Trang 1
Master 1 MASS Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mardi 27 f´´ evrier 2007 1.— On consid`ere un call C sur un actif S ; le prix d’exercice est K et l’´ech´eance T. Le rendement sans risque sur la p´eriode [0, T] est r. Le march´e est suppos´e sans opportunit´e d’arbitrage. Montrer les deux in´egalit´es strictes suivantes : a. C > S − Ke−rT . 0 0 b. C0 < S0. 2.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 40––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,3 et d = 0,8. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 45 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit une baisse suivie d’une hausse puis d’une baisse : d´etailler les op´erations de couverture effectu´ees par le trader. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Si oui, quelle serait la prime `a payer pour ce put ? e. Quelle serait la prime d’un call europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 8 – 12 2002-2007 michel miniconi version du 27 f´evrier 2007
Trang 2
Master 1 MASS Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 10 mai 2007´ 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,16×Stdt + 0,32×StdWt avec S0 = 30 ––C et o`u les coefficients 0,16 et 0,32 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit compris entre 30 ––C et 34 ––C au bout de trois mois. 2.— a. Dessiner le pay-off d’un portefeuille contenant un call achet´e de strike K1 > 0 et deux calls vendus de mˆeme strike K2 > K1. Les calls ont tous mˆeme sous-jacent et mˆeme maturit´e. b. D´eterminer un portefeuille constitu´e de quatre calls europ´eens (achet´es ou vendus) sur un mˆeme sous-jacent S, ayant mˆeme maturit´e T et dont le pay-off est repr´esent´e par le diagramme ci-dessous (butterfly) : o`u K2 = (K1 + K3)/2 i.e. K2 est le milieu de [K1, K3]. 3.— On consid`ere une option qui peut ˆetre r´epliqu´ee en achetant un put et deux calls, tous les trois europ´eens, de mˆeme maturit´e et de mˆeme strike (strap). a. Dessiner le pay-off de cette option. b. On se donne un actif S dont la dynamique est celle d’un brownien g´eom´etrique dans un march´e de Black- Merton-Scholes. Sur un an le rendement sans risque est r = 6% et la volatilit´e de S est σ = 30%. La valeur de S `a t = 0 est S0 = 20 ––C. Un trader vend un strap ayant S comme sous-jacent. La maturit´e est T = 6 mois, le strike est K = 20 ––C. Calculer le prix de l’option `a la date t = 0. c. On rappelle que le delta d’un call est ∆call = N(d1) (notations habituelles). Quel est le delta d’un put ? (justifier la r´eponse) d. Le trader d´ecide de couvrir l’option `a l’aide d’un portefeuille delta neutre. D´eterminer le portefeuille de couverture qu’il se constituera `a la date t = 0. 4.— On se place dans le mod`ele Black-Merton-Scholes standard, dont on adopte les notations habituelles. Une compagnie financi`ere met sur le march´e un d´eriv´e dont le pay-off est fT = log ST . a. D´eterminer le prix f0 de ce d´eriv´e `a la date t = 0. b. D´eterminer le prix ft de ce d´eriv´e `a une date t quelconque, 0 ≤ t ≤ T. Les r´esultats seront exprim´es en fonction de r, σ, t, T et St. dur´ee : 3h — bar`eme approximatif : 4 - 5 - 7 - 4 2002-2007 michel miniconi version du 9 mai 2007
Trang 3
Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 2
Trang 4
Master 1 MASS Finance stochastique Examen de rattrapage ↩ Epreuve du jeudi 14 juin 2007´ dur´ee : 2h 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un call europ´een de prix d’exercice K = 20 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux hausses cons´ecutives puis une baisse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. Quelle serait la prime d’un put europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? e. Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A la` derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,4 et le facteur de baisse d′ = 0,6. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? 2.— On se place dans un march´e (B, S) soumis aux hypoth`eses Black-Scholes-Merton. Un trader ach`ete `a la date t = 0 une part de l’actif S et vend un call europ´een c ayant S comme sous-jacent (strat´egie de call couvert). Le prix spot de l’actif est S0 = 28,20––C. La maturit´e est T = 1 mois, soit un douzi`eme d’ann´ee. Le taux sans risque annuel est r = 6% et la volatilit´e annuelle de S est σ = 30%. Enfin le prix strike est 30––C. a. Calculer le prix du call c contenu dans cette strat´egie. b. D´eterminer le coˆut `a la date t = 0 de cette strat´egie. c. D´eterminer la perte maximale que peut enregistrer le trader. D´eterminer de mˆeme son gain maximum possible. d. D´eterminer le point mort de cette strat´egie, c’est-`a-dire la valeur ST de l’actif S `a l’expiration telle que le trader n’enregistre ni gain ni perte. e. Quel est le rendement de cette strat´egie si le sous-jacent atteint les 30––C ? 2002-2007 michel miniconi version du 14 juin 2007
Trang 5
Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique. Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 2
Trang 6
Master 1 MASS Finance stochastique DS ↩ Epreuve du lundi 17 mars 2008´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 40––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,15 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le call europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 40 ––C et d’´ech´eance T = 2, la fin de la seconde p´eriode. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0 ainsi que les prix du call `a la date interm´ediaire t = 1. c. On constate sur le march´e un prix de 5 ––C pour ce call `a la date t = 0. Quelle strat´egie d’arbitrage mettra-t-on en œuvre pour tirer profit de ce prix ? 2.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,08 et d = 0,93. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 3%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 28 ––C et d’´ech´eance T = 3. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. c. D´eterminer la date `a laquelle l’exercice du put est optimal. Pr´eciser la ou les valeurs du put et du sous- jacent lors de l’exercice optimal. On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max B−1E (p |S ),(K − S ) t δt q t+δt t t + o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2008 michel miniconi version du 16 mars 2008
Trang 7
Master 1 MASS Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du lundi 28 avril 2008´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,10×Stdt + 0,40×StdWt avec S0 = 50––C et o`u les coefficients 0,10 et 0,40 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e du rendement sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit au moins ´egal `a 58––C au bout de six mois. 2.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est celle d’un brownien g´eom´etrique. La volatilit´e du rendement sur un an est σ = 30%, le prix `a la date t = 0 est S0 = 40––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A` t = 0 un trader ach`ete une part de sous-jacent qu’il compte revendre dans un an. Il s’assure contre une baisse du sous-jacent en achetant un put de strike Kp = 40––C et il finance cette assurance en vendant un call de strike Kc = 45––C. Le put et le call sont tous les deux de maturit´e T = 1 an (option synth´etique collar). a. Calculer le prix du put et celui du call. b. Le trader liquide sa position `a l’´ech´eance. Quels sont ses gains et pertes maximaux possibles `a cette date ? 3.— On consid`ere deux calls c1 et c2 de mˆeme strike K = 40––C sur un mˆeme sous-jacent S v´erifiant S0 = 40––C mais de maturit´es diff´erentes : le call c1 est de maturit´e T1 = 3 mois tandis que le call c2 est de maturit´e T2 = 6 mois. L’actif S est suppos´e suivre une dynamique de brownien g´eom´etrique dont le rendement est de volatilit´e annuelle σ constante ´egale `a 30%. Le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A la date` t = 0 un trader vend le call c et ach`ete le call c (spread calendaire). On notera f(t, s) le prix du 1 2 spread `a la date t et pour le prix de sous-jacent St = s. a. D´eterminer le prix de cette option `a la date t = 0. b. On se place `a la date T1 et on suppose qu’`a cette date l’option est `a la monnaie : ST = 40––C. On suppose 1 aussi que les param`etres r et σ n’ont pas chang´e. D´eterminer le prix du spread. c. Si le trader liquide sa position `a la date T1, quel est le rendement de la strat´egie de spread ? d. (cette question est ind´ependante des pr´ec´edentes) On rappelle l’identit´e (ID) S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ) t 1 2 sous les notations habituelles des formules de Black-Scholes. Montrer l’´egalit´e ∂ c √ (V ega) (t, S ) = S N′(d ) T − t. ∂σ t t 1 o`u c d´esigne le prix Black-Scholes d’un call. e. On revient au spread calendaire : on se place encore `a la date T1 et sous l’hypoth`ese que l’option est `a la monnaie. On suppose qu’`a cette date la volatilit´e du sous-jacent a augment´e : le rendement de l’option est-il inf´erieur ou sup´erieur au rendement trouv´e dans la question c. ? dur´ee de l’´epreuve : 3h bar`eme approximatif : 4 – 4 – 12 2002-2008 michel miniconi version du 28 avril 2008
Trang 8
Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 2
Trang 9
Master 1 MASS Finance stochastique Examen de rattrapage ↩ Epreuve du vendredi 13 juin 2008´ dur´ee : 2h 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,95. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 30 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux baisses cons´ecutives puis une hausse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Si c’est le cas, d´eterminer la date `a laquelle l’exercice sera optimal. Calculer ensuite le prix du put am´ericain. e. Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A la` derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,1 et le facteur de baisse d′ = 0,9. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? 2.— On se place dans un march´e (B, S) suivant le mod`ele `a temps continu de Black-Scholes-Merton. Le prix spot de l’actif est S0 = 3,42––C. L’actif S ne rend pas de dividende. Un trader vend `a la date t = 0 un call c1 de strike K1 = 3,50––C sur le sous-jacent S et ach`ete deux calls c2 de strike K2 = 3,75––C (call ratio backspread, CRB). La maturit´e est T = 3 mois, soit 0,25 ann´ee. Le taux sans risque annuel est r = 6% et la volatilit´e annuelle des retours de S est σ = 40%. Tous les prix seront arrondis `a deux d´ecimales. a. Calculer le prix de l’option CRB. b. Dessiner le pay-off de l’option. Sur le mˆeme graphique dessiner le diagramme des ”pertes et profits” (pay-off diminu´e du coˆut de l’option). c. D´eterminer la perte maximale que peut enregistrer le trader. D´eterminer de mˆeme son gain maximum th´eoriquement possible. d. D´eterminer le point mort de cette strat´egie, c’est-`a-dire la valeur `a l’´ech´eance Spm de l’actif S telle que le trader n’enregistre ni gain ni perte. e. Quel est le rendement de cette strat´egie si le sous-jacent atteint 4––C `a l’´ech´eance ? 2002-2008 michel miniconi version du 13 juin 2008
Trang 10
Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique. Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 2
Trang 11
Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du lundi 23 mars 2009´ SUJET 1 Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,08 et d = 0,98. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le call europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 21 ––C et d’´ech´eance T = 2, la fin de la seconde p´eriode. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0 ainsi que le portefeuille de r´eplication pour l’´etape 1. c. On suppose que le prix du sous-jacent baisse au cours de la premi`ere ´etape. D´eterminer le portefeuille de r´eplication pour la seconde ´etape. d. Un trader a vendu ce call. Le prix du sous-jacent subit une baisse puis une hausse. D´ecrire les op´erations (achat/vente de S, prˆet/emprunt d’euros) effectu´ees par le trader aux dates t = 0, t = 1 et t = 2. 2.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,03 et d = 0,98. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 29,5 ––C et d’´ech´eance T = 3. a. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. b. Si l’actif subit trois baisses successives, `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2009 michel miniconi version du 23 mars 2009
Trang 12
Master 1 IMEA Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 23 avril 2009´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. Les options sont europ´eennes. On reprend les notations habituelles. 1.— Un d´eriv´e sur S d’´ech´eance T paye 90 − ST si ST < 95 et −5 sinon (autrement dit, si ST ≥ 95 le d´etenteur de l’option doit verser 5––C au vendeur). a. Dessiner le pay-off de ce d´eriv´e. b. D´ecomposer ce d´eriv´e en une option vanille (call ou put) et une position sur le march´e mon´etaire. 2.— Un actif S se n´egocie aujourd’hui `a 28––C. On ach`ete deux calls sur cet actif de strike 31––C, d’´ech´eance 6 mois, et on vend un call de strike 28––C et de mˆeme ´ech´eance (option long call backspread). a. Dessiner le pay-off de cette option. b. Le taux sans risque est r = 0,05 et la volatilit´e est σ = 25%. Calculer le prix de chaque call. D´eterminer ensuite le bilan mon´etaire de notre position `a t = 0 sur le call backspread. c. Quels sont les pertes et les profits maximaux possibles ? Pr´eciser les points-morts. d. Si on utilise une telle strat´egie d’investissement, quelles anticipations a-t-on sur le prix de S et sur sa volatilit´e ? e. Calculer le rendement de cette strat´egie (rapport´e au prix d’achat des deux calls-31) dans le cas o`u S termine `a 35––C. On exprimera le r´esultat en pourcentage. f. Au bout de trois mois, les conditions du march´e ont chang´e : la volatilit´e est mont´ee `a 35%. A cette date` le sous-jacent est `a 31––C. On revend l’option. Quel prix peut-on en proposer ? Quel rendement, rapport´e `a l’achat initial des deux calls-31, a-t-on tir´e de cette op´eration ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 6 – 14 Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 2002-2009 michel miniconi version du 23 avril 2009
Trang 13
Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du jeudi 1er avril 2010´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Un actif S vaut S = 30––C `a la date t = 0. A la date` t = 1 cet actif peut valoir Su = 32––C ou Sd = 29––C. 0 1 1 Le taux sans risque est suppos´e nul : r = 0. Un call sur S de strike K = 31 et d’´ech´eance T = 1 est n´egoci´e au prix de 1/2––C. a. Le march´e pr´esente-t-il une opportunit´e d’arbitrage ? (justifier votre r´eponse) b. Si un arbitrage est possible, d´ecrivez la strat´egie mise en œuvre pour exploiter cet arbitrage. Si au contraire il n’y a pas d’arbitrage, d´ecrivez la strat´egie de couverture delta-neutre d’un trader qui aurait vendu cette option. Dans tous les cas, pr´ecisez les op´erations effectu´ees (achats, ventes etc.) pour la strat´egie d´ecrite. 2.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,90. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 19––C et d’´ech´eance T = 3 p´eriodes. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. c. On suppose que l’actif subit trois baisses cons´ecutives : `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2010 michel miniconi version du 1er avril 2010
Trang 14
Master 1 IMEA Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 27 avril 2010´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. Les options sont europ´eennes. On reprend les notations habituelles ; en particulier (Wt)t≥0 repr´esente un brownien standard. 1.— Soit le processus d´efini par X = W3 − 3tW . t t t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Xt. b. Le processus Xt est-il une martingale (pour la filtration (Ft) associ´ee `a (Wt)) ? (justifier la r´eponse) 2.— On consid`ere l’int´egrale stochastique ∫ t Y = W2 dW o`u t ≥ 0. t s s 0 Expliquer pourquoi la variable al´eatoire Yt est centr´ee puis calculer sa variance en utilisant l’isom´etrie d’Itˆo (on rappelle que si Z d´esigne une variable normale centr´ee r´eduite, alors l’esp´erance de Z4 est ´egale `a 3). 3.— Un actif S se n´egocie aujourd’hui `a 40––C. Un trader ach`ete un call et un put sur S de mˆeme strike K1 = 40––C et vend un put de strike 36––C (strat´egie straddle versus put). Ces options ont mˆeme maturit´e T = 3 mois = 0,25 ann´ee. a. Dessiner le profil (le pay-off) de cette strat´egie d’options. b. Le taux sans risque annuel est r = 0,02 et la volatilit´e est σ = 30%. Calculer le prix de cette strat´egie `a la date initiale t = 0. Dessiner ensuite le profil des pertes et profits. c. Quels sont les pertes et les profits maximaux possibles ? Pr´eciser les points-morts. d. Un mois plus tard, l’actif vaut `a nouveau 40––C mais la volatilit´e implicite σ a mont´e : elle vaut maintenant 40%. Le trader d´ecide de liquider sa position : d´eterminer le prix de vente de sa strat´egie `a cette nouvelle date (deux mois avant l’´ech´eance, soit 1/6 d’ann´ee). Quel est le rendement de la strat´egie sur le mois o`u le trader a maintenu sa position ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 3 – 3 –14 2002-2010 michel miniconi version du 26 avril 2010
Trang 15
Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividende et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 2
Trang 16
Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mercredi 16 mars 2011´ L’actif S est suppos´e ne pas rendre de dividende. 1.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 80––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,025 et d = 0,980. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1,5% = 0,015. Sur chaque p´eriode δt = 1 on utilisera l’actualisation B−1 = 1/1 + r. δt On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 80 ––C et d’´ech´eance T = 3. a. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. b. Si l’actif subit trois baisses successives, `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. 2.— On consid`ere le mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes d´ecrit dans l’exercice pr´ec´edent. a. D´eterminer le prix `a t = 0 du call europ´een sur S de prix d’exercice K = 80––C et d’´ech´eance T = 3. b. Un trader a vendu ce call et se couvre en delta-neutre. Le prix du sous-jacent subit une baisse lors de la premi`ere p´eriode. D´ecrire les op´erations de couverture (achat/vente de S, prˆet/emprunt mon´etaire) effectu´ees par le trader aux dates t = 0 et t = 1. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2011 michel miniconi version du 15 mars 2011
Trang 17
Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mercredi 24 mai 2011´ Comme d’habitude, W d´esigne un brownien standard. 1.— Soit X un processus d’Itˆo solution de l’´equation diff´erentielle stochastique (E) dXt = Xt dt + dWt , X0 donn´e. On pose Y = e−tX . t t a. Calculer dYt `a l’aide de la formule d’Itˆo. Le processus Y est-il une W-martingale ? b. Montrer que la solution X de l’EDS (E) peut s’´ecrire X = etX + Φ t 0 t o`u Φt est une int´egrale stochastique que l’on pr´ecisera. 2.— On d´efinit le processus Z par Z = eWt−αt avec α constante r´eelle donn´ee. t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Z. b. A quelle condition sur` α le processus Z est-il une martingale ? (justifier votre r´eponse) 3.— On consid`ere un actif financier S, suppos´e ne pas rendre de dividende, dont la volatilit´e annuelle est σ = 40%. Le prix `a t = 0 de cet actif est S0 = 35,5 ––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque est r = 6%. Un op´erateur ach`ete un put de strike K1 = 30 ––C et vend un put de strike K2 = 35 ––C (option Bull Put Spread). L’´ech´eance est fix´ee `a T = 0,125 ann´ee, soit `a peu pr`es 45 jours. a. Sans effectuer aucun calcul, dites quel sera le bilan mon´etaire de ces transactions `a la date d’´ecriture t = 0 : le trader va-t-il encaisser ou payer une certaine somme pour cette position ? (justifier votre r´eponse) b. D´eterminer le prix du spread `a t = 0. c. Tracer le pay-off de cette option ainsi que le diagramme des profits et pertes. d. L’op´erateur conserve l’option jusqu’`a l’´ech´eance T. En fonction de la valeur ST de l’actif S relativement aux deux strikes K1 et K2, d´eterminer : • la perte maximale possible pour l’op´erateur ainsi que les valeurs de ST pour lesquelles l’op´erateur enregistre cette perte ; • le gain maximal possible pour l’op´erateur ainsi que les valeurs de ST pour lesquelles l’op´erateur enregistre ce gain ; • le point mort (ou break even) de la strat´egie, i.e. la valeur de ST pour laquelle l’op´erateur n’enregistre ni gain ni perte. dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 5 – 5 – 10 2002-2011 michel miniconi version du 24 mai 2011
Trang 18
Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t Formule d’Itˆo : Soit X un processus admettant une diff´erentielle stochastique dXt = μt dt + σt dWt (o`u μ et σ v´erifient des conditions d’int´egrabilit´e que nous omettons) et soit f(t, x) une fonction appartenant `a C2([0, T] × R). Alors Yt = f(t, Xt) admet aussi une diff´erentielle stochastique et ∂f ∂f 1 ∂2f dY = (t, X )dt + (t, X )dX + (t, X ) (dX )2 t ∂t t ∂x t t 2 ∂x2 t t o`u (dX )2 = dX .dX est calcul´e en utilisant les r`egles suivantes : t t t (dt)2 = 0 , dt.dW = 0 , (dW )2 = dt. t t En explicitant (dX )2 on obtient pour cette formule fondamentale l’´enonc´e ´equivalent suivant t { } ∂f ∂f 1 ∂2f ∂f dY = (t, X ) + μ (t, X ) + σ2 (t, X ) dt + σ (t, X )dW t ∂t t t ∂x t 2 t ∂x2 t t ∂x t t 2
Trang 19
Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du jeudi 22 mars 2012´ SUJET 1 1.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 18––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,90. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 19––C et d’´ech´eance T = 2 p´eriodes. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0 ainsi que les prix du put `a la date interm´ediaire t = 1. c. Un op´erateur vend ce put et d´ecide de se couvrir en delta-neutre : d´eterminer le portefeuille Π1 = (ψ1, ϕ1) de couverture qu’il se constituera `a la date t = 0. d. D´eterminer les deux portefeuilles de couverture Πu et Πd correspondant respectivement `a l’´eventualit´e 2 2 d’une hausse et `a celle d’une baisse constat´ee `a la date t = 1. 2.— Soit M = (Mt)t≥0 une martingale pour une filtration H = (Ht) donn´ee. ( ) ( ) a. Montrer l’´egalit´e E (M − M )2 | H = E M2 − M2 | H avec s < t. t s s t s s b. Calculer l’esp´erance (non-conditionnelle) de (M − M )2 en fonction des esp´erances de M2 et de M2. t s t s 3.— Soit un brownien W, F sa filtration associ´ee et a un r´eel fix´e. On exprimera les r´esultats aux deux questions ci-dessous en fonction de a et t et en utilisant la fonction de r´epartition N de la loi normale N(0; 1). ( ) a. Calculer E 1{W ≥a} pour tout t ≥ 0. ( t ) b. Calculer E Wt×1{W ≥a} . t dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 8 – 6 – 6 2002-2012 michel miniconi version du 21 mars 2012
Trang 20
Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mardi 22 mai 2012´ On utilise les notations habituelles pour le brownien et pour le mod`ele de Black-Scholes. Sur les repr´esentations graphiques demand´ees on pr´ecisera bien les abscisses et les ordonn´ees des points remarquables des graphes. 1.— On se donne un brownien standard W. Soit X un brownien g´eom´etrique : dXt = μXt dt + σXt dWt, X0 > 0 donn´e. a. On d´efinit le processus Y par Y = e−αtX o`u α d´esigne un r´eel positif donn´e. A l’aide de la formule d’Itˆ` o t t d´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Y . b. Quelle condition doit v´erifier μ pour que Y soit une martingale ? 2.— On se place sous les hypoth`eses du mod`ele de Black-Scholes. a. Montrer que le Vega d’un call est ´egal `a celui d’un put lorsque ces deux options sont sur un mˆeme sous-jacent, de mˆeme strike et de mˆeme ´ech´eance. b. En utilisant l’´egalit´e vue en cours S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ) t 1 2 (que l’on ne demande pas de red´emontrer), calculer ce Vega `a une date t en fonction de St, T − t, d1 et de la densit´e de la loi normale standard N(0; 1). 3.— On consid`ere un actif financier S, suppos´e ne pas rendre de dividende, dont la volatilit´e annuelle est σ = 30%. Le prix `a t = 0 de cet actif est S0 = 62 ––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque est r = 5%. Partie I : Un op´erateur qui poss`ede d´ej`a une part d’actif S `a la date t = 0 ach`ete un put P sur S de strike KP = 60 ––C. L’´ech´eance T est fix´ee `a 2 mois, soit T = 1/6 d’ann´ee. Ce put le prot`egera contre une baisse ´eventuelle du sous-jacent (position Protective Put) dans les 2 mois qui suivent. Pour simplifier on supposera que l’op´erateur vendra le sous-jacent `a l’´ech´eance T. a. Tracer le profil de la position (S, P) d´etenue par l’op´erateur `a l’´ech´eance T (pay-off). On rappelle que la pr´esence d’une part de sous-jacent qui vaut S0 `a la date t = 0 introduit dans le pay-off une droite de pente 1 passant par le point d’abscisse S0 sur l’axe horizontal. b. D´eterminer le prix du put P `a t = 0. c. Tracer le graphe des 〈〈profits et pertes〉〉 du protective put (S, P) `a l’´ech´eance et d´eterminer le ou les ´eventuels points-morts. Partie II : Afin de baisser le coˆut de sa protection, l’op´erateur vend un call C sur S de strike KC = 65––C simultan´ement `a l’achat du Protective Put. La position (S, P,−C) qui en r´esulte est d´esign´ee sous le nom de Collar. d. D´eterminer le prix du call C `a t = 0. e. Tracer le graphe des 〈〈profits et pertes〉〉 du collar `a l’´ech´eance et d´eterminer le ou les ´eventuels points-morts. f. Le collar est moins cher que le protective put mais il pr´esente un inconv´enient majeur : lequel ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 5 – 5 – 10 2002-2012 michel miniconi version du 20 mai 2012
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!