燐đa thức

Định nghĩa. Đa thức một biến $x$ là một biểu thức đại số có dạng: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ ($a_n \neq 0$). Số tự nhiên $n$ được gọi là bậc của đa thức.

Hiểu bằng hình ảnh. Đa thức giống như một chiếc xe lửa gồm nhiều toa (các đơn thức) nối lại với nhau bằng dấu cộng hoặc trừ.

Các định lý đại số kinh điển

• Định lý Bézout: Số dư của phép chia đa thức $P(x)$ cho $(x - a)$ là $R = P(a)$.
• Đa thức $P(x) \vdots (x - a) \Leftrightarrow P(a) = 0$ ($a$ là nghiệm của đa thức).
• Định lý Viète cho đa thức bậc 3 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$: $x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}$.

Ví dụ giải từng bước. Tìm số dư khi chia đa thức $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ cho nhị thức $(x - 2)$.

• Bước 1: Theo định lý Bézout, số dư $R = P(2)$.
• Bước 2: Thay $x = 2$ vào $P(x)$: $R = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 5 = 8 - 8 + 6 - 5 = 1$.
• Bước 3: Số dư của phép chia là $1$.

Lỗi hay gặp:

• Xác định sai bậc của đa thức khi các hệ số cao nhất triệt tiêu nhau.