Lý thuyết Điều khiển Tự động Hệ liên tục tuyến tính bất biến theo thời gian Bộ môn Điều khiển Tự động, Viện Điện Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội GV: TS. Trịnh Hoàng Minh Hà Nội, 08/2021 Nội dung 1. Hệ liên tục tuyến tính bất biến theo thời gian 2. Biến đổi Laplace và mô hình hàm truyền 3. Một số ví dụ 2 Hệ liên tục tuyến tính bất biến theo thời gian (Hệ LTI) 3 Tín hiệu Tín hiệu 𝑢 𝑡 : hàm nhận giá trị thực (hoặc phức) theo thời gian Các phép biến đổi tín hiệu cơ bản: Cộng tín hiệu: 𝑥 𝑡 ± 𝑦 𝑡 Nhân với hằng số: 𝑥 𝑡 → 𝛼𝑥 𝑡 Dịch theo thời gian: 𝑥 𝑡 → 𝑥 𝑡 ± 𝜏 (trễ/sớm) Thay đổi tỉ lệ thời gian: 𝑥 𝑡 → 𝑥 𝛼𝑡 … 4 Một số tín hiệu cơ bản Tín hiệu xung chữ nhật: 1 , 𝑇 𝑝𝑇 𝑡 = 0, 𝑇 𝑇 − ≤𝑡≤ 𝑡 < − hoặc 𝑡 > 2 2 p (t) T T/2 1/T T/2 t Tín hiệu xung Dirac: 𝛿 𝑡 = lim 𝑝𝑇 𝑡 = ቊ 𝑇→0 𝑡 න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = ቊ −∞ 1, 0, không xác định, 𝑡=0 0, 𝑡≠0 𝑡>0 𝑡<0 d (t) t 5 Một số tín hiệu cơ bản Tín hiệu bước nhảy (step, heaviside) 1 𝑡 =ቊ 1, 0, 𝑡>0 𝑡<0 𝑡 1 𝑡 = න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = ቊ −∞ u (t) 1, 0, 𝑡>0 𝑡<0 1 t 𝑑𝑢 𝑡 𝛿 𝑡 = 𝑑𝑡 r (t) Tín hiệu dốc đơn vị (ramp) 𝑡, 𝑟 𝑡 =ቊ 0, 𝑡>0 𝑡<0 t 6 Biểu diễn tín hiệu tổng quát Sử dụng hàm xung dirac: ∞ ∞ ∞ න 𝑓 𝜏 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑓 0 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 0 න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 0 න 𝑓 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 𝑡 −∞ −∞ 7 Hệ LTI Hệ liên tục: tín hiệu vào và ra là các tín hiệu liên tục theo thời gian 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 =𝑆 𝑢 𝑡 𝑆 Hệ tuyến tính: thỏa mãn nguyên lý xếp chồng. Với 𝑢 𝑡 , 𝑣 𝑡 là hai tín hiệu và 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ: 𝑆 𝛼𝑢 𝑡 + 𝛽𝑣 𝑡 = 𝛼𝑆 𝑢 𝑡 + 𝛽𝑆 𝑣 𝑡 8 Hệ LTI Tính bất biến theo thời gian: Nếu 𝑢 𝑡 → 𝑦 𝑡 = 𝑆 𝑢 𝑡 thì 𝑢 𝑡 ± 𝜏 → 𝑦 𝑡 ± 𝜏 = 𝑆 𝑢 𝑡 ± 𝜏 Ví dụ 1: Hệ sau là hệ tuyến tính bất biến theo thời gian hay không? 𝑦 𝑡 = cos 5𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = sin 2𝑡 sin 𝑢 𝑡 1 𝑡 𝑦 = 𝑇 ‫𝑡׬‬−𝑇 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 + 𝐵 9 Mô hình phương trình vi phân Hệ tuyến tính tham số hằng (LTI) Biến đầu vào 𝑢 𝑡 , biến