Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ Học tập ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20231 Nhóm ngành 2 Thời gian làm bài: 90 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi.  Câu 1. [1đ] Cho ánh xạ R2 → M : (x, y) →  . Trong đó M là không gian ma trận đường x − 2y chéo cấp 2. Ánh xạ trên có phải là ánh xạ song ánh không? Vì sao?  . Tìm m để r(A) = 2. Câu 2. [1đ] Cho ma trận A =  3 7 m+1 Câu 3. [1.5đ] Trong không gian R4 , cho hệ véctơ B = {v1 = (1, 1, 2, 1); v2 = (3, 0, 7, 4); v3 = (2, 2, m, 3), v4 = (1, 1, 2, 2)}. a) Tìm m để hệ B lập thành một cơ sở của R4 . 11 b) Cho m = , tìm tọa độ của véctơ v = (1, 4, 1, 2) đối với cơ sở B thông qua công thức đổi tọa độ. 3 Câu 4. [2.5đ] Trên không gian P2 [x] cho ánh xạ tuyến tính f và cơ sở B = {v1 = 3 + x − x2 , v2 = 2 + 3x − x2 , v3 = 1 + 2x + 3x2 }, biết: f (v1 ) = 6 + 2x − 2x2 ; f (v2 ) = 5 + 4x − 2x2 ; f (v3 ) = 2 + 3x − x2 . a) Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính trên với cặp cơ sở B. b) Chéo hóa ma trận A. c) Cho biết f k = f ◦ f ◦ ... ◦ f (k lần). Hãy tìm ma trận của f 2024 . Câu 5. [2đ] Trong không gian R3 cho tích vô hướng ⟨x, y⟩ = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 và không gian V = span{v1 = (2; − 3; − 1); v2 = (0; m; 1); v3 = (m + 2; 4; 3)} a) Tìm số thực m để khoảng cách giữa 2 véctơ v2 và v3 là nhỏ nhất. b) Với m vừa tìm được, tìm 1 cơ sở trực chuẩn và hình chiếu trực giao của w = (−2; −8; 13) lên V . Câu 6. [1đ] Tìm cơ sở và số chiều không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:    x1 + 2x2 + x3 − 2x4 3x1 + 5x2 − 2x3 − x4 4x1 + 2x2 − x3 − 3x4 7x1 + 7x2 − 3x3 − 4x4  10x1 + 12x2 − 5x3 − 5x4 = 0    |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1 Câu 7. [1đ] Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thoả mãn z z z   1+ 2+ 3 =1 z2 z3 z1 Tính giá trị của biểu thức: T = z2024 + z2024 + z2024 1 2 3 Chúc các bạn hoàn thành tốt bài thi! Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ Học tập LỜI GIẢI CHI TIẾT MÔN ĐẠI SỐ - NHÓM NGÀNH 2 Thực hiện bởi team Đại số - CLB Hỗ trợ Học tập Câu 1. [1đ]   a