Trang 2
MỤC LỤC Trang A. MỞ ĐẦU....................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài.....................................................................................................1 2. Mục đích của đề tài................................................................................................2 B. NỘI DUNG................................................................................................................3 1. Hệ thống lí thuyết cơ bản......................................................................................3 1.1. Những tiền đề của cơ học lượng tử................................................................3 a. Thuyết lượng tử Planck .................................................................................3 b. Thuyết sóng - hạt của ánh sáng.....................................................................3 c. Tính chất sóng - hạt của các hạt vi mô .........................................................3 d. Nguyên lý bất định Heisenbery.....................................................................5 1.2. Khái niệm cơ bản về cơ học lượng tử............................................................5 a. Hàm sóng.........................................................................................................5 b. Phương trình sóng Schrodinger....................................................................6 c. Kết quả giải phương trình sóng Schrodinger ..............................................6 1.3. Mô hình hộp thế ..............................................................................................7 a. Hộp thế một chiều...........................................................................................7 b. Hộp thế hai chiều..........................................................................................10 c. Hộp thế ba chiều ...........................................................................................11 2. Bài tập vận dụng ..................................................................................................12 2.1. Bài tập có hướng dẫn giải.............................................................................12 2.2. Bài tập tự luyện .............................................................................................59 3. Phương pháp sử dụng chuyên đề hiệu quả........................................................76 C. KẾT LUẬN..............................................................................................................77 1. Kết luận.................................................................................................................77 2. Kiến nghị...............................................................................................................77 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................79 i
Trang 3
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế CHUYÊN ĐỀ HẠT CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỘP THẾ A. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đảng và Nhà nước luôn xác định rõ vai trò trung tâm của giáo dục trong phát hiện, bồi dưỡng nhân tài – lực lượng khoa học kỹ thuật chủ chốt của đất nước. Trong đó, việc đào tạo học sinh giỏi, đặc biệt ở các môn khoa học tự nhiên như Hóa học, là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay. Thực tiễn giáo dục hiện nay cho thấy, các trường chuyên, lớp chọn đang đối mặt với không ít thách thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Một trong những khó khăn lớn là sự thiếu hụt tài liệu chuyên sâu, hệ thống, cập nhật sát với xu hướng ra đề của các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế. Trong khi đó, yêu cầu về tư duy học thuật bậc cao, khả năng vận dụng kiến thức liên môn và bản lĩnh giải quyết các vấn đề trừu tượng ngày càng được đề cao trong các đề thi. Điều này đặt ra yêu cầu cấp thiết đối với việc xây dựng các chuyên đề chuyên sâu, vừa mang tính học thuật cao, vừa phù hợp với định hướng phát triển năng lực của học sinh giỏi. Trong những năm gần đây, chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” ngày càng xuất hiện nhiều trong các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia và Olympic Hóa học quốc tế. Đây là một chủ đề phức tạp, nội dung mang tính lượng tử, liên hệ giữa Hóa học và Vật lý. Nhiều học sinh thường gặp khó khăn khi tiếp cận các khái niệm trừu tượng, vận dụng vào bài tập mức năng lượng, bước sóng hấp thụ, phân bố electron,.…dẫn đến hiệu quả ôn luyện chưa cao. Vì vậy, việc xây dựng chuyên đề này một cách hệ thống, tích hợp lý thuyết và bài tập phân hóa sẽ giúp giáo viên có định hướng rõ ràng, đồng thời hỗ trợ học sinh phát triển tư duy học thuật bậc cao, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi chuyên sâu. Từ kinh nghiệm thực tế trong quá trình trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Hóa học, tôi nhận thấy việc tổ chức, phát triển và hoàn thiện chuyên đề “Hạt chuyển động trong hộp thế” không chỉ giúp học sinh tiếp cận nội dung trừu tượng một cách khoa học và logic, mà còn góp phần nâng cao hiệu quả ôn luyện, phát triển năng lực tư duy hóa học hiện đại, liên ngành. Đây cũng là cơ sở quan trọng giúp đội ngũ giáo viên có định hướng rõ ràng, có nguồn học liệu đáng tin cậy phục vụ Trang 1
Trang 4
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế giảng dạy chuyên sâu. Vì những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài “Hạt chuyển động trong hộp thế” làm nội dung nghiên cứu và xây dựng tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Hóa học như một sáng kiến kinh nghiệm có ý nghĩa thiết thực, góp phần vào công cuộc đổi mới giáo dục chuyên sâu trong thời kỳ hội nhập. 2. Mục đích của đề tài Thông qua lĩnh vực nghiên cứu này giúp: Giáo viên có tài liệu phục vụ cho bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi hóa, học sinh trong đội tuyển có tài liệu để tham khảo, tự học tập ôn luyện. Xây dựng cơ sở lý thuyết, hệ thống câu hỏi và bài tập về hạt chuyển động trong hộp thế, góp phần ứng dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi hóa học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy học Hóa học ở trường Trung học phổ thông chuyên. Trang 2
Trang 5
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế B. NỘI DUNG 1. Hệ thống lí thuyết cơ bản 1.1. Những tiền đề của cơ học lượng tử a. Thuyết lượng tử Planck Năm 1900 Planck đã trình bày quan điểm lượng tử đầu tiên và cho rằng: “Ánh sáng hay bức xạ điện tử nói chung gồm những lượng tử năng lượng phát đi từ nguồn sáng”. hc E = hv = Trong đó: E là lượng tử năng lượng h là hằng số Planck (h = 6,626.10-34 J.s) ν là tần số của bức xạ λ là bước sóng bức xạ c là tốc độ ánh sáng Bước sóng càng lớn thì tần số sóng càng giảm và ngược lại, E gọi là lượng tử năng lượng vì với mọi bức xạ dù phát ra hoặc hấp thụ đều bằng một số nguyên lần của E. b. Thuyết sóng - hạt của ánh sáng Thuyết sóng về ánh sáng được Maxwell đưa ra năm 1865 đã giải thích được hiện tượng nhiễu xạ, giao thoa của ánh sáng nhưng không giải thích được hiệu ứng quang điện. Theo thuyết lượng tử thì ánh sáng gồm những lượng tử năng lượng E = hv phát đi từ nguồn sáng. Mặt khác theo hệ thức tương đối Einstein E = mc2 thì một vật thể bất kỳ nếu mang năng lương E sẽ có khối lương m = E . Như vây ánh sáng có tính chất c2 hạt. Ngày nay người ta thừa nhận bản chất sóng - hạt của ánh sáng. Từ hệ thức Einstein và thuyết lượng tử ta có: ; 2 c mc2 = hv mc = h Từ đó: h = mc c. Tính chất sóng - hạt của các hạt vi mô Cơ học lượng tử quan niệm rằng các vật vi mô có cả tính chất hạt và tính chất sóng, nghĩa là chúng thể hiện đồng thời như những hạt và sóng. Trang 3
Trang 6
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Đầu tiên bản chất sóng hạt của vật vi mô được phát hiện đối với ánh sáng. Thực vậy, vào nửa đầu thế kỷ XIX, qua kết quả nghiên cứu hiện tượng dao thoa và nhiễu xạ ánh sáng, các nhà bác học đi đến kết luận: ánh sáng là những sóng điện từ có tần số dao động ν (hoặc bước sóng) xác định được lan truyền với tốc độ c. Tính chất sóng thể hiện trong biểu thức: λν = c. Sau đó, sang đầu thế kỷ XX việc nghiên cứu nhiều hiện tượng, trong đó quan trọng nhất là hiện tượng hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton đã cho phép khẳng định tính chất hạt của ánh sáng do Planck đề xuất: ánh sáng là dòng các vật chất không thể phân chia được nữa gọi là các lượng tử ánh sáng hay các photon, chúng có khối lượng m và chuyển động với tốc độ c. Tính chất hạt của ánh sáng, như đã biết, thể hiện trong phương trình Planck: E = hν. Từ biểu thức λν = c và các phương trình Planck, Einstein (E = mc²), chúng ta có thể rút ra được phương trình thể hiện bản chất sóng - hạt của ánh sáng: h . = mc Phương trình này nói lên rằng photon là một hạt có khối lượng m và khi chuyển động với tốc độ c sẽ tạo nên sóng truyền đi với bước sóng λ. Đến năm 1924, De Broglie đưa ra giả thuyết mà về sau đã được các công trình thực nghiệm của nhiều nhà khoa học xác minh là electron cũng như các vật vi mô khác đều có bản chất sóng - hạt và đối với chúng hệ thức sau đây phải thỏa mãn: h = mv Từ hệ thức h chúng ta có thể phát biểu cách tổng quát là hạt vi mô có khối = mv lượng m khi chuyển động với tốc độ v sẽ tạo nên sóng truyền đi với bước sóng λ. Hệ thức h được gọi là hệ thức De Broglie, còn sóng được xác định theo hệ = mv thức này có tên là sóng De Broglie. Thực ra có thể nói là mọi vật đều có bản chất sóng - hạt, tuy nhiên theo hệ thức De Broglie khi vật thể có m lớn thì λ sẽ rất bé, do đó thể không phát hiện được tính chất sóng của nó. Ví dụ một hạt vi mô có khối lượng m = 1gam và chuyển động với tốc độ v = 10-2 m.s-1 sẽ tạo nên sóng có λ = 6,6.10-29 m. Bước sóng quá bé, do đó chứng ta không thể phát hiện được tính chất sóng của nó. Trong khi đó một hạt electron có m = 9,1.10- 31 kg và ν = 106 m.s-1 sẽ tạo nên sóng với λ = 7,3.10-10 m. Chúng ta có thể dùng mang tính chất sóng làm mang nhiều xa để phát hiện quá trình sóng này của electron. Trang 4
Trang 7
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế d. Nguyên lý bất định Heisenbery Bản chất sóng - hạt của hạt vi mô đưa đến hệ quả quan trọng về sự chuyển động của nó, thể hiện trong nguyên tắc do Heisenberg đưa ra năm 1927: không thể đồng thời xác định chính xác cả vị trí lẫn tốc độ của hạt vi mô. Nguyên tắc này được biểu diễn dưới dạng toán học như sau: h x.v = m 2m trong đó: Δx – độ bất định về vị trí; Δv – độ bất định về tốc độ; h = 2 Đối với hạt vi mô đã chọn thì là hằng số nên chúng ta thấy khi tọa độ của hạt m đó được xác định càng chính xác (nghĩa là x càng nhỏ) thì tốc độ chuyển động của nó sẽ được xác định càng kém chính xác (nghĩa là ν càng lớn). Chẳng hạn vị trí của một electron chuyển động với tốc độ 2.10-6 m.s-1 khi được xác định với độ chính xác là 10- 17m thì độ bất định về tốc độ là 11571000 m.s-1. Rõ ràng độ sai số của sự xác định tốc độ lớn hơn bản thân tốc độ nhiều lần. Từ đây tổng quát hơn có thể nói, đối với hạt vi mô khi biết chính xác tốc độ chuyển động chứng ta không thể nói đến đường đi chính xác của nó, mà chỉ có thể nói đến xác suất có mặt của nó ở chỗ nào đó trong không gian. 1.2. Khái niệm cơ bản về cơ học lượng tử a. Hàm sóng Trạng thái chuyển động của hại vi mô được mô tả bằng hàm số ψ(x,y,z,t) là một hàm xác định, đơn vị và liên tục gọi là hàm sóng. Ý nghĩa vật lý của hàm sóng Ta không thể xác định chính xác electron có mặt ở toạ độ nào những có thể biết xác suất tìm thấy electron nhiều nhất ở vùng mà phân lớn thời gian electron có mặt ở đó. Vì hàm sóng ψ(x,y,z,t) có thể là hàm thực hoặc phức nên nó không có ý nghĩa vật lý trực tiếp. Chỉ có bình phương modun của hàm sóng là |ψ|2 (thực và luôn luôn dương) mới có ý nghĩa là mật độ xác xuất tìm thấy hạt tại toạ độ tương ứng. |ψ(x,y,z,t)|2 dτ cho biết xác suất tìm thấy tại thời điểm t trong nguyên tố thể tích dτ có tâm là M (x,y,z). Hình ảnh của hàm mật độ xác suất trong không gian gọi là đám mây điện tử. Hàm sóng phải thoả mãn các điều kiện sau: Trang 5
Trang 8
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế - Hàm sóng phải đơn trị (tại mỗi điểm trong không gian ứng với toạ độ (x,y,z) chỉ có một giá trị duy nhất để cho xác suất tìm thấy electron tại đó chỉ có một giá trị tương ứng). - Hàm sóng phải hữu hạn và liên tục (nghĩa là không thể bằng ∞ ở bất kỳ toạ độ nào nhưng có thể bằng 0). + - Hàm sóng phải thoả mãn điều kiện: dt =1 − Để cho tổng xác suất tìm thấy electron từ -∞ → +∞ phải luôn luôn bằng 1, gọi là hàm sóng đã chuẩn hoá. b. Phương trình sóng Schrodinger Để tìm được hàm sóng mô tả chuyển động của hạt vi mô thì phải giải phương trình sóng gọi là phương trình Schodinger. Đó là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử được nhà vật lý người Áo Schrodinger đưa ra năm 1926. Đó là phương trình vi phân bậc 2 của hàm ψ có dạng như sau đối với hạt (hay hệ h2 hạt) ở dạng thái dừng: − +V = E (*) 82m Trong đó: V: thế năng của hạt tại toạ độ x,y,z E: năng lượng toàn phần của hạt trong toàn hệ ∆: toán tử Laplace: 2 2 2 = + + x2 y2 z2 m: khối lượng của hạt Trong trường hợp tổng quát có thể viết phương trình Schrodinger dưới dạng: Hψ = Eψ Trạng thái dừng là trạng thái mà năng lượng của hệ không phụ thuộc thời gian nghĩa là E của hệ không đổi. Khi giải phương trình Schrodinger ta sẽ thu được các hàm sóng ψ mô tả các trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử và các giá trị năng lượng E ứng với các hàm ψ đó. c. Kết quả giải phương trình sóng Schrodinger Bài toán đơn giản nhất được các nhà khoa học thực hiện là bài toán của nguyên tử hydrogen. Trang 6
Trang 9
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Sau khi xây dựng hàm thế năng và đưa vào phương trình (*) người ta giải phương trình này và thu được hàm sóng ψ n, l, ml nghiệm của phương trình sóng mô tả trạng thái chuyển động của electron nguyên tử gọi là orbital nguyên tử. Khi giải phương trình này, người ta nhận được đồng thời các cặp nghiệm E và ψ cùng các đại lượng vật lý xác định hàm ψ, đặc trưng cho trạng thái và vị trí chuyển động của electron trong nguyên tử đó là các số lượng tử n, l, ml. Ứng với một giá trị của E có một hàm sóng ψ, mỗi tổ hợp (E, ψ) đặc trưng cho một trạng thái của electron. Trường hợp nhiều hàm ψ cùng ứng với một giá trị năng lượng E thì ta gọi là có sự suy biến năng lượng. 1.3. Mô hình hộp thế a. Hộp thế một chiều Ta giả thiết có một vi hạt (electron) chuyển động tự do theo một phương x trên một đoạn thẳng OA = a, giới hạn bởi x = 0 và x = a, thế năng không đổi U = 0, ở O và A là thành của giếng có U = ∞. Do đó, hạt chỉ có thể chuyển động tự do trong khoảng OA trong giếng (hình 1). Hình 1. Hộp thế một chiều Bài toán này gọi là bài toán “hạt trong giếng thế” hay “hộp thế một chiều”. 82m ( ) Phương trình sóng Schrodinger có dạng: + E −U = 0 (1) h2 d2 Trong đó: U = 0, = (vì hạt chỉ chuyển động trên phương x) dx2 d2 82m Phương trình (1) có dạng: + E = 0 dx2 h2 82m Đặt k2 = E = 0 (2) h2 Trang 7
Trang 10
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế d2 Ta có: + k2 = 0 dx2 Đây là phương trình vi phân cấp hai, nghiệm của phương trình có dạng: = Asin kx+ Bcoskx (3) (x) Biểu thức này phù hợp với mô hình trên với điều kiện biên 0 ≤ x ≤ a và tại x = 0 và x = a không có hạt, nghĩa là 2 = 0 , do đó . (x) ( ) = 0 x * x = 0 → = 0 hay = Asin k.0 + Bcosk.0 = 0 (0) Vì sin(0) = 0 và cos(0) = 1 nên B = 0. Phương trình (3) có dạng: = Asin kx (4) (x) * x = a → = 0 hay = Asin ka = 0 , do đó k.a = nπ (a) Hay n (n = 1, 2, 3, …) (5) k = a Như vậy (3) trở thành: n (6) ( ) = Asin x x a A là một số bất kỳ, tuy nhiên nó phải được chọn sao cho nghiệm phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng. a a n (2x)dx =1 hay A2 sin 2 xdx =1 (7) a 0 0 Đặt làm biến mới, .a ; a . Thay vào (7) ta có: = x x = dx = d a n .a a A2.a 1= A2 sin2 d = sin2 nd a 0 0 Mà sin 2 nd = 2 0 Do đó: 2 2 và ( ) 2 x A2 = → A = x = sin n a a n a a Hàm sóng ( )x phụ thuộc vào số nguyên n = 1, 2, 3, … gọi là số lượng tử. n n2 2 k2h2 n2h2 Từ (5) ta có: k2 = , kết hợp với (2) E = ta được E = a2 8 2m 8ma2 Ta thấy năng lượng E của hạt trong hộp thế phụ thuộc vào số nguyên n. Do đó, E chỉ nhận những giá trị gián đoạn, rời rạc, nghĩa là năng lượng của hạt bị lượng tử hóa. Trang 8
Trang 11
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế ( ) h2 Ứng với trạng thái x = Asin1 x ta có E =12 1 a 1 8ma2 Ứng với trạng thái ( ) ta có h2 x = Asin 2 x E = 22 2 a 2 8ma2 Ứng với trạng thái ( ) ta có h2 x = Asin 3 x E = 32 3 a 3 8ma2 Sự xuất hiện số lượng tử n và sự lượng tử hoá năng lượng là hệ quả tất yếu của việc giải phương trình Schrodinger trong trường hợp có điều kiện biên. Như vậy, với một giá trị của n ta có một hàm sóng đặc trưng cho một trạng n thái của hạt và có một sự phân bố mật độ xác suất xác định ứng với một giá trị năng lượng E xác định. Một ví dụ đơn giản nhất về ứng dụng của cơ học lượng tử là chuyển động của vi hạt trong hợp thế một chiều, độ rộng a. Sự chuyển động của vi hạt trong hộp thế một chiều áp dụng cho các khí như O2, N2, các electron π trong phân tử liên hợp π-π. n2h2 Năng lượng của hệ được tính theo công thức: E = n 8ma2 Trong đó, n là số tự nhiên khác 0 h là hằng số Planck m: khối lượng vi hạt (kg) a: chiều dài hộp thế đối với hệ liên hợp, a là chiều dài mạch carbon a = (N+1).lC-C. Đối với các phân tử có hệ liên hợp vòng, các mức năng lượng của electron n2h2 được tính theo phương trình: E = n 82m R2 e Trong trường hợp này, số lượng tử n là số nguyên có giá trị từ 0 đến và R là bán kính của vòng tính theo m. Khi áp dụng mô hình hộp thế vào các bài toán hữu cơ, ta cần chú ý những điểm sau: + Xác định chính xác số electron π (đôi khi cả p) của hệ liên hợp. + Ứng với mỗi mức năng lượng En nêu trên, người ta xác định được một orbital phân tử (viết tắt là MO-π) tương ứng, duy nhất. Sự phân bố electron π vào các MO-π cũng tuân theo các nguyên lý và quy tắc như sự phân bố electron vào các orbital của nguyên tử. Trang 9
Trang 12
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế + Chú ý các quy ước viết tắt orbital phân tử bị chiếm cao nhất (HOMO – Highest Occupied Molecular Orbital) và orbital phân tử không bị chiếm thấp nhất (LUMO – Lowest Unoccupied Molecular Orbital). b. Hộp thế hai chiều Trong trường hợp hạt bị nhốt trong giếng thế hai chiều với thế năng có dạng: ( ) 0khi0 x L ,0 y L U x = x y khix 0,x L , y 0, y L x y Phương trình Schrodinger cho hạt trong giếng thế hai chiều có dạng: d2 d2 ( ) ( ) − + x, y = E x, y 2mdx2 dy2 Ta giải phương trình này bằng phương pháp phân ly biến số: (x, y)= ( )x . ( )y ;E = E + E x y Lúc đó phương trình trên được tách thành hai phương trình cho trường hợp một chiều. d2 ( ) ( ) − . x = E x 2m dx2 x d2 ( ) ( ) − . y = E y 2m dy2 y Từ công thức của năng lượng và hàm sóng trong trường hợp giếng thế một chiều ta được năng lượng va hàm sóng trong giếng thế hai chiều như sau: 22 n2 n2 E = E + E = x + y nxny nx ny 2m L2 L2 x y ( ) 4 n x n y x, y = sin x sin y nxny L L L L x y x y Khi giếng thế là hình vuông, cạnh L thì: 22 ( ) E = n2 + n2 nxny 2m x y ( ) 2 n x n y x, y = sin x sin y n n L L L x y Giá trị năng lượng ứng với 4 mức đầu tiên: 22 522 422 522 E = ; E = E = ; E = ; E = E = 11 mL2 12 21 2mL2 22 mL2 13 31 mL2 Trang 10
Trang 13
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Ta thấy rằng, mức năng lượng E11 không suy biến, hàm sóng tương ứng là: ( ) 2 x y x, y = sin sin 11 L L L Mức năng lượng E12 hoặc E21 suy biến bội 2 ứng với hai hàm sóng: ( ) 2 x 2y và ( ) 2 2x 2y x, y = sin sin x, y = sin sin 12 L L L 21 L L L c. Hộp thế ba chiều Hình 2. Hộp thế ba chiều Ở hộp thế ba chiều, hạt vi mô chuyển động tự do trong một không gian hữu hạn hình hộp có các cạnh là a, b, c. Ngoài khu vực này thế năng tăng vô tận, do đó hạt không vượt khỏi giới hạn đó. Khi đó, vận tốc ν có thể phân tích thành 3 thành phần v ,v ,v và x y z năng lượng được coi bằng tổng của 3 số hạng và mỗi số hạng chỉ phụ thuộc vào một tọa độ: E = E + E + E x y z Từ đó có thể đặt: = . . (x,y,z) (x) (y) (z) Thay tích trên vào phương trình: 2 2 2 82m + + + E = 0 x2 y2 z2 h2 Ta có: d2( ) d2( ) d2( ) 82m ( ) x + y + z + E + E + E = 0 (y) ( )z dx2 ( )z (x) dy2 (x) (y) dz2 h2 x y z (x) (y) ( )z Chia tất cả cho . . ta có: (x) (y) (z) 1 d2( ) 1 d2( ) 1 d2( ) 82m( ) x + y + z + E + E + E = 0 dx2 dy2 dz2 h2 x y z (x) (y) ( )z Phương trình nay coi như là tổng của ba phương trình giống như phương trình của bài toán hộp thế một chiều đã xét. Trang 11
Trang 14
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế d2( ) 8 2m x + E = 0 dx2 h2 x (x) d2( ) 82m y + E = 0 dy2 h2 y (y) d2( ) 8 2m z + E = 0 dz2 h2 z (z) Ba phương trình trên có nghiệm lần lượt là: n x n2h2 ( ) = A .sin x ;E = x (nx = 1, 2, 3, …) nx x x a n 8ma2 n y n2h2 ( ) = A .sin y ;E = y (ny = 1, 2, 3, …) ny y y b n 8mb2 n z n2h2 ( ) = A .sin z ;E = z (nz = 1, 2, 3, …) nz z z c n 8mc2 h2 n2 n2 n2 Do đó: ( ) = ( ). ( ). ( ) và E = E + E + E = x + y + z nxnynz x,y,z nx x ny y nz z x y z 8m a2 b2 c2 Như vậy, hàm sóng và năng lượng của hạt trong hộp thế ba chiều phụ thuộc vào ba số lượng tử nx, ny, nz. Số các số lượng tử bằng số bậc tự do nghĩa là bằng số thành phần độc lập của chuyển động. Điều này lý giải tại sao khi xét bài toán về electron trong nguyên tử (không gian ba chiều) lại thấy xuất hiện ba số lượng tử (n, l, m). 2. Bài tập vận dụng 2.1. Bài tập có hướng dẫn giải Bài 1. Một electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080nm để kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế. Hướng dẫn giải Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3. hc (32 −22 )h2 = = E = 8m L2 e 6,626.10−34.3.108 (32 −22 )(. 6,626.10−34 )2 = → L = 3,5.10−9 (m) 8080.10−9 8.9,11.10−31.L2 Bài 2. Tính bước sóng của một bức xạ điện từ cần để kích thích một electron từ trạng thái cơ bản lên mức năng lượng n = 5 trong một hộp thế một chiều dài 40.0 pm. Hướng dẫn giải Trang 12
Trang 15
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế n2h2 h2 ( ) 24h2 E = ;E = E − E = 52 −12 = n 8mL2 5 1 8mL2 8mL2 24.(6,626.10−34 )2 E = = 9,04.10−16 (J) 8.9,11.10−31.(40,0.10−12 )2 hc hc 6,626.10−34.3.108 E = → = = = 2,20.10−10(m) = 0,220(nm) E 9,04.10−16 Bài 3. Điều gì sẽ xảy ra với các mức năng lượng của một electron bị giữ trong một hộp thế một chiều khi chiều dài hộp thế tăng lên? Dự đoán mức năng lượng ở trạng thái cơ bản của electron trong một hộp thế một chiều độ dài 10-6 m sẽ thấp hay cao hơn so với trong hộp thế 10-10 m? Hướng dẫn giải Theo công thức khi L tăng lên thì En sẽ giảm và khoảng cách giữa các mức năng lượng cũng sẽ giảm. Vậy năng lượng mức trạng thái cơ bản của electron trong hộp thế 10-6 m sẽ thấp hơn so với hộp thế 10-10 m. Bài 4. Giả thiết một hộp thế một chiều với độ rộng a = 10 nm có một vi hạt chuyển động được mô tả bằng hàm sóng: 2 n (x) = sin x n a a , với n = 1 Hãy xác định xác suất tìm thấy vi hạt cho các trường hợp sau đây: a. Giữa x = 4,95 nm và 5,05 nm b. Giữa x = 1,95 nm và 2,05 nm c. Giữa x = 9,90 nm và 10,00 nm d. Ở chính giữa a e. x ở 1/3a Hướng dẫn giải Xác suất P là d 2 d 2 d 1 2 P(c,d) = 2dx = sin2 xdx= 1−cos xdx a a a 2 a c c c 1 a 2 d d −c 1 2 2 = x − sin x = − sin d −sin c a 2 a a 2 a a c a. Trang 13
Trang 16
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế 0,10 1 2.5,05 2.4,95 1 ( ) P( ) = − sin −sin = 0,010− −0,03141−0,03141 = 0,002 4,95;5,05 10 2 10 10 2 b. 0,10 1 2.2,05 2.1,95 P( ) = − sin −sin = 0,007 1,95;2,05 10 2 10 10 Tính tương tự ta có: P =6,56.10−6 c. (9,90;10,0) d. P( ) = 0,5 5,00;10,0 1 1 2 2 2 1 P = − sin . a −sin . a 1 2 3 2 a 3 a 3 e. a; a 3 3 Sau khi biến đổi và triển khai ta thu được: P = 0,61 Bài 5. Hãy xác định xác suất tìm thấy electron ở giữa 0,49 L và 0,51 L chuyển động trong hộp thế một chiều với độ rộng của giếng là L cho các trường hợp sau: a. n = 1 b. n = 2 Giả thiết hàm sóng mô tả electron đối với trường hợp này được xem là hằng số trong khoảng 0,49 L ÷ 0,51L. Hướng dẫn giải a. Xác suất tìm thấy electron trong hộp thế được biểu diễn bằng 0,51L P = n2dx =n2x 0,49L vì hàm là const Ta lại có: 2 1/2 = sin n x L L 2 1 2 2 2 = sin 2 sin 2 . L = sin 2 = 1 L L L 2 L 2 L Với n = 1 ta có: 1 x = L Vì ở giữa nên 2 Vậy xác suất tìm thấy electron trong hộp thế sẽ là 2 2 ( ) 2 P = x = 0,51−0,49 L = .0,02L = 0,04 1 L L Trang 14
Trang 17
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế 2 2 1 2 2 = sin 2 2 x = sin 22. . L = sin 2 = 0 2 L L L L 2 L b. Với n = 2 ta có: Vậy P = 2x = 0 2 Bài 6. Cho phân tử C2H4. a. Tính năng lượng của 2 electron π ở trạng thái cơ bản. b. Tính bước sóng ánh sáng cần thiết để kích thích từ HOMO lên LUMO. Hướng dẫn giải n2h2 a. Năng lượng e trong hộp thế: E = n 8mL2 Ở đây 2e ở phân mức n = 1. L = (N + 1).d = (1 + 1).1,4 = 2,8A°. n2h2 (6,626.10−34)2 E = = n2. = n2.7,684.10−19(J) n 8mL2 8.9,11.10−31.(2,8.10−10 )2 Ta có: Năng lượng của 2e: E( ) =12.7,684.10−19(J) =7,684.10−19(J) 1e E = 2E = 2.7,684.10-19 = 15, 368.10-19 (J) hệ b. 1e ở trạng thái: E = 7,684.10-19 (J) HOMO E = 22.E = 4. 7,684.10-19 = 30,736.10-19 (J) LUMO o Để dịch chuyển 1e từ HOMO lên LUMO cần: hc hc E = E − E = → = LUMO HOMO E 6,626.10−34.3.108 = ( ) =8,623.10−8(m) =86,23(nm) 30,736−7,684 ,10−19 Bài 7. a. Xét 1(mg) Na, giả sử các nguyên tử này tạo thành a mạch 1 chiều. Hãy tính hiệu năng lượng giữa mức HOMO và LUMO mức n = 1. Biết rằng L = a0(N-1) với a0 = 0,36nm, N là số nguyên tử Na. b. Giả sử nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25 meV. Có bao nhiêu nguyên tử Na thỏa mãn điều kiện hiệu năng lượng giữa các mức HOMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng? Hướng dẫn giải a. electron chuyển động trong mạch 1 chiều tạo bởi các nguyên tử Na có thể coi là vi hạt chuyển động trong hộp thế 1 chiều có chiều dài L = a0(N-1). Số nguyên tử Na trong 1 mg: Trang 15
Trang 18
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế m 1,00.10−3 N = Na N = 6,022.1023. = 2,618.1019 Na 23 A 23 (nguyên tử). Mức năng lượng HOMO trong trường hợp N chẵn N coi như bằng mức n = Na HOMO 2 năng lượng LUMO trong trường hợp N lẻ N +1 . n = Na HOMO 2 Hiệu năng lượng giữa mức HOMO và mức n =1: N 2 ( ) Na −1.h2 n2 −12 h2 2 E = HOMO = 8mL2 8ma (N −1)2 o Na 2,618.1019 2 ( ) −1. 6,626.10−34 2 2 E = =1,163.10−19(J) 8.9,11.10−31 (0,36.10−9 )(. 2,618.1019 −1)2 b. Đặt N là số nguyên tử Na tạo thành mạch dài thỏa mãn hiệu năng lượng giữa hai mức HUMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25meV (4,005.10-21(J)). Độ dài mạch L = a0(N-1). * Xét trường hợp N chẵn: Mức năng lượng HOMO của hệ là mức N và LUMO là N +1 2 2 N 2 N 2 + +1 .h2 2 2 (N +1)(6,626.10−34 )2 E = → 4,005.10−21 = HOMO−LUMO 8mL2 8.9,11.10−31(0,36.10−9(N −1))2 →N =120 * Xét trường hợp N lẻ: Mức năng lượng HOMO của hệ là mức N +1và LUMO là N +1 +1 2 2 N +12 N +1 2 + +1 .h2 2 2 E = HOMO−LUMO 8mL2 (N + 2)(6,626.10−34 )2 → 4,005.10−21 = 8.9,11.10−31(0,36.10−9 (N −1))2 → N =121 Bài 8. Viết giản đồ năng lượng cho buta-1,3-diene. Xác định các HOMO và LUMO. Trang 16
Trang 19
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế Viết biểu thức tính năng lượng của 4e không định cư của buta-1,3-diene. Hướng dẫn giải Phân tử buta-1,3-diene: CH =CH-CH=CH có 4e- - π → có 4Moπ. 2 2 Các e- - π lần lượt chiếm các mức năng lượng như hình bên dưới. Năng lượng của 6e π: E = 2E1 + 2E2 + 2E3 = 2(E1 + E2 + E3) n2h2 6,626.10−34 J.s ( ) 6,626.10−34 J.s Ta có: E = = n2 = 212 +22 +32 . n 8mL2 8.9,11.10−31kg.L2 8.9,11.10−31kg.L2 Bài 9. Giả sử rằng một electron bị giới hạn trong một hộp có chiều dài 1,50 nm. Tính ba mức năng lượng thấp nhất cho electron này, và tính bước sóng của ánh sáng cần thiết để thúc đẩy điện tử từ trạng thái cơ bản đến trạng thái kích thích đầu tiên. Hướng dẫn giải Để tính các mức năng lượng này ta cần thay các giá trị vào biểu thức năng lượng: n2h2 E = với khối lượng của electron là 9,1110-31 kg n 8mL2 Kích thước của hộp L = 1,50 nm = 1,5.10-9 m Giá trị của hằng số Plank là 6,626.10-34 J.s. (6,626.10−34 )2 Với n = 1: E =12. ( ) = 2,68.10−20(J) 1 8.9,11.10−31 1,5.10−9 2 Trang 17
Trang 20
Chuyên đề: Hạt chuyển động trong hộp thế n2h2 Lưu ý rằng vì: E = = n2E . Do đó ta có: n 8mL2 1 h2 E = 22. = 4E và E3 = 9E1 2 8mL2 1 Để tính được bước sóng ánh sáng cần để kích thích e từ n = 1 đến n = 2 trước hết ta cần tính được chênh lệch mức năng lượng: ( 2 2 ) h −20 −20 E = E − E = n −n . = 3.2,68.10 =8,04.10 (J) 2 1 2 1 8mL2 hc hc 6,626.10−34.3.108 E = → = = = 2,47.10−6(m) = 2470(nm) E 8,04.10−20 Bài 10. Dựa vào kết quả của biêu thức năng lượng tính được từ mô hình hộp thế một chiều, hãy xác định giá trị năng lượng của 8 electron được giải toả đều trên toàn khung phân tử octadiene, biết khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử carbon là 1,4A° và 8 electron chiếm 4 mức năng lượng ở trạng thái cơ bản. Cho h = 6,62.10-34 Js; m = 9,1.10-31 kg. Hướng dẫn giải Khung phân tử octadiene được viết như sau: C = C - C = C - C = C - C = C Các e- được giải toả trên toàn khung L = (N + 1).1,4A° là chiều dài hộp thế. N là số nguyên tử C trong mạch. n2h2 Áp dụng công thức tính năng lượng cho hộp thế một chiều: E = n 8mL2 Thay các giá trị tương ứng vào biểu thức ta có: n2h2 (6,62.10−34)2 E = = n2. = n2.4,80.10−20(J) n 8mL2 8.9,1.10−31.(11,2.10−10 )2 Do trên mỗi một mức năng lượng ở trạng thái cơ bản có hai electron nên năng lượng của 8 electron trong phân tử octatetraene là: ( ) h2 h2 E = 2.12 +2.22 +2.32 +2.42 = 60. n 8mL2 8mL2 Trang 18
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!