Trang 1
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 1 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ 1 20191 MÃ HP : MI1141, Nhóm 1, Thời gian : 90 phút Chú ý : Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị ký xác nhận số đề. n 1i 3 Câu 1(1đ). Cho z ,n∈ ℕ. Tìm n nhỏ nhất để Re(Z ) 0 n 3 i n 0 ab Câu 2(1đ). Chứng minh W X | X :a b, Rlà không gian con của không gian vecto các ab 0 ma trận vuông cấp 2 trên ℝ. Tính dimW Câu 3(2,5đ) Ký hiệu P ( )x không gian vecto của các đa thức có bậc 2 2 1. Hệ u ( )x 2 x3x2;u ( )x 1 2 ;x u ( )x 18x6x2có phải là cơ sở của P ( )x hay không ? Vì 1 2 3 2 sao ? 2. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x P ( )x xác định bởi 2 2 f a( bxcx2) 6a2b2c(2a3 )b x(4ab2 )c x2 a. Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 1; ;x x2của P ( )x 2 b. Tìm dimKerf Câu 4(2,5đ). Trong R3 tích vô hướng của a (a ;a ;a );b (b b; ;b ) được xác định bởi 1 2 3 1 2 3 a b, a b a b a b 1 1 2 2 3 3 1. Cho u (1,1,0);u (0;1;1). Tìm vecto v (0;0;0) sao cho u v, 0 với mọi uSpan u u , 1 2 1 2 2. Cho toán tử tuyến tính : f :R3 R3 xác định bởi : f ( ,x y z, ) (2x 2y 2 ,z 2x 5y z, 2x y 5 )z Tìm cơ sở trực chuyển của ℝ3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5(1đ). Với 0 a , ký hiệu C f x( ) | f ( )x liên tục trên [a a; ]} [a a; ] a Ánh xạ :C[a a; ] R,( f ) f ( )x dx có phải là đơn ánh không ? tại sao ? a Câu 6(1đ). Cho A,B là 2 ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A2019 0 và AB A B. Chứng minh rằng det(B)=0 Câu 7(1đ) : Cho V là không gian vecto hữu hạn chiều và toán tử tuyến tính f :V V . Chứng minh rằngdim(Kerf 2) 2dim(Kerf ) 1
Trang 2
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 4 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ 1 20191 MÃ HP : MI1141, Nhóm 1, Thời gian : 90 phút Chú ý : Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị ký xác nhận số đề. Câu 1(1đ). Cho f ( )z z3 (12 )i z2 (12 )i z 2i . Tính f ( 2 ) i và giải phương trình f ( )z 0. Câu 2(1đ). Ánh xạ f :R2 C, f ( ,x y) (x3 2y2)(3x3 7 )y i có toàn ánh không ? Vì sao ? 2x y z 2 Câu 3(1đ). Tìm , Rđể hệ xy 2z 3 có vô số nghiệm 2xy z 1 Câu 4(1,5đ). Cho E {e e, ,e } là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép biến đổi tuyến tính : 1 2 3 0 1 1 f :V V có ma trận theo cơ sở E là A 1 0 1. Tìm cơ sở trực chuẩn F f , f , f sao cho ma trận 1 2 3 1 1 0 của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. Câu 5(1đ). Cho E {e e, ,e } là cơ sở của không gian vecto V . Hệ 1 2 3 F f e 2e 2e , f 2e 3e e , f 3e e e có phải là một cơ sở của V hay không ? Vì sao ? 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 Câu 6(2,5đ). Ký hiệu P ( )x là không gian vecto có đa thức có bậc 2 2 1. Cho toán tử tuyến tính f : P ( )x P ( )x xác định bởi : 2 2 f a( bxcx2) 2ab(2bc x) (abc x) 2 . Tìm dim Im f 1 Trên P2 ( )x cho tích vô hướng p x( ),q x( ) p x q x dx( ) ( ) và u1( )x 1;u2 ( )x x v x; ( ) x2 . Tìm hình 0 chiếu trực giao của vecto v x( ) lên Span u{ ,u }. 1 2 Câu 7(1đ). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thỏa mãn 9A A1 . Tính det(A A2017 ). Câu 8(1đ). Trong không gian vecto các hàm số liên tục trên [a,b], chứng minh hệ véc tơ {u ( )x | x |,k 1,n với ,i j i j; , 1, }n độc lập tuyến tính. k k i j 2
Trang 3
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 4 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ 1 20191 MÃ HP : MI1141, Nhóm 1, Thời gian : 90 phút Chú ý : Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị ký xác nhận số đề. Câu 1(1đ). Giải phương trình trong trường số phức: z4 (23 )i z3 (13 )i z2 0 1 c Câu 2(1,5đ). Cho A với c là một số thực cho trước. 0 1 a. Chứng minh rằng A luôn khả nghịch b. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình A X A5 ( 1)4 E trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2. Câu 3(1,5đ). Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo hệ số thực a: x 2x x 3x 1 1 2 3 4 4x 8x x 6x 7 1 2 3 4 x 2x 2x 2x a 1 2 3 4 Trong trường hợp hệ số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x ,x 1 2 Câu 4(2đ). Cho ánh xạ tuyến tính: f :P x[ ] P x[ ]xác định bởi: 2 2 f (1) (x x2); f ( )x 1 x2; f (x2) 1 x a. Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f. b. Tìm một cơ sở ℝ3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. Câu 5(3đ). Trong không gian vecto ℝ4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho: V Span v{ (1;1;0;1),v (1;1;0;0),v (1;1;0;1),v (0;2;0;1)} 1 2 3 4 a. Hệ vecto {v }4 có là một hệ trực giao không? j j1 b. Hãy tìm một hệ cơ sở của V c. Tìm hình chiếu của vecto (2;0;3;1) lên V. Câu 6(1đ). Giả sử rằng AM (R) tập các ma trận thực vuông cấp n. A2020 0 và A chéo hóa được. Chứng n minh rằng A phải là ma trận không 3
Trang 4
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ II ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20182 Mã HP: MI1141 – Tín chỉ - Thời gian 90 phút Câu 1 (1đ). Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là 3 tập hợp bất kỳ. Chứng minh rằng : (B \ A)C (B \ A) \ (AC) Câu 2 (1đ). Cho ánh xạ 𝑓:ℝ\{2} ⟶ ℝ xác định bởi 2x 1và tập 𝐴 = [−1;1]. Xác định f 1(A) f ( )x x 2 1 2 1 a Câu 3 (1đ). Cho 2 ma trận A và B , 𝑎 ∈ ℝ. Tìm ma trận 𝑋 sao cho (XA)1 B. 1 3 0 1 Câu 4 (1đ). Tìm 𝑎, 𝑏 sao cho hệ phương trình có nghiệm x 2x 3x ax 6 1 2 3 4 2x 3x 4x x 3b9 1 2 3 4 7x 11x 15x 2x 10b39 1 2 3 4 Câu 5 (1đ). Trong không gian vector 𝑃3[𝑥], đặt 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢 = 1 + 2𝑥 − 2𝑥2 + 𝑥3,𝑢 = −2 − 3𝑥 + 6𝑥2 − 𝑥3} 1 2 𝑊 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢 = 3 + 3𝑥 − 11𝑥2 + 2𝑥3,𝑢 = −3 − 4𝑥 + 13𝑥2 + 5𝑥3} 3 4 Tìm số chiều và một cơ sở của 𝑉 + 𝑊. Câu 6 (2đ). Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:𝑃2[𝑥] → 𝑃2[𝑥] thỏa mãn 𝑓(4 + 𝑥 + 𝑥2) = −1 − 𝑥 − 2𝑥2, 𝑓(1 + 2𝑥 + 𝑥2) = 4 + 5𝑥 + 9𝑥2, 𝑓(𝑥2) = 1 + 𝑥2 a) Tìm ma trận của 𝑓 đối với cơ sở chính tắc 𝐸 = {1,𝑥,𝑥2}. Tính 𝑓(𝑥 + 𝑥2). b) Tìm số chiều của Im𝑓 và 1 cơ sở của Ker𝑓. Câu 7 (1đ). Trong ℝ3 với tích vô hướng thông thường, cho 𝐻 = {𝑥,𝑦,𝑧|𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0}. Tìm hình chiếu của 𝑢 = {1,−2,1} lên 𝐻. Câu 8 (1.5đ). Trong ℝ3 với tích vô hướng thông thường, đưa dạng toàn phương 𝜔 = 2𝑥2 + 2𝑥2 + 2𝑥2 + 1 2 3 2𝑥 𝑥 về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa trực giao. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 𝜔 khi 𝑥2 + 1 2 1 𝑥2 + 𝑥2 = 5. 2 3 Câu 9 (0.5đ). Cho 𝐴 là ma trận thực vuông cấp 2019 thỏa mãn điều kiện 𝐴𝑇𝐴 = 0, ở đó 𝐴𝑇 là ma trận chuyển vị của ma trận 𝐴. Chứng minh rằng 𝐴 = 0. 4
Trang 5
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181 MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút Câu 1 (1đ). Cho các tập hợp con của ℝ là 𝐴 = [1;3],𝐵 = (𝑚;𝑚 + 3) . Tìm m để (𝐴\𝐵) ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵). Câu 2 (1đ). Tìm các số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧3 = 4√3 − 4𝑖, i là đơn vị ảo. 3 7 2 3 6 Câu 3 (1đ). Giải phương trình ma trận X X. 3 4 3 1 4 x x x x 0 1 2 3 4 Câu 4 (4đ). Cho hệ phương trình 2x x 3x 2x 0 ( trong đó m là tham số). 1 2 3 4 x (m3)x 3x 7x m 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình khi 𝑚 = 2. b) Tìm 𝑚 để hệ phương trình có nghiệm. c) Khi 𝑚 = 0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véc tơ con 𝑈 của ℝ4. Tìm số chiều và một cơ sở của U. d) Trong ℝ4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của 𝜐 = (4;5;−6;−9) lên không gian con 𝑈 ở câu c. Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi; 𝑓(𝑥1;𝑥2;𝑥3) = (−2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3;−𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3;−3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3). a) Tìm 𝑚 để véc tơ 𝑢 = (1;3;𝑚) ∈ 𝐼𝑚(𝑓). Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao? b) Tìm cơ sở của ℝ3 để đối với cơ sở đó ma trận của f có dạng đường chéo. Câu 6 (1đ). Trong không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ, chứng minh hệ véc tơ B sin x,cos ,sin 2 ,cos 2 ,...,sin10 ,cos10x x x x x là hệ độc lập tuyến tính. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 5
Trang 6
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 2 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181 MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút Câu 1 (1đ). Cho các tập hợp con của ℝ là 𝐴 = [2;4],𝐵 = (𝑚;𝑚 + 1). Tìm m để B\ AA B\ . Câu 2 (1đ). Tìm các số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧3 = 4√3 + 4𝑖,𝑖 là đơn vị ảo. 3 2 1 2 3 Câu 3 (1đ). Giải phương trình ma trận: X X 5 4 4 5 6 x x x x m 1 2 3 4 Câu 4 (4đ). Cho hệ phương trình 3x 2x 2x x 0 (trong đó m là tham số). 1 2 3 4 x mx 2x x 0 1 2 3 4 a) Giải hệ phương trình khi 𝑚 = 1. b) Tìm 𝑚 để hệ phương trình vô nghiệm. c) Khi 𝑚 = 0 , các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véc tơ con U của ℝ4. Tìm số chiều và một cơ sở của 𝑈. d) Trong ℝ4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của 𝜐 = (5;2;4;−3) lên không gian con 𝑈 ở câu c. Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(𝑥1;𝑥2;𝑥3) = (2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3;𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3;3𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3). a) Tìm 𝑚 để véc tơ 𝑢 = (3;5;𝑚) ∈ 𝐼𝑚(𝑓). Ảnh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao? b) Tìm cơ sở của ℝ3 để đối với cơ sở đó ma trận của 𝑓 có dạng đường chéo. Câu 6 (1đ). Trong không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ, chứng minh hệ véc tơ B sin x,cos ,sin 2 ,cos 2 ,...,sin10 ,cos10x x x x x là hệ độc lập tuyến tính. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 6
Trang 7
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 3 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181 MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút Câu 1 (1đ). Cho các mệnh đề 𝐴,𝐵,𝐶. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề (𝐴 ∨ 𝐵) → 𝐶. Câu 2 (1.5đ). Cho ánh xạ 𝑓:ℂ → ℂ xác định bởi 𝑓(𝑧) = 2𝑧3 − 1. Ánh xạ 𝑓 có phải là đơn ánh không vì sao? Xác định tích các mô đun của các phần tử trong tập nghịch ảnh 𝑓−3({5 + 2𝑖}). 1 3 −2 Câu 3 (2đ). Cho ma trận 𝐴 = [2 −1 3 ] 3 2 1 a) Tính 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 2𝐸)5 , trong đó 𝐸 là ma trận đơn vị cấp 3. b) Giải phương trình ma trận 𝐴𝑋 = [0 0 0]𝑇 Câu 4 (1.5đ). Trong không gian 𝑃 [𝑥], cho hệ véc tơ 𝑢 = 1 + 2𝑥 − 𝑥3, 𝑢 = 2 − 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3, 𝑢 = −1 + 3 1 2 3 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3, 𝑢 = 4 + 2𝑥2 và các không gian véc tơ con 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢 ,𝑢 }, 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢 ,𝑢 }. Tìm số 4 1 1 2 2 3 4 chiều và 1 cơ sở của các không gian con 𝑉1 + 𝑉2 và 𝑉1 ∩ 𝑉2. Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính trên không gian ℝ3 xác định bởi 𝑓(1;2;−1) = (2;2;4),𝑓(2;1;3) = (1;2;−1),𝑓(1;1;2) = (2;3;1). a) Xác định dimIm(𝑓) b) Tìm các giá trị riêng của 𝑓. Câu 6 (2đ). Cho dạng toàn phương ℎ(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 𝑎𝑥2 + 3𝑥2 + 2𝑥2 + 4𝑥 𝑥 − 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 𝑥 . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương. b) Với 𝑎 = 2, ta có duy nhất một tích vô hướng ⟨𝑢,𝜐⟩ trên ℝ3 thỏa mãn ⟨𝑢,𝑢⟩ = ℎ(𝑢). Tìm một cơ sở trực chuẩn của ℝ3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hóa Gram-Smith cơ sở chính tắc của ℝ3. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 7
Trang 8
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 4 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181 MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút Câu 1 (1đ). Cho các mệnh đề 𝐴,𝐵,𝐶. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề 𝐴 → (𝐵 ∧ 𝐶). Câu 2 (1.5đ). Cho ánh xạ 𝑓:ℂ → ℂ xác định bởi 𝑓(𝑧) = 2𝑧3 + 1. Ánh xạ 𝑓 có phải là toàn ánh không vì sao? Xác định tích các mô đun của các phần tử trong tập nghịch ảnh 𝑓−1({5 − 2𝑖}). 1 3 2 Câu 3 (2đ). Cho ma trận A 2 1 3 . 3 2 1 a) Tính 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 2𝐸)5 , trong đó 𝐸 là ma trận đơn vị cấp 3. b) Giải phương trình ma trận XA0 0 0 . Câu 4 (1.5đ). Trong không gian 𝑃 [𝑥], cho hệ véc tơ 𝑢 = 1 − 2𝑥 − 𝑥3, 𝑢 = 2 − 𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥3, 𝑢 = −1 + 3 1 2 3 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3, 𝑢 = 4 − 4𝑥 + 2𝑥2 + 2𝑥3 và các không gian véc tơ con 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢 ,𝑢 }, 𝑉 = 4 1 1 2 2 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢3,𝑢4}. TÌm số chiều và 1 cơ sở của các không gian con 𝑉1 + 𝑉2 và 𝑉1 ∩ 𝑉2. Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính trên không gian ℝ3 xác định bởi l𝑓(2;3;−1) = (6;2;−2),𝑓(1;1;3) = (2;3;−1),𝑓(3;1;−1) = (5;4;−2). a) Xác định dimIm(𝑓) b) Tìm các giá trị riêng của 𝑓. Câu 6 (2đ). Cho dạng toàn phương ℎ(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) = 𝑎𝑥2 + 3𝑥2 + 2𝑥2 + 4𝑥 𝑥 − 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 𝑥 . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a) Tìm điều kiện của 𝑎 để dạng toàn phương xác định dương. b) Với 𝑎 = 2, ta có duy nhất một tích vô hướng ⟨𝑢,𝜐⟩ trên ℝ3 thỏa mãn ⟨𝑢,𝑢⟩ = ℎ(𝑢). Tìm một cơ sở trực chuẩn của ℝ3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hóa Gram-Smith cơ sở chính tác của ℝ3. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 8
Trang 9
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC Đề 5: ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ 20181 Nhóm ngành 2. Mã HP 1142-Thời gian : 90 phút Câu 1: Tìm các nghiệm phức của phương trình thỏa mãn điều kiện z4 3 i6 thỏa mãn điều kiện z 2i 3 1 3 8 7 Câu 2 : Cho các ma trận A , B 4 4 14 11 Tìm ma trận X thỏa mãn AX B X Câu 3: Trong không gian P x cho các vecto 2 v 1 x x2,v 2 mx x2, v 45x x2,v 1011x 5x2 1 2 3 a) Xác định m để hệ B v v, ,v phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3 b) Với m =2,chứng minh B lập thành cơ sở của không gian P x . Tìm tọa độ của vecto v đối với cơ sở 2 B Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ3 thỏa mãn f 1,1,0 3,3,9 , f 2,1,1 1,3,1 , f 0,1,1 1,1,3 a) Lập ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của ℝ3 b) Xác định f 3, 4,5 c) Xác định số chiều và một cơ sở của ker f Câu 5: Trong ℝ4 với tích vô hướng chính tắc, cho các vecto: v 1;1;2;1 , v 1;2;1;1 , v 3;4;5;1 1 2 3 Đặt V Span v v , ,v 1 2 3 a) Xác định số chiều và một cơ sở của V b) Tìm hình chiếu trực giao của vecto V 4,1,0, 4 lên V Câu 6: Cho ma trận A và m x n với m n , có hạng bằng m. CM tồn tại ma trận B cỡ n x m sao cho AB=E, với E là ma trận đơn vị. 9
Trang 10
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 7 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ - 20181 Mã số MI1143 – Nhóm ngành 3 – Thời gian: 90 phút Câu 1. (1đ) Cho mệnh đề 𝑃:"∀𝑥 ∈ ℝ,∃𝑦 ∈ ℝ:𝑦 > 𝑥" a) Xác định mệnh đề phủ định của 𝑃. b) Mệnh đề 𝑃 muốn khẳng định điều gì? Câu 2. (1đ) Cho các tập hợp 𝐴,𝐵,𝐶. Chứng minh rằng: 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶) Câu 3. (2đ) Cho các vector: 𝜐1 = (2,1,5,8);𝜐2 = (1,−1,3,5);𝜐3 = (0,2,1,6);𝜐4 = (−3,5,2,1) a) Chứng minh 𝜐 ,𝜐 ,𝜐 ,𝜐 lập thành một cơ sở của không gian ℝ4. 1 2 3 4 b) Tìm tọa độ của vector 𝜐 = (−5,15,15,13) đối với cơ sở trên. Câu 4. (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(3,2,1) = (8,3,3);𝑓(3,2,0) = (6,5,3);𝑓(3,0,0) = (6,3,9) a) Tìm ma trận của 𝑓 đối với cơ sở chính tắc của ℝ3. b) Tìm các giá trị riêng, vector riêng của 𝑓. c) Tìm số chiều của không gian hạt nhân và không gian ảnh của 𝑓. Câu 5. (2đ) Trong không gian ℝ5 với tích vô hướng chính tắc cho các vector; 𝜐 = (−1,1,1,−1,−1); 𝜐 = 1 2 (2,1,4,−4,2);𝜐3 = (5,−4,−3,7,1). Ký hiệu 𝑉 là không gian sinh bởi 𝜐1,𝜐2,𝜐3. a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 𝑉 bằng phương pháp Gramm-Schmidt. b) Tìm hình chiếu trực giao của vector 𝜐 = (1,2,3,4,5) lên 𝑉. Câu 6. (1đ) Chứng minh rằng nếu ma trận 𝐴 đồng dạng với ma trận 𝐵 thì 𝐴4 cũng đồng dạng với 𝐵4. 10
Trang 11
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 8 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ - 20181 Mã số MI1143 – Nhóm ngành 3 – Thời gian: 90 phút Câu 1. (1đ) Cho mệnh đề 𝑃:"∀𝑥 ∈ ℝ,∃𝑦 ∈ℝ:𝑦 < 𝑥". a) Xác định mệnh đề phủ định của 𝑃. b) Mệnh đề 𝑃 muốn khẳng định điều gì? Câu 2. (1đ) Cho các tập hợp 𝐴,𝐵,𝐶. Chứng minh: 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) Câu 3. (2đ) Cho các vector: 𝜐1 = (2,1,0,−3);𝜐2 = (1,−1,2,5);𝜐3 = (5,3,1,2);𝜐4 = (8,5,6,1) a) Chứng minh 𝜐 ,𝜐 ,𝜐 ,𝜐 lập thành một cơ sở của không gian ℝ4. 1 2 3 3 b) Tìm tọa độ của vector 𝜐 = (23,14,17,−5) đối với cơ sở trên. Câu 4. (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(1,2,3) = (13,−7,−2);𝑓(1,2,0) = (4,2,−2);𝑓(2,0,0) = (4,0,4) a) Tìm ma trận của 𝑓 đối với cơ sở chính tắc của ℝ3. b) Tìm các giá trị riêng, vector riêng của 𝑓. c) Tìm số chiều của không gian hạt nhân và không gian ảnh của 𝑓. Câu 5. (2đ) Trong không gian ℝ5 với tích vô hướng chính tắc cho các vector: 𝜐 = (1,−1,−1,1,1); 𝜐 = 1 2 (2,1,4,−4,2); 𝜐3 = (4,−3,−2,6,0). Ký hiệu 𝑉 là không gian sinh bởi 𝜐1,𝜐2,𝜐3. a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 𝑉 bằng phương pháp Gramm-Schmidt. b) Tìm hình chiếu trực giao của vector 𝜐 = (0,2,4,6,8) lên 𝑉. Câu 6. (1đ) Chứng minh rằng nếu ma trận 𝐴 đồng dạng với ma trận 𝐵 thì 𝐴4 cũng đồng dạng với 𝐵4. 11
Trang 12
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 1 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ HÈ 20173 MÃ HP: MI 1141, Nhóm 1, Thời gian: 90 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải ký xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1(2đ). 1. Cho 𝑝,𝑞,𝑟 là 3 mệnh đề. Hỏi hai mệnh đề (𝑝 ↔ 𝑞) ∧ (𝑞 ↔ 𝑟) ∧ (𝑟 ↔ 𝑝) và (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) ∧ (𝑟 → 𝑝) có tương đương hay không? Tại sao? x 1 2. Ánh xạ 𝑓:ℝ\{1} → ℝ, f ( )x là đơn ánh không? Tại sao? x 1 ( )10 15 Câu 2 (1đ). Tìm phần thực và phần ảo của số phức 𝑧 = −1 + 𝑖 (√3 − 𝑖) . Câu 3 (1đ). Tìm m để phương trình ma trận sau có vô số nghiệm 2 1 3 2 1 3 m X 1 . 5 1 3 3 a b Câu 4 (1đ). Chứng minh rằng F M :a b c, , R là không gian con của không gian M các ma 0 c 2 2 trận vuông cấp 2. Tìm số chiều của F. Câu 5 (2đ). Cho ánh xạ f :ℝ3 → ℝ3 xác định bởi 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧;−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧;𝑧). 1. Chứng minh 𝑓 là một phép biến đổi tuyến tính và tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở chính tắc của ℝ3. 2. Tìm trị riêng và vector riêng của 𝑓. Câu 6 (1đ). Nhận dạng đường bậc hai 4𝑥𝑦 − 4√2𝑦 = 1. Câu 7 (1đ). Cho 𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4 ∈ ℝ. Chứng minh rằng ma trận sau khả nghịch 1 a2 a a a 1 2 3 4 a 1a2 a a A 2 1 4 3 . a a 1a2 a 3 4 1 2 a a a 1a2 4 3 2 1 Câu 8 (1đ). Gọi 𝐶(ℝ) là không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ. Cho 𝑛 số thực 𝜆1;𝜆2;...;𝜆𝑛 từng đôi một khác nhau. Chứng minh rằng hệ các véc tơ {𝑓 (𝑥) = 𝑒𝜆1𝑥;𝑓 (𝑥) = 𝑒𝜆2𝑥;...;𝑓 (𝑥) = 𝑒𝜆𝑛𝑥} ⊂ 𝐶(ℝ) độc 1 2 𝑛 lập tuyến tính. 12
Trang 13
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ HÈ 20173 MÃ HP: MI 1141, Nhóm 1, Thời gian: 90 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải ký xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1 (2đ). 1. Cho 𝑝,𝑞,𝑟 là 3 mệnh đề. Hỏi hai mệnh đề (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑟 ∨ 𝑝) và (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (𝑟 ∧ 𝑝) 4x 5 2. Ánh xạ 𝑓:ℝ\{3} → ℝ, f ( )x là đơn ánh không? Tại sao? x 3 ( )20 10 Câu 2 (1đ). Tìm phần thực và phần ảo của số phức 𝑧 = 1 − 𝑖 (−1 + 𝑖√3) . Câu 3 (1đ). Tìm m để phương trình ma trận sau có vô số nghiệm 3 1 m 5 1 2 2 X 2 . 2 3 3 7 Câu 4 (1đ). Chứng minh rằng 𝐹 = {(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) ∈ ℝ4:2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0} là không gian con của ℝ4. Tìm số chiều của 𝐹. Câu 5 (2đ). Cho ánh xạ 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧;𝑥 + 3𝑧;𝑦 + 𝑧). 1. Chứng minh 𝑓 là một phép biến đổi tuyến tính và tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở chính tắc của ℝ3. 2. Tìm trị riêng và vector riêng của 𝑓. Câu 6 (1đ). Nhận dạng đường bậc hai 2𝑥𝑦 + 2√2𝑥 = 1. Câu 7 (1đ). Cho 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 ∈ ℝ. Chứng minh rằng ma trận sau khả nghịch x y z 1t2 y x 1t2 z M . z 1t2 x y 1t2 z y x Câu 8 (1đ). Gọi 𝐶(ℝ) là không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ. Cho 𝑛 số thực 𝜆1;𝜆2;...;𝜆𝑛 từng đôi một khác nhau. Chứng minh rằng hệ các véc tơ {𝑓 (𝑥) = 𝑒𝜆1𝑥;𝑓 (𝑥) = 𝑒𝜆2𝑥;...;𝑓 (𝑥) = 𝑒𝜆𝑛𝑥} ⊂ 𝐶(ℝ) độc 1 2 𝑛 lập tuyến tính. 13
Trang 14
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 5 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20173 MÃ HP MI 1143 Nhóm 3 Thời gian: 90 phút Câu 1 (2đ). 1) Cho ánh xạ 𝑓:[1;+∞) → (−2;+∞) xác định bởi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2. Ánh xạ 𝑓 là ánh xạ toàn ánh không? Tại sao? 1 2 i 2) Cho số phức z ,(i2 1) . Tính 6√𝑧. 2i 2 1 2 6 1 Câu 2 (2đ). Cho các ma trận A 4 1 3, B 15 4, 𝑚 là tham số. m 0 1 4 1 1) Khi 𝑚 = 1, tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn 𝐴𝑋 = 𝐵. 2) Tìm 𝑚 để ma trận 𝐴 có hạng nhỏ nhất. Câu 3 (3đ). Kí hiệu 𝐺 là tập nghiệm của hệ phương trình 3x x 3x x 0 1 2 3 4 2x x x x 0 2 2 3 4 7x 2x 8x 2x 0 1 2 3 4 1) Chứng minh 𝐺 là không gian con của ℝ4. 2) Xác định một cơ sở của 𝐺. 3) Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ 𝑢 = (1;−2;0;1) trên 𝐺. Câu 4 (2đ). Cho toán tử tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(2;1;−1) = (0;1;3),𝑓(1;2;1) = (3;2;3),𝑓(1;−1;2) = (1;3;0). 1) Tìm ma trận 𝐴 của 𝑓 theo cơ sở chính tắc của ℝ3. 2) Tìm một cơ sở của ℝ3 (nếu có) để ma trận của 𝑓 theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5 (1đ). Cho 𝐴 là ma trận thực, vuông cấp 𝑛 và 𝐸 là ma trận đơn vị cùng cấp. Chứng minh 𝑑𝑒𝑡(𝐴2 + 4𝐸) ≥ 0. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và phải làm đúng số đề được phát. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 14
Trang 15
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 6 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20173 Mã HP MI 1143 Nhóm 3 Thời gian: 90 phút Câu 1(2đ). 1) Cho ánh xạ 𝑔:(−∞;−1] → [−2;+∞) xác định bởi 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 2. Ánh xạ 𝑔 là ánh xạ đơn ánh không? Tại sao? 5i 2 2) Cho số phức z ,(i 1) . Tính 𝑧2018. 32i 2 1 3 13 4 19 Câu 2(2đ). Cho các ma trận A 1 n 2, C , 𝑛 là tham số. 4 1 6 3 1 4 1) Khi 𝑛 = 0, tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn 𝑋𝐴 = 𝐶. 2) Tìm 𝑛 để ma trận 𝐴 có hạng lớn nhất. Câu 3(3đ). Kí hiệu 𝑆 là tập nghiệm của hệ phương trình 2x x x x 0 1 2 3 4 x x x 3x 0 1 2 3 4 5x 2x 2x 0 1 2 3 1) Chứng minh 𝑆 là không gian con của ℝ4. 2) Xác định một cơ sở của 𝑆. 3) Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ 𝑥 = (0;1;2;5) trên 𝑆. Câu 4(2đ). Kí hiệu 𝑃2[𝑥] là không gian các đa thức hệ số thực, có bậc ≤ 2. Cho toán tử tuyến tính 𝑔:𝑃2[𝑥] → 𝑃2[𝑥] xác định bởi: 𝑔(2 + 𝑥 − 𝑥2) = 𝑥 + 3𝑥2,𝑔(1 + 2𝑥 + 𝑥2) = 3 + 2𝑥 + 3𝑥2,𝑔(1 − 𝑥 + 2𝑥2) = 1 + 3𝑥. 1) Tìm ma trận 𝐵 của 𝑔 theo cơ sở chính tắc của 𝑃2[𝑥]. 2) Tìm một cơ sở của 𝑃2[𝑥] (nếu có) để ma trận của 𝑔 theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Câu 5(2đ). Cho 𝐴 là ma trận thực, vuông cấp 𝑛 và 𝐸 là ma trận đơn vị cùng cấp. Chứng minh 𝑑𝑒𝑡(𝐴2 + 9𝐸) ≥ 0. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và phải làm đúng số đề được phát. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 15
Trang 16
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 1 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20171 Khóa: K62-Nhóm ngành I, Thời gian; 90 phút. Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị phải ký xác nhận mã số đề vào bài thi. Câu 1 (1đ) Giải phương trình trong trường số phức: z 12 z 1 3(1 2 )i 8 6i 0 z z 1 0 Câu 2 (1đ) Giải phương trình ma trận: X2 2X . 6 8 Câu 3 (1,5đ) Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x x 2x a x2 0 1 2 3 4 x (1a x) 2x 0 1 2 3 2x (2a x) (6a x) 4x 0 1 2 3 4 Câu 4 (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ4 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠) = (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3𝑠,2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 − 5𝑠,𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 − 𝑠), ∀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠) ∈ ℝ4. a) Tìm một cơ sở và số chiều của ker f . b) Trên ℝ4 xét tích vô hướng chính tắc, cho 𝑢 = (1;0;1;0), tìm ker f sao cho ||𝑢 − 𝜔|| ≤ ||𝑢 − 𝑣||, với mọi véc tơ vker f . c) Hãy bổ sung thêm các véc tơ vào hệ cơ sở tìm được trong câu (a) để được hệ mới trở thành cơ sở của ℝ4. Câu 5 (1,5đ) Rút gọn dạng toàn phương sau bằng phương pháp chéo hóa trực giao 𝜑(𝑥) = (𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 )2,∀𝑥 = (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) ∈ ℝ3. Hãy nhận dạng mặt bậc hai sau 𝜑(𝑥) = 6𝑥 + 6. 1 2 3 1 2 3 3 Câu 6 (1đ) Cho 𝐺 = (ℝ\{0}) × ℝ và * là một phép toán hai ngôi trên G xác định bởi (𝑥1,𝑦1) ∗ (𝑥2,𝑦2) = (𝑥1𝑥2,𝑥1𝑦2 + 𝑦1). Hỏi (𝐺,∗) có phải là một nhóm không? Tại sao? Câu 7 (1đ) Giả sử rằng 𝐴,𝐵 ∈ 𝔐𝑛(ℝ) - tập các ma trận thực vuông cấp 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ\{0}. Ký hiệu 𝜎ℝ(𝐴𝐵) là tập các giá trị riêng của 𝐴𝐵. Chứng minh rằng: 𝜎ℝ(𝐴𝐵) ⊂ 𝜎ℝ(𝐵𝐴). 16
Trang 17
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20171 Khóa: K62-Nhóm ngành I, Thời gian; 90 phút. Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị phải ký xác nhận mã số đề vào bài thi. Câu 1 (1đ) Giải phương trình trong trường số phức: z 12 z 1 (5i) 8i 0 z z 1 0 Câu 2 (1đ) Giải phương trình ma trận: X2 2X . 8 15 Câu 3 (1,5đ)) Giải và biện luận theo hệ số thực 𝑎 hệ phương trình: x 2x 4x ax 0 1 2 3 4 x (2a x) 4x 0 1 2 3 2x (4a x) (10a x) 4x 0 1 2 3 4 Câu 4 (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ5 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠,𝑡) = (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3𝑠 + 4𝑡,2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 − 5𝑠 + 5𝑡,𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 − 𝑠 − 2𝑡) ∀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠,𝑡) ∈ ℝ5, a) Tìm một cơ sở và số chiều của Im f . b) Trên ℝ3 xét tích vô hướng chính tắc, cho 𝑢 = (1;0;2), tìm Im f sao cho ||𝑢 − 𝜔|| ≤ ||𝑢 − 𝑣||, với mọi véc tơ vIm f . c) Hãy bổ sung thêm các véc tơ vào hệ cơ sở tìm được trong câu (a) để được hệ mới trở thành cơ sở của ℝ3. Câu 5 (1,5đ) Rút gọn dạng toàn phương sau bằng phương pháp chéo hóa trực giao 𝜑(𝑥) = (𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 )2,∀𝑥 = (𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) ∈ ℝ3. Hãy nhận dạng mặt bậc hai sau 𝜑(𝑥) = 6𝑥 + 6. 1 2 3 1 2 3 2 Câu 6 (1đ) Cho 𝐺 = (ℝ\{0}) × ℝ và * là một phép toàn hai ngôi trên 𝐺 xác định bởi (𝑥1,𝑦1) ∗ (𝑥2,𝑦2) = (𝑥1𝑥2,𝑥2𝑦1 + 𝑦2). Hỏi (𝐺,∗) có phải là một nhóm không? Tại sao? Câu 7 (1đ) Giả sử rằng 𝐴,𝐵 ∈ 𝔐𝑛(ℝ) - tập các ma trận thực vuông cấp 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ\{0}. Ký hiệu 𝜎ℝ(𝐴𝐵) là tập các giá trị riêng của 𝐴𝐵. Chứng minh rằng: 𝜎ℝ(𝐵𝐴) ⊂ 𝜎ℝ(𝐴𝐵). 17
Trang 18
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 3 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20171 Khóa: K62-Nhóm ngành I, Thời gian; 90 phút. Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị phải ký xác nhận mã số đề vào bài thi. Câu 1 (1đ) Giải phương trình trên trường số phức: (𝑧 + 𝑖)7 = (𝑧 − 𝑖)7. 1 0 1 1 0 Câu 2 (1đ) Giải phương trình ma trận: X . 2 1 2 2 Câu 3 (1,5đ) Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x 2x x 0 1 2 3 ax (1a x) (a2 1)x 0 2 3 4 x (2a x) x 2a x2 0 1 2 3 4 Câu 4 (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = (4𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧,−2𝑥 + 𝑦 − 𝑧,2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) a) Với tích vô hướng chính tắc của ℝ3 hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của 𝑓 theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. b) Tìm tọa độ của véc tơ 𝜔 = (1;0;1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó. c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của 𝜙(𝑥,𝑦,𝑧) = 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 ∀(𝑥,𝑦,𝑧) ∈ ℝ3 thỏa mãn 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9. Câu 5 (1,5đ) Trong không gian véc tơ ℝ4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho 𝑉1 = 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣1 = (1;2;3;1),𝑣2 = (1;3;3;2)}; 𝑉2 = 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣3 = (1;2;5;3),𝑣4 = (1;3;4;3)}. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của 𝑉1 + 𝑉2. Tìm hình chiếu của véc tơ 𝜔 = (1;1;2;0) lên 𝑉1 + 𝑉2 Câu 6 (1đ) Cho 𝑃 [𝑥] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 và ánh xạ 𝜑:𝑃 [𝑥] → ℝ3 xác 2 2 định bởi 𝜑(𝑝(𝑥)) = (𝑝(0),𝑝(1),𝑝(−1)) . Hỏi 𝜑 có phải là một đẳng cấu không? Giải thích? Câu 7 (1đ) Ký hiệu 𝔐𝑛,1(ℝ) là tập các ma trận thực kích cỡ 𝑛 × 1. Giả sử rằng 𝐴,𝐵 là hai ma trận vuông thực cấp 𝑛, với 0 < 𝑛 ∈ ℕ thỏa mãn 𝑋𝑡𝐴𝑌 = 𝑋𝑡𝐵𝑌,∀𝑋,𝑌 ∈ 𝔐 (ℝ). Chứng minh rằng 𝐴 = 𝐵. 𝑛,1 18
Trang 19
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 4 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20171 Khóa: K62-Nhóm ngành I, Thời gian; 90 phút. Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị phải ký xác nhận mã số đề vào bài thi. Câu 1 (1đ) Giải phương trình trên trường số phức: (𝑧 + 𝑖)9 = (𝑧 − 𝑖)9. 2 0 1 1 0 Câu 2 (1đ) Giải phương trình ma trận: X . 4 2 1 1 Câu 3 (1,5đ)) Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình: x 2x 2x x 0 1 2 3 4 ax (1a x) (a2 1)x 0 2 3 4 2x (4a x) 4x 2(a2 1)x 0 1 2 3 4 Câu 4 (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ3 xác định bởi: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = (4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧,2𝑥 + 𝑦 − 𝑧,−2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) a) Với tích vô hướng chính tắc của ℝ3 hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của 𝑓 theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo. b) Tìm tọa độ của véc tơ 𝜔 = (1;0;1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó. c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của 𝜙(𝑥,𝑦,𝑧) = 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 4𝑥𝑦 − 4𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 ∀(𝑥,𝑦,𝑧) ∈ ℝ3 thỏa mãn 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16. Câu 5 (1,5đ) Trong không gian véc tơ ℝ4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho 𝑉 = 1 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣1 = (1;2;3;1),𝑣2 = (2;0;−2;1)}; 𝑉2 = 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣3 = (1;3;5;2),𝑣4 = (3;8;13;3)}. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của 𝑉1 ∩ 𝑉2. Tìm hình chiếu của véc tơ 𝜔 = (1;1;0;1) lên 𝑉1 ∩ 𝑉2 Câu 6 (1đ) Cho 𝑃 [𝑥] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 và ánh xạ 𝜑:𝑃 [𝑥] → ℝ3 xác 2 2 định bởi 𝜑(𝑝(𝑥)) = (𝑝(0),𝑝(−1),𝑝(1)). Hỏi 𝜑 có phải là một đẳng cấu không? Giải thích? Câu 7 (1đ) Ký hiệu 𝔐𝑛,1(ℝ) là tập các ma trận thực kích cỡ 𝑛 × 1. Giả sử rằng 𝐴,𝐵 là hai ma trận vuông thực cấp 𝑛, với 0 < 𝑛 ∈ ℕ thỏa mãn 𝑋𝑡𝐴𝑌 = 𝑋𝑡𝐵𝑌,∀𝑋,𝑌 ∈ 𝔐 (ℝ). Chứng minh rằng 𝐴 = 𝐵. 𝑛,1 19
Trang 20
TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 5 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20171 Khóa: K62-Nhóm học: 2, Thời gian; 90 phút. Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị phải ký xác nhận mã số đề vào bài thi. Câu 1 (2đ): Giải phương trình trong tập số phức: a z) 2 ( 3 1)iz 1 3 (1 3)i 0 1 ( 3 1)i b) 1 3 (1 3)i 0 (2z 9)23 (2z 9)11 1 1 2 1 3 1 1 2 3 Câu 2 (1đ): Cho các ma trận A 3 1 1 ; B 1 0 2 ; C 2 3 6 1 0 2 2 1 1 2 0 0 Tìm ma trận 𝑋 sao cho 𝐴𝑋 − 𝐵 = 𝐶𝑋. Câu 3 (1đ): Tìm 𝑚 và 𝑛 sao cho không gian nghiệm của hệ phương trình sau có số chiều là 2: 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑚𝑥3 + 3𝑥4 = 0 {2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 0 2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑛𝑥4 = 0. Câu 4 (1đ): Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓:ℝ3 → ℝ4 với 𝑓(𝑥1,𝑥2,𝑥3) = (𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3,3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3,−7𝑥1 + 7𝑥2 − 12𝑥3.−5𝑥1 + 4𝑥2 − 7𝑥3) ∀(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ) ∈ ℝ3. Tìm số chiều và cơ sở của không gian Im f . 1 2 3 6 4 4 Câu 5 (2đ): Cho ma trận A 4 4 2 . 14 7 9 Hãy tính các giá trị riêng của 𝐴, sau đó chéo hóa ma trận 𝐴. Câu 6 (2đ): Trong ℝ4 với tích vô hướng chính tắc, cho ba véc-tơ 𝜐1 = (1;0;−1;0),𝜐2 = (1;−2𝑚;𝑚;1),𝜐3 = (1;1;1;0). a) Tìm m để hai véc-tơ 𝜐1,𝜐2 trực giao với nhau, và với 𝑚 tìm được đó hãy chứng minh rằng hệ véc-tơ {𝜐1,𝜐2,𝜐3} là độc lập tuyến tính. b) Với m tìm được ở trên hãy tính hình chiếu trực giao của véc-tơ 𝑢 = (0;2;1;−1) lên không gian 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝜐1,𝜐2,𝜐3}. Câu 7 (1đ): Cho 𝐴 là ma trận thực vuông cấp 𝑛 chéo hóa được và 𝑝(𝜆) là đa thức đặc trưng của 𝐴 (tức là 𝑝(𝜆) = |𝐴 − 𝜆𝐼| với 𝜆 ∈ ℝ). Chứng minh rằng 𝑝(𝐴) = 𝑂. 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!