Page 1
ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC KANE Kane’s dynamic equation based on Jourdain’s Principle Nguyễn Quang Hoàng Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Nguyên lý Jourdain -2- • Khi sử dụng phương trình Newton-Euler: viết khá nhiều phương trình, lực liên kết xuất hiện, mất thời gian khử lực liên kết, … • Khi sử dụng phương trình Lagrange 2: phải đạo hàm động năng, thế năng ttheo các biến tọa độ, vận tốc suy rộng và thời gian, • Phương trình động lực Kane sẽ hạn chế được hai nhược điểm trên (cần tính đạo hàm trước khi thay vào pt tính lực suy rộng). • Phương trình động lực Kane – dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange f å(Q +Qqt )dq = 0 i i i i=1 – dựa trên nguyên lý Jourdain Q + Q = 0 a qt f å(Q +Qqt )dq = 0 i i i i=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 2
Nguyên lý Jourdain -3- m a = Fa + Fc dv ⋅(...) z y F k k Ck k k Ck k u E l = M a + M c dw ⋅(...) C k+1 k Ck Ck Ck k u k z 0 Các liên kết là lý tưởng y u 0 n 1 å(dv ⋅ Fc + dw ⋅ M c ) = 0 x 0 Ck k k Ck k=1 Nên ta suy ra n n ådv ⋅(Fa - m a ) + ådw ⋅(M a - l ) = 0 Ck k k Ck k Ck Ck k=1 k=1 Có thể viết dạng đại số cho phương trình trên trong hệ quy chiếu cố định (hoặc trong hệ quy chiếu gắn liền vật) n n å(dv )T ⋅(Fa - m a ) + å(dw )T ⋅(Ma - I w - w I w ) = 0 Ck k k Ck k Ck Ck k k Ck k k=1 k=1 Cần có chỉ số nói rõ chiếu trong hqc nào (0) hay (i) Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Nguyên lý Jourdain -4- ån ån (dv )T ⋅(Fa - m a ) + (dw )T ⋅(Ma - I w - w I w ) = 0 Ck k k Ck k Ck Ck k k Ck k k=1 k=1 Hay ån ån (dv )T ⋅ Fa + (dw )T ⋅ Ma Ck k k Ck k=1 k=1 ån ån + (dv )T ⋅ -( m a ) + (dw )T ⋅ -( I w - w I w ) = 0 Ck k Ck k Ck k k Ck k k=1 k=1 Lưu ý ìïl(k) = I(k)w (k) - w(k )I(k)w(k ) chiếu trong hệ tọa độ khâu d ( )k d ïï Ck Ck k k Ck k l = l = l + w ´l ïí Ck dt Ck dt Ck k Ck ïï ïl(0) = I(0)w (0) - w(0)I(0)w(0) chiếu trong hệ tọa độ cố định ïî Ck Ck k k Ck k Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 3
Nguyên lý Jourdain -5- Cho hệ thực hiện vận tốc ảo dq ¹ 0,dq = 0,dt = 0 Với v = v ( ,q q, ),t w = w ( ,q q, )t Ck Ck k k ¶v Suy ra dv = Ck dq = J dq (dv )T = dqT JT , Ck ¶q Tk Ck Tk ¶w dw = k dq = J dq (dw )T = dqT JT k ¶q Rk k Rk Thay vào biểu thức tổng công suất ảo (của lực hoạt động và lực quán tính) n n å(dv )T ⋅ Fa + å(dw )T ⋅ Ma Ck k k Ck k=1 k=1 n n +å(dv )T ⋅ -( m a ) + å(dw )T ⋅ -( I w - w I w ) = 0 Ck k Ck k Ck k k Ck k k=1 k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Nguyên lý Jourdain -6- æç n n ö÷ dqT ççå JT Fa + å JT Ma ÷÷ + çè Tk k Rk Ck ø÷ k=1 k=1 æç n n ÷ö dqT ççå JT (-m a ) + å JT (-I w - w I w )÷÷dq = 0 çè Tk k Ck Rk Ck k k Ck k ÷ø k=1 k=1 dqT (Qa + Qqt )= 0 Qa + Qqt = 0 -Qqt = Qa Phương trình động lực Kane n n Qa = å JT Fa + å JT Ma = Bu - g q( ) + JT (q F) (0) Tk k Rk Ck E k=1 k=1 n n Qqt = å JT (-m a ) + å JT (-I w - w I w ) Tk k Ck Rk Ck k k Ck k k=1 k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 4
Phương trình Kane -7- Tóm lại ta có được PT động lực cho tay máy chuỗi theo Kane như sau: -Qqt = Qa n n å JT m a + å JT (I w + w I w ) = Bu - g q( ) + JT (q F) (0) Tk k Ck Rk Ck k k Ck k E k=1 k=1 Với: d ¶ v = v(0) = r ( , )q t = J q + r ( , )q t = J q + v(0) Ck Ck dt Ck Tk ¶t Ck Tk Ck d ¶ w = w(0) = j ( , )q t = J q + j ( , )q t = J q + w(0), k k dt k Rk ¶t k Rk k a = a(0) = J q + J q + a(0), Ck Ck Tk Tk Ck (0) (0) I = I(0) = R I(k )RT w = a = J q + J q + a , Ck Ck k Ck k k k Rk Rk k Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane -8- Trường hợp liên kết không dừng ån JT m (J q + J q + a(0)) + Tk k Tk Tk Ck k=1 ån + JT [I(0)(J q + J q + a(0)) + w(0)I(0)w(0) ] = Bu - g q( ) + JT (q F) (0) Rk Ck Rk Rk k k Ck k E k=1 Trường hợp (liên kết dừng) v(0) = 0, w(0) = 0, a(0) = 0, a(0) = 0 Ck k Ck k n n å JT m (J q + J q) + å JT [I(0)(J q + J q) + w(0)I(0)w(0) ] Tk k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck k k=1 k=1 = Bu - g q( ) + JT (q F) (0) E - Dq Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 5
Phương trình Kane -9- Trường hợp (liên kết dừng) n n å JT m (J q + J q) + å JT [I(0)(J q + J q) + w(0)I(0)w(0) ] Tk k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck k k=1 k=1 = Bu - g q( ) + JT (q F) (0) - Dq E M q q( ) + C q q q( , ) = Bu - g(q) + JT (q)F(0) - Dq E Với: n M q( ) = å(m JT J + JT I(0)J ) k Tk Tk Rk Ck Rk k=1 n C q q q( , ) = å(m JT J q + JT I(0)J q + JT w(0)I(0)w(0)) k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck k k=1 çæ n ö÷ = çå(m JT J + JT I(0)J + JT w(0)I(0)J )÷q ççè k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk ÷÷ø k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane -10- Kết quả thu được M q q( ) + C q q q( , ) + Dq + g q( ) = Bu + JT (q F) (0) E Với I(0) = R I(k )RT Ck k Ck k M q( ) = S(JT m J + JT R I(k)RT J ) Tk k Tk Rk k Ck k Rk C q q( , ) = S(JT m J + JT R I(k)RT J + JT (0)R I(k)RT J ). Tk k Tk Rk k Ck k Rk Rk k k Ck k Rk Lưu ý với tay máy phẳng C q q( , ) = S(JT m J ). Tk k Tk J = 0, (0)I(0)(0) = 0, (k)I(k )(k) = 0 Rk k Ck k k Ck k Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 6
Phương trình Kane -11- Chứng minh được (M - 2C) = -(M - 2C)T M = SJT m J , M = SJT R I(k)RT J , C = SJT m J , t Tk k Tk r Rk k Ck k Rk t Tk k Tk C = S(JT R I(k)RT J + JT (0)R I(k)RT J ), (0) = R R T r Rk k Ck k Rk Rk k k Ck k Rk k k k = S(JT R I(k)RT J + JT R R T R I(k )RT J ). Rk k Ck k Rk Rk k k k Ck k Rk M = S(JT m J + JT m J ) t Tk k Tk Tk k Tk M = S(JT R I(k)RT J + JT R I (k)RT J + JT R I(k )R T J + JT R I(k )RT J ). r Rk k Ck k Rk Rk k Ck k Rk Rk k Ck k Rk Rk k Ck k Rk N = M - 2C = S(JT m J - JT m J ) = -NT t t t Tk k Tk Tk k Tk t N = M - 2C r r r = S(JT R I(k)RT J - JT R I(k)RT J ) + S(JT R I(k)R T J - JT R I (k)RT J ) Rk k Ck k Rk Rk k Ck k Rk Rk k Ck k Rk Rk k Ck k Rk = -NT . r N M 2C (M 2C ) (M 2C ) NT . t t r r Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane - Các bước thực hiện -12- • Chọn tọa độ suy rộng q • Các hệ trục tọa độ, khối lượng, Tenxơ quán tính đối với khối tâm,… • Động học: – Vị trí, vận tốc và gia tốc khối tâm => các ma trận Jacobi tinh tiến và đạo hàm của chúng – Ma trận quay, vận tốc góc và gia tốc góc của vật => các ma trận Jacobi quay và đạo hàm của chúng – Vị trí, vận tốc các điểm đặt lực hoạt động => các ma trận Jacobi tịnh tiến của điểm đặt lực, • Biểu thức lực suy rộng của các lực / ngẫu lực hoạt động • Xác định ma trận khối lượng, ma trận Coriolis và ly tâm Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 7
Phương trình Kane – Ví dụ 1 -13- Ví dụ 1: y Vị trí khối tâm và ma trận quay của vật đối với hệ cố định O a1=OC éa cosqù écosq -sinq 0ù u ê ú ê ú r = êa sinq ú, R = R0 = êsinq cosq 0ú C ê ú 1 1 ê ú C 1 ê 0 ú ê 0 0 1ú êë úû êë úû x mg é0 -q 0ù é ù0 ê ú ê ú w(0) = R R T = êq 0 0ú w(0) = ê ú0 1 1 1 ê ú 1 ê ú ê0 0 0ú ê úq êë úû ê úë û Các ma trận Jacobi tịnh tiến và Jacobi quay é-a sinqù é ù0 ¶r ê ú ¶w(0) ê ú J = C = ê a cosq ú, J = 1 = ê ú0 1 ê ú ê ú T 1 ¶q ê ú R1 ¶q ê ú êë 0 úû ê úë û1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 1 -14- Giả sử ma trận của ten xơ quán tính khối của các vật đối y với hệ gắn vào vật có gốc tại khối tâm như sau: O a1=OC é ù u êI 0 0 ú ê 1x ú I(1) = 0 I 0 , C 1 ê 1y ú C ê 0 0 I ú êë 1z úû x mg I(0) = RI(1)RT , I(1) = RT I(0)R C C C C Từ đây tính được ma trận quán tính khối đối với khối tâm và chiếu trong hệ cố định F0 : é* * 0 ù ê ú I(0) = R I(1)RT = ê* * 0 ú C 1 1 C 1 1 ê ú ê0 0 I ú êë 1z úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 8
Phương trình Kane – Ví dụ 1 -15- Véc tơ lực suy rộng của các lực hoạt động y æ ö O ç n n ÷ a =OC Q = ççå JT Fa + å JT Ma ÷÷ u 1 a çè Tk k Rk Ck ÷ø k=1 k=1 C é-a sinqù é ù0 x ¶r ê ú ¶w(0) ê ú mg J = C = ê a cosq ú, J = 1 = ê ú0 1 ê ú ê ú T 1 ¶q ê ú R1 ¶q ê ú êë 0 úû ê úë û1 émgù é0ù ê ú ê ú fa = ê 0 ú, ma = ê0ú 1 ê ú 1 ê ú ê 0 ú êuú êë úû êë úû Q = u - mga sinq a Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 1 -16- Véc tơ lực suy rộng của các lực quán tính (ma trận kl và Coriolis) é-a sinqù é ù0 ¶r ê ú ¶w(0) ê ú J = C = ê a cosq ú, J = 1 = ê ú0 1 ê ú ê ú T 1 ¶q ê ú R1 ¶q ê ú êë 0 úû ê úë û1 n M q( ) = å(m JT J + JT I(0)J ) = I + ma2 k Tk Tk Rk Ck Rk C k=1 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 9
Phương trình Kane – Ví dụ 1 -17- Véc tơ lực Coriolis và lực ly tâm y é-a sinqù é ù0 O ¶r ê ú ¶w(0) ê ú a =OC J = C = ê a cosq ú, J = 1 = ê ú0 u 1 1 ê ú ê ú T 1 ¶q ê ú R1 ¶q ê ú êë 0 úû ê úë û1 C é ù é ù x -aq cosq 0 mg ê ú ê ú J = ê-aq sinq ú, J = ê ú0 T 1 ê ú R1 ê ú ê 0 ú ê ú0 êë úû ê úë û n C q q q( , ) = å(m JT J q + JT I(0)J q + JT w(0)I(0)J q) = 0.q k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk k=1 Phương trình VPCĐ (I + ma2 )q = u - mag sinq 1z Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 2 -18- Ví dụ 2: y x2 2 m2, IC2 y1 B y0 g x d a2 C2 A u1 x0 O C1 x 1 m1 u 2 é ù é1 0ù êq ú ¶r ê ú ê 1 ú J = C = ê0 0 ,ú r = 0 , 1 ê ú ê ú T 1 ¶q ê ú C ê ú 0 0 1 ê ú êë 0 úû ë û é ù é1 -a sinq ù êq + d + a cosq ú ¶r ê 2 2 ú ê 1 2 2 ú J = C = ê0 a cosq ú, r = a sinq 2 ê ú ê ú T 2 ¶q ê 2 2 ú C ê 2 2 ú 0 0 2 ê ú êë 0 úû ë û Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 10
Phương trình Kane – Ví dụ 2 -19- y x2 é1 0 0ù 2 m2, IC2 ê ú y1 B R = R0 = ê0 1 0ú y g ê ú 0 1 1 ê ú a C 0 0 1 x d 2 2 êë úû A u1 x0 é ù O C1 x cosq -sinq 0 1 ê 2 2 ú m1 u R = R0 = êsinq cosq 0ú 2 2 2 ê 2 2 ú ê 0 0 1ú êë úû é0 0 0ù é ù0 é0 0ù ê ú ê ú ¶w(0) ê ú w(0) = R R T = ê0 0 0ú w(0) = ê ú0 J = 1 = ê0 0ú 1 1 1 ê ú 1 ê ú R1 ¶q ê ú ê0 0 0ú ê ú0 ê0 0ú êë úû ê úë û êë úû é 0 -q 0ù é 0 ù é0 0ù ê 2 ú ê ú ¶w(0) ê ú w(0) = R R T = êq 0 0ú w(0) = ê 0 ú J = 2 = ê0 0ú 2 2 2 ê 2 ú 2 ê ú R2 ¶q ê ú ê 0 0 0ú êq ú ê0 1ú êë úû êë 2 úû êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 2 -20- é1 0ù é0 0ù ¶r ê ú ê ú J = C = ê0 0 ,ú J = ê0 0 ,ú 1 ê ú ê ú T 1 ¶q ê ú T 1 ê ú êë0 0úû êë0 0úû é1 -a sinq ù é0 -a q cosq ù ¶r ê 2 2 ú ê 2 2 2 ú J = C = ê0 a cosq ú, J = ê0 -a q sinq ú, 2 ê ú ê ú T 2 ¶q ê 2 2 ú T 2 ê 2 2 2 ú êë0 0 úû êë0 0 úû é0 0ù é0 0ù ¶w(0) ê ú ê ú J = 1 = ê0 0ú J = ê0 0ú R1 ¶q ê ú R1 ê ú ê0 0ú ê0 0ú êë úû êë úû é0 0ù é0 0ù ¶w(0) ê ú ê ú J = 2 = ê0 0ú J = ê0 0ú R2 ¶q ê ú R2 ê ú ê0 1ú ê0 0ú êë úû êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 11
Phương trình Kane – Ví dụ 2 -21- B Lưu ý rằng ngẫu lực m2, IC2 u là lực hoạt động y0 g N 2 x d a2 C2 (nội lực sinh công): A P u C 2 x0 O 1 1 m1 u P1 2 é u ù é 0 ù é 0 ù é 0 ù ê 1 ú ê ú ê ú ê ú fa = -ê m gú, ma = ê 0 ú, fa = -ê m gú, ma = ê 0 ú, 1 ê 1 ú 1 ê ú 2 ê 2 ú 2 ê ú ê 0 ú ê-u ú ê 0 ú êu ú êë úû êë 2 úû êë úû êë 2 úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 2 -22- Véc tơ lực suy rộng của các lực hoạt động æ n n ÷ö é u ù Q = ççå JT Fa + å JT Ma ÷ Q = ê 1 ú a ççè Tk k Rk Ck ÷÷ø a êu - m ga cosq ú k=1 k=1 êë 2 2 2 2 úû Hoặc tính như khi sử dụng phương trình Lagrange 2 y x2 2 m2, IC2 æ¶PöT y B ç ÷ 1 g q( ) = ç ÷ = -Sm JT ( )q g(0) y g çç ¶è q ÷÷ø k Tk 0 x d a2 C2 A u1 x0 ådA F( kt ) = u dq +u dq O C1 x 1 k 1 1 2 2 m1 u2 k = uT dq éu ù u = ê 1 ú êu ú Q = Bu -g q( )+ JT (q F) (0) -Dq êë 2 úû a E Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 12
Phương trình Kane – Ví dụ 2 -23- ma trận quán tính khối đối đối với khối tâm chiếu trong hệ gắn liền vật éI 0 0 ù éI 0 0 ù ê 1x ú ê 2x ú I(1) = ê 0 I 0 ú, I(2) = ê 0 I 0 ú C 1 ê 1y ú C 2 ê 2y ú ê 0 0 I ú ê 0 0 I ú êë 1z úû êë 2z úû Từ đây tính được ma trận quán tính khối đối đối với khối tâm chiếu trong hệ cố định F0 éI 0 0 ù é* * 0 ù ê 1x ú ê ú I(0) = R I(1)RT = ê 0 I 0 ú, I(0) = R I(2)RT = ê* * 0 ú C 1 1 C 1 1 ê 1y ú C 2 2 C 2 2 ê ú ê 0 0 I ú ê0 0 I ú êë 1z úû êë 2z úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 2 -24- Véc tơ lực suy rộng của các lực quán tính Q = -M q q( ) -C q q q( , ) qt Ma trận khối lượng và ma trận Coriolis va ly tâm n é m + m -m a sinq ù M q( ) = å(m JT J + JT I(0)J ) = ê 1 2 2 2 2 ú k Tk Tk Rk Ck Rk ê-m a sinq I + m a2 ú k=1 êë 2 2 2 2z 2 2 úû n ( ) C q q q( , ) = å m JT J + JT I(0)J + JT w(0)I(0)J q k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk k=1 é-m a q2 cosq ù = ê 2 2 2 2 ú ê 0 ú êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 13
Phương trình Kane – Ví dụ 2 -25- Phương trình VPCĐ B m2, IC2 y0 g x d a2 C2 A u1 x0 O C1 m1 u2 é m + m -m a sinq ù éq ù é-m a q2 cosq ù é 0 ù éu ù ê 1 2 2 2 2 ú ê 1 ú + ê 2 2 2 2 ú + ê ú = ê 1 ú ê-m a sinq I + m a2 ú êq ú ê 0 ú êm ga cosq ú êu ú êë 2 2 2 2z 2 2 úû êë 2 úû êë úû êë 2 2 2 úû êë 2 úû M q q( ) +C q q q( , ) + g q( ) = u Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3 -26- x Ví dụ 3: y 2 2 g O 2 y l C y 1 2 2 0 q 2 O x 1 l 1 C 1 1 1 q 1 2 O 0 x 0 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 14
Phương trình Kane – Ví dụ 3 -27- x Ví dụ 3: y 2 2 éa cosq ù g ê 1 1 ú O r = êa sinq ú, 2 C ê 1 1 ú l C 1 ê 0 ú y y 2 2 ê ú 1 ë û 0 q 2 O x é ù 1 cosq -sinq 0 l 1 ê 1 1 ú C 1 R = 0 R = êsinq cosq 0ú 1 1 1 1 ê 1 1 ú q ê ú 1 2 êë 0 0 1úû O 0 x 0 él cosq + a cos(q + q )ù ê 1 1 2 1 2 ú r = êl sinq + a sin(q + q ) ,ú C ê 1 1 2 1 2 ú 2 ê 0 ú a = O C , êë úû 1 0 1 écos(q + q ) -sin(q + q ) 0ù a = O C ê ú 2 1 2 ê 1 2 1 2 ú R = 0 R 1R = sin(q + q ) cos(q + q ) 0 2 1 2 ê 1 2 1 2 ú ê 0 0 1ú êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3 -28- x é ù y 2 êa cosq ú 2 ê 1 1 ú g r = êa sinq ú, O C ê 1 1 ú 2 1 êë 0 úû l C y y 2 2 1 0 q é-a sinq 0ù 2 ¶r ê 1 1 ú O x ê ú 1 J = C = a cosq 0 , l 1 1 ê ú T 1 ¶q ê 1 1 ú C 1 ê 0 0ú 1 1 ë û q 1 2 O 0 é ù x -a q cosq 0 0 ê 1 1 1 ú J = ê-a q sinq 0 ,ú T 1 ê 1 1 1 ú ê 0 0ú êë úû é0ù é0 0ù é ù ê ú ¶w(0) ê ú ê0 0ú w(0) = R R T = ... w(0) = ê0ú J = 1 = ê0 0ú ê ú 1 1 1 1 ê ú R1 ¶q ê ú J = ê0 0ú ê ú ê ú R1 ê ú êq ú êë1 0úû ê0 0ú ë 1û ë û Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 15
Phương trình Kane – Ví dụ 3 -29- é ù x l cosq +a cos(q +q ) y 2 ê 1 1 2 1 2 ú 2 r = êl sinq +a sin(q +q ) ,ú g C ê 1 1 2 1 2 ú O 2 ê 0 ú 2 êë úû y l C y 1 2 2 0 q ¶r 2 J = C O x 2 1 T 2 ¶q l 1 C 1 é ù 1 1 ê-l sinq -a sin(q + q ) -a sin(q + q )ú q 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 = ê l cosq + a cos(q + q ) a cos(q + q ) ú, O ê ú 0 ê 1 1 2 1 2 2 1 2 ú x 0 0 0 êë úû é-l q cosq -a cos(q + q )(q + q ) -a cos(q + q )(q + q )ù ê 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ú J = ê-l q sinq -a sin(q + q )(q + q ) -a sin(q + q )(q + q )ú T 2 ê 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ú ê 0 0 ú êë úû é 0 ù é0 0ù é0 0ù ê ú ¶w(0) ê ú ê ú (0) T (0) ê ú J = 2 = ê0 0ú J = ê0 0ú w = R R = ... w = ê 0 ú R2 ¶q ê ú R2 ê ú 2 2 2 2 ê ú ê ú ê ú êq +q ú êë1 1úû êë0 0úû ë 1 2 û Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3 -30- Lực suy rộng của các lực hoạt động (dẫn động, trọng lượng) x y 2 2 g æ¶PöT O g q( ) = çç ÷÷ 2 çç ¶è q ÷÷ø l C y y 2 2 1 0 q = -Sm JT ( )q g(0) 2 k Tk O x 1 l 1 C 1 1 1 ådA F( kt ) = t dq + t dq q1 2 k 1 1 2 2 O k 0 x = uT dq 0 ét ù u = ê 1 ú êt ú êë 2 úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 16
Phương trình Kane – Ví dụ 3 -31- M q q( ) +C q q q( , ) + g q( ) = u M q( ) = S(JT m J + JT R I( )k R JT ) Tk k Tk Rk k Ck k Rk C q q q( , ) = S(JT m J + JT R I( )k R JT + JT R I( )k R JT )q Tk k Tk Rk k Ck k Rk Rk k k Ck k Rk g q( ) = -Sm JT ( )q g(0) k Tk Lưu ý với tay máy phẳng ???? If J = const S(JT R I( )k R JT + JT R I( )k R JT )q = 0 Rk Rk k Ck k Rk Rk k k Ck k Rk C q q q( , ) = S(JT m J )q Tk k Tk Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3 -32- Phương trình tối giản é ù é ù x ê(I +m a2 + I +m (l2 +2m a l cosq +a2) (I +m a2 +m a l cosq )ú êq y 2 1,zz 1 1 2,zz 2 1 2 2 1 2 2 2,zz 2 2 2 2 1 2 1 ú ê (I +m a2 +m a l cosq ) I +m a2 ú êq ú 2 êë 2,zz 2 2 2 2 1 2 2z 2 2 ú êû ë 2 úû g O é-2m a l q q sinq -m a l q2 sinq ù 2 + ê 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ú l C ê m l a q2 sinq ú y êë úû y 1 2 2 2 1 2 1 2 0 q é ù é ù 2 êm ga cosq +m g l[ cosq +a cos(q +q )ú êt ú O 1 1 1 2 1 1 2 1 2 = 1 1 x ê m a g cos(q +q ) ú êt ú 1 êë 2 2 1 2 úû êë 2 úû l C 1 1 1 M q q( ) +C q q q( , ) + g q( ) = u q 1 2 O 0 x 0 [(I +m a2 +I +m (l2 +2m a l cosq +a2)]q +(I +m a2 +m a l cosq )q 1,zz 1 1 2,zz 2 1 2 2 1 2 2 1 2,zz 2 2 2 2 1 2 2 -2m a l q q sinq -m a l q2 sinq 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 +m ga cosq +m g l[ cosq +a cos(q +q )] = t 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 [I +m a2 +m a l cosq ]q +[I +m a2 ]q +m l a q2 sinq +m a g cos(q +q ) = t 2,zz 2 2 2 2 1 2 1 2,zz 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 17
Phương trình Kane – Ví dụ 3b -33- Ví dụ 3: y C2 B éa cosq ù A q ê 1 1 ú 2 r = êa sinq ú, C ê 1 1 ú u 1 ê 0 ú 2 êë úû C1 u1 é ù q1 êcosq -sinq 0ú O x ê 1 1 ú R = R0 = sinq cosq 0 1 1 ê 1 1 ú ê 0 0 1ú êë úû él cosq + a cosq ù écosq -sinq 0ù ê 1 1 2 2 ú ê 2 2 ú r = êl sinq + a sinq ú,R = R0 = êsinq cosq 0ú C ê 1 1 2 2 ú 2 2 ê 2 2 ú 2 ê 0 ú ê 0 0 1ú êë úû êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3b -34- y C2 B A q 2 u2 C1 u1 q1 O x é-a sinq 0ù é0 0ù ¶r ê 1 1 ú ¶w(0) ê ú J = C1 = ê a cosq 0 ,ú J = 1 = ê0 0ú T 1 ¶q ê 1 1 ú R1 ¶q ê ú ê 0 0ú ê1 0ú êë úû êë úû é-l sinq -a sinq ù é0 0ù ¶r ê 1 1 2 2 ú ¶w(0) ê ú J = C2 = ê l cosq a cosq ú, J = 2 = ê0 0ú T 2 ¶q ê 1 1 2 2 ú R2 ¶q ê ú ê 0 0 ú ê0 1ú êë úû êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 18
Phương trình Kane – Ví dụ 3b -35- y C2 B A q 2 u2 C1 u1 q1 O x é-a q cosq 0ù é0 0ù ê 1 1 1 ú ê ú J = ê-a q sinq 0 ,ú J = ê0 0ú T 1 ê 1 1 1 ú R1 ê ú ê 0 0ú ê0 0ú êë úû êë úû é-l q cosq -a q cosq ù é0 0ù ê 1 1 1 2 2 2 ú ê ú J = ê-l q sinq -a q sinq ú, J = ê0 0ú T 2 ê 1 1 1 2 2 2 ú R2 ê ú ê 0 0 ú ê0 0ú êë úû êë úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3b -36- é 0 ù é 0 ù ê ú ê ú y C2 fa = -ê m gú, ma = ê 0 ú B 1 ê 1 ú 1 ê ú A q ê 0 ú êu - u ú 2 êë úû êë 1 2 úû u2 é 0 ù é 0 ù C ê ú ê ú u 1 fa = -ê m gú, ma = ê 0 ú 1 q 2 ê 2 ú 2 ê ú O 1 ê 0 ú êu ú x êë úû êë 2 úû Véc tơ lực suy rộng của các lực hoạt động Lưu ý rằng ngẫu lực u2 là æç n n ÷ö lực hoạt động (nội lực Q = ççå JT Fa + å JT Ma ÷÷ sinh công): a çè Tk k Rk Ck ÷ø k=1 k=1 éu - u - (m a + m l )g cosq ù Q = ê 1 2 1 1 2 1 1 ú Hoặc tính lực suy rộng a ê u - m a g cosq ú tương như khi sử dụng êë 2 2 2 2 úû phương trình Lagrange Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 19
Phương trình Kane – Ví dụ 3b -37- Véc tơ lực suy rộng của các lực quán tính æç n n ö÷ Q = -çåm JT (J q + J q) + å JT [I(0)(J q + J q) + w(0)I(0)w(0) ]÷ qt ççè k Tk Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck k ÷÷ø k=1 k=1 = -M q q( ) - C q q q( , ) Ma trận khối lượng và ma trận Coriolis n M q( ) = å(m JT J + JT I(0)J ) k Tk Tk Rk Ck Rk k=1 éI + m a2 + m l2 m a l cos(q -q )ù = ê 1z 1 1 2 1 2 2 1 2 1 ú êm a l cos(q -q ) I + m a2 ú êë 2 2 1 2 1 2z 2 2 úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Phương trình Kane – Ví dụ 3b -38- n C q q q( , ) = å(m JT J q + JT I(0)J q + JT w(0)I(0)J q) k Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck Rk k=1 é-m a l sin(q -q )q2 ù = ê 2 2 1 2 1 2 ú C ê ú y 2 B ê m a l sin(q -q )q2 ú ë 2 2 1 2 1 1 û A q 2 u2 M q q( ) +C q q q( , ) + g q( ) = Bu C u 1 1 q O 1 x Phương trình vpcđ éI + m a2 + m l2 m a l cos(q -q )ù éq ù é-m a l sin(q -q )q2 ù ê 1z 1 1 2 1 2 2 1 2 1 ú ê 1 ú + ê 2 2 1 2 1 2 ú êm a l cos(q -q ) I + m a2 ú êq ú ê m a l sin(q -q )q2 ú ëê 2 2 1 2 1 2z 2 2 ûú êë 2 úû êë 2 2 1 2 1 1 úû é(m a + m l )g cosq ù éu - u ù é1 -1ù éu ù + ê 1 1 2 1 1 ú = ê 1 2 ú = ê ú ê 1 ú ê m a g cosq ú ê u ú ê0 1 ú êu ú êë 2 2 2 úû êë 2 úû ëê ú êû ë 2 úû Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Page 20
Nhận xét về: PT Lagrange 2 và PT Kane -39- Cả hai đều dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange -Q = Q qt a Phương trình Lagrange 2 tính lực suy rộng của các lực quán tính từ biểu thức động năng d æ¶T öT æ¶T öT Q = çç ÷÷ - çç ÷÷ qt dt ççè ¶q ÷÷ø èçç ¶q ø÷÷ Phương trình Kane tính lực suy rộng của các lực quán tính trực tiếp từ lực quán tính và ngẫu lực quán tính thu gọn về khối tâm các vật ån ¶v ån ¶w Qqt = - m a ⋅ Ck - l ⋅ k j k Ck ¶q Ck ¶q k=1 j k=1 j æç n n ö÷ Q = -çåm JT (J q + J q) + å JT [I(0)(J q + J q) + w(0)I(0)w(0) ]÷ qt ççè k Tk Tk Tk Rk Ck Rk Rk k Ck k ÷÷ø k=1 k=1 Phương trình Kane tương tự như phương trình Newton-Euler sau khi khử lực liên kết lý tưởng Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics Ví dụ: áp dụng phương trình Kane -40- Xét tay máy ba khâu, RTR. z0 Coi các khâu là các thanh mảnh đồng q1 chất (mk, ak) x 1 q2 x0 x 2 z q3 1,2 z3 x 3 khâu d a 1 q1 0 a1 Pi/2 2 0 q2 0 0 3 q3 0 a3 0 Nguyen Quang Hoang - Department of Applied Mechanics
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!