liên tục

Định nghĩa. Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hiểu bằng hình ảnh: Nét vẽ bút chì trên trang giấy không bị nhấc lên hay đứt đoạn giữa chừng từ điểm này sang điểm khác.

Tính chất quan trọng

• Đồ thị hàm số liên tục có thể vẽ liền một mạch không nhấc bút.
• Định lý giá trị trung gian (Bolzano): Nếu hàm liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $(a; b)$.

Ví dụ giải từng bước: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = x^2 + 2x - 1$ tại điểm $x = 1$.

• Bước 1: Tính giá trị hàm số $f(1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$.
• Bước 2: Tính giới hạn $\lim_{x \to 1} (x^2 + 2x - 1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$.
• Bước 3: Do $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$ nên hàm số liên tục tại $x = 1$.

Cách nhận biết: Đề yêu cầu "tìm điều kiện để hàm số liên tục".