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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 1 1.— a. On consid`ere un mod`ele de march´e (B, S) `a une ´etape. On suppose que S0 = 50 ––C et qu’`a la date t = 1 on a (Su = 51, Sd = 48). Examiner la viabilit´e de ce march´e (absence d’opportunit´e d’arbitrage) dans 1 1 le cas o`u le taux de rendement sans risque sur la p´eriode consid´er´ee est r = 0 puis dans le cas r = 0,02. D´eterminer ´eventuellement la probabilit´e risque-neutre. b. Mˆemes questions avec les ´evolutions suivantes : (Su = 52, Sd = 50) ; (Su = 53, Sd = 48). 1 1 1 1 c. Dans le cas o`u l’un des march´es pr´ec´edents n’est pas viable, d´eterminer un portefeuille d’arbitrage. 2.— Montrer que si, dans un march´e viable, un portefeuille ´etabli `a la date t = 0 r´eplique exactement le pay-off d’une option `a la date d’expiration T, alors le portefeuille et l’option ont mˆeme valeur `a la date 0. 3.— D´emontrer `a l’aide d’un raisonnement d’arbitrage la relation de parit´e call-put : C − P = S − Ke−r(T−t) t t t pour un call et un put sur le sous-jacent S, de mˆeme strike K, de mˆeme maturit´e T, et o`u r d´esigne le taux sans risque et 0 ≤ t ≤ T. 4.— On suppose qu’au taux de change courant on obtient 100 £ pour 160 ––C. Un sp´eculateur estime qu’avec la probabilit´e 1/2 la Livre anglaise sera tomb´ee `a 1,40 ––C `a la fin de l’ann´ee et qu’avec la probabilit´e 1/2 elle sera mont´ee `a 2 ––C. Il ach`ete alors une option put europ´eenne qui lui donnera le droit (mais non l’obligation) de vendre 100 £ au prix de 180 ––C. Il paye 20 ––C pour cette option. On suppose que le taux d’int´erˆet sans risque est nul dans la zone Euro. En utilisant le mod`ele binaire `a une ´etape, soit construisez une strat´egie qui permettra au vendeur ou `a l’acheteur de s’assurer un profit certain, soit montrez que ce prix est le juste prix pour cette option. 5.— D´eterminer un portefeuille constitu´e de deux calls europ´eens – sur un mˆeme sous-jacent S et de mˆeme maturit´e T – et dont la valeur `a la date T en fonction de ST est repr´esent´ee par le diagramme ci-dessous : Comment pourrait-on exprimer ce pay-off `a l’aide de puts ? 6.— a. Une action est cot´ee 50 ––C aujourd’hui. A la fin de chacune de deux p´` eriodes de trois mois, sa valeur augmentera de 6 % ou diminuera de 5 %. Le taux d’int´erˆet sans risque annuel est de 5 %. D´eterminer la valeur d’un call europ´een d’´ech´eance 6 mois et de prix d’exercice 51 ––C. b. D´eterminer la valeur d’un put europ´een de mˆeme ´ech´eance et de mˆeme prix d’exercice. Si l’option de vente ´etait de type am´ericain, serait-il optimal d’exercer pr´ematur´ement `a l’un des noeuds de l’arbre ? 2002-2011 michel miniconi version du 26 janvier 2011
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 2 Dans tout ce qui suit, le sous-jacent S est suppos´e sans dividende. 1.— a. On consid`ere un mod`ele de march´e (B, S) `a une ´etape. On suppose que S0 = 50––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,04 et d = 0,96. Autrement dit, `a la date t = 1 on a (Su = 52, Sd = 48). Pour simplifier, on prendra r = 0 comme rendement non-risqu´e. 1 1 Un trader ach`ete un call de prix d’exercice K = 51 ––C et le couvre imm´ediatement en vendant un portefeuille de r´eplication de ce call. D´eterminer le prix du call et pr´eciser les op´erations effectu´ees par le trader. En quoi la vente du portefeuille de r´eplication couvre-t-elle le call ? b. En r´ealit´e, sur la p´eriode consid´er´ee et `a l’insu du march´e, la volatilit´e du sous-jacent ´etait sup´erieure : les facteurs de variation r´eels ´etaient u = 1,08 et d = 0,92. Cette situation est-elle favorable au trader ? Pour r´epondre `a cette question, on d´eterminera les flux d’argent `a l’´ech´eance du call en tenant compte de la situation impr´evue. Le call ´etait-il sous-´evalu´e ? Le march´e pr´esentait-il une opportunit´e d’arbitrage ? c. Reprendre la question pr´ec´edente dans le cas d’une volatilit´e r´eelle inf´erieure, par exemple u = 1,02 et d = 0,98. d. Reprendre les questions a. et b. dans le cas d’un put achet´e. 2.— Montrer que le prix d’un call europ´een C de strike K sur un sous-jacent S (ne versant pas de dividende) v´erifie Ct ≥ St − K `a tout instant t ∈ [0, T]. En d´eduire qu’il n’est jamais optimal d’exercer un call am´ericain avant l’´ech´eance et que son prix est le mˆeme que le call europ´een correspondant. Examinez le cas du put ; on distinguera les cas r = 0 et r > 0. 3.— Un trader vend un put europ´een d’´ech´eance T = 1 an et utilise un mod`ele C-R-R `a deux ´etapes pour ´evaluer ce put. Le prix au comptant est S0 = 50 ––C, les facteurs de hausse et de baisse pour chaque p´eriode sont u = 1,2 et d = 0,96 , le taux annuel de l’actif sans risque est r = 0,05. Le prix d’exercice du put est K = 60 ––C. a. D´eterminer le prix du put `a t = 0 et pr´eciser les op´erations de couverture dynamique (delta-neutre) effectu´ees par le trader pour chaque trajectoire possible du sous-jacent. b. D´eterminer le prix d’un put am´ericain de mˆeme ´ech´eance et mˆeme strike. A quel date est-il optimal` d’exercer le put ? 2002-2010 michel miniconi version du 25 f´evrier 2010
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 3 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un call europ´een de prix d’exercice K = 20 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux hausses cons´ecutives puis une baisse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. Quelle serait la prime d’un put europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? 2.— Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A` la derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,4 et le facteur de baisse d′ = 0,6. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? 2002-2011 michel miniconi version du 16 f´evrier 2011
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 4 Dans ces exercices, W d´esignera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Soient s et t deux r´eels positifs. Montrer que la covariance de Ws et Wt est le plus petit des deux nombres s et t. 2.— V´erifier que la variance de W2 est ´egale `a 2s2. s √ 3.— On consid`ere le processus Z d´efini par Zt = tY , o`u Y suit une loi normale standard. D´eterminer les lois marginales de Z. Le processus Z est-il un processus de Wiener ? 4.— D´eterminer l’esp´erance et la variance d’une variable al´eatoire X > 0 dont le logarithme suit une loi normale de param`etres μ et σ2. 5.— Soit T > 0 un r´eel fix´e. Pour tout entier positif n on consid`ere une subdivision π = {0 = tn < tn < tn < . . . < tn = T} n 0 1 2 N de l’intervalle [0, T] (l’entier N d´epend de la subdivision). On suppose que le pas de la subdivision, δ = max (tn − tn), tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. n 0≤j≤N−1 j+1 j ∑N−1 a. Montrer que la somme (W − W )2 converge dans L2 vers la limite T. j=0 tn tn j+1 j b. On consid`ere les limites dans L2 N∑−1 I = limSn avec Sn = Wtn (Wtn − Wtn ) n j j+1 j j=0 et N∑−1 J = limTn avec Tn = Wtn (Wtn − Wtn ). n j+1 j+1 j j=0 Calculer J − I et I + J. En d´eduire la valeur de I et J. c. V´erifier que la suite de fonctions simples d´efinie par N∑−1 fn(t) = Wtn 1[tn,tn [(t) j j j+1 j=0 approche f(t) = W dans M2 . t T En d´eduire la valeur de l’int´egrale ∫ T Ws dWs. 0 d. Calculer la limite dans L2 de la somme N∑−1 (Wtn + Wtn ) j j+1 (Wtn − Wtn ) 2 j+1 j j=0 (int´egrale de Stratonovitch). 2002-2011 michel miniconi version du 5 avril 2011
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6.— Montrer `a l’aide de la formule d’Itˆo que pour tout t > 0 on a ∫ t ∫ t s dWs = tWt − Ws ds. 0 0 7.— Montrer l’´egalit´e ∫ ∫ t 1 t W2 dW = W3 − W ds. s s 3 t s 0 0 8.— Calculer l’esp´erance de W6 en utilisant la formule d’Itˆo et le fait qu’une int´egrale stochastique est une t martingale pour la filtration associ´ee `a W. ∫ t 9.— Calculer la variance de |W |1/2 dW en utilisant l’isom´etrie d’Itˆo. 0 s s 10.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,2×St dt + 0,4×St dWt avec S0 = 100 ––C et o`u les coefficients 0,2 et 0,4 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit au moins ´egal `a 160 ––C au bout d’un an. 11.— Soit une action dont le prix S poss`ede une dynamique de brownien g´eom´etrique. Le prix spot est S0 = 50 ––C, le rendement esp´er´e annuel μ est de 16% et la volatilit´e de ce rendement σ de 30%. En utilisant la distribution de la variable al´eatoire YT = lnST , donner un intervalle de confiance `a 90% pour ST lorsque T = 2 ans. 12.— On d´esigne par St la valeur `a la date t d’un dollar en euros (le cours du dollar), avec S0 > 0. On suppose que la dynamique de ce cours est celle d’un brownien g´eom´etrique de rendement annuel μ et de volatilit´e σ. a. D´eterminer l’EDS satisfaite par le cours Z = 1/S de l’euro en dollars. b. D´eduire de l’´equation satisfaite par U = log S celle satisfaite par V = log Z. c. Retrouver l’´equation satisfaite par Z en calculant la diff´erentielle d’Itˆo de eV . 2
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 5 Dans ces exercices, on a choisi le mod`ele de march´e Black-Scholes-Merton 1.— D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par X = Wn, n ≥ 1, W processus de Wiener. En d´eduire l’´egalit´e ∫ t n n(n − 1) n−2 E(Wt ) = E(Ws )ds. 2 0 2.— Soit λ un r´eel. V´erifier que les fonctions f(t, x) = λx et g(t, x) = λert sont chacune solution de l’´equation de Black-Scholes. D´eterminer les d´eriv´es qu’elles repr´esentent ainsi que les portefeuilles de couverture correspondants. 3.— On appelle call digital (ou binaire) de strike K et d’´ech´eance T sur un sous-jacent S donn´e une option europ´eenne dont le pay-off `a l’´ech´eance est { 0 si ST < K, f(ST ) = 1 si ST ≥ K. D´eterminer le prix et la couverture `a la date t = 0 du call digital. 4.— On consid`ere une option europ´eenne dont le pay-off est dessin´e ci-dessous (spread vertical haussier), synth´etis´ee par une position longue sur un call de strike K1 et une position courte sur un call de strike K2 > K1, les deux calls portant sur un mˆeme sous-jacent S et ayant mˆeme maturit´e T. La maturit´e est T = 6 mois. On suppose en outre qu’`a la date t = 0 la valeur de l’actif risqu´e est s0 = 50––C et que sa volatilit´e annuelle est estim´ee `a σ = 20%. Le rendement annuel de l’actif non-risqu´e sur la p´eriode [0, T] est r = 5%. Enfin, les prix d’exercice K1 et K2 sont respectivement 50––C et 60––C. a. D´eterminer le prix `a la date t = 0 de cette option. b. Un trader a vendu ce spread et le couvre : pr´eciser ses op´erations de couverture et son portefeuille `a la date t = 0 ; on admettra que le delta d’un call est ´egal `a N(d1). 5.— Le tableau suivant, cens´e montrer les prix de calls europ´eens `a diff´erentes maturit´es et pour diff´erents prix d’exercice, tous plac´es sur un mˆeme actif de prix initial 50 ––C, n’est pas en accord avec les hypoth`eses de march´e Black-Scholes-Merton : Maturit´e (mois) Prix Strike 3 6 12 45 1,6 2,9 5,1 50 3,7 5,2 7,5 55 7,0 8,3 10,5 En justifiant bri`evement et sans aucun calcul votre r´eponse, dites pourquoi ce tableau est incorrect. 2002-2011 michel miniconi version du 6 avril 2011
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 6 Dans ces exercices, on a choisi le mod`ele de march´e Black-Scholes-Merton 1.— Un stellage (straddle) est une option europ´eenne construite sur un sous-jacent S synth´etis´ee par l’achat simultan´e d’un call et d’un put sur S de mˆeme maturit´e et de mˆeme prix d’exercice K. a. D´eterminer le pay-off de cette option et tracer son graphe. Donner sa prime `a t = 0 en fonction des param`etres habituels des formules de Black-Scholes (σ, K, S0, r, T, d1 et d2) et de la r´epartition N de la loi normale standard. Donner en particulier la formule pour K = S0. b. On suppose S0 = 30––C = K, T = 3 mois, σ = 30% et r = 5% (taux annuels). D´eterminer la prime de ce stellage. c. D´eterminer les gains et les pertes maximales que peut enregistrer un trader qui aurait achet´e ce stellage. Quelle est la strat´egie d’une telle option ? 2.— Un call europ´een (sur un actif dont le prix S est suppos´e suivre le mod`ele du brownien g´eom´etrique) est ´evalu´e sur le march´e `a 2,5 ––C. Le prix inital du sous-jacent est S0 = 15 ––C, le prix strike est K = 13 ––C, la date de maturit´e est `a trois mois (i.e. T = 0,25 ann´ee) et le taux d’int´erˆet sans risque est r = 5% par an. En utilisant les formules de Black-Scholes, montrer que la volatilit´e implicite est comprise entre 0,35 et 0,40. 3.— On reprend les notations usuelles des formules de Black-Scholes. a. Montrer l’´egalit´e S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ). t 1 2 b. En d´eduire que la valeur du delta d’un call europ´een peut s’´ecrire ∆call = N(d1). Donner une formule analogue pour le delta d’un put, puis montrer que ∆call − ∆put = 1. ∂2f c. Le gamma d’une option f = f(t, s) est la d´eriv´ee seconde (t, St). Calculer le gamma d’un call et d’un ∂s2 put europ´eens. Montrer que les prix de ces options sont des fonctions convexes du sous-jacent. 4.— Avec les notations habituelles, montrer que StN(d1) > ct o`u c d´esigne un call europ´een construit sur S. En d´eduire que ∆c ∆S > c S si ∆S > 0, o`u ∆S d´esigne un accroissement de S et ∆c l’accroissement correspondant du call (effet de levier). 2002-2011 michel miniconi version du 6 avril 2011
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