第 1 页
hubdocu.com Câu 1: Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là kilômét), một máy bay chiến đấu tàng hình F-22 Raptor xuất phát từ căn cứ A có tọa độ A(0,0,10). Máy bay cần thực hiện nhiệm vụ đánh chặn một máy bay không người lái (drone) do thám đối phương. F-22 duy trì tốc độ bay không đổi là v = 30 km/phút và bay theo một đường thẳng trong suốt quá trình F−22 làm nhiệm vụ, bắt đầu từ thời điểm t = 0. Máy bay không người lái di chuyển trên một đường thẳng . Tại thời điểm t (phút, tính từ t =0), vị trí của drone được xác định bởi công thức: D t( ) = (500−20 ,500t −15 ,5).t Trong khu vực hoạt động, có một trạm radar cảnh giới mặt đất của đối phương đặt tại C(150,200,8). Radar này có tầm quét hiệu dụng là một hình cầu S tâm C bán kính R =6km. Để đảm bảo yếu tố bí mật và an toàn, toàn bộ đường bay của F-22 từ điểm xuất phát A đến điểm đánh chặn I (nơi F-22 gặp drone) phải nằm hoàn toàn bên ngoài khối cầu mở xác định bởi S (có thể tiếp xúc với mặt cầu). Xác định thời điểm t (tính bằng phút, làm tròn đến hàng đơn vị) sớm nhất có thể mà máy bay F-22 có thể đánh chặn thành công máy bay không người lái, biết rằng điều kiện về an toàn (tránh vùng radar) phải được đảm bảo. Câu 2: Nhân dịp kỷ niệm ngày 30/4 lịch sử, một màn trình diễn ánh sáng nghệ thuật bằng drone quy mô lớn được tổ chức trên bầu trời TP.HCM. Hàng trăm chiếc drone được lập trình để tạo thành những hình ảnh ý nghĩa) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét), mặt đất được coi là mặt phẳng (Oxy). Giai đoạn 1: Hình thành chữ "V" trong "VIỆT NAM" Ba drone D ,D ,D được điều khiển để giữ ổn định các vị trí cố 1 2 3 định lần lượt là A(18, 22,50), B(30,12,50), C(18,12,50). Các vị trí này tạo thành một phần của chữ "V" khổng lồ. Giai đoạn 2: Drone đặc nhiệm di chuyển Một drone đặc nhiệm D , ban đầu đang ở vị trí M (5, 45,30), nhận được lệnh di chuyển thẳng 0 0 đến một vị trí M trên mặt phẳng (P): x+ y+ z =80. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chính nơi các drone sẽ sắp xếp thành dòng chữ "TÔI YÊU" sau đó. Vị trí M này được chọn sao cho nó cách đều ba drone D ,D ,D (tức là MA= MB = MC ). Drone D được lập trình bay với vận tốc không 1 2 3 0 đổi là v =10m/s. Để duy trì tín hiệu ổn định, quỹ đạo bay thẳng M M của drone D phải hoàn toàn nằm ngoài 0 0 khối cầu nhiễu sóng (S) có tâm I(15, 25, 40) và bán kính R = 4m (được phép tiếp xúc). Hãy tính tổng thời gian (tính bằng giây, làm tròn đến hàng phần chục) di chuyển của drone D từ vị trí ban 0 đầu M đến vị trí M theo quỹ đạo thẳng đã định, biết rằng quỹ đạo này thỏa mãn điều kiện an 0 toàn. 1
第 2 页
hubdocu.com Câu 3: Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền sân là một elip (E) có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của (E)và cắt elip ở M N, (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong hình 4) với MN là một dây cung và góc MIN = 90 .0 Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là 200 BTU / m3 . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU? Câu 4: Xét hệ gồm hai nguyên tử khí argon (Ar) ở trạng thái cơ bản, mỗi nguyên tử được coi là một khối cầu, khoảng cách (d) giữa hai nguyên tử bằng khoảng cách giữa tâm của hai khô̂i cầu (tham khảo hình bên). Coi như không có tương tác bên ngoài nào tác động đến hệ, sự phụ thuộc của thế năng tương tác V d( ) giữa hai nguyên tử khí vào khoảng cách d được xác định theo công thức: 12 6 V d( ) = 4 − d d 2
第 3 页
hubdocu.com Trong đó và là các hằng số đặc trưng cho từng khí hiếm. Đối với Ar, = 0,930 và = 3,62. Biết rằng khi thế năng tương tác đạt nhỏ nhất thì hệ hai nguyên tử Ar là bền nhất, khoảng cách (d) mà hai nguyên tử đó bền nhất là? (Công thứcV d( ) có tên gọi là: Thế Lennard-Jones) Câu 5: Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian Oxyz , mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng (P) thẳng đứng, đi qua hai điểm C(10;50;0) và D(30;10;0). Vị trí giao hàng là điểm B nằm trên mặt phẳng (P). Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ O(0;0;0). Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí A(30;40;120 .) Từ vị trí A, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) đến vị trí giao hàng B . Tính khoảng cách từ O đến B (làm tròn đến hàng đơn vị). Trả lời: Câu 6: Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi x là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là C x( )= x2 +108 (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là T ( )x = x+6 (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước x để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của x . 3
第 4 页
hubdocu.com Câu 7: Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 14m và chiều dài 30m. Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là 1, 2m và tăng dần đều đến 2, 0m ở đầu kia của bể (xem hình vẽ). Ban đầu bể không chứa nước) Người ta sử dụng một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là 42m3 /giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì máy bơm bơm đầy bể nước? Trả lời: Câu 8: Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh L = 26 m, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh L = 20 m.Mặt 0 30 cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh L =13, 75 m. Mặt cắt của tòa nhà min theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối). Câu 9: Một nhà đầu tư có số vốn là 5 tỷ đồng (5000 triệu đồng) để phân bổ vào Quỹ cổ phiếu A và quỹ trái phiếu B . Các thông tin và điều kiện đầu tư được xác định như sau: Quỹ Cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là 17% / năm. Quỹ trái phiếu B có tỷ suất sinh lời là 8% / năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 5000 triệu đồng. Phải đầu tư ít nhất 1200 triệu đồng vào quỹ trái phiếu B . Không đầu tư quá 3200 triệu đồng vào quỹ cổ phiếu A . Với các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)? 4
第 5 页
hubdocu.com Câu 10: Trong một phòng thí nghiệm có máy đo nồng độ khí CO2 cho thấy: nồng độ khí CO2 trong phòng thay đổi theo thời gian t (tính bằng giờ) và được thể hiện qua hàm số 2000t (ppm), với t 0 (Khi nói nồng độ khí CO trong không khí là 400 ppm, f t( ) = 400 + 2 t2 +5 điều đó có nghĩa là: Trong một triệu phần thể tích của không khí, có 400 phần thể tích là khí CO2). Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Nồng độ khí CO2 trong phòng tại thời điểm t =0 là 400 (ppm). −2000t2 −10000 b) f ( )t = với t 0. (t2 +5)2 c) Nghiệm của phương trình f ( )t = 0 là t =2. d) Nồng độ khí CO2 cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 947 (ppm). Câu 11: Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm t (giờ) được kí hiệu là N t( ). Ban đầu (t =0 giờ), mật độ vi khuẩn đo được là N( )0 =10 triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn N '( )t (đơn vị: triệu tế bào/ ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức N '( )t =18t −3t2 (triệu tế bào/ml mỗi giờ) với t là thời gian tính bằng giờ (0t 7). a) N ' 1( )=15 triệu tế bào/ml giờ. b) N '( )t dt = 9t2 −t3. c) So với lúc ban đầu (t =0), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml khi đến thời điểm t =6 giờ. d) Tại thời điểm t =7 giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml. Câu 12: Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng 4km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước C đến một vị trí I nằm giữa đoạn thẳng MC sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy A và B (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). 5
第 6 页
hubdocu.com Câu 13: Vào ngày 01 / 02 / 2023, ông An vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 8%/năm. Ông dùng toàn bộ số tiền vay mua cổ phiếu mã SP với giá 50 nghìn đồng /1 cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là 55,6 nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng? Câu 14: Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí A(5;0;0) trên một hòn đảo nhỏ trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng km), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch B đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường x = 2+t d :y =1−2t thẳng . Tàu chở hàng C đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường 1 z = 0 x = 2− s d :y =11+ s B vận tải được mô tả bởi đường thẳng . Do thời tiết xấu, nên hai tàu và C gặp 2 z = 0 sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ A để lần lượt tiếp cận tàu du lịch B trước, sau đó đến tàu chở hàng C . Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch B dừng lại và tàu chở hàng C dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi T = AB+BC+CA là nhỏ nhất. Khi đó P = a (km), hãy tính a+2025? min Câu 15: Trang trí một sân hình chữ nhật kích thướt 28m x 16m, trong đó hai Parabol (P) đối xứng với 1 (P )qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa 2 hai đỉnh Parabol bằng 4m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) 6
第 7 页
hubdocu.com Câu 16: Một nhà kho gồm nền nhà OABC, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật gắn trong hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là mét). F(2;20;4) Q P z K H y E(2;0;4) C B(4;20;0) M(0;0;3) N x O(0;0;0) A a) Điểm K(2;10;4) là trung điểm của EF. b) Tọa độ của điểm A(5;0;0). c) Trên đường thẳng vuông góc với nền nhà tại điểm K , người ta treo một bóng đèn ở vị trí H cách vị trí K một đoạn bằng 0,5m. Khi đó khoảng cách từ bóng đèn H đến nền nhà là 4m. d) Điểm I(0;2;1) là vị trí bật công tắc của bóng đèn. Độ dài ngắn nhất của đường dây điện bắt từ I tới H là a (mét). Khi đó a lớn hơn 9,5 (biết đường dây điện thuộc mặt phẳng (OMQC) và (MEFQ). 7
第 8 页
hubdocu.com Câu 17: Thành phố X theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực A và B trong thời gian 6 năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong 6 năm, với đơn vị trên trục Ot tính bằng năm, t = 0 ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục Oy biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm. Khu vực A có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm 1 P/ ( )t = − t2 + 2t +8 A 2 Khu vực B có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi 1 hàm P/ ( )t = a − t B 2 Biết rằng P ( ),t P ( )t lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm A B tại khu vực A và B sau t năm. a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực A với t = 4 là 8000 (người trên năm). b) Ta có P/ (0) =8và a = 8. B c) Dân số của khu vực A tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 33000 (người). d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là 9 000 người. Câu 18: Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số f (x)= x3 +ax2 +bx+c với a b c, , là các hệ số. Trong đó, x (0 x 9,x ) là số tháng kể từ đầu năm học và f (x) là điểm trong tháng thứ x . Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu. Câu 19: Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tần bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ cá vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có toạ độ trong không gian Oxyz (đơn vị km)như sau: Vệ tinh A tại vị trí A(103;204;62), Vệ tinh B tại vị trí B(106;208;74), vệ tinh C tại vị trí C(105;212;134) . Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí M của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: MA=13km, MB = 26km, MC =85km. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến góc toạ độ O. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km) 8
第 9 页
hubdocu.com Câu 20: Một xe mô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì tài xế giảm ga và kéo phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc được mô tả bởi phương trình: v t( )= −4t +20 (m/s), trong đó thời gian t được tính bằng giây. Hỏi từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét? Câu 21: Một công ti trung bình bán được 600 chiếc máy lọc không khí mỗi tháng với giá 10 triệu đồng một chiếc) Một khảo sát cho thấy nếu giảm giá bán mỗi chiếc 400 nghìn đồng, thì số lượng bán ra tăng thêm khoảng 60 chiếc mỗi tháng. Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi máy, x là số máy bán ra) Khi đó, hàm cầu là p = p x( ) và hàm doanh thu là R p( )= px. Hỏi công ti phải bán mỗi chiếc máy lọc không khí với số tiền bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất? Câu 22: Một chiếc lều hình chóp có đáy là hình vuông, mỗi cạnh dài 200cm. Đỉnh lều nằm thẳng đứng phía trên tâm của hình vuông, và chiều cao của lều là 200cm. Người ta dùng 4 cọc bằng nhau nối từ 4 góc của đáy đến đỉnh lều để dựng lều. Chiều dài tối thiểu của mỗi cọc là bao nhiêu cm ( làm tròn đến hàng đơn vị). 9
第 10 页
hubdocu.com Câu 23: Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ O(0;0;0) trong không gian Oxyz , mỗi đơn vị̣ trên các trục tọa độ ứng với 1 km. Radar này có khả năng phát hiện các mục tiêu bay trong bán kính 250 km. Một máy bay không người lái (UAV) đang bay thẳng đều từ vị trí điểm A(300;−400;100) đến điểm B( 300;400;100)− . UAV bay với vận tốc không đổi 900 km / h và mang theo thiết bị gây nhiễu chủ động có tầm hiệu quả 50 km tính từ UAV. (Tham khảo tù Stimson’s Introduction to Airborne Radar, 3rd Edition, George W. Stimson, Hugh D) Griffiths, Christopher Baker, Dave Adamy) a) Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí A. x = 300−3t y = −400+ 4 ,t t b) Phương trình tham số của đường bay của UAV là . z = 0 c) Trong suốt quá trình bay, sẽ có thời điểm UAV gây nhiễu được radar. d) Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn 30 phút. Câu 24: Một bể chứa dầu ban đầu có 50.000 lít dầu. Gọi V t( ) là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm t, trong đó t tính theo giờ 0t 24. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số V( )t = k. t , với k là hằng số dương. Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt 58.000 lít. 10
第 11 页
hubdocu.com a) Hàm số V t( ) là một nguyên hàm của hàm số f ( )t = k. t . ( ) 2k 0t 24 b) V t = .t t +C , với và k C, là các hằng số. 3 c) Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được 148.000 lít. d) Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ 500 lít/giờ, thì tại thời điểm t bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là 72.500 lít. Câu 25: Nhà máy Achuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B . Hai nhà máy thỏa thuận, mỗi tháng A cung cấp cho B tối đa 45 tấn sản phẩm và nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là P x( )= 60−0,01x2 (triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là C x( )=150+33x (triệu đồng) (gồm 150 triệu đồng chi phí cố định và 33 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì A cần bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm? Câu 26: Một bức tường hình chữ nhật ABCD có kích thước lần lượt 6 m và 4 m được bạn Minh trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị hàm số f (x)= ax (0 a 1) và g x( )= log x (0b 1) đối b xứng nhau qua đường thẳng y = x. Bức tường được chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ). Phần H được sơn màu xanh da trời, phần H sơn màu vàng và phần H được sơn màu xanh 1 2 3 lá cây. Bạn Minh cần mua các hộp sơn mà mỗi hộp chỉ sơn được một màu tương ứng với các màu mà bạn Minh định sơn. Biết rằng mỗi hộp sơn chỉ sơn được tối đa 3m2 tường, giá một hộp sơn màu xanh da trời là 120.000 đồng, giá một hộp sơn màu xanh lá cây là 140.000 đồng, giá 11
第 12 页
hubdocu.com một hộp sơn màu vàng là 160.000 đồng. Cửa hàng chỉ bán số các hộp sơn là các số nguyên dương. Bạn Minh cần bao nhiêu triệu đồng mua sơn để trang trí cho bức tường đó? Câu 27: Để tiết kiệm tiền sau này cho việc học đại học của con, cô Bình quyết định gửi 1,5 triệu đồng cuối mỗi tháng vào ngân hàng với lãi suất mỗi tháng 0,3% theo hình thức lãi kép. Cô bắt đầu gửi tiền khi con cô tròn 3 tuổi. Cô Bình sẽ tiết kiệm được bao nhiêu tiền vào thời điểm con cô tròn 18 tuổi nếu cô không rút và lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt quá trình gửi tiết kiệm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo triệu đồng) Câu 28: Đường ống dẫn dầu trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phẩm dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm., những nơi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi. Với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, mặt đất là mặt phẳng (Oxy), đơn vị trên mỗi trục là mét, người x = 0 d :y = t ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng ( t là tham số). z = 20 Vì địa hình phức tạp, người ta chọn điểm A(15;10;15) để làm điểm trung chuyển dầu từ mặt đất đến đường ống này. a) Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng. b) Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy) có tọa độ A ( 15;− −10;15). c) Do thực tế công việc, người ta cần xác định vị trí điểm B(0; ; 20)b thuộc đường ống và vị trí điểm C m n( ; ;0) thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC nhỏ nhất. Ta m+n+b = 200 có . 7 d) Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn thẳng AB, BC, AC làm tròn đến hàng chục bằng 45,5m Câu 29: Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hảm số v t( )= −0,1t3 +t2 , trong đó t tính theo tuần, v t( ) tính theo cm/tuần. Gọi h t( ) (tính bằng cm ) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (Nguồn: A) Bigalke et al., Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). a) h'( )t = v t( ). 12
第 13 页
hubdocu.com t4 t3 b) h t( )= − + +5,t 0. 40 3 c) Giai đoạn tăng chiều cao của cây cà chua kéo dài 9 tuần. d) Chiều cao tối đa của cây cà chua (kết quả làm tròn đến hàng phần chục) bằng 88,3cm. Câu 30: Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí một thiết bị định vị tại điểm cố định A(1;0;2) trong không gian ba chiều với hệ tọa độ Oxyz (các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng x−3 y +1 z −4 , cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng : = = 1 2 −1 (): 2x− y+ z+1=0. Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền BC, trong đó B nằm trên đường thẳng , C nằm trên mặt phẳng () và thiết bị định vị tại A là trung điểm của đoạn BC) Biết rằng đường thẳng BC có một véctơ chỉ phương u = −( 2; ;a b), hãy tính giá trị a+2b . Câu 31: Cho một hộp quà hình lập phương có cạnh bằng 10cm . Trong hộp có một quả cầu pha lê lớn đặt vừa khít vào hộp sao cho quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hộp. Ở 8 góc của hình lập phương, có 8 quả cầu pha lê nhỏ cùng tiếp xúc với các mặt hộp và tiếp xúc với quả cầu lớn. Đổ epoxy resin (một loại keo tổng hợp trong suốt dùng trong thủ công mỹ nghệ) vào đầy hộp để trang trí. Tính thể tích phần keo cần đổ, theo đơn vị lít (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Câu 32: Một công ty đang thiết kế một bảng quảng cáo hình chữ nhật ABCD có kích thước AB =12m và AD =8m. Phần trung tâm của bảng sẽ được in nội dung quảng cáo, được mô tả là phần tô đậm (xem hình minh họa). Hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số có dạng ax +b đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này đều cách điểm A y = , cx + d một khoảng bằng Đồ thị giao với cạnh AB tại điểm E thỏa mãn AE 7 Diện tích 5m. = . AB 15 phần in nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Câu 33: Tại một khu trung tâm dữ liệu, kỹ sư IT cần kiểm tra kết nối giữa các máy chủ trong hệ thống gồm các trạm A B C D E, , , , . Các tuyến cáp quang nối giữa các trạm được biểu diễn trong sơ đồ sau, với con số ghi trên mỗi tuyến là chiều dài dây cáp (đơn vị: km). 13
第 14 页
hubdocu.com Kỹ sư cần thực hiện một hành trình bắt đầu từ một trạm bất kỳ, đi qua tất cả các tuyến cáp ít nhất một lần và kết thúc tại đúng trạm khởi hành, nhằm đảm bảo toàn bộ hệ thống được kiểm tra) Tổng chiều dài đường đi ngắn nhất mà kỹ sư cần di chuyển là bao nhiêu km? Câu 34: Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu tư quảng cáo là A (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm bán ra (đơn vị: sản phẩm) phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm: ( ) 1013 ( ) q A =1000+ ln 1+ A 5 Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Câu 35: Xác định hàm doanh thu: Doanh thu R A( ) là tổng số tiền thu được từ việc bán sản phẩm. Giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Số lượng sản phẩm bán ra là q A( ). ( ) ( ) 1013 ( ) Vậy, hàm doanh thu là: R A = 20q A = 20 1000 + ln 1+ A 5 R A( )= 20000+4 1013ln 1 ( + A) R A( )= 20000+4052ln 1( + A) Câu 36: Xác định hàm chi phí: Tổng chi phí (C) bao gồm chi phí quảng cáo (A) và chi phí sản xuất. Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng. Số lượng sản phẩm sản xuất (bằng số lượng bán ra) là q A( ). Vậy, hàm chi phí sản xuất là: 10q A( ). ( ) ( ) 1013 ( ) Tổng chi phí là: C A( ) = A+10q A C A = A+10 1000 + ln 1+ A 5 14
第 15 页
hubdocu.com C A( )= A+10000+2026ln 1( + A) Câu 37: Xác định hàm lợi nhuận Lợi nhuận (P) là hiệu số giữa doanh thu và tổng chi phí. P A( )= R A( )−C A( ) P A( )= 20000+4052ln 1( + A) −A+10000+2026ln 1( + A) P A( )=10000+2026ln 1( + A)− A Câu 38: Ta cần tìm giá trị tối đa của hàm lợi nhuận. Xét hàm số P A( ) trên (0;+) có ( ) 2026 ( ) 2026 P A = −1, Đặt P A = 0 −1= 0 A= 2025. 1+ A 1+ A Bảng biến thiên Vậy lợi nhuận tối đa là khoảng 23400.6 triệu đồng 23,4 tỉ đồng. Câu 39: Một tên lửa phóng thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu v = 50m/ s . Gia tốc của tên lửa 0 (do lực đẩy và trọng lực) phụ thuộc vào thời gian theo công thức a t( )=10−2t m( / s2 ). Sau thời gian 10s tên lửa hết nhiên liệu và tiếp tục bay với gia tốc a = −9,8m / s2 . a) Vận tốc của tên lửa đạt được tại thời điểm t =10s là 50m/ s. b) Độ cao của tên lửa đạt được tại thời điểm t =10s là 660m . c) Tên lửa đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t =15s (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). d) Độ cao lớn nhất tên lửa đạt được (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là 766m . Lời giải Câu 1 Giải chi tiết (giải thích) 15
第 16 页
hubdocu.com Chọn mốc thời gian tại thời điểm t = 0 là lúc tên lửa được phóng lên với vận tốc ban 0 đầu v = 50m/ s , v( )0 =50 và s( )0 = 0. Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có 0 a) Đ vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là v t( )= a t dt( ) = (10−2 )t dt =10t −t2 +C . Do v( )0 =50 nên C =50. Suy ra v t( )=10t −t2 +50. Vận tốc tại thời điểm t =10s là v(10)=10.10−102 +50=50(m s/ ). Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường nên ta có độ cao của tên lửa tại thời điểm t là t3 s t( )= v t dt( ) = (10t −t2 +50)dt = 5t2 − +50t +C . Do s( )0 = 0 nên C = 0 . Suy ra b) s 3 1 1 103 2000 2000 s(10)= 5.102 − +50.10 = . Độ cao tại thời điểm t =10s là (m). 3 3 3 t3 s t( )= − +5t2 +50t . 3 s( )t = −t2 +10t +50 =t 5+5 3 ( )n ựa s( )t = 0 t = 5−5 3 ( )l Bảng biến thiên của hàm số s t( ) trên (0;+) c) s t3 Từ BBT ta có giá trị lớn nhất của s t( )= − +5t2 +50t đạt tại t = 5+5 3 14. Tên lửa 3 đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t =14s (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). ( ) (5+5 3)3 ( ) ( ) 2 s 5+5 3 = − +5 5+5 3 +50 5+5 3 766. Độ cao lớn nhất tên lửa 3 d) Đ đạt được (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là 766m . 16
第 17 页
hubdocu.com 36. Một tàu thăm dò tự hành (AUV) đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ Oxyz được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng (Oxy), trục Oz hướng thẳng đứng xuống dưới (độ sâu z 0), đơn vị tính bằng hectomét (hm). AUV bắt đầu hành trình từ vị trí A(8;6;1) và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối B(4;−2;2). Trong hành trình của mình AUV cần tránh một khu vực hình cầu (S), tâm tại điểm K(2;−4;2) , bán kính R =1 hm (khu vực có thiết bị nhạy cảm). x−8 y −6 z −1 a) Đường thẳng chứa hành trình của AUV có phương trình = = . −4 −8 1 b) Mặt cầu (S) có phương trình (x−2)2 +(y +4)2 +(z −2)2 =1. c) Trên hành trình AUV luôn cách tâm K một khoảng lớn hơn bán kính R . d) Hành trình của AUV không đi qua khu vực có thiết bị nhạy cảm hình cầu (S). Lời giải Câu 2 Giải chi tiết (giải thích) Ta có AUV di chuyển từ A(8;6;1) đến B(4;−2;2). Vector chỉ phương: AB = (−4, −8, 1) Phương trình tham số đường thẳng AB: a) Đ x = 8 − 4t y = 6 − 8t x−8 y −6 z −1 hay = = −4 −8 1 z = 1 + t Mặt cầu (S) tâm tại điểm K(2;−4;2) , bán kính R =1 nên có phương trình b) Đ (x−2)2 +(y +4)2 +(z −2)2 =1. Khoảng cách từ điểm K(2;−4;2) đến đường thẳng AB: AK = (−6, −10, 1) AB = (−4, −8, 1) AK , AB = (−2, 2, 8) c) s AK , AB = 72 , AB = 9 72 2 2 d = = 0,943 1 9 3 Trên hành trình AUV luôn cách tâm K một khoảng nhỏ hơn bán kính R . d) s Vì d R nên hành trình của AUV đi vào vùng có thiết bị nhạy cảm. 17
第 18 页
hubdocu.com Câu 40: Trong không gian Oxyz , tọa độ các khu vực được xác định như sau: - Khu vực A(20;30;0) nằm trên mặt đất, cách trung tâm thành phố 2km; - Khu vực B(70;50;40) nằm trên tòa nhà cao tầng ở độ cao 40 m; - Khu vực C(50;80;70) nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao 70 m. Gọi vị trí lắp đặt trạm phát sóng là D a b c( ; ; ) sao cho khoảng cách từ D đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính T = a+b+c (làm tròn đến hàng đơn vị) Câu 41: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, nhóm bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO'=6cm, OA=10cm,OB = 20cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm B . Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 42: Anh Tuấn muốn xây một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 3200dm3 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2. Xác định diện tích đáy của hố ga (theo đơn vị: dm2 ) để khi xây hố tiết kiệm được nguyên liệu nhất. Câu 43: Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10;0;3) và chuyển động r theo đường cáp có vectơ chỉ phương u=(2;2;1) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ làm). Hai cột trụ cáp treo đặt tại điểm B C, biết x = 20, y =120. Thời gian cabin đi từ điểm B đến điểm B C C là 55s. Hỏi vận tốc của cabin bằng bao nhiêu m s/ ? Câu 44: Công ty giao hàng nhanh có 4 kho hàng A B C, , và D. Quản lý muốn lên kế hoạch cho xe hàng đi qua tất cả các kho hàng để lấy hàng và quay lại kho hàng ban đầu, với điều kiện là mỗi kho hàng chỉ ghé qua một lần. Khoảng cách giữa các kho hàng (km) được mô tả trong hình bên. Quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng hoàn thành việc lấy hàng ở các kho và quay trở lại kho hàng ban đầu là bao nhiêu? 18
第 19 页
hubdocu.com Câu 45: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật thể sau thời gian t giây được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 5 mét với tốc độ ban đầu 39, 2 m/ s là h t( )=5+39,2t −4,9t2 , chọn chiều dương là chiều hướng từ dưới lên (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Vận tốc của vật sau 3 giây là 4,6 m/ s b) Khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét dài hơn 7 giây. c) Vận tốc của vật lúc chạm đất sấp xỉ −40, 43 m/ s. d) Vật đạt độ cao lớn nhất bằng 83, 4 mét tại thời điểm t = 4 giây. Câu 46: Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế. Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm f ( )t = 2t +7 (nghìn khách hàng/tháng), với t là số tháng kể từ khi ra mắt. Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng. Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng kể từ khi ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu) ? Câu 47: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là km) mặt đất được coi là mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Tại gần sân bay có một máy bay dân đụng đang thực hiện quá trình hạ cánh bắt đầu từ vị trí điểm A(38;−16;6)và bay thẳng đến vị trí điểm B(−2;4;1)gần đường băng. Máy bay duy trì tốc độ không đổi 270km/h trong suốt quá trình hạ cánh. a) Phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường bay của máy bay từ A đến B là: x = 38−8t y = −16+ 4t (t là tham số hình học). z = 6−t 19
第 20 页
hubdocu.com b) Quá trình hạ cánh may bay đi qua vị trí điểm C(46;−20;7). c) Quy định về an toàn bay yêu cầu góc hạ cánh (góc giữa đường bay và mặt đất) không được lớn hơn 5o . Đường bay này đã tuân thủ đúng quy định an toàn. d) Sau phút kể từ khi bắt đầu hạ cánh may bay ở vị trí điểm 7 . 5 M 18;−6; 2 Câu 48: Một xưởng sản xuất cửa nhôm kính uốn vòm gồm phần dưới là hình chữ nhật có chiều rộng x y x (cm), chiều dài (cm), phần vòm là hình bán nguyệt có bán kính (cm). Biết chu vi của 2 cửa không đổi là 8m. Biết đơn giá làm cửa tính theo m2 là 1.600.000 đồng. Khi diện tích của cái cửa lớn nhất thì cái cửa trị giá bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười)? Câu 49: Nam và ba người bạn lên kế hoạch cho một chuyến đi phượt xuyên Việt, ghé thăm 4 thành phố: Hà Nội, Đà Nẵng, Thành phố Hồ Chí Minh (TP.HCM) và Cần Thơ. Họ xuất phát từ Hà Nội, đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần rồi quay về Hà Nội. Bảng chi phí nhiên liệu (tính bằng lít xăng) giữa các thành phố như sau: Xe của nhóm hiện đã có sẵn 150 lít xăng. Để hoàn thành hành trình, họ cần đổ thêm ít nhất bao nhiêu lít xăng? Câu 50: Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay, một máy bay đang ở vị trí A(4;−5;1) sẽ hạ cánh khẩn cấp ở vị trí B(1;2;0) trên đường băng EG. 20
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！