Trang 1
MỤC LỤC A. Phần MỞ ĐẦU...........................................................................................................3 1. Lý do chọn đề tài................................................................................................3 2. Mục đích của đề tài.............................................................................................3 B. Phần NỘI DUNG........................................................................................................4 I. Phần cơ sở lý thuyết.....................................................................................................4 1. Hàm sóng de Broglie..........................................................................................4 2. Phương trình Schrodinger...................................................................................5 3. Ứng dụng của phương trình Schrodinger...........................................................6 3.1. Hộp thế 1 chiều...........................................................................................7 3.2. Hộp thế 2 chiều.........................................................................................10 3.3. Hộp thế 3 chiều..........................................................................................11 3.4. Giếng thế tròn............................................................................................13 3.5. Hiệu ứng đường ngầm...............................................................................13 II. Phần bài tập..............................................................................................................15 1. Hộp thế một chiều.............................................................................................16 2. Hộp thế hai chiều..............................................................................................28 3. Hộp thế ba chiều...............................................................................................38 4. Giếng thế tròn..............................................................................................44 5. Hiệu ứng đường ngầm......................................................................................50 6. Bài tập tự luyện.................................................................................................54 C. Phần KẾT LUẬN.....................................................................................................59 1. Rút ra những vấn đề quan trọng của đề tài.......................................................59 2. Đưa ra những đề xuất, ý kiến............................................................................59 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................60 PHỤ LỤC......................................................................................................................61
Trang 2
“Hạt chuyển động trong hộp thế” A. Phần MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nội dung về hoá lượng tử và ứng dụng của hoá lượng tử trong nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử, các phản ứng hoá học đã được đề cập nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Hóa học Quốc gia và Olympic Hóa quốc tế. Việc dạy và học môn Hóa ở các lớp chuyên Hóa, việc bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia, mục tiêu nâng cao thành tích thi Olympic Hóa quốc tế, đang gặp nhiều khó khăn, đặc biệt trong vấn đề tìm kiếm tài liệu các chuyên đề chuyên sâu. Bài toán hạt chuyển động trong hộp thế đã xuất hiện rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi quốc tế, học sinh giỏi quốc gia và khu vực. Tuy nhiên các bộ sách cho lớp chuyên hoá, các sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hoá, tài liệu tham khảo môn hoá học chủ yếu trình bày các nội dung lý thuyết mà ít có bài tập vận dụng hoặc chỉ ở mức đơn giản. Các hệ thống bài tập, các dạng bài tập, sự phân hóa bài tập chưa có được đầy đủ và phong phú, chưa có cập nhật với bối cảnh thực tế. Trong những năm qua, giáo viên dạy các lớp chuyên hóa và đội tuyển học sinh giỏi hoá gặp rất nhiều khó khăn, phải tự mò mẫm tìm bài cho đủ dạng, đủ loại để tiến hành bồi dưỡng cho học sinh. Trong dự thảo “chương trình giáo dục nâng cao môn hoá học” của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành năm 2025, có chuyên đề “bài toán hạt chuyển động tự do trong giếng thế” với yêu cầu cần đạt: trình bày được mô hình hạt chuyển động trong hộp thế một chiều; nêu được biểu thức tính năng lượng và hàm sóng hay còn gọi là orbital phân tử; … Điều đó một lần nữa cho thấy sự quan trọng của nó. Từ thực tế trên, việc soạn thảo những chuyên đề chuyên sâu cho giảng dạy học sinh giỏi quốc gia, quốc tế; đặc biệt là chuyên đề “hạt chuyển động trong hộp thế” là rất là cần thiết trong bối cảnh hiện tại. 2. Mục đích của đề tài Với lý do đã nêu trên, chúng ta thấy được mục đích xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập nâng cao, chuyên sâu từng vấn đề, cập nhật kiến thức khoa học và các dạng bài tập để bồi dưỡng học sinh tham dự đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia và đặc biệt là thi học sinh giỏi Quốc tế. Nội dung viết chuyên đề trại hè phương nam năm 2025: “hạt chuyển động trong hộp thế” là một trong những dự án góp phần vào công cuộc chung đó. 2
Trang 3
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Với đề tài “hạt chuyển động trong hộp thế” tôi mong muốn mang đến cho học sinh đội tuyển hoá và giáo viên giảng dạy học sinh giỏi môn hoá: (1) có một tài liệu tham khảo mang tính hệ thống; (2) giúp giáo viên và học sinh khi bắt đầu nghiên cứu chuyên đề này có thể dễ dàng nắm bắt kiến thức, hiểu bản chất cốt lõi của vấn đề; (3) giúp giáo viên và học sinh có hệ thống bài tập vận dụng để ôn luyện. B. Phần NỘI DUNG Học sinh sẽ học chuyên đề này sau khi học chuyên đề “ánh sáng và vật chất”, “nguyên tử - cấu hình electron”, “cấu trúc phân tử - liên kết hoá học”, thuyết orbital phân tử và ứng dụng” để có thể lĩnh hội kiến thức một cách tốt nhất. I. Phần cơ sở lý thuyết 1. Hàm sóng de Broglie Vào năm 1924, nhà vật lý người Pháp Louis de Broglie đã đưa ra một giả thuyết về lưỡng tính sóng hạt. Từ suy nghĩ cho rằng các lượng tử ánh sáng, hay photon, vừa mang tính chất sóng, vừa mang tính chất hạt, de Broglie cho rằng các hạt thông thường cũng mang tính chất sóng. Sóng de-Broglie đặc trưng cho chùm hạt tự do có dạng: với p – xung lượng, E – động năng, ℏ – hằng số Planck. Giữa xung lượng và năng lượng lại có mối liên hệ: Sóng de-Broglie có các đặc điểm: i. Sóng de-Broglie là một sóng điều hoà hình sin, có bước sóng và tần số liên hệ với xung lượng và năng lượng. ii. Hướng lan truyền của sóng cũng chính là hướng chuyển động của chùm hạt. iii. Sóng de-Broglie đặc trưng cho sự xác định của xung lượng và năng lượng, có nghĩa tất cả các hạt đều có cùng một giá trị xung lượng và năng lượng. 3
Trang 4
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Hình 1: Sóng de-Broglie Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã suy ra lưỡng tính sóng hạt cho electron và các vi hạt khác. Giả thiết de Broglie: một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc. Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng thông qua hệ thức: E = hν hay E = ħω. Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng tương ứng theo hệ thức: p = h/λ hay ⃗p = ħk⃗ trong đó k ⃗ là vectơ sóng, có phương, chiều là phương, chiều truyền sóng, có độ lớn k = 2π/λ. Sóng de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt. 2. Phương trình Schrodinger Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt được miêu tả qua hàm sóng ψ(x,t) luôn biến chuyển theo thời gian. Để tiên đoán trạng thái tương lai, ta cũng cần một phương trình cơ bản, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ điển. Trước khi đưa ra dạng của phương trình cơ bản, ta cần biết rằng hàm sóng de- Broglie nhất định phải là nghiệm phương trình này, bởi lẽ sóng de-Broglie tự thân nó có thể chạy mà chẳng cần đến một tiên đoán nào cả. Bằng phép đạo hàm sóng de-Broglie (1) theo thời gian và toạ độ: Kết hợp (2), (3) và (4) thu được phương trình: 4
Trang 5
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Trong trường hợp tổng quát khi hạt chuyển động trong trường thế U(x): Vế trái của phương trình (5) chứa đạo hàm của trạng thái theo thời gian, có nghĩa rằng, từ trạng thái ψ(x,t) của hiện tại có thể dự đoán trạng thái tại mọi thời điểm sau đó thông qua việc giải phương trình vi phân. Phương trình (5) do Schrodinger đề xuất vào năm 1926, đóng vai trò chủ đạo trong cơ học lượng tử. Tuy vừa được suy ra theo logic từ tính chất mặc nhiên của sóng de-Broglie, nhưng phương trình Schrodinger được xem như một tiên đề, không chứng minh, xem như đúng với mọi loại hàm sóng ψ(x,t). Thực nghiệm đã thừa nhận tính đúng đắn của phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử. Phương trình schrodinger là phương trình cơ bản cho hệ vi mô, nó không những khảo sát cho nguyên tử mà sau đó Heitler - Londons và Hund - Muliken còn dùng nó làm công cụ để khảo sát các phân tử. Việc giải phương trình sóng schrodinger là một việc rất phức tạp và thông thường người ta chỉ khảo sát bằng bài toán áp dụng. Dưới đây là ứng dụng phương trình Schrodinger trong những bài toán cụ thể: hạt trong giếng thế. 3. Ứng dụng của phương trình Schrodinger Ta giả thiết có một vi hạt (electron, phân tử, ion) chuyển động tự do (U = 0) trong một khu vực không gian hữu hạn, thí dụ trong một không gian hình hộp với cạnh a, b, c và ngoài khu vực này, do có một trường lực đặc biệt nào đó, U tác dụng lên hạt tăng lên vô tận do đó hạt không thể vượt ra khỏi giới hạn trên (vì muốn vượt ra khỏi khu vực này, hạt phải có năng lượng vô cùng lớn). Mô hình trên có thể được hình dung như một chiếc hộp giới hạn bởi “thành” thế năng và được gọi là hộp thế. Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electron trong mạng tinh thể hay nucleon trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong giếng thế năng. 5
Trang 6
“Hạt chuyển động trong hộp thế” 3.1. Hộp thế 1 chiều Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế (Hình 1). Thế năng U được xác định theo điều kiện: Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng. Hình 2. Hộp thế một chiều Nếu giả thiết hạt chỉ chuyển động trên một phương x và trong một khu vực từ 0 đến x có khoảng cách bằng a ta có mô hình hộp thế một chiều. Một hệ được mô tả như trên có vẻ không thực tế về mặt vật lý. Tuy nhiên chúng ta sẽ thấy rằng đây là một mô hình có thể áp dụng cho các phân tử liên hợp (phân tử có electron π có thể di chuyển trên toàn bộ phân tử ví dụ butadiene, benzene, …) Bài toán hạt chuyển động tự do trong hộp thế một chiều Đây là vi hạt, do vậy để giải quyết bài toán này cũng phải dựa trên tiên đề về hàm sóng - cụ thể trên phương trình sóng Schrodinger. Tức là chúng ta cần xác định: i. hàm sóng ψ của hạt theo phương x. ii. tìm hiểu mật độ xác suất tìm thấy hạt trong khoảng OA. iii. mức năng lượng của hạt ứng với một số trạng thái của hạt. 6
Trang 7
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng: (6) Vì chỉ xét chuyển động của hạt theo phương Ox nên hàm sóng chỉ phụ thuộc vào x. Khi đó: hay (7) Vì việc giải phương trình sóng Schrodinger cho bài toán về nguyên tử rất phức tạp. Do đó trong cơ học lượng tử người ta đưa ra mô hình này và giải bài toán trong trường hợp đơn giản đó để: + tập sử dụng các nguyên lý, tiên đề. + cụ thể hóa ý nghĩa và biết cách giải quyết vấn đề của cơ học lượng tử. Dùng phương trình sóng Schrodinger cho mô hình giếng thế một chiều, khi giải phương trình ta được kết quả sau (lời giải chi tiết ở phụ lục): Hàm sóng: với n =1,2,3… Ψ(x) = √2sinnπ x (8) a a Năng lượng: (9) Trong đó, h là hằng số Planck; m là khối lượng của vi hạt; a là chiều dài hộp thế. Ví dụ: + n = 1: ψ1 = √2sinπ x và E1 = h2 a a 8ma2 + n = 2: ψ2 = √2sin2π x và E2 = h2 = 4 E1 a a 2ma2 + n = 3: ψ3 = √2sin3π x và E3 = 9h2 = 9 E1 a a 8ma2 + … Từ đó ta có các đồ thị tương ứng với các hàm sóng ψi, các mật độ xác suất tìm thấy hạt vi mô ψ2 và các mức năng lượng Ei tương ứng (hình 3). 7
Trang 8
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Hình 3. Hàm sóng ψ, mật độ xác suất tìm thấy hạt vi mô ψ2 và các mức năng lượng Ei tương ứng. Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau: a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng ψ (x) n b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa. π2 ℏ2 Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu E = ≠0 ứng với hàm sóng 1 2ma2 ψ =√2 sin π x, mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1(x) khác 1 a a không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 3). Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1 bằng: 8
Trang 9
“Hạt chuyển động trong hộp thế” π2 ℏ2 ΔE =E −E = (2n+1) (10) n n+1 n 2ma2 ΔEn càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electron m = 9,1.10-31kg, a ~ 5.10- 10m thì ΔE ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một hạt có m ~10-26kg chuyển động trong miền a~10cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE~10-20eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến thiên liên tục. c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: ¿ψ (x)¿2=2 sin2 nπ x n a a (11) Mật độ xác suất cực đại khi: sin( nπ x)=±1. a Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại:x=(2m+1) a <a 2n m = 0,1,2… 3.2. Hộp thế 2 chiều U = 0 bên trong vùng {0<x<a 0< y<b U = ∞ ở những nơi khác Hình 4. Hộp thế hai chiều Tương tự trong hộp thế 1 chiều, xét hai phương x và y, từ (6) ta có: Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp hộp thế một chiều mà ta đã biết với năng lượng toàn phần E = Ex + Ey 9
Trang 10
“Hạt chuyển động trong hộp thế” n2 h2 E = x (n = 1, 2, 3, …) x 8ma2 x n2 h2 E = y (n = 1, 2, 3, …) y 8mb2 y n2 h2 n2 h2 Như vậy năng lượng của hệ: E = Ex + Ey = x + y 8ma2 8mb2 h2 n2 n2 E= ( x + y ) (12) 8m a2 b2 Hình 5. Hàm sóng của giếng thế hai chiều (nx = 4; ny = 4) 3.3. Hộp thế 3 chiều U = 0 bên trong vùng {00<<xy<<ab 0<z<c U = ∞ ở những nơi khác Tương tự, xét 3 chiều x, y, z trong hộp thế ba chiều ta có: Hình 6. Hộp thế ba chiều Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của vi hạt: E = Ex + Ey + Ez n2 h2 E = x (n = 1, 2, 3, …) x 8ma2 x n2 h2 E = y (n = 1, 2, 3, …) y 8mb2 y 10
Trang 11
“Hạt chuyển động trong hộp thế” n2 h2 E = z (n = 1, 2, 3, …) z 8mc2 z n2 h2 n2 h2 n2 h2 Như vậy năng lượng của hệ: E = Ex + Ey + Ez = x + y + z 8ma2 8mb2 8mc2 h2 n2 n2 n2 E= ( x + y + z ) (13) 8m a2 b2 c2 Sự suy biến Xét hộp có dạng hình lập phương, a = b = c. Khi đó các mức năng lượng được xác định bởi h2 n2 n2 n2 h2 E= ( x + y + z ) = (n2 +n2 + n2) (14) 8m a2 b2 c2 8ma2 x y z Năng lượng thấp nhất hay năng lượng điểm không của hạt ứng với trạng thái nx = ny = nz = 1, là h2 E =¿ 3. 111 8ma2 Các mức năng lượng tiếp theo thu được khi tăng dần các giá trị nx, ny, nz. Ví dụ, khi tăng một số lượng tử lên 2, giữ nguyên hai số lượng tử còn lại là 1, ta sẽ có ba giá trị E211, E121, E112. Với bộ ba số lượng tử (1, 1, 2) thì n2 +n2 + n2) = 6 x y z h2 Do đó: E = E = E = 6. 211 121 112 8ma2 Tương tự, với bộ ba số lượng tử (1, 1, 3) thì h2 E311 = E131 = E113 = 11. 2 8ma Bảng 1: Một số mức năng lượng thấp nhất của hạt trong hộp 11
Trang 12
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Hình 7: Một số mức năng lượng thấp nhất của hạt trong hộp Bậc suy biến của một mức năng lượng là số trạng thái mà mức năng lượng đó có. Ví dụ: suy biến bậc ba là có ba trạng thái cùng mức năng lượng h2 E211 = E121 = E112 = 6. 2 8ma 3.4. Giếng thế tròn Một số phân tử có hệ vòng liên hợp π. Với các phân tử có sự phân bố electron π “vòng”, sự lượng tử hóa mức năng lượng được đưa bởi công thức: n2 h2 En= (15) 8mπ2 R2 trong đó n là số lượng tử chính (n = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, …); h là hằng số Planck; mlà khối lượng vi hạt; R là bán kính của giếng thế tròn. Trong trường hợp này, số lượng tử n có giá trị nguyên từ 0 đến ±∞ và R là bán kính của vòng. Không giống với vấn đề hạt trong hộp thẳng, vấn đề với vòng cho phép cả giá trị trị nguyên dương và âm cho n theo hoặc ngược chiều kim đồng hồ. Tương tự, đối với vấn đề của vòng n = 0 là trạng thái lượng tử cho phép. Benzene, Annulene và Coronene là những ví dụ của loại phân tử này. Ann ulene 3.5. Hiệu ứng đường ngầm Ta xét hạt mang năng lượng E, chuyển động theo phương x từ trái sang phải đập vào hàng rào thế năng (hình 8). Theo quan điểm của cơ học cổ điển, nếu E < U0 hạt không 12
Trang 13
“Hạt chuyển động trong hộp thế” thể vượt qua hàng rào. Theo quan điểm của cơ học lượng tử, ta sẽ thấy hạt vẫn có khả năng xuyên qua hàng rào thế năng. Hiện tượng xuyên qua hàng rào thế năng như vậy được gọi là hiệu ứng đường ngầm. Hình 8: Hàng rào thế hình chữ nhật Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp hàng rào thế năng dạng đơn giản như hình 8. Phương trình Schrodinger đối với các miền như sau: Bằng cách giải phương trình Schrodinger ở ba miền, với hệ số truyền qua hàng rào D (được định nghĩa là tỉ số giữa số hạt xuyên qua được hàng rào và số hạt đi tới hàng rào) ta thấy D luôn khác không ngay cả khi năng lượng E của hạt nhỏ hơn thế năng của hàng rào. Nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào. Nếu D lớn hạt xuyên qua rào nhiều và ngược lại, nhưng luôn khác không. D phụ thuộc vào bề rộng của hàng rào thế năng, D sẽ có giá trị đáng kể khi bề rộng của hàng rào thế năng nhỏ. Nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt trong kích thước vi mô. Hiệu ứng đường ngầm là một hiện tượng thể hiện rõ tính chất của sóng vi hạt, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô. Hiệu ứng đường ngầm cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng gặp phải trong tự nhiên. Ví dụ hiện tượng phát electron lạnh, hiệu ứng phân rã hạt α, ... Hiện tượng phát electron lạnh nghĩa là electron muốn thoát ra khỏi kim loại cần có đủ năng lượng thắng công cản, vượt qua hàng rào thế năng U0, như vậy ta cần phải nung nóng kim loại. Tuy nhiên, vì có hiệu ứng đường ngầm nên ngay ở nhiệt độ thường 13
Trang 14
“Hạt chuyển động trong hộp thế” dù E < U0 vẫn có khả năng electron thoát ra ngoài kim loại. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng phát electron lạnh. Hiện tượng phân rã α cũng được giải thích tương tự, hạt nhân nguyên tử gồm có các hạt proton và neutron. Trong hạt nhân, các hạt proton và neutron tương tác với nhau bằng lực hạt nhân, cho nên có thể xem như chúng nằm trong giếng thế năng. Hạt α gồm hai hạt proton và hai hạt neutron. Mặc dù năng lượng của hạt α nhỏ hơn độ cao rào thế nhưng do hiệu ứng đường ngầm hạt proton và neutron của hạt α vẫn có thể bay ra khỏi hạt nhân. Hiện tượng này gọi là hiện tượng phân rã α. II. Phần bài tập Khi áp dụng mô hình hộp thế vào các bài toán hữu cơ, ta cần chú ý những điểm sau: i. Xác định chính xác số electron π (đôi khi cả p) của hệ liên hợp. ii. Ứng với mỗi mức năng lượng En nêu trên, người ta xác định được một orbital phân tử (viết tắt là MO-π) tương ứng, duy nhất. Sự phân bố electron π vào các MO-π cũng tuân theo các nguyên lý và quy tắc như sự phân bố electron vào các orbital của nguyên tử. iii. Chú ý các quy ước viết tắt orbital phân tử bị chiếm cao nhất HOMO và orbital phân tử không bị chiếm thấp nhất LUMO. Giản đồ năng lượng MO: LUMO: MO không bị chiếm có NL thấp nhất LUMO HOMO: MO bị chiếm có NL cao nhất HOMO iv. Quy tắc màu bù: Nếu hấp thụ một màu, màu của vật sẽ là màu đối đỉnh của nó. Nếu hấp thụ một dải màu, màu của vật là màu trung bình của các màu còn lại. 14
Trang 15
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Hình 9: Ánh sáng nhìn thấy 1. Hộp thế một chiều Câu 1: Mô hình hạt trong hộp thế một chiều được xây dựng để giải gần đúng bài toán năng lượng của hệ liên hợp carbon mạch thẳng. Trong mô hình này, các electron π bất định xứ có thể di chuyển tự do trên khung carbon của các liên kết liên hợp. Chiều dài của hộp thế được tính gần đúng bằng công thức L = nC × 1,40 Å, trong đó nC là số lượng nguyên tử carbon của mạch liên hợp. Nguyên lý Pauli được áp dụng khi các electron được lấp đầy các mức năng lượng. Mức năng lượng của hạt trong hộp một n2 h2 chiều được tính bằng biểu thức: E = n 8mL2 Áp dụng mô hình trên cho phân tử 1,3,5,7-octatetraene, hãy: a) Vẽ sơ đồ mức năng lượng và điền các electron. b) Tính năng lượng tổng cộng cho hệ liên hợp nói trên theo J. c) Xác định bước sóng (theo nm) tương ứng với bước chuyển năng lượng giữa HOMO và LUMO. Cho biết: me = 9,10938215×10−31 kg; h = 6,6261×10–34J.s. Hướng dẫn a) Sơ đồ mức năng lượng: 15
Trang 16
“Hạt chuyển động trong hộp thế” E b) Năng lượng cho từng mức: h2 (6,62.10−34 )2 E = = =4,8029.10−20 J 1 8mL2 8.9,1.10−31 .(8.1,4.10−10)2 4 h2 4.(6,62.10−34 )2 E = = =1,9211.10−19 J 2 8mL2 8.9,1.10−31 .(8.1,4.10−10)2 9h2 9.(6,62.10−34 )2 E = = =4,3226.10−19 J 3 8mL2 8.9,1.10−31 .(8.1,4.10−10)2 16h2 16.(6,62.10−34 )2 E = = =7,6846.10−19 J 4 8mL2 8.9,1.10−31 .(8.1,4.10−10)2 25h2 25.(6,62.10−34 )2 E = = =1,2007.10−18 J 5 8mL2 8.9,1.10−31 .(8.1,4.10−10)2 Tổng năng lượng của hệ liên hợp π trên là: ET = 2 * (E1 + E2 + E3 + E4) = 2,8817×10-18 (J) (HS có thể áp dụng gộp công thức các mức khi tính ET, không nhất thiết phải tính từng mức) λ= hc =459,55.10−9(m)=459,55nm c) E −E 5 4 Câu 2: Một electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng ánh sáng hấp thụ với bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn. Hãy xác định mức năng lượng cao hơn (n) mà electron cần chuyển tới, biết rằng độ rộng của giếng thế là 10,0 nm. Cho: h = 6,626.10-34 J.s ; c = 2,9979.108 m/s; me = 9,109.10-31 kg. Hướng dẫn Phân tích: Áp dụng công thức tính năng lượng khi electron chuyển động trong giếng thế một chiều, ta có thể tìm được hiệu năng lượng giữa mức cao và mức cơ bản như sau: 16
Trang 17
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Kết luận: Như vậy, mức năng lượng n mà electron cần chuyển tới có giá trị là n = 5. Câu 3: Dựa vào mô hình giếng thế một chiều, hãy xác định năng lượng theo kJ/mol của 10 electron π được giải toả đều trên toàn khung phân tử decapentaene (C10H12), biết rằng khoảng cách trung bình giữa 2 nguyên tử carbon trong mạch là lC–C = 1,40 Å và 10 electron π chiếm 5 mức năng lượng ở trạng thái cơ bản. Độ dài giếng thế tính theo công thức gần đúng L = (N + 1).lC–C, với N là số nguyên tử C trong mạch. Hướng dẫn Phân tích: Phân tử decapentaene (C10H12), có thể biểu diễn như sau: Trong phân tử này có 10 nguyên tử carbon nên độ dài giếng thế sẽ là: L = (10 + 1).lC-C = 11.lC-C 10 electron π sẽ chiếm 5 mức năng lượng và được biểu diễn trên giản đồ năng lượng: 17
Trang 18
“Hạt chuyển động trong hộp thế” n2 h2 Áp dụng công thức tính năng lượng: E = , thay số vào ta sẽ có: n 8mL2 E = 2(12 + 22 + 32 + 42 + 52) E = 1680856 J/mol = 1680,8 kJ/mol 1 Câu 4: HSGQG - 2013 Chuyển động của electron π dọc theo mạch carbon của hệ liên hợp mạch hở được coi là chuyển động tự do của vi hạt trong hộp thế một chiều. Năng lượng của vi hạt trong hộp thế một chiều được tính theo công thức: n2 h2 E = n 8ma2 Trong đó, n = 1, 2, 3, …; h là hằng số Planck; m là khối lượng electron, m = 9,1.10-31 kg; a là chiều dài hộp thế. Đối với hệ liên hợp, a là chiều dài mạch carbon và được tính theo công thức: a = (N+1).lC-C.Ở đây N là số nguyên tử C; lC-C là độ dài trung bình của liên kết C-C. Ứng với mỗi mức năng lượng En nêu trên, người ta xác định được một orbital phân tử (viết tắt MO-π) tương ứng, duy nhất. Sự phân bố electron π vào các orbital phân tử cũng tuân theo nguyên lý và quy tắc như sự phân bố electron vào các orbital của nguyên tử. Sử dụng mô hình hạt chuyển động tự do trong hộp thế một chiều cho hệ electron của phân tử liên hợp mạch hở Octatetraene, hãy: a) Tính các giá trị năng lượng En (n = 1 ÷ 5) theo J. Biểu diễn sự phân bố các electron π trên các MO-π của giản đồ các mức năng lượng và tính tổng năng lượng của các electron π thuộc Octatetraene theo kJ/mol. Cho biết phân tử Octatetraene có lC-C= 1,4 Å. b) Xác định số sóng ν (cm-1) của ánh sáng cần thiết để kích thích một electron từ mức năng lượng cao nhất có electron (HOMO) lên mức năng lượng thấp nhất không có electron (LUMO). Hướng dẫn 18
Trang 19
“Hạt chuyển động trong hộp thế” Câu 5: Mức năng lượng của một electron trong hộp thế một chiều được cho bởi công thức: n2 h2 En = 2 8mL Trong đó n là số lượng tử (n = 1, 2, 3, …); h là hằng số Planck; m là khối lượng của electron và L là chiều dài của hộp. Các electron π trong phân tử mạch thẳng, liên hợp được coi như là trường hợp riêng của hạt trong hộp thế một chiều. Giả sử rằng, các electron π là không định vị (giải tỏa) trong toàn chiều dài phân tử với tổng số N electron π và sự sắp xếp của chúng tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử. Áp dụng mô hình của các electron π trong hộp một chiều cho β-carotene. Cho biết chiều dài hộp thế áp dụng cho β-carotene a = 1850 pm (là mạch carbon gồm 22 nguyên tử carbon có 10 liên kết đơn và 11 liên kết đôi liên hợp). Xác định bước 19
Trang 20
“Hạt chuyển động trong hộp thế” sóng cực đại cho sự hấp thụ ánh sáng của β-carotene. Cho biết β-carotene có màu hay không? Giải thích ngắn gọn? Hướng dẫn Electron chuyển động trong hệ nối đôi liên hợp của - carotene có thể coi là vi hạt chuyển động trong hộp thế 1 chiều. Tổng số MO - trong phân tử: 22 MO Giản đồ năng lượng: (hình bên) Phân tử - carotene sẽ hấp thụ ánh sáng có bước sóng phù hợp để kích thích electron nhảy từ mức HOMO (n =11) đến mức LUMO (n=12) LUMO Năng lượng của photon ánh sáng: HOMO(n=12) (n=11) (62−52).h2 (122−112).(6,626.10−34)2 E ε=ΔΕ = = =4,053.10−19 (J) HOMO−LUMO 8m .L2 −31 ( −12)2 e 8.9,1.10 . 1850.10 Bước sóng ánh sáng: c 3.108 ε=h =6,626.10−34 . =4,905.10−7 (m) λ 4,053.10−19 - carotene sẽ hấp thụ ánh sáng màu lam có màu vàng. Câu 6: Chuẩn bị IChO 42 – 2010 – Nhật Bản + Vòng 2 – 2014 (Phụ lục 2) Cấu trúc electron của vật liệu ngưng tụ thường là khác so với nguyên tử cô lập. Chẳng hạn, các mức năng lượng của chuỗi một chiều của các nguyên tử Na được biểu diễn ở các hình dưới đây: Các hình trên chỉ ra những sự thay đổi của mức năng lượng của các trạng thái bắt nguồn từ mức 3s của Na. Khoảng cách giữa các mức năng lượng giảm xuống khi số nguyên tử Na tăng lên. Khi số nguyên tử Na (N) vô cùng lớn thì khoảng cách giữa các mức năng lượng trở nên rất nhỏ, không đáng kể so với năng lượng nhiệt. Các electron 3s của Na đang chiếm cứ các mức năng lượng thấp có thể dời lên các mức năng lượng cao dẫn tới đặc tính của kim loại. Bởi vậy, các electron 3s có thể được coi là những hạt tự do chuyển động trong hộp thế một chiều. a) Năng lượng của các electron chuyển động tự do trong hộp thế một chiều được xác định theo hệ thức: 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!