ( d2 )K ( ) =√ exp − 2 exp −r(T − t) 2π 2 St ( ) =K exp −r(T − t) N′(d ). 2 2
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b. En d´erivant la formule du call c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ), on trouve, avec s = S : 1 2 t ∂ c ′ ∂ d1 −r(T−t) ′ ∂ d2 ∆call = = N(d1) + sN (d1) − e KN (d2) = N(d1) ∂s ∂s ∂s puisque les d´eriv´ees en s de d1 et d2 sont identiques. La formule pour le put est ∆put = N(d1) − 1 dont on tire imm´ediatement la relation demand´ee ∆call − ∆put = 1. c. En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, on trouve les gammas des calls et des puts en d´erivant les deltas : N′(d ) Γ = Γ = √ 1 . call put S σ T − t t Ces quantit´es sont positives, d’o`u la convexit´e des prix de calls et de puts par rapport au sous-jacent. 4.— Avec les notations habituelles, montrer que StN(d1) > ct o`u c d´esigne un call europ´een construit sur S. En d´eduire que ∆c ∆S > c S si ∆S > 0, o`u ∆S d´esigne un accroissement de S et ∆c l’accroissement correspondant du call (effet de levier). Solution On utilise les r´esultats de l’exercice pr´ec´edent. D’apr`es les formules de Black-Scholes on a S N(d ) = c + e−r(T−t)KN(d ) > c . t 1 t 2 t ∂ c o`u ct = c(t, s) est le prix du call lorsque St = s. Ainsi ct/St < N(d1) = . Comme le call est une fonction ∂s ∆c ∂ c convexe du sous-jacent, on a ≥ pour ∆s > 0 : ∆s ∂s A S K S t T Au point A, la pente de la tangente est inf´erieure `a celle de la corde 3
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