Bài 4B: Phép biến đổi trong không gian (c) SE/FIT/HUT 2002 1 Ma trận biến đổi 3 chiều 3D Matrix Transformations Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ-scaling và quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở rộng trong không gian 3D „ Again, using homogeneous coordinates it is possible to represent each type of transformation in a matrix form „ In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix „ (c) SE/FIT/HUT 2002 2 Các phép biến đổi hình học 3 chiều „ Biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ]. [ T ] [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ] „ Ma trận biến đổi a b c p  d e f q   [T ] =  g i j r    l m n s (c) SE/FIT/HUT 2002 3 Phép tịnh tiến „ „ [X'] = [ X ] . [ T(dx,dy,dz) ] „ [ x' y' z' 1 ] = „ [ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ] = [ x+dx y+dy z+dz 1 ] (c) SE/FIT/HUT 2002 4 Phép tỉ lệ = [x .s 1 y .s 2 z .s 3 1] s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ tương ứng trên các trục toạ độ (c) SE/FIT/HUT 2002 5 Rotation y x z y y x x z (c) SE/FIT/HUT 2002 z 6 Phép quay 3 chiều „ Quay quanh các trục toạ độ Quay quanh trục x Quay quanh trục z (c) SE/FIT/HUT 2002 7 Quay quanh trục y cos θ  0 [Ty ] =   sin θ   0 0 − sin θ 1 0 0 cos θ 0 0 0 0 0  1 (c) SE/FIT/HUT 2002 8 Phép biến dạng (secondary translation) [ x' y ' z ' 1] = [ x y 1 b c 0  d 1 f 0  z 1]   g i 1 0   0 0 0 1 (c) SE/FIT/HUT 2002 9 Phép lấy đối xứng (reflections-secondary translation) (c) SE/FIT/HUT 2002 10 Quay quanh một trục bất kỳ song song với các trục tọa độ 1 0 [ Tr ] =  0  , 0 , 0 0 1 0 0 1 y z 0 0  0  1 0 1 0 cos φ [T (φ )] =  0 − sin φ  0 0 0 0 0 1   φ φ 0 cos sin 0  [Tth]= 0 −sinφ cosφ 0   0 y(1−cosφ)+zsinφ z(1−cosφ)−ysinφ 1 0 sin φ 0 cos φ 0  0 1 0 0 1 0 0 1 0 −1  [Tr] = 0 0 1  0 − y − z (c) SE/FIT/HUT 2002 0 0 0  1 11 Quay quanh một trục bất kỳ (c) SE/FIT/HUT 2002 12 Solution Chuyển P1 về