Page 1
ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT Phương trình Lagrange loại 2 Nguyễn Quang Hoàng Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Đặt vấn đề -2- Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 2
Phương trình Lagrange loại 2 -3- Phương trình Lagrange loại 2 cho hệ nhiều vật hô lô nôm d ¶T ¶T ¶P ¶F kt - = Q = - - +Q dt ¶q ¶q i ¶q ¶q i i i i i d ¶T ¶T ¶F ¶P - + + = Q = u dt ¶q ¶q ¶q ¶q i i i i i i Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -4- Ví dụ 1: Tay máy 1 dof y O Tính các đạo hàm Động năng và thế năng hệ: a1=OC u ¶T 1 1 = 0, T = I w2 = I j2 ¶j 2 O 2 O C ¶T d ¶T x = I j, = I j P = -mga cosj mg ¶j O dt ¶j O 1 ¶P = mga sinj Lực suy rộng không thế ¶j 1 Qkt = u phương trình vi phân chuyển động d ¶T ¶T ¶P d ¶T ¶T ¶P - = Q = - +Qkt - = - +Qkt dt ¶q ¶q i ¶q i dt ¶j ¶j ¶j i i i I j = -mga sinj + u O 1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 3
Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -5- Sử dụng PT Lagrange 2 thiết lập PT động lực cho tay máy 1 bậc tự do chuyển động trong mặt phẳng đứng. Biết các thông số: I ,r I ,R m g, , 1 2,O 5r C 2 2 M g A O 1 r R Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -6- Ví dụ 2: d ¶T ¶T ¶P B - = Q = - +Qkt , i = 1, 2 dt ¶q ¶q i ¶q i m , I i i i y g 2 2z 0 1 1 1 x d a2 C2 T = m v2 + m v2 + I w2 2 1 C 1 2 2 C 2 2 2z 2 A u C x0 O 1 1 v = x, m C 1 1 u2 v2 = x2 + y2 , w = j C 2 C 2 C 2 2 x = x + d + a cosj x = x - ja sin j C 2 2 C 2 2 y = a sin j y = ja cosj C 2 2 C 2 2 v2 = x2 - 2a x j sin j + a2j2 C 2 2 2 1 2 1 ( 2 ) 2 T = (m + m )x - m a xj sin j + I + m a j 2 1 2 2 2 2 2z 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 4
Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -7- 1 2 1 ( 2 ) 2 B T = (m + m )x - m a xj sinj + I + m a j 2 1 2 2 2 2 2z 2 2 m2, I2z y0 g P = m gy = m ga sinj a C 2 C 2 2 2 x d 2 2 A dA = u dx + u dj Qkt = u , Qkt = u u C x0 1 2 1 1 2 2 O 1 1 m1 u2 Tính các đạo hàm ¶P ¶T = 0, = 0, ¶x ¶x ¶T = (m + m )x - m a j sin j, ¶x 1 2 2 2 d ¶T 2 = (m + m )x - m a j sinj - m a j cosj dt ¶x 1 2 2 2 2 2 Phương trình VPCĐ đối với tọa độ x (m + m )x - m a j sin j - m a j2 cosj = u 1 2 2 2 2 2 1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -8- 1 2 1 ( 2 ) 2 T = (m + m )x - m a xj sin j + I + m a j 2 1 2 2 2 2 2z 2 2 P = m gy = m ga sin j 2 C 2 2 2 Qkt = u , Qkt = u Tính các đạo hàm 1 1 2 2 ¶T ¶T ( 2 ) = -m a xj cosj, = -m a x sinj + I + m a j ¶j 2 2 ¶j 2 2 2z 2 2 d ¶T ( 2 ) = -m a x sin j - m a xj cosj + I + m a j dt ¶j 2 2 2 2 2z 2 2 ¶P = m ga cosj ¶j 2 2 Phương trình VPCĐ đối với tọa độ -m a xsin j + (I + m a2 )j = -m ga cosj + u 2 2 2z 2 2 2 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 5
Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -9- (m + m )x - m a j sin j B 1 2 2 2 m2, I2z -m a j2 cosj = u y0 g 2 2 1 x d a C 2 2 -m a xsin j + (I + m a2 )j u A x 2 2 2z 2 2 O 1 C1 0 +m ga cosj = u m1 u2 2 2 2 Phương trình VPCĐ ở dạng ma trận q = x, q = j 1 2 é m + m -m a sinq ù éq ù é-m a q2 cosq ù éu ù ê 1 2 2 2 2 ú ê 1 ú + ê 2 2 2 2 ú = ê 1 ú ê-m a sinq I + m a2 ú êq ú ê m ga cosq ú êu ú ëê 2 2 2 2z 2 2 úû êë 2 úû êë 2 2 2 úû êë 2 úû M q q( ) + h q q( , ) = u Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -10- Ví dụ 3: Tay máy phẳng 2 dof C y 2 1 1 1 B T = I w2 + m v2 + I w2 A 2 O1 1 2 2 C 2 2 C 2 2 q2 w = q , C1 u 2 1 1 u1 v2 = x2 + y2 , w = q C 2 C 2 C 2 2 2 q1 O x x = l cosq + a cosq x = -l q sinq -a q sinq C 2 1 1 2 2 C 2 1 1 1 2 2 2 y = l sinq + a sinq y = l q cosq + a q cosq C 2 1 1 2 2 C 2 1 1 1 2 2 2 v2 = (l q )2 + 2l a q q cos(q -q ) + a q2 2 C 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ( 2 ) 2 T = (I + m l )q + m l a q q cos(q -q ) + I + m a q 2 O1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 C 2 2 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 6
Phương trình Lagrange loại 2 – Ví dụ -11- P = m ga sinq + m g l( sinq + a sinq ) C 1 1 1 2 1 1 2 2 y 2 B dA = u dq - u dq, A q 1 1 2 2 q = q + q q = q -q dA = u dq + u (dq - dq ) C1 u 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 dq = dq - dq u1 1 2 dA = (u - u )dq + u dq q 1 2 1 2 2 O 1 x Phương trình VPCĐ éI + m a2 + m l2 m a l cos(q )ù éq ù é-m a l sin(q )q2 ù é(m a + m l )g cosq ù éu - u ù ê C 1 1 1 2 1 2 2 1 2-1 ú ê 1 ú + ê 2 2 1 2-1 2 ú + ê 1 1 2 1 1 ú = ê 1 2 ú ê m a l cos(q ) I + m a2 ú êq ú ê m a l sin(q )q2 ú ê m a g cosq ú ê u ú êë 2 2 1 2-1 C 2 2 2 úû êë 2 úû êë 2 2 1 2-1 1 úû êë 2 2 2 úû êë 2 úû M q q( ) + h q q( , ) = Bu éu - u ù é1 -1ù éu ù ê 1 2 ú = ê ú ê 1 ú = Bu ê u ú ê0 1 ú êu ú êë 2 úû êë ú êû ë 2 úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Bài tập -12- Sử dụng PT Lagrange 2 thiết lập PT động C y 2 lực cho tay máy 2 bậc tự do chuyển động q trong mặt phẳng đứng. 2 B u2 Khâu 1: m1, L1, IC1, OC1 = lC1. A C1 Khâu 2: m2, L2, IC2, AC2 = lC2. u1 dA = u dq + u dq q1 1 1 2 2 O x Qkt = u , Qkt = u 1 1 2 2 éu ù é1 0ù éu ù ê 1 ú = ê ú ê 1 ú = Bu êu ú ê0 1ú êu ú êë 2 úû êë ú êû ë 2 úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 7
-13- Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận d æ¶T öT æ¶T öT æ¶PöT çç ÷÷ - çç ÷÷ + çç ÷÷ = Qkt dt ççè ¶q ÷÷ø ççè ¶q ÷÷ø ççè ¶q ÷÷ø M q q( ) + C q q q( , ) + g q( ) = Qkt Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -14- Xét hệ nhiều vật f dof với các liên kết giữ, dừng q = [q ,q ,...,q ]T Véc tơ tọa độ suy rộng 1 2 f Vị trí khối tâm, ma trận cosin chỉ hướng của các khâu : g r = r (q), R = R (q) Ck Ck k k Vận tốc khối tâm vật k d v(0) = r (q) = J q Ck dt Ck Tk ma trận Jacobi tịnh tiến: é¶x ¶x ¶x ù ê Ck Ck Ck ú ê ¶q ¶q ¶q ú ê 1 2 f ú ¶ ê¶y ¶y ¶y ú J = r ( , )q t = ê Ck Ck Ck ú Tk ¶q Ck ê ¶q ¶q ¶q ú ê 1 2 f ú ê¶z ¶z ¶z ú ê Ck Ck Ck ú ê ¶q ¶q ¶q ú êë 1 2 f úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 8
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -15- ta đưa vào ký hiệu véc tơ quay một cách hình thức j = j (q) k k Vận tốc góc vật k d w(0) = j (q) = J q k dt k Rk g ma trận Jacobi quay é¶j ¶j ¶j ù é¶w ¶w ¶w ù ê kx kx kx ú ê kx kx kx ú ê ¶q ¶q ¶q ú ê ¶q ¶q ¶q ú ê 1 2 f ú ê 1 2 f ú ¶j ( , )q t ê¶j ¶j ¶j ú ¶w ( , )q t ê¶w ¶w ¶w ú J = k = ê ky ky ky ú = k = ê ky ky ky ú Rk ¶q ê ¶q ¶q ¶q ú ¶q ê ¶q ¶q ¶q ú ê ú ê ú ê 1 2 f ú ê 1 2 f ú ê¶j ¶j ¶j ú ê¶w ¶w ¶w ú ê kz kz kz ú ê kz kz kz ú êë ¶q ¶q ¶q úû êë ¶q ¶q ¶q úû 1 2 f 1 2 f Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -16- Cách tính ma trận Jacobi quay d (0) T R (q) = R (q), w = R (q R) (q) k dt k k k k (0) -1 (0) w = S (w ) = J q g k k Rk é¶w ¶w ¶w ù ê kx kx kx ú ê ¶q ¶q ¶q ú ê 1 2 f ú ¶ ê¶w ¶w ¶w ú J = w(0)(q) = ê ky ky ky ú Rk ¶q k ê ¶q ¶q ¶q ú ê 1 2 f ú ê¶w ¶w ¶w ú ê kz kz kz ú ê ¶q ¶q ¶q ú êë 1 2 f úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 9
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -17- Biểu thức động năng của hệ v(0) = J q Ck Tk 1 N ( ) w(0) = J q T = å v ⋅m v + w ⋅l k Rk 2 Ck k Ck k Ck k=1 I(0) = R I0 (k)R0T 1 N Ck k Ck k = å(v(0)T ⋅m v(0) + w(0)T I(0)w(0) ) 2 Ck k Ck k Ck k k=1 1 T åN ( T T 0 (k) 0T ) 1 T = q J m J + J R I R J q = q M q q( ) 2 Tk k Tk Rk k Ck k Rk 2 k=1 Ma trận khối lượng suy rộng g N ( ) M q( ) = å JT m J + JT R I0 (k)R0T J = MT (q) Tk k Tk Rk k Ck k Rk k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -18- Biểu thức động năng của hệ 1 T = qT M q q( ) 2 1 f f = å åm (q)q q 2 ij i j i=1 j=1 g Biểu thức thế năng của hệ do trọng lực P (q) = -m g ⋅r (q) = -m gT r(0)(q) i i Ci i o Ci ån P(q) = å P (q) = - m g ⋅r (q) i i Ci i=1 n = -åm gT r(0)(q) i o Ci i=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 10
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -19- Tính lực suy rộng của các lực không thế: uk Các mômen/lực dẫn động, cản nhớt qk f f dA = å t dq = dqT dA = å t dq = dqT F i i d i d i=1 i=1 E = dqT Bu = -dqT Dq q1 Lực tác dụng tại điểm E bất kỳ u1 çæ¶r ö÷ dA F( ) = F ⋅ dr (q) = F(0)T dr = F(0)T çç E dq÷÷ E E èç ¶q ø÷ = F(0)T (J dq)= (J dq)T F(0) E E = dqT J FT (0) = dq QT * E F Qkt = Bu - Dq + J FT (0) F(0) hình chiếu lực F trong hệ cố định E Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -20- Động năng, thế năng và lực suy rộng 1 uk T = qT M q q( ) qk P = P(q) 2 F Qkt = Bu - Dq + J FT (0) E E Phương trình Lagrange loại 2 q1 u1 d æ¶T öT æ¶T öT æ¶PöT çç ÷÷ - çç ÷÷ = Bu - Dq - çç ÷÷ + JT (q)⋅ F(0) dt ççè ¶q ÷÷ø ççè ¶q ÷÷ø ççè ¶q ø÷÷ E M q q( ) + C q q q( , ) + Dq + g q( ) = Bu + JT (q F) (0) E æ¶PöT æ¶T öT g q( ) = çç ÷÷ , C q q q( , ) = M q q ( ) - çç ÷÷ ççè ¶q ÷÷ø ççè ¶q ÷÷ø Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 11
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -21- Phương trình Lagrange loại 2 d æç¶T ö÷ æç¶T ÷ö æç ¶P ö÷ çç ÷÷- çç ÷÷ = -çç ÷÷ +Qkt , k = 1, 2,..., f dt çè¶q ÷÷ø çè¶q ÷÷ø èç¶q ÷÷ø k k k k 1 1 f f T = qT M q q( ) = å åm (q)q q P = P(q) 2 2 jk j k j=1 k=1 Tính các đạo hàm ¶T å åf f ¶m (q) = 1 [ jk ]q q ¶q 2 ¶q j k i j=1 k=1 i ¶P g = - , g = [g ,g ,...,g ]T ¶T f i ¶q 1 2 n = åm (q)q , i ¶q ij j i j=1 d ¶T åf åf åf å åf f ¶m (q) = m (q)q + [ d m (q)]q = m (q)q + [ ij q ] q dt ¶q ij j dt ij j ij j ¶q k j i j=1 j=1 j=1 j=1 k=1 k Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -22- Như vậy phương trình vi phân thứ i của hệ sẽ là d æç¶T ö÷ æç¶T ö÷ æç¶P ÷ö çç ÷÷- çç ÷÷ = -çç ÷÷ +Qkt , i = 1, 2,..., f dt çè¶q ø÷÷ çè¶q ÷÷ø çè¶q ÷÷ø i i i i f f f åm (q)q + å å[ ¶ m (q)- 1 ¶ m (q)] q q + g (q) = Qkt ij j ¶q ij 2 ¶q jk k j i i j=1 j=1 k=1 k i Đưa vào ký hiệu f f b ( ,q q) = å å[ ¶ m (q)- 1 ¶ m (q)] q q i ¶q ij 2 ¶q jk k j j=1 k=1 k i Chú ý đến tính chất đối xứng của ma trận khối lượng m (q) = m (q) ij ji ¶m (q) 1 ¶m (q) 1 ¶m (q) m (q) = m (q) = 1 [m (q) + m (q)] ij = ij + ji ij ji 2 ij ji ¶q 2 ¶q 2 ¶q k k k Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 12
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -23- Biến đổi số hạng f f æç¶m 1 ¶m ö÷ 1 f f çæ¶m ¶m ¶m ö÷ b ( ,q q) = å åçç ij - jk ÷÷÷q q = å åçç ij + ji - jk ÷÷÷q q i ççè ¶q 2 ¶q ÷ø k j 2 ççè ¶q ¶q ¶q ø÷ k j j=1 k=1 k i j=1 k=1 k k i Bằng cách thay đổi chỉ số chạy trong tổng sigma kép như sau: f f æç¶m (q)ö÷ f f æç¶m (q)ö÷ f f æç¶m (q)ö÷ å åçç ji ÷÷÷q q = å åçç ki ÷÷÷q q = å åçç ik ÷÷÷q q ççè ¶q ÷ø k j ççè ¶q ÷ø j k ççè ¶q ÷ø k j j=1 k=1 k j=1 k=1 j j=1 k=1 j 1 f f çæ¶m ¶m ¶m ö÷ b ( ,q q) = å åçç ij + ji - jk ÷÷÷q q i 2 ç ¶çè q ¶q ¶q ÷ø k j j=1 k=1 k k i 1 f f æç¶m ¶m ¶m ö÷ f f = å åçç ij + ik - jk ÷÷÷q q = å åc q q 2 ç ¶çè q ¶q ¶q ÷ø k j ijk k j j=1 k=1 k j i j=1 k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -24- 1 f f æç¶m ¶m ¶m ö÷ f f b ( ,q q) = å åçç ij + ik - jk ÷÷÷q q = å åc q q i 2 ç ¶çè q ¶q ¶q ÷ø k j ijk k j j=1 k=1 k j i j=1 k=1 trong đó ta định nghĩa 1 æç¶m ¶m ¶m ö÷ c = çç ij + ik - jk ÷÷ ijk 2 ç ¶çè q ¶q ¶q ÷÷ø k j i số hạng này có tên gọi là Christoffel symbols ở dạng thứ nhất. Véc tơ é ùT f f b = êëb b b úû , b ( ,q q) = å åc q q b = C q q q( , ) 1 2 f i ijk k j j=1 k=1 f C q q( , ) = {C ( ,q q)}, C ( ,q q) = åc q ij ij ijk k k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 13
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -25- Tóm lại: 1 1 f f uk T = qT M q q( ) = å åm (q)q q qk 2 2 jk j k j=1 k=1 F P = P(q) Qkt = Bu - Dq + J FT (0) E E Phương trình Lagrange loại 2 q1 u1 d æ¶T öT æ¶T öT æ¶PöT çç ÷÷ - çç ÷÷ = Bu - Dq - çç ÷÷ + JT (q)⋅ F(0) dt ççè ¶q ÷÷ø ççè ¶q ÷÷ø èçç ¶q ÷÷ø E f C ( ,q q) = åc q ij ijk k k=1 M q q( ) + C q q q( , ) + Dq + g q( ) = Bu + JT (q F) (0) E 1 æç¶m ¶m ¶m ö÷ æ¶PöT æ¶T öT ç ÷ ç ÷ ç ÷ c = ij + ik - jk ÷ g q( ) = ç ÷÷ , C q q q( , ) = M q q( ) - ç ÷÷ ijk 2 çç ¶ç q ¶q ¶q ÷÷ ççè ¶q ÷ø ççè ¶q ÷ø è k j i ø if M q( ) = const C q q( , ) = 0 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -26- Tinh ma tran C tu ma tran khoi luong M(q) Christoffel:=proc(M::matrix, q::vector, qd::vector, n::integer)::matrix; local CC, i,j,k; CC:=matrix(n,n,0); for i from 1 to n do for j from 1 to n do for k from 1 to n do CC[i,j]:=CC[i,j]+ 1/2*(diff(M[i,j],q[k])+diff(M[i,k],q[j])-diff(M[j,k],q[i]))*qd[k]; od od od; RETURN(evalm(CC)); end proc: mtC:=Christoffel(M, q, qdot, n)); Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 14
Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận -27- P (q) = -m g ⋅r (q) = -m gT r(0)(q) i i Ci i o Ci ån P(q) = å P (q) = - m g ⋅r (q) i i Ci i=1 n = -åm gT r(0)(q) i o Ci i=1 Lực suy rộng do trọng lực g(q) từ các jacobi tịnh tiến JT æ¶P(q)öT n æ ¶ öT g q( ) = çç ÷÷ = -åççm gT r(0)(q)÷÷ ççè ¶q ÷÷ø èçç i o ¶q Ci ø÷÷ i=1 n ( )T n = -å m gT J (q) = -åm JT (q g) (0) i o Ti i Ti i=1 i=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Tính chất của các ma trận M và C -28- Ma trận khối lượng đối xứng, xác định dương M q( ) = MT (q) > 0, V( )s = 1 s M q sT ( ) > 0, "s ¹ 0 2 N ( ) M q( ) = å JT m J + JT R I0 (k)R0T J = MT (q) Tk k Tk Rk k Ck k Rk k=1 Ma trận sau đây phản đối xứng (skew-symmetry) N q q( , ) = M q ( )- 2C q q( , ) = -NT ( ,q q) 1 sT [M q ( )- 2C q q( , )]s = 0, "s 2 M q ( ) = M T (q), M q ( )- 2C q q( , ) = -(M q ( )- 2C q q( , ))T M q ( ) = C q q( , ) + CT ( ,q q) Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 15
Tính chất của các ma trận M và C -29- Chứng minh N q q( , ) = M q ( )- 2C q q( , ) = -NT ( ,q q) N ( ,q q) = M (q)- 2C ( ,q q) ij ij ij m æç¶m ö÷ m æç¶m ¶m ¶m ö÷ = åçç ij ÷÷÷q -åçç ij + ik - jk ÷÷÷q çè ¶q ÷ø k èç ¶q ¶q ¶q ÷ø k k=1 k k=1 k j i m æç¶m ¶m ¶m ¶m ÷ö m çæ ¶m ¶m ÷ö = åçç ij - ij - ik + jk ÷÷÷q = åçç- ik + jk ÷÷÷q çè ¶q ¶q ¶q ¶q ÷ø k çè ¶q ¶q ÷ø k k=1 k k j i k=1 j i Bằng cách hoán vị hai chỉ số i và j ta được m æç ¶m ¶m ö÷ N ( ,q q) = åçç- jk + ik ÷÷÷q ji èç ¶q ¶q ø÷ k k=1 i j Như thế tính chất phản đối m æç ¶m ¶m ö÷ xứng của ma trận N(.,.) được = -åçç- ik + jk ÷÷÷q = -N ( ,q q) chứng minh. çè ¶q ¶q ÷ø k ij k=1 j i Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Sử dụng tích Kronecker xác định ma trận C từ M -30- 1 M 1 M 1 MT C q q( , ) (I q) (q I ) (qT I ) . 2 q n 2 q n 2 n q - Đạo hàm ma trận theo biến véc-tơ: M m m m M m m ... m , 1 2 ... n 1 2 n q q q q nn2 - Tích Kronecker hai ma trận A mn ,B pq : C A B, C mpnq a B a B .. a B 11 12 1n C A B .. .. .. .. a B a B .. a B m1 m2 mn mpnq Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 16
Ví dụ tích Kronecker -31- Tích Kronecker: là phép nhân hai ma trận có cỡ tùy ý theo luật sau đây A mn ,B pq : C A B, C mpnq a B a B .. a B 11 12 1n C A B .. .. .. .. a B a B .. a B m1 m2 mn mpnq Ví dụ a a b b b A 11 12 , B 11 12 13 a a b b b 22 22 21 22 23 b b b b b b a 11 12 13 a 11 12 13 a B a B 11 b b b 12 b b b C A B 11 12 21 22 23 21 22 23 a B a B b b b b b b 21 22 a 11 12 13 a 11 12 13 46 21 b b b 22 b b b 21 22 23 21 22 23 46 Tích Kronecker không có tính chất giao hoán A B B A Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics PT Lagrange loại 2 dạng ma trận -32- Các bước thực hiện thiết lập PTVPCĐ cho hệ nhiều vật sd Lagrange 2 dạng ma trận (n dof, tọa suy rộng đủ) 1. Chọn tọa độ khớp q 2. Đưa vào các hệ tọa độ: 1. hệ cơ sở Fr0 => g(0), (Fr = Frame) 2. hệ gắn liền khâu k : Frk => FrCk => (k)ICk; [ (k)Ck ] 3. Các tọa độ suy rộng đủ q; => rCk(q), Rk(q) => JTk(q), JRk(q), 4. Tính ma trận khối lượng M(q); 5. Tính ma trận Coriolis và ly tâm C q q( , ) từ ma trận M(q); 6. Tính véc tơ g(q) từ các JTk, g(0), mk; 7. Lực suy rộng của các lực dẫn động Bu; 8. Lực suy rộng của các lực khác (cản, ngoại lực tại điểm E, ...) M q q( ) + C q q q( , ) + Dq + g q( ) = Bu + JT (q F) (0) E Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 17
PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -33- Ví dụ 1. Tay máy Đề các hai khâu Bảng thông số DH y1 q2 y2 khâu i di ai i z z 1 /2 q + c 0 /2 1 2 1 1 u m 0 2 0 q + c 0 0 2 m 2 2 2 1 g(0) 0 , q z0 q q q 1 x g q 1 , q 1 , q 1 0 q q q 2 2 2 u 1 0 0 0 0 r 0 , v J q 0 , J 0 0 C 1 C 1 T 1 T 1 q q 1 0 1 1 q q 0 1 2 2 r 0 v J q 0 , J 0 0 C 2 C 2 T 2 T 2 q c q 1 0 1 1 1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -34- Tay máy Đề các hai khâu 0 0 0 J q 0, J 0 0 y q y 1 R1 R1 1 2 2 0 0 0 z z 1 2 u m 0 0 0 2 m 2 1 J q 0, J 0 0 2 R2 R2 z 0 0 0 q 0 1 x 0 u m m 0 0 0 1 M m JT J m JT J 1 2 C 1 T 1 T 1 2 T 2 T 2 0 m 0 0 2 n g q( ) = -åm JT g(0) i Ti i=1 m m 0 q (m m )g u 1 2 1 1 2 1 0 m q 0 u (m m )gq cosnt 2 2 2 1 2 1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 18
PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -35- Ví dụ 2. Tay máy phẳng hai khâu, 2dof (TR) Bảng thông số DH, 2 dof (TR) y khâu d a 2 x i i i i m , I 2 1 0 q + const 0 -/2 g 2 C2 1 x l C 2 -/2+q 0 l2 0 0 q 2 1 x C2 2 y 1 q q [q q ]T [x ]T z 1 g(0) [g, 0, 0]T u C 2 1 2 0 1 1 m u 1 2 Tọa độ khối tâm trong hệ gắn liền khâu u(1) [0, , 0] ,c T sin cos 0 C 1 u(2) [(l l ), 0, 0] ,T R0 0 0 1 C 2 2 C 2 2 I(2) diag([I ,I ,I ]) cos sin 0 C 2 2x 2y C 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -36- Tọa độ khối tâm trong hệ cố định y 2 x m , I 2 g 2 C2 x 0 l sin 0 q l C C 2 1 x C2 2 r 0 , r 0 y 1 q C C z 1 1 2 u C 2 x c x l cos 0 1 1 C 2 m u 1 2 q [q q ]T [x ]T 1 2 Các ma trận Jacobi tịnh tiến J ?, J ? 0 0 0 l cos T 1 T 2 C 2 J 0 0, J 0 0 T 1 T 2 1 0 1 l sin C 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 19
PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -37- véc tơ vận tốc góc y 2 x m , I 2 0 0 g 2 C2 x l C 0, 0 q x C2 2 1 2 1 y 1 q 0 0 z u C 1 2 0 1 1 m u 1 2 1 m l2 0 0 Từ đó suy ra được các ma trận Jacobi quay: 12 1 1 I(1) 0 0 0 C 1 0 0 1 m l2 12 1 1 0 0 0 0 0 0 0 J 0 0, J 0 1, R1 R2 I(2) 0 1 m l2 0 0 0 0 0 C 2 12 2 2 0 0 1 m l2 12 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -38- Tính ma trận khối lượng I(0) R I0 (2)R0T , C 2 2 C 2 2 y 2 x M m JT J m JT J JT R I0 (2)R0T J m , I 2 1 T 1 T 1 2 T 2 T 2 R2 2 C 2 2 R2 g 2 C2 x l C 0 q 1 x C2 2 m m m l sin y 1 q M 1 2 2 C 2 z u C 1 2 0 1 1 m l sin I m l2 m 2 C 2 C 2 2 C 2 1 u 2 Biểu thức thế năng hệ Véc tơ do trọng lực P T 0 P m gl sin C g q( ) 2 C 2 q m gl cos 2 C 2 n Hoặc sử dụng công thức g q( ) = -åm JT (q g) (0) i Ti i=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 20
PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -39- m m m l sin M 1 2 2 C 2 m l sin I m l2 2 C 2 C 2 2 C 2 y 2 x m , I 2 Tính các số hạng theo công thức Christoffel dạng thứ nhất. g 2 C2 x l C m m 0 q 1 m 1 x C2 2 c ij ik jk y 1 q ijk 2 q q q z 1 u C 2 k j i 0 1 1 m u 1 2 1 m m m 1 m 1 m m m c 11 11 11 11 0 c 21 21 11 0 111 2 q q q 2 q 211 2 q q q 1 1 1 1 1 1 2 1 m m m 1 m m m c 11 12 12 0 c 22 21 21 0 112 2 q q q 221 2 q q q 2 1 1 1 2 2 1 m m m 1 m m m c 12 11 21 0 c 21 22 12 0 121 2 q q q 212 2 q q q 1 2 1 2 1 2 1 m m m 1 m m m c 12 12 22 m l cos c 22 22 22 0 122 2 q q q 2 C 2 222 2 q q q 2 2 1 2 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics PT Lagrange loại 2 dạng ma trận - Ví dụ -40- Ma trận liên quan đến lực ly tâm, lực quán tính coriolis 1 m m m m y C ( ,q q) ij ik jk q 2 x ij 2 q q q k m , I 2 k 1 k j i g 2 C2 x0 l C 0 m l cos q x C2 2 C q q( , ) 2 C 2 1 0 0 y 1 q z 1 u C 2 0 1 1 m1 u Phương trình vi phân chuyển động dạng ma trận 2 M q q( ) C q q q( , ) g q( ) u m m m l sin x 0 m l cos x 0 u 1 2 2 C2 2 C2 x m l sin I m l2 0 0 m gl cos u 2 C2 C2 2 C2 2 C2 (m m )x m l sin m l2 cos u , 1 2 2 C 2 2 1 m l sin x (I m l2 ) m gl cos u . 2 C 2 C 2 2 C 2 2 C 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!