第 2 页
Các phép biến đổi ảnh • Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) • Biến đổi Fourier • Biến đổi sin, cosin • Biến đổi Hadamar • Biến đổi Haar • Biến đổi K-L
第 3 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) • Ma trận Unitar và ma trận trực giao – Ma trận A là trực giao nếu A-1 = AT hay AAT = I • Ví dụ: 1 1 1 A = 2 1 −1 – Ma trận A là ma trận đơn nguyên ( unitary ) nếu A-1 = A*T hay AA*T = I • Ví dụ: 1 1 1 1 1 j A = A = 2 1 −1 2 j 1 – Ma trận A là thực thì A = A*, tính trực giao và tính đơn nguyên trùng nhau. – Ma trận A*T còn gọi là AH – ma trận Hermitian
第 4 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) • Biến đổi unitar một chiều ( 1D-unitary ) – A ma trận đơn nguyên, AA*T=I – s(n) = { s(0), s(1), ..., s(n-1)} – S = (s0, s1, ..., sn-1)T ⎧ V = AS – Biến đổi đơn nguyên một chiều:⎨S = A*TV ⎩ S = A-1 V = A*T V = Σiai*T vi trong đó ai*T = (a*i,0, …, a*i,N-1)T – là cội thứ i của ma trận A*T và là hàng thứ i của ma trận A* – ai*T gọi là vector cơ sở của phép biến đổi đơn nguyên A – Phép biến đổi đơn nguyên A phân tích vector S thành tổ hơp tuyến tính của các vector cơ sở với vector hệ số phân tích là V
第 5 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) – Ví dụ: • với A = I = ( ..., Ei, ... ), ta có s = ∑a v = ∑E v , trong đó E i i i i i i i là vector đơn vị cơ sở và bằng: Ei = ( 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0 )
第 6 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) • Tính chất của phép biến đổi đơn nguyên: – Là phép biến đổi tuyến tính: S1 ⇒ V1 S2 ⇒ V2 a, b: const S = aS1 + bS2 ⇒ V = aV1+bV2 – Định thức và các giá trị riêng của A bằng 1; – Phép quay: phép biến đổi đơn nguyên là phép quay vector trong không gian N chiều hay nói cách khác là phép quay hệ trục tọa độ quanh gốc tọa độ trong không gian;
第 7 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) – Bảo toàn năng lượng ( đẳng thức Parseval ): ||s||2 = ||v||2 – Năng lượng tập trung: • Đối với ảnh thông thường, năng lượng phân bố không đều; • Các thành phần biến thiên nhanh chiếm năng lượng nhỏ trong tín hiệu; • Nhiều phép biến đổi đơn nguyên tập trung năng lượng ảnh vào một vài thành phần hệ số biến đổi; – Giải tương quan ( decorrelation ) • Đầu vào là vector có các thành phần tương quan mạnh, qua phép biến đổi nhận được các thành phần tương quan yếu; • Ma trận hiệp biến: E[ ( x – E(x))( x – E(x))*T ] – Các thành phần nhỏ cách xa đường chéo có tương quan yếu.
第 8 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) • Biến đổi đơn nguyên hai chiều(2D unitary transform ) – A - ma trận đơn nguyên: AA*T = I – s(m, n ): ma trận ảnh S; – v(k, l): ma trận hệ số biến đổi V; ⎧V = ASAT ⎨ – Biến đổi đơn nguyên hai chiều: ⎩S = A*TVA* ∑∑N−1 N−1 – Điều kiện trực chuẩn: a (m,n)a* (m,n) =δ(k −k',l −l') k,l k' ,l' – Điều kiện đầy đủ của m=0 n=0 ∑∑N−1 N−1 a (m,n)a* (m',n') =δ(m−m',n−n') hệ cơ sở: k,l k,l k=0 l=0 – Khai triển biến đổi hai chiều: ⎧ ∑∑N−1 N−1 ⎪v(k,l) = s(m,n)a (m,n) ⎪ k,l ⎨ m=0 n=0 ∑∑N−1 N−1 ⎪ s(k,l) = v(k,l)a* (m,n) ⎪⎩ k,l k=0 l=0
第 9 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) – Độ phức tạp: • Cần N2 phép toán nhân số phức; • Cần N2 phép cộng số phức; • Độ phức tạp O(N4) đối với ảnh NxN – Khi ma trận A có các phần tử phân tách được: • ak,l(m,n) = ak(m) bl(n) , hay là ak,l(m,n) = a(k,m) b(l,n) • {ak(m)}k và {bl(n)}l là tập hợp đầy đủ các vector cơ sở trực chuẩn 1-D – Sử dụng các vector này làm các hàng của các ma trận đơn nguyên A=|a(k,m)| và B=|b(l,n)| • Áp dụng vào các hàng và cột của V , ta có: V = A X BT • Trong nhiều trường hợp, A và B được chọn trùng nhau. • Đối với ảnh vuông NxN: V = AXAT; S = AHYA* • Đối với ảnh chữ nhật MxN: V = AMXANT; S = AMHYAN* • Độ phức tạp tính toán: ~ O(N3)
第 10 页
Biến đổi đơn nguyên ( unitary ) • Các hình ảnh cơ sở – S = AHVA*, sau khi khai triển, ta sẽ có: s(m, n) =∑k ∑la*(k,m)a*(l,n)v(k,l) – Dưới dạng ma trận: • a*k cột thứ k của ma trận AH • a*l cột thứ l của ma trận AH • Ak,l = a*k(a*l)T: ma trận hình ảnh cơ sở • S = ∑k ∑l Ak,lv(k, l): khai triển hình ảnh S thành tổ hợp tuyến tính các hình ảnh cơ sở với các hệ số khai triển bằng phần tử tương ứng của ma trận V.
第 11 页
Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • Phép biến đổi Fourier đơn nguyên một chiều: – S = (s0, s1, ..., sN-1)T: vector tín hiệu 1 F = Wkn – Ma trận Fourier đơn nguyên N N N×N trong đó WN=e-j2kπn/N: vector cơ sở ⎧ V = FS – Biến đổi Fourier đơn nguyên 1D: ⎨ ⎩S = F*TV – Khai triển phép biến đổi Fourier đơn nguyên 1D: ⎧ 1 ∑N−1 nk ⎪ v(k) = s(n)W ⎪ N N ⎨ n=0 ⎪ 1 ∑N−1 −nk s(n) = v(k)W ⎪⎩ N N k=0
第 13 页
Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • Phép biến đổi Fourier đơn nguyên hai chiều – Ma trận đơn nguyên: F = FT; F* = F*T; F* = F-1 – V = FSF – S = F*VF* – Khai triển phép biến đổi 2D Fourier đơn nguyên ⎧ 1 N−1 N−1 k ⎪ v(k,l)= ∑ ∑s(m,n)WkmWln ⎪ N N N ⎨ n=0 m=0 ⎪ 1 ∑N−1 ∑N−1 −km −ln s(m,n)= v(k,l)W W ⎪⎩ N N N k=0 l=0 l
第 14 页
Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • Tính chất của phép biến đổi Fourier đơn nguyên – Tính tuyến tính; – Biến đổi Fourier của tín hiệu bị dịch – Phép quay: khi tín hiệu bị quay một góc θ, phổ của tín hiệu cũng bị quay đi cùng một góc; – Khai triển: ⎧ ⎛ m n ⎞ g(m',n') = ⎪ f ⎜⎜ , ⎟⎟ ,m,nM p ⎨ ⎝ p p ⎠ ⎪⎩0, otherwise G(k,l) = F(kmodN,lmodN),(u,v)∈[(0,0),(nN,nN)]
第 15 页
Phép biến đổi Fourier đơn nguyên • 2D UDFT của một số ảnh đơn giản – Hàm hình sin – Tín hiệu chữ nhật – Hàm Gauss – Lọc thông thấp
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！