第 1 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội Biên soạn: Tài liệu HUST ĐỀ CK ĐẠI SỐ DANH SÁCH ĐỀ THI ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).........................................................................2 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).........................................................................3 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).........................................................................4 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).........................................................................5 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).........................................................................6 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2).........................................................................7 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3).........................................................................8 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).........................................................................9 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 2).......................................................................10 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).......................................................................11 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).......................................................................12 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).......................................................................13 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).......................................................................14 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).......................................................................15 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3).......................................................................16 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20183 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).......................................................................17 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).......................................................................18 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).......................................................................19 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).......................................................................20 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).......................................................................21 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20173 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 3).......................................................................22 ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20173 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 3).......................................................................23 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
第 2 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) n 1+i 3 Re(z )= 0 Câu 1 (1 điểm). Cho z = ,n . Tìm n nhỏ nhất để . n 3 +i n 0 a +b Câu 2 (1 điểm). Chứng minh W = X∣ X = :a b, là không gian con của a −b 0 không gian véctơ các ma trận vuông cấp 2 trên . Tìm dimW . Câu 3 (2,5 điểm). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Hệ u ( )x = 2+ x+3x2,u ( )x = − +1 2 ,x u ( )x =1+8x+6x2 có phải là cơ sở của P ( )x 1 2 3 2 không? Vì sao? 2. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x được xác định bởi: 2 2 f (a+bx+ x2 )= 6a−2b−2c+(2a−3 )b x+(4a+b−2 )c x2 a) Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 1, ,x x2 của P ( )x . 2 b) Tìm dim Ker f . Câu 4 (2,5 điểm). Trong 3 , tích vô hướng của a = (a ,a ,a ),b = (b b, ,b ) được xác định bởi 1 2 3 1 2 3 a b, = a b +a b +a b . 1 1 2 2 3 3 1. Cho u = (1,1, 0),u = (0,1,1). Tìm véctơ v (0, 0, 0) sao cho v u, = 0 với mọi 1 2 uSpanu u, . 1 2 2. Cho toán tử tuyến tính f : 3 → 3 được xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (2x −2y −2 ,z −2x +5y + z, 2x + y +5 )z Tìm cơ sở trực chuẩn của 3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5 (1 điểm). Với 0a, ký hiệu C ={ ( )f x ∣ f x( ) liên tục trên [−a a, ]} Ánh xạ [−a a, ] :C → ,( f ) = a f ( )dx x có phải là đơn ánh không? Tại sao? [−a a, ] −a Câu 6 (1 điểm). Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thoả mãn A2019 = 0 và AB = A+ B. Chứng minh rằng det(B) = 0. Câu 7 (1 điểm). Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và toán tử tuyển tính f :V →V . Chứng minh rằng dim Ker( f 2 ) 2dim(Ker f ). Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
第 3 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) n 2 +i 6 Im(z )= 0 Câu 1 (1 điểm). Cho z = ,n *. Tìm n nhỏ nhất để . n − +1 i n a +b 0 Câu 2 (1 điểm). Chứng minh W = X∣ X = :a b, là không gian con của 0 a −b không gian véctơ các ma trận vuông cấp 2 trên . Tìm dimW . Câu 3 (1 điểm ). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Hệ u ( )x =1− x+ x2,u ( )x =3+2x−3x2,u ( )x =1+3x−5x2 có phải là cơ sở của P ( )x 1 2 3 2 không? Vì sao? 2. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x được xác định bởi: 2 2 f (a+bx+ x2 )= 2a−b+c+(a−2 )b x+(a+b+c x) 2 a) Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 1, ,x x2 của P ( )x . 2 b) Tìm dim Ker f . Câu 4 (2,5 điểm). Trong 3 tích vô hướng của x = (x ,x ,x ), y = (y , y , y ) được xác định bởi 1 2 3 1 2 3 x y, = x y + x y + x y . 1 1 2 2 3 3 1. Cho u = −( 2,1,1),u = (1,1,−1). Tìm véctơ v (0, 0, 0) sao cho v u, = 0 với mọi 1 2 uSpanu u, . 1 2 2. Cho toán tử tuyến tính f : 3 → 3 được xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (3x −2 ,y −2 ,5 )x z Tìm cơ sở trực chuẩn của 3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5 (1 điểm). Với a b, ký hiệu C ={f ( )x ∣ f ( )x liên tục trên [ ,a b]}. Ánh xạ [a b, ] :C → ,( f ) = b f ( )dx x có phải là toàn ánh không? Tại sao? [a b, ] a Câu 6 (1 điểm). Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thoả mãn B2020 = 0 và 2AB =2A+3B. Chứng minh rằng det(A) = 0. Câu 7 (1 điểm). Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và toán tử tuyến tính f :V →V . Chứng minh rằng dim Ker( f 2 ) 2dim(Ker f ). Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
第 4 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho f ( )z = z3 −(2+i z) 2 +(2+2 )i z −2i . Tính f ( )i và giải phương trình f ( )z = 0. Câu 2 (1 điểm). Ánh xạ f : 2 → , f ( ,x y) = (x2 + y)+(y− x i) có đơn ánh không? Vì sao? x+ 2y + az = 3 2x− y −az =1 Câu 3 (1 điểm). Tìm a b, để hệ có vô số nghiệm. 2x+ y + z = b Câu 4 (1,5 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép 1 2 3 1 −1 −1 f :V →V E A = −1 1 −1 . biến đổi tuyến tính có ma trận theo cơ sở là Tìm cơ sở trực −1 −1 1 chuẩn F =f , f , f sao cho ma trận của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. 1 2 3 Câu 5 (1 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở của không gian véctơ V . Hệ các véctơ 1 2 3 F =f = 2e +4e −e , f = e −2e +2e , f = e +6e −2e có phải là một cơ sở của V hay 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 không? Vì sao? Câu 6 (2,5 điểm). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x xác định bởi: 2 2 f (ax2 +bx+c)= (a−b x) 2 +(3b+c x) +a+2b+c . Tìm dim Im f . P ( )x p x( ),q x( ) = 1 p x q x( ) ( )dx u ( )x =1 2. Trên cho tích vô hướng và ; 2 0 1 u ( )x = x2; ( )v x = x. Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v x( ) lên Span u ,u . 2 1 2 Câu 7 (1 điểm). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thoả mãn A = 4A−1 . Tính det(A2019 − A). Câu 8 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên [a, b], chứng minh hệ véctơ u ( )x = x − ,k =1,n với ,i j i j; , =1,n độc lập tuyến tính. k k i j Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
第 5 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho f ( )z = z3 +(1+2 )i z2 +(1+2 )i z +2i. Tính f ( 2 )− i và giải phương trình f ( )z = 0. Câu 2 (1 điểm). Anh xạ f : 2 → , f ( ,x y) =(x3 +2y2 )+(3x3 +7y i) có toàn ánh không? Vì sao? 2x + y + az = −2 x +y + 2z = 3 Câu 3 (1 điểm). Tìm , để hệ có vô số nghiệm. 2x −y − z =1 Câu 4 (1 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép biến 1 2 3 0 1 1 f :V →V E A = 1 0 1 . đổi tuyến tính có ma trận theo cơ sở là Tìm cơ sở trực chuẩn 1 1 0 F =f , f , f sao cho ma trận của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. 1 2 3 Câu 5 (1 điểm). Cho E =e e, ,e là cơ sở của không gian véctơ V . Hệ các véctơ 1 2 3 F =f = e +2e −2e , f = 2e −3e +e , f = 3e −e −e có phải là một cơ sở của V hay 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 không? Vì sao? Câu 6 (2,5 điểm). Ký hiệu P ( )x là không gian véctơ các đa thức có bậc 2. 2 1. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x → P ( )x xác định bởi: 2 2 f (a+bx+cx2 )= 2a−b+(2b+c x) +(a+b+c x) 2 . Tìm dim Im f . P ( )x p x( ),q x( ) = 1 p x q x( ) ( )dx u ( )x =1 2. Trên cho tích vô hướng và ; 2 0 1 u ( )x = x v x; ( ) = x2 . Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v x( ) lên Spanu u, . 2 1 2 Câu 7 (1 điểm). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thoả mãn 9A = A−1 . Tính det(A− A2017 ). Câu 8 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên [a, b], chứng minh hệ véctơ u ( )x = x − ,k =1,n với ,i j i j; , =1,n độc lập tuyến tính. k k i j Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
第 6 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình sau trong trường số phức: z3 −(2+3 )i z2 −(1−3 )i z = 0. 1 0 Câu 2 (1.5 điểm). Cho A = , với c là một số thực cho trước. c 1 a) Chứng minh rằng A luôn khả nghịch. b) Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: A X3 (A−1 )2 = E , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2 Câu 3 (1.5 điểm). Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo hệ số thực m : x −2x − x +3x =1 1 2 3 4 2x −4x + x = 5 1 2 3 x −2x + 2x −3x = m 1 2 3 4 Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x ,x . 2 4 Câu 4 (2 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (y + z x, + z x, + y),( ,x y z, ) 3. a) Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. Câu 5 (3 điểm). Trong không gian véctơ 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1;0;1;0),v = (1;1;1;0),v = (1;1;0;0),v = (1;−1;3;0) . 1 2 3 4 4 a) Hệ véctơ v có phải là một hệ trực giao không? j j=1 b) Hãy tìm một hệ cơ sở của V . c) Tìm hình chiếu của véctơ = (2;0;−1;3) lên V . Câu 6 (1 điểm). Giả sử rằng AM ( ) - tập các ma trận thực vuông cấp n A, 2019 = 0 và A n chéo hoá được. Chứng minh rằng: A phải là ma trận không. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
第 7 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trong trường số phức: z4 −(2+3 )i z3 −(1−3 )i z2 = 0. 1 c Câu 2 (1.5 điểm). Cho A = , với c là một số thực cho trước. 0 1 a) Chứng minh rằng A luôn khả nghịch. b) Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: A X5 (A−1 )4 = E , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2 Câu 3 (1 điểm). x −2x − x +3x =1 1 2 3 4 4x −8x − x +6x = 5 1 2 3 4 x −2x + 2x −3x = a 1 2 3 4 Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x ,x . 2 4 Câu 4 (1 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] xác định bởi: 2 2 f (1) = x+ x2, f ( )x =1+ x2, f (x2 )=1+ x. a) Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. Câu 5 (1 điểm). Trong không gian véctơ 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1;−1;0;1),v = (1;1;0;0),v = (1;1;0;1),v = (0;−2;0;−1) . 1 2 3 4 4 a) Hệ véctơ v có phải là một hệ trực giao không? j j=1 b) Hãy tìm một hệ cơ sở của V . c) Tìm hình chiếu của véctơ = (2;0;3;1) lên V . Câu 6 (1 điểm). Giả sử rằng AM ( ) - tập các ma trận thực vuông cấp n A, 2019 = 0 và A n chéo hoá được. Chứng minh rằng: A phải là ma trận không. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
第 8 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điểm). Cho các mệnh đề A, B, C. Các mệnh đề A (B → C) và (A B) → C có tương đương logic không? Vì sao? Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình phức sau: z4 −(2+4 )i z2 −3−4i = 0. Câu 3 (1 điểm). Cho ma trận vuông A = a và thực hiện đổi chỗ hàng 1 và hàng 2, ta thu ij 3 3 được ma trận B . Chứng tỏ luôn tồn tại ma trận X để XA = B. x − x +3x + mx = n+1 1 2 3 4 Câu 4 (2 điểm). Cho hệ x + x + mx + x = n (m n, là tham số). 1 2 3 4 x + mx + 4x − x = 2 1 2 3 4 a) Tìm m, n để hệ có một nghiệm là (2;1;3;1) . b) Tìm điều kiện của m, n để hệ có nghiệm. Câu 5 (1 điểm). Trong 3 cho các véctơ: u = (1;0;1),u = −( 3; 2;1),u = (2;−1;0),u = (5;6;7).$ 1 2 3 4 Tìm số chiều của không gian U =Span(u u, ,u ) và kiểm tra xem u có thuộc vào không gian 1 2 3 4 U hay không? Câu 6 (2.5 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] xác định bởi: 1 1 f (a +a x)= (a +a )+(3a −a )x. 0 1 0 1 0 1 a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P x[ ] và kiểm tra f có đơn ánh không? 1 b) Tìm các trị riêng và các véctơ riêng của f . Câu 7 (1.5 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: u = (1; 2;1;1),u = (2;1;1; 2). 1 2 a) Tìm một cơ sở trực chuẩn B của không gian W =Span(u ,u ). 1 2 b) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ u = 2u +3u lên không gian W . 1 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
第 9 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho ánh xạ f : → , f ( )x = x2 + x và tập A= {0, 1, 2}. Xác định f (A); f −1(A) x + x − x + x = 2 1 2 3 4 x + 2x + x +3x = 7 1 2 3 4 Câu 2 (2 điểm). Cho hệ phương trình: −x −3x + 2x = −2 1 2 3 3x + 4x −4x +(m+3)x = m+6 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss với m=3. b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm. Câu 3 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f 3 → 3 xác định bởi: f (x ,x ,x )=(6x −2x +5x , 2x − x + x ,x +2x ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 b) Tìm dim Im f ; dim Ker f . c) Véctơ u=(3, 2, 1) có thuộc Im f không? Tại sao? 12 3 −3 −8 2 4 Câu 4 (2 điểm). Chéo hoá ma trận biết rằng 3; 6 là các trị riêng của nó. 10 5 1 Câu 5 (1.5 điểm). Cho không gian Euclide 3 với tích vô hướng chính tắc. Cho W = Span{(1,1,1), (3, 4,5), (6, 7,8)}. a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của W. b) Tìm hình chiếu trực giao của u=(4,2,6) lên W. Câu 6 (1 điểm). Cho A là một ma trận thực vuông. Chứng minh rằng det(A2 + I) 0, ở đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
第 10 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng nếu A C thì AB CB. Câu 2 (2 điểm). Cho ánh xạ f : \{2}→ ; g : → xác định bởi: x2 +3 f ( )x = x + 2,g x( ) = . x2 + 4 a) Ánh xạ g có phải toàn ánh không? Tìm Im g. b) Xác định ánh xạ tích g f . Câu 3 (2 điểm). Cho các véctơ u = −( 1, 4,−2,−5,1), u = (5,1,7,6, 2), u = (3, 2, 4,6,0), u = (2,−1,3,0, 2) trong không gian 1 2 3 4 5. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian sinh bởi các véctơ này. Câu 4 (1 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] xác định bởi: 3 2 f (a+bx+cx2 +dx3 )= (a+b)+2cx+dx2 với mọi a b c d, , , . Xác định ma trận f theo cặp cơ sở chính tắc của các không gian P x , P x . 3 2 3 0 2 Câu 5 (2 điểm). Chéo hoá ma trận A = −2 2 −4 . 0 0 2 Câu 6 (1 điểm). Trong không gian Euclide 4 với tích vô hướng thông thường, cho các véctơ u=(-2, 0, -1, 1) và v=(1, -2, 1, 0). a) Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v. b) Trực chuẩn hoá Gram-Schmidt hệ véctơ u, v. Câu 7 (1 điểm). Cho là argument của số phức 1+i 2 , và n là một số nguyên dương. Rút gọn số phức z =(1+i 2)n +(1−i 2)n theo n và . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
第 11 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp con của là A =[1;3] và B = (m m; +3) . Tìm m để (A\ B) (A B) . Câu 2 (1 điểm). Tìm các số phức z thoả mãn z3 = 4 3 −4i , với i là đơn vị ảo. 3 7 2 3 6 Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận X = − X . 3 4 3 1 4 x − x + x + x = 0 1 2 3 4 Câu 4 (4 điểm). Cho hệ phương trình 2x − x +3x −2x = 0 với m là tham số 1 2 3 4 −x +(m−3)x −3x +7x = m 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình khi m=2. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. c) Khi m=0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véctơ con U của 4 . Tìm số chiều và một cơ sở của U . d) Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của v = (4; 5; −6; −9) lên không gian con của U ở câu c. Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f (x ;x ;x )= −( 2x +3x + x ;−x − x + x ;−3x +2x +2x ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a) Tìm m để véctơ u = (1;3;m)Im( f ) . Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao? b) Tìm cơ sở của 3 để đối với cơ sở đó, ma trận của f có dạng đường chéo. Câu 6 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên , chứng minh hệ véctơ B ={sin x, cos x, sin 2 , cos 2 ,x x , sin10 , cos10 }x x là hệ độc lập tuyến tính. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
第 12 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp con của là A =[2; 4] và B = (m m; +1). Tìm m để (B \ A) (A\ B) . Câu 2 (1 điểm). Tìm các số phức z thoả mãn z3 = 4 3 +4i, với i là đơn vị ảo. 3 2 1 2 3 Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận X = + X . 5 4 4 5 6 x − x + x − x = m 1 2 3 4 Câu 4 (4 điểm). Cho hệ phương trình 3x −2x + 2x + x = 0 1 2 3 4 −x + mx −2x − x = 0 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình khi m=1. b) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm. c) Khi m=0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véctơ con U của 4 . Tìm số chiều và một cơ sở của U . d) Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của v = (5; 2; 4; −3) lên không gian con của U ở câu c. Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f (x ;x ;x )=(2x −3x + x ;x + x + x ;3x −2x +2x ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a) Tìm m để véctơ u = (3;5;m)Im( f ) . Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao? b) Tìm cơ sở của 3 để đối với cơ sở đó, ma trận của f có dạng đường chéo. Câu 6 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên , chứng minh hệ véctơ B ={sin x, cos x, sin 2 , cos 2 ,x x , sin10 , cos10 }x x là hệ độc lập tuyến tính. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
第 13 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho cáo mệnh đề A, B, C. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề: (A B) →C. Câu 2 (1.5 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bởi f ( )z = 2z3 −1. Ảnh xạ f có phải là đơn ánh không? Vì sao? Xác định tích các môđun của các phần tử trong tập nghịch ảnh f −1({5+2 })i . 1 3 −2 Câu 3 (2 điểm). Cho ma trận A = 2 −1 3 . 3 2 1 a) Tính det(A+2E)5 , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3. b) Giải phương trình ma trận AX =0 0 0T . Câu 4 (1.5 điểm). Trong không gian P x[ ], cho hệ vécto: 3 u =1+2x−x3, u = 2−x+ x2 +2x3, u = − +1 x−x2 −x3, u = 4+2x2 1 2 3 4 và các không gian véctơ con V = spanu u, ,V = spanu ,u . Tìm số chiều và một cơ sở của 1 1 2 2 3 4 các không gian con V +V và V V 1 2 1 2 Câu 5 (2 điểm). Cho biến đồi tuyến tính trên không gian 3 xác định bởi: f (1; 2;−1) = (2; 2; 4), f (2;1;3) = (1; 2;−1), f (1;1; 2) = (2;3;1). a) Xác định Im( f ) b) Tìm các trị riêng của f Câu 6 (2 điểm). Cho dạng toàn phương: h x( ,x ,x )= ax2 +3x2 +2x2 −4x x +2x x −2x x . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương. b) Với a=2, ta có duy nhất một tích vô hướng u v, trên 3 thoả mãn u u, = h u( ) . Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hoá Gram- Smith cơ sở chính tắc của 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
第 14 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho các mệnh đề A, B, C. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề: A → (B C).$ Câu 2 (1.5 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bởi f ( )z = 2z3 +1. Ánh xạ f có phải là toàn ánh không? Vì sao? Xác định tích các môđun của các phần tử trong tập nghịch ảnh f −1({5−2 })i 1 3 2 Câu 3 (2 điểm). Cho ma trận A = 2 −1 −3 . 3 2 −1 a) Tính det(A−2E)5 , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3. b) Giải phương trình ma trận XA =0 0 0. Câu 4 (1.5 điểm). Trong không gian P x[ ], cho hệ véctơ: 3 u =1−2x−x3, u = 2−x−x2 +2x3, u = − +1 x−x2 −x3, u = 4−4x+2x2 +2x3 1 2 3 4 và các không gian véctơ con V = spanu ,u ,V = spanu ,u . Tìm số chiều và một cơ sở của 1 1 2 2 3 4 các không gian con V +V và V V 1 2 1 2 Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính trên không gian 3 xác định bởi: f (2;3;−1) = (6; 2;−2), f (1;1;3) = (2;3;−1), f (3;1;−1) = (5; 4;−2). a) Xác định Im( f ) b) Tìm các trị riêng của f Câu 6 (2 điểm). Cho dạng toàn phương: h x( ,x ,x )= ax2 +3x2 +2x2 +4x x −2x x +2x x . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương. b) Với a=2, ta có duy nhất một tích vô hướng u v, trên 3 thoả mãn u u, = h u( ) . Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hoá Gram- Smith cơ sở chính tắc của 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
第 15 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) Câu 1 (1 điểm). Tìm các nghiệm phức của phương trình z4 = ( 3 +i)6 thoả mãn điều kiện | z −2 |i 3. 1 3 8 7 Câu 2 (1 điểm). Cho các ma trận A = , B = . 4 4 14 11 Tìm ma trận X thoả mãn AX = B− X . Câu 3 (2 điểm). Trong không gian P x[ ] cho các véctơ: 2 v =1+ x+ x2, v = 2+mx−x2, v = 4+5x+ x2, v =10+11x−5x2. 1 2 3 a) Xác định m để hệ B =v v, ,v phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3 b) Với m=2, chứng minh B lập thành cơ sở của không gian P x[ ]. Tìm toạ độ của véctơ v đối 2 với cơ sở B . Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 thoả mãn: f (1,1, 0) = (3,3,9), f (2,−1,1) = −( 1,3,1), f (0,1,1) = (1,1,3). a) Lập ma trận của f đối vói cơ sở chính tắc của 3 . b) Xác định f (3, 4,5) . c) Xác định số chiều và một cơ sở của ker f . Câu 5 (2 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1,1, 2,−1), v = (1, 2,1,1), v = (3, 4,5,−1). Cho V =Spanv v, ,v . 1 2 3 1 2 3 a) Xác định số chiều và một cơ sở của V. b) Tìm hình chiếu trực giao của vecto v=(4,1,0,4) lên V . Câu 6 (1 điểm). Cho ma trận A cỡ mn với m n , có hạng bằng m . Chứng minh tồn tại ma trận B cõ nm sao cho AB = E , với E là ma trận đơn vị. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
第 16 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điểm). Cho mệnh đề P: " x , y : y x ". a) Xác định mệnh đề phủ định của P . b) Mệnh đề P muốn khẳng định điều gì? Câu 2 (1 điểm). Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng: A(BC) = (AB)(AC). Câu 3 (2 điểm). Cho các vecto v = (2,1,0,−3),v = (1,−1, 2,5),v = (5,3,1, 2),v = (8,5,6,1). 1 2 3 4 a) Chứng minh v ,v ,v ,v lập thành một cơ sở của không gian 4 . 1 2 3 4 b) Tìm toạ độ của véctơ u = (23,14,17,−5) đối với cơ sở trên. Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f (1, 2,3) = (13,−7,−2), f (1, 2, 0) = (4, 2,−2), f (2, 0, 0) = (4, 0, 4). a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . b) Tìm các giá trị riêng, véctơ riêng của f . c) Tìm số chiều của không gian hạt nhân và không gian ảnh của f . Câu 5 (2 điểm). Trong không gian 5 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1,−1,−1,1,1), v = (2,1, 4,−4, 2), v = (4,−3,−2,6,0). 1 2 3 Ký hiệu V là không gian sinh bởi v ,v ,v . 1 2 3 a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của V bằng phương pháp Gram-Schmidt. b) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v = (0, 2, 4, 6,8) lên V . Câu 6 (1 điểm). Chứng minh rằng nếu ma trận A đồng dạng với ma trận B , thì A4 cũng đồng dạng với B4 . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
第 17 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20183 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1. Xét xem mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu số thực x thoả mãn phương trình x2 −2x +10 = 0 thì x phải là số âm". Câu 2. Gọi là tập hợp các số phức. Xét ánh xạ f : → xác định bởi công thức f ( )z = z6 −2z3 −2+i . Xác định tập hợp f −1({1+i}). 2 1 2 4 3 4 Câu 3. Cho các ma trận A = 1 1 0 , B = . 4 2 −2 1 1 2 Tìm ma trận X thoả mãn XA = B. Câu 4. Gọi G là tập hợp các ma trận vuông cấp n với định thức khác 0. Chúng minh rằng G là một nhóm với phép nhân ma trận. Câu 5. Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1;1;0;1), v = (2;1;−1; 2), v = −( 1; 2;1;0), v = (1; 2;−1; 2). 1 2 3 4 Đặt U =Spanv v, ,V =Spanv ,v . 1 2 3 4 a) Tìm giá trị m sao cho véctơ = (11;5;m;12) thuộc không gian U +V . b) Xác định số chiều và một cơ sở của U V . c) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v = (3; 2;0;6) lên U . 1 2 1 Câu 6. Ánh xạ tuyến tính f : P x[ ]→ P x[ ] có ma trận A = 1 3 −1 đối với cơ sở 2 2 1 1 3 B =v v, ,v , với v =1,v =1+ x v, = 2−x+ x2 . 1 2 3 1 2 3 a) Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E =1,x x, 2. Tính f (4+3x+2x2 ). b) Tìm số chiều và một cơ sở của ker( f ) . Câu 7. Cho A là ma trận thực vuông cấp 4. Biết rằng đa thức đặc trưng det(A−E) nhận các số phức =1+ 2i và = 3−2i làm nghiệm. Tính det(A) . 1 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
第 18 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bờ f ( )x = x2 +2x−1 và tập hợp A ={2;1;−3}. Xác định tập ảnh f (A) và tập nghịch ảnh f −1(A). Câu 2 (1.5 điểm). Cho phương trình phức z4 +16i = 0. Biểu diễn hình học các nghiệm của phương trình trên. Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận AX + AT = 2B, với 2 −3 −1 2 A = và B = . −5 8 1 −1 mx + 2x − x = 3 1 2 3 Câu 4 (1 điểm). Tìm m để hệ phương trình x + mx + 2x = 4 có nghiệm duy nhất. 1 2 3 2x +3x + x = −m 1 2 3 Câu 5 (1.5 điểm). Trong không gian P x[ ], cho các véctơ u =1+ x− x2,u =3x−x2 , 2 1 2 u = 2+3 ,x u = − +1 x−2x2 . Đặt U = spanu ,u và U = spanu ,u . Xác định số chiều và 3 4 1 1 2 2 3 4 một cơ sở của không gian U U . 1 2 Câu 6 (2 điểm). Cho toán tử tuyến tính trên 3 xác định bởi: f (1; 2;−1) = (4;−2;−6); f (1;1; 2) = (5;5;0); f (1;0;0) = (1; 2;1) a) Tìm m để u = (6;−3;m)Im( f ). b) Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f . Câu 7 (1.5 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc. a) Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ gồm 2 véctơ sau: u = (1;1;1;0) và u = (0;1;1;1). 1 2 b) Cho vecto v=(3;2 ;4 ;2). Xác định véctơ uSpanu u, sao cho ‖ u −v‖ nhỏ nhất. 1 2 Câu 8 (0.5 điểm). Trong không gian P [ ]x , tìm một cơ sở và số chiều của không gian 2018 V ={p x( )∣ p(1) = p(2) = 0}. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
第 19 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trên trường số phức: (z +i)7 = (z −i)7 . 1 0 −1 1 0 Câu 2 (1 điểm). Câu 2 (1 diểm). Giải phương trình ma trận: X = . 2 1 2 2 Câu 3 (1.5 điểm). Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x + 2x + x = 0 1 2 3 ax +(1−a x) +(a2 +1)x = 0 2 3 4 2 x +(2−a x) − x −2a x = 0 1 2 3 4 Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi: f ( ,x y z, ) = (4x −2y +2 ,z −2x + y − z, 2x − y + z). a) Với tích vô hướng chính tắc của 3,hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. b) Tìm toạ độ của véctơ = (1, 0,1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó. c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, với điều kiện x2 + y2 + z2 = 9 : ( ,x y z, ) = 4x2 + y2 + z2 −4xy +4xz −2yz, ( ,x y z, ) 3. Câu 5 (1.5 điểm). Trong không ain vec to 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1; 2;3;1),v = (1;3;3; 2) 1 1 2 V =Spanv = (1; 2;5;3),v = (1;3; 4;3) 2 3 4 Tìm một cơ sở trực chuẩn của V +V . Tìm hình chiếu của = (1;1; 2;0) lên V +V . 1 2 1 2 Câu 6 (1 điểm). Cho P x[ ] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, và ánh xạ 2 : P x[ ]→ 3 xác định bởi (p x( )) = (p(0), p(1), p( 1))− . Hỏi có phải là một đẳng cấu 2 không? Giải thích? Câu 7 (1 điểm). Ký hiệu Mn,1( ) là tập các ma trận thực kích cỡ n1. Giả sử rằng A, B là 2 ma trận vuông thực cấp n, (0 n ) thoả mãn: X AYt = X BYt ,X Y, M ( ) . n,1 Chứng minh rằng A = B . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
第 20 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trên trường số phức: (z +i)9 = (z −i)9 . 2 0 −1 1 0 Câu 2 (1 điểm). Giaii phương trình ma trận: X = . 4 2 1 1 Câu 3 (1.5 điểm). Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x + 2x − 2x − x = 0 1 2 3 4 ax +(1−a x) +(a2 +1)x = 0 2 3 4 2 2x +(4−a x) −4x −2(a +1)x = 0 1 2 3 4 Câu 4 (31.5 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi f ( ,x y z, ) = (4x +2y −2 , 2z x + y − z,−2x − y + z). a) Với tích vô hướng chính tắc của 3,hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. b) Tìm toạ độ của véctơ = (1, 0,1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó. c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, với điều kiện x2 + y2 + z2 =16 : ( ,x y z, ) = 4x2 + y2 + z2 +4xy −4xz −2yz,( ,x y z, ) 3. Câu 5 (1.5 điểm). Trong không ain vec to 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V =Spanv = (1; 2;3;1),v = (1;3;3; 2) 1 1 2 V =Spanv = (1; 2;5;3),v = (1;3; 4;3) 2 3 4 Tìm một cơ sở trực chuẩn của V V . Tìm hình chiếu của = (1;1;0;1) lên V V . 1 2 1 2 Câu 6 (1 điểm). Cho P x[ ] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 , và ánh xạ 2 : P x[ ]→ 3 xác định bởi (p x( )) = (p(0), p( 1),− p(1)) . Hỏi có phải là một đẳng cấu 2 không? Giải thích? Câu 7 (1 điểm). Ký hiệu Mn,1( ) là tập các ma trận thực kích cỡ n1. Giả sử rằng A, B là 2 ma trận vuông thực cấp n, (0 n ) thoả mãn: X AYt = X BYt ,X Y, M ( ) . Chứng minh n,1 rằng A = B. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！