Lý thuyết Điều khiển Tự động Phương trình trạng thái Trường Điện – Điện tử Đại học Bách Khoa Hà Nội GV: TS. Trịnh Hoàng Minh Hà Nội, 08/2021 Nội dung 1. Đại số ma trận 2. Phương trình trạng thái 3. Quỹ đạo trạng thái 2 Đại số ma trận 3 Vector Vector: 𝑢 = 𝑢1 𝑢1 ⋯ 𝑢𝑛 ⊤ = ⋮ ∈ ℝ𝑛 𝑢𝑛 Độc lập tuyến tính: một tập các vector 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 là ĐLTT nếu: 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0 khi và chỉ khi 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0. Ngược lại, 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 gọi là phụ thuộc tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính: 𝑦 = 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 Bao tuyến tính của 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 : span(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) Nếu span 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = ℝ𝑛 , thì 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 gọi là một cơ sở của ℝ𝑛 Với các vector 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 bất kỳ: dim span 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ≤ 𝑛 4 Ma trận Cột Ma trận: 𝑎11 𝑎21 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] = ⋮ 𝑎𝑛1 Nếu 𝑚 = 𝑛: 𝐴 là ma trận vuông 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎1𝑛 Hàng ⋯ 𝑎2𝑛 𝑚×𝑛 ⋱ ⋮ ∈ℝ ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Đường chéo chính Ma trận đường chéo: 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗. Kí hiệu 𝐴 = diag(𝑎𝑖𝑖 ). Ma trận đơn vị 𝐼𝑛 = diag(1, … , 1): ma trận đường chéo với 𝑎𝑖𝑖 = 1. Phép tính với ma trận: Phép cộng/trừ Phép nhân với số thực Phép chuyển vị: 𝐴⊤ = [𝑎𝑗𝑖 ]. Ma trận đối xứng: 𝐴 = 𝐴⊤ 𝑝 Phép nhân: Với 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑝 , 𝐵 ∈ ℝ𝑝×𝑛 thì 𝐶 = 𝐴𝐵 = [𝑐𝑖𝑗 ], 𝑐𝑖𝑗 = σ𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 5 Ma trận Ma trận trực giao: 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 là ma trận trực giao nếu 𝐴𝐴𝑇 = 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐼 Vector 𝑒𝑖 chỉ có phần tử thứ 𝑖 bằng 1, các phần tử khác bằng 0, gọi là vector đơn vị Một số hệ thức: 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 𝑒𝑖𝑇 𝐴𝑒𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑒𝑗 = 𝑐𝑗 (cột thứ 𝑗 của ma trận 𝐴) 𝑒𝑖𝑇 𝐴 = ℎ𝑖𝑇 (hàng thứ 𝑖 của ma trân 𝐴) 6 Hạng của ma trận Hạng của ma trận: với 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 có 𝑚 vector hàng và 𝑛 vector cột. Nếu trong 𝑚 vector hàng ℎ𝑖 có nhiều nhất 𝑝 ≤ 𝑚 vector độc lập tuyến tính, còn trong n vector cột 𝑐𝑗 có nhiều nhất 𝑞 ≤ 𝑚 vect