Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV Nhóm ngành 1 Bài 1: Cho ánh xạ f : R3 → R2 xác định bởi công thức f(x , x , x ) = (3x + x − x ,2x + x ). 1 2 3 1 2 3 1 3 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc. c) Tìm một cơ sở của Ker f. Lời giải a) Với x, y ∈ R3, ta có: f(x + y) = (3 (x1 + y1) + (x2 + y2) − (x3 + y3),2 (x1 + y1) + (x3 + y3)) = (3x1 + x2 − x3,2x1 + x3) + (3y1 + y2 − y3,2y1 + y3) =f(x) +f(y) Với x ∈ R3 và k ∈ R, ta có: f(kx) = (3kx1 + kx2 − kx3,2kx1 + kx3) = k (3x1 + x2 − x3,2x1 + x3) = kf(x) Vậy f là ánh xạ tuyến tính b) Gọi I là cơ sở chính tắc của R2. Ta có: f(1,0,0) = (3,2) ⇒ [f(1,0,0)] = (3,2)T E f(0,1,0) = (1,0) ⇒ [f(0,1,0)] = (1,0)T E f(0,0,1) = (−1,1) ⇒ [f(0,0,1)] = (−1,1)T E " # 3 1 −1 ⇒Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 2 0 1 c) Ker f = {x ∈ R3 | f(x) = θ} 3x + x − x = 0 Xét f(x) = θ ⇔ 1 2 3 2x + x = 0 1 3 x = t 1 Đặt x1 = t, khi đó ta có: x = −5t ⇔ x = t(1,−5,−2) 2 x3 = −2t Vậy {(1,−5,−2)} là một cơ sở của Ker f Bài 2: Cho ánh xạ f : P [x] → P [x] xác định như sau: f(p) = p + x2p,∀p ∈ P [x]. 2 4 2 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc E = {1, x, x2} của P [x] và E = {1, x, x2, x3, x4} 1 2 2 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập của P4[x] c) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở E′ = {1 + x,2x,1 + x2} của P [x] và E = {1, x, x2, x3, x4} 1 2 2 của P4[x] Lời giải a) Với p, q ∈ P2[x] và k, h ∈ R,ta có: f(kp + hq) = (kp + hq) + x2 (kp + hq) = (kp + x2kp) + (hq + x2hq) = k (p + x2p) + h(q + x2q) = kf(p) + hf(q) Vậy f là ánh xạ tuyến tính b) Ta có: f(1) = 1 + x2 ⇒ [f(1)] = (1,0,1,0,0)T E2 f(x) = x + x3 ⇒ [f(x)] = (0,1,0,1,0)T E2 f(x2) = x2 + x4 ⇒ [f(x2)] = (0,0,1,0,1)T E2 1 0 0 0 1 0 ⇒ Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 c) Ta có: f(1 + x) = 1 + x2 + x3 + x4 ⇒ [f(1 + x)] = (1,1,1,1,0)T E2 f(2x) = 2x + 2x3 ⇒ [f(2x)] = (0,2,0,2,0)T E2 f(1 + x2) = 1 + 2x2 + x4 ⇒ [f(1 + x2)] = (1,0,2,0,1)T E2 1 0 1 1 2 0 ⇒ Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 1 0 2 1 2 0 0 0 1 Bài 3: Cho ánh xạ tuyến tính f :P2[x] → P2[x] thoả mãn: f(1 − x2) = −3 + 3x − 6x2, f(3x + 2x2) = 17 + x + 16x2, f(2 + 6x + 3x2) = 32 + 7x + 25x2. a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P [x]. Tính f(1 + x2). 2 b) Xác định m để véctơ v = 1 + x + mx2 thuộc Im f. Lời giải a) Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E của P2[x], khi đó ta có: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập [f(x)]E = A.[x]E ⇒ [f(x1)]E [f(x2)]E [f(x3)]E = A ·[x1]E [x2]E [x2]E −1 −3 17 32 1 0 2 −3 17 32 1 0 2 ⇒ 3 1 7 = A · 0 3 6 ⇒ A = 3 1 7 · 0 3 6 −6 16 25 −1 2 3 −6 16 25 −1 2 3 1 3 4 ⇒ A = 2 1 −1 −1 2 5 Ta có: 1 3 4 1 5 [f(1 + x2)] = A.[1 + x2] = 2 1 −1 · 0 = 1 E E −1 2 5 1 4 ⇒f(1 + x2) = 5 + x + 4x2 b) Im f = { f(x) | x ∈ P2[x]} 1 1 3 4 u1 Để v ∈ Im f thì tồn tại u ∈ P2[x] sao cho: [v]E = A .[u]E ⇔ 1 = 2 1 −1 · u2 m −1 2 5 u3 u + 3u + 4u = 1 1 2 3 ⇒ Hệ phương trình 2u + u − u = 1 có nghiệm 1 2 3 −u1 + 2u2 + 5u3 = m Ta có: 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 2 1 −1 1 −H−2−−−2−H−1→−−H→2 0 −5 −9 −1 −H−3−+−H−2→−−H→3 0 −5 −9 −1 H +H →H 3 1 3 −1 2 5 m 0 5 9 m + 1 0 0 0 m Để hệ phương trình có nghiệm thì m = 0 Vậy m = 0 thì v ∈ Im f Bài 4. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi công thức f(x , x , x ) = (x +x −x , x −x +x ,−x + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 x2 + x3). Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (1; 0; 0), v2 = (1; 1; 0), v3 = (1; 1; 1)} Lời giải Ta có: f(v1) = (1; 1;−1) = 2.(1; 1; 0) − (1; 1; 1) = 0.v1 + 2.v2 − v3 Tương tự: f(v2) = (2; 0; 0) = 2.v1 + 0.v2 + 0.v3, f(v3) = (1; 1; 1) = 0.v1 + 0.v2 + v3 Nên: [f(v )] = (0; 2;−1)T ,[f(v )] = (2; 0; 0)T ,[f(v )] = (0; 0; 1)T 1 B 2 B 3 B Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 0 2 0 ⇒Ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là A = 2 0 0 −1 0 1 Bài 5. Cho ánh xạ tuyến tính f :P2[x] → P2[x] thoả mãn: f (1 − x2) = −3 + 3x − 6x2, f (3x + 2x2) = 17 + x + 16x2, f (2 + 6x + 3x2) = 32 + 7x + 25x2. a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P [x]. Tính f (1 + x2). 2 b) Xác định m để véctơ v = 1 + x + mx2 thuộc Im f. Lời giải a) Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E của P2[x], khi đó ta có: [f(x)]E = A.[x]E ⇒ [f(x1)]E [f(x2)]E [f(x3)]E = A ·[x1]E [x2]E [x2]E −1 −3 17 32 1 0 2 −3 17 32 1 0 2 ⇒ 3 1 7 = A · 0 3 6 ⇒ A = 3 1 7 · 0 3 6 −6 16 25 −1 2 3 −6 16 25 −1 2 3 1 3 4 ⇒ A = 2 1 −1 −1 2 5 Ta có: 1 3 4 1 5 [f (1 + x2)] = A.[1 + x2] = 2 1 −1 · 0 = 1 E E −1 2 5 1 4 ⇒ f (1 + x2) = 5 + x + 4x2 b) Im f = { f(x) | x ∈ P2[x]} 1 1 3 4 u1 Để v ∈ Im f thì tồn tại u ∈ P2[x] sao cho: [v]E = A .[u]E ⇔ 1 = 2 1 −1 · u2 m −1 2 5 u3 u + 3u + 4u = 1 1 2 3 ⇒ Hệ phương trình 2u + u − u = 1 có nghiệm 1 2 3 −u1 + 2u2 + 5u3 = m Ta có: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1 2 1 −1 1 −H−2−−−2−H−1→−−H→2 0 −5 −9 −1 −H−3−+−H−2→−−H→3 0 −5 −9 −1 H +H →H 3 1 3 −1 2 5 m 0 5 9 m + 1 0 0 0 m Để hệ phương trình có nghiệm thì m = 0 Vậy m = 0 thì v ∈ Im f 1 3 −1 Bài 6. Cho A = 2 0 5 là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → P2[x] đối với cơ sở 6 −2 4 B = {v , v , v } trong đó: v = 3x + 3x2, v = −1 + 3x + 2x2, v = 3 + 7x + 2x2 1 2 3 1 2 3 a) Tìm f(v1), f(v2), f(v3) b) Tìm f(1 + x2) Lời giải 1 3 −1 a) Ánh xạ f : P [x] → P [x] có ma trận là A = 2 0 5 đối với cơ sở B = {v , v , v } nên 2 2 1 2 3 6 −2 4 f(v ) = v + 2v + 6v 1 1 2 3 f(v ) = 3v − 2v với v = 3x + 3x2, v = −1 + 3x + 2x2, v = 3 + 7x + 2x2 2 1 3 1 2 3 f(v3) = −v1 + 5v2 + 4v3 f(v ) = 16 + 51x + 19x2 1 Ta nhận được f(v ) = −6 − 5x + 5x2 2 f(v ) = −7 + 40x + 15x2 3 b) Ta có 1 + x2 = v − v nên f(1 + x2) = f(v ) − f(v ) = 22 + 56x + 14x2 1 2 1 2 3 −2 1 0 Bài 7: Cho ma trận A = 1 6 2 1 là ma trận ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 đối với −3 0 7 1 cặp cở sở B = {v , v , v , v } của R4 và B′ = {u , u , u } của R3 trong đó v = (0; 1; 1; 1), v = 1 2 3 4 1 2 3 1 2 (2; 1;−1;−1), v3 = (1; 4;−1; 2), v4 = (6; 9; 4; 2) và u1 = (0; 8; 8), u2 = (−7; 8; 1), u3 = (−6; 9; 1) a) Tìm [f(v1)]B′,[f(v2)]B′,[f(v3)]B′,[f(v4)]B′ b) Tìm f(v1), f(v2), f(v3), f(v4) c) Tìm f(2,2,2,0) Lời giải Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) Ta thấy: 3 −2 1 0 [f(v1)]B′ = 1 ; [f(v2)]B′ = 6 ; [f(v3)]B′ = 2; [f(v4)]B′ = 1 −3 0 7 1 b) Ta có: f(v1) = 3u1 + u2 − 3u3 = (11; 5; 22) f(v2) = −2u1 + 6u2 = (−42; 32;−10) f(v3) = u1 + 2u2 + 7u3 = (−56; 87; 17) f(v4) = u2 + u3 = (−13; 17; 2) c) Giả sử v = (2; 2; 0; 0) = λ1v1 + λ2v2+ λ3v2 + λ4v4 2λ2 + λ3 + 6λ4 = 2 λ1 = 1 λ1 + λ2 + 4λ3 + 9λ4 = 2 λ2 = 1 ⇔ ⇔ λ − λ − λ + 4λ = 0 λ = 0 1 2 3 4 3 λ − λ + 2λ + 2λ = 0 λ = 0 1 2 3 4 4 ⇒ f(2; 2; 0; 0) = 2f(v1) + f(v2) = (−31; 37; 12) Bài 8. Cho toán tử tuyến tính trên P2[x] xác định bởi: f(1 + 2x) = −19 + 12x + 2x2;f(2 + x) = −14 + 9x + x2;f(x2) = 4 − 2x − 2x2 Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P2[x] và tìm rank(f). Lời giải Từ f(1 + 2x) = −19 + 12x + 2x2;f(2 + x) = −14 + 9x + x2;f(x2) = 4 − 2x − 2x2 ta có hệ phương trình f(1) + 2f(x) = −19 + 12x + 2x2 2f(1) + f(x) = −14 + 9x + x2 với f(1), f(x), f(x2) là các giá trị cần tìm. f(x2) = 4 − 2x − 2x2 2(−14 + 9x + x2) − (−19 + 12x + 2x2) f(1) = = −3 + 2x 3 =⇒ f(x) = (−14 + 9x + x2) − 2(−3 + 2x) = −8 + 5x + x2 f(x2) = 4 − 2x − 2x2 −3 8 4 =⇒ Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là A = 2 5 −2 0 1 −2 Ta có det(A) = 64 ̸= 0 =⇒ rank(A) = 3 =⇒ rank(f) = 3 Bài 9. Cho V, V ′ là 2 không gian vector n chiều và f : V → V ′ là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh các khẳng định sau tương đương: a) f là đơn ánh. b) f là toàn ánh. Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập c) f là song ánh. Lời giải • Hiển nhiên từ c) suy ra a) và b) và nếu có a) và b) thì suy ra c). Từ đó ta chỉ cần chứng minh a) =⇒ b) và b) =⇒ a). • Trước hết ta chứng minh a) =⇒ b). Ta có dim V = dim(Ker f) + dim(Im f) (1) Giả sử có a) tức là f đơn ánh. Ta có Ker f = {Ø} nên dim(Ker f) = 0 Từ (1) =⇒ dim V = dim(Im f) = n và do đó dim(Im f) = dim V’ = n Suy ra Im f là không gian con vủa V’ và cùng số chiều với V’ nên Im f = V’ Vậy f là toàn ánh và do đó là toàn cấu. a) =⇒ b) • Chứng minh b) =⇒ a) Giả sử có b) tức là f toàn ánh.// Khi đó Im f = V’ nên dim(Im f) = dim V’ = n = dim V. Từ (1) thì dim(Ker f) = 0 nên Ker f = Ø Vậy f đơn ánh nên f là đơn cấu. b) =⇒ a). Bài 10: Cho toán tử tuyến tính trên R3 xác định bởi: f(x1;x2;x3) = (x1 − 2x2 + x3;x1 + x2 − x3;mx1 − x2 + x3) , với m là tham số. Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc R3 và tìm m để f là một toàn ánh Lời giải 1 −2 1 Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là:A = 1 1 −1 m −1 1 f là toàn ánh ⇔ dimImf = dimR3 ⇔ r(A) = 3 Ta có: 1 −2 1 1 −2 1 ! L − L → L A = 1 1 −1 → 0 3 −2 2 1 2 L − mL → L m −1 1 0 2m − 1 1 − m 3 1 3 1 −2 1 →0 3 −2 L − (2m − 1)L → L 3 2 3 0 0 3(1 − m) + 2(2m − 1) Ta thấy r(A) = 3 ⇔ 3(1 − m) + 2(2m − 1) ̸= 0 ⇔ m ̸= −1 Vậy f là toàn ánh ⇔m ̸= −1 Bài 11: Tìm các giá trị riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập " # " # 2 −1 0 3 0 10 −9 a) A = b) B = c) C = 5 −3 3 8 −1 4 −2 −1 0 −2 0 1 0 4 −5 2 d) D = −4 4 0 e) E = 5 −7 3 −2 1 2 6 −9 4 Lời giải " 3 − λ 0 λ1 = −1 a) Xét det(A − λI) = 0 ⇔ = (λ − 3)(λ + 1) = 0 ⇔ 8 −1 − λ λ2 = 3 • Với λ1 = −1: " # " # " # ( 4 0 x 0 x = 0 (A + I)X = 0 ⇔ . = ⇔ 8 0 y 0 y = a ⇒ u1 = (0,1) là một véc tơ riêng • Với λ2 = 3: " # " # " # ( 0 0 x 0 x = a (A − 3I)X = 0 ⇔ . = ⇔ 8 −4 y 0 y = 2a ⇒ u2 = (1,2) là một véc tơ riêng Ma trận A có 2 trị riêng là λ1 = −1 và λ2 = 3. Cơ sở không gian riêng của ma trận A là {(0,1),(1,2)}. 10 − λ −9 b) Xét det(B − λI) = 0 ⇔ = λ2 − 8λ + 16 = (λ − 4)2 = 0 ⇔ λ = 4 4 −2 − λ 1 +) Với λ = 4: " # " # " # ( 6 −9 x 0 x = 3a (B − 4I)X = 0 ⇔ . = ⇔ 4 −6 y 0 y = 2a ⇒ u1 = (3,2) là một véc tơ riêng Ma trận B có 1 trị riêng là λ = 4. Cơ sở không gian riêng của ma trận B là {(3,2)}. 2 − λ −1 0 c) Xét det(C − λI) = 0 ⇔ 5 −3 − λ 3 = −(λ − 1)(λ2 + 4λ + 5) = 0 ⇔ λ = 1 −1 0 −2 − λ +) Với λ = 1: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 −1 0 x 0 x = 3a (C − I)X = 0 ⇔ 5 −4 3 .y = 0 ⇔ y = 3a −1 0 −3 z 0 z = −a ⇒ u = (3,3,−1) là một véc tơ riêng Ma trận C có 1 trị riêng là λ = 1. Cơ sở không gian riêng của ma trận C là {(3,3,−1)}. 0 − λ 1 0 d) Xét det(D−λI) = 0 ⇔ −4 4 − λ 0 = (2−λ)(λ2−4λ+4) = −(λ−2)3 = 0 ⇔ λ = 2 −2 1 2 − λ +) Với λ = 2: −2 1 0 x 0 x = a (D − 2I)X = 0 ⇔ −4 2 0.y = 0 ⇔ y = 2a −2 1 0 z 0 z = b ⇒ u1 = (1,2,0), u2 = (0,0,1) là các véc tơ riêng Ma trận D có 1 trị riêng là λ = 2. Cơ sở không gian riêng của ma trận D là {(1,2,0),(0,0,1)}. 4 − λ −5 2 " λ1 = 0 e) Xét det(E − λI) = 0 ⇔ 5 −7 − λ 3 = −λ3 + λ2 = −λ2(λ − 1) = 0 ⇔ λ2 = 1 6 −9 4 − λ +) Với λ1 = 0: 4 −5 2 x 0 x = a (E − 0.I)X = 0 ⇔ 5 −7 3.y = 0 ⇔ y = 2a 6 −9 4 z 0 z = 3a ⇒ u1 = (1,2,3) là một véc tơ riêng +) Với λ2 = 1: 3 −5 2 x 0 x = a (E − I)X = 0 ⇔ 5 −8 3.y = 0 ⇔ y = a 6 −9 3 z 0 z = a ⇒ u2 = (1,1,1) là một véc tơ riêng Ma trận E có 2 trị riêng là λ1 = 0 và λ2 = 1. Cơ sở không gian riêng của ma trận D là {(1,2,3),(1,1,1)}. Bài 12: Cho biến đổi tuyến tính f : P2[x] → P2[x] xác định như sau: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 9
Trang 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập f(a + a x + a x2) = (5a + 6a + 2a ) − (a + 8a )x + (a − 2a )x2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 a) Tìm các trị riêng của f. b) Tìm các vector riêng ứng với các trị riêng tìm được. Lời giải 5 6 2 a) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là A = 0 −1 −8 1 0 −2 Xét phương trình: det(A − λI) = 0 5 − λ 6 2 ⇔ 0 −1 − λ −8 = 0 1 0 −2 − λ ⇔ (5 − λ)(−1 − λ)(−2 − λ) + (−48 − 2(−1 − λ)) = 0 ⇔ −(λ − 3)2(λ + 4) = 0 " λ = 3 ⇔ λ = −4 Vậy các trị riêng của f là λ1 = 3, λ2 = −4 b) • Với λ1 = 3 Xét phương trình: 5 − 3 6 2 x 0 x = 5t 1 1 0 −1 − 3 −8 ·x = 0 ⇔ x = −2t với (t ∈ R) 2 2 1 0 −2 − 3 x 0 x = t 3 3 Vậy các vector t(5;−2; 1) là các vector riêng ứng với trị riêng λ1 • Với λ2 = −4 Xét phương trình: 5 + 4 6 2 x 0 x = −6t 1 1 0 −1 + 4 −8 ·x = 0 ⇔ x = 8t với (t ∈ R) 2 2 1 0 −2 + 4 x 0 x = 3t 3 3 Vậy các vector t(−6; 8; 3) là các vector riêng ứng với trị riêng λ2 Bài 13: Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P−1AP khi đó với: " # " # 1 0 0 2 1 −2 −14 12 1 0 a) A = b) B = c) C = 0 1 1 d) D = 0 3 1 −20 17 6 −1 0 1 1 0 0 3 Vận dụng tính An Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 10
Trang 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Lời giải " −14 − λ 12 λ1 = 1 a) Xét det(A − λI) = 0 ⇔ = λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ −20 17 − λ λ2 = 2 +) Với λ1 = 1: " # " # −15 12 a 5 (A − 1I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ b = a −20 16 b 4 ⇒ u1 = (4; 5) là một véc tơ riêng ứng với λ1 = 1 +) Với λ2 = 2: " # " # −16 12 a 3 (A − 2I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ a = b −20 15 b 4 ⇒ u2 = (3; 4) là một véc tơ riêng ứng với"λ2 = 2# " # 4 3 1 0 Suy ra: ma trận làm chéo hóa A là: P = ⇔ P−1AP = 5 4 0 2 " # " #n " #−1 " # " # " #−1 4 3 1 0 4 3 4 3 1n 0 4 3 Ta có: An = P.(P−1AP)n.P−1 = · · = · · 5 4 0 2 5 4 5 4 0 2n 5 4 " # " #−1 " # 4 3.2n 4 3 16 − 15.2n −12 + 12.2n ⇔ An = · = 5 4.2n 5 4 20 − 20.2n −15 + 16.2n " 1 − λ 0 λ1 = 1 b) Xét det(B − λI) = 0 ⇔ = −(1 − λ)(1 + λ) = 0 ⇔ 6 −1 − λ λ2 = −1 +) Với λ1 = 1: " # " # 0 0 a 1 (B − 1I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ a = b 6 −2 b 3 ⇒ u1 = (1; 3) là một véc tơ riêng ứng với λ1 = 1 +) Với λ2 = −1: " # " # ( 2 0 a a = 0 (B + I)X = 0 ⇔ · = 0 ⇔ 6 0 b b tùy ý ⇒ u2 = (0; 1) là một véc tơ riêng ứng với λ2 = −1 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 11
Trang 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập " # " # 1 0 1 0 Suy ra: ma trận làm chéo hóa B là: P = ⇔ P−1BP = 3 1 0 −1 Ta có: " # " # " # " # " # " # n −1 −1 1 0 1 0 1 0 1 0 1n 0 1 0 Bn = P.(P−1BP)n.P−1 = · · = · · 3 1 0 −1 3 1 3 1 0 (−1)n 3 1 " # " #−1 " # 1 0 1 0 1 0 ⇔ Bn = · = 3 (−1)n 3 1 3 − 3.(−1)n (−1)n 1 − λ 0 0 λ1 = 0 c) Xét det(C − λI) = 0 ⇔ 0 1 − λ 1 = λ(1 − λ)(λ − 2) = 0 ⇔ λ2 = 1 0 1 1 − λ λ3 = 2 +) Với λ1 = 0: 1 0 0 a ( a = 0 (C − 0I)X = 0 ⇔ 0 1 1 · b = 0 ⇔ b = −c 0 1 1 c ⇒ u1 = (0; 1;−1) là một véc tơ riêng ứng với λ1 = 0 +) Với λ2 = 1: 0 0 0 a ( a tùy ý (C − 1I)X = 0 ⇔ 0 0 1 · b = 0 ⇔ b = c = 0 0 1 0 c ⇒ u2 = (1; 0; 0) là một véc tơ riêng ứng với λ2 = 1 +) Với λ3 = 2: −1 0 0 a ( a = 0 (C − 2I)X = 0 ⇔ 0 −1 1 · b = 0 ⇔ b = c 0 1 −1 c ⇒ u3 = (0; 1; 1) là một véc tơ riêng ứng với λ3 = 2 0 1 0 0 0 0 Suy ra: ma trận làm chéo hóa B là: P = 1 0 1 ⇔ P−1BP = 0 1 0 −1 0 1 0 0 2 −1 0 1 0 0n 0 0 0 1 0 Ta có: Cn = P.(P−1CP)n.P−1 = 1 0 1 · 0 1n 0 · 1 0 1 −1 0 1 0 0 2n −1 0 1 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 12
Trang 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập −1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 ⇔ Cn = 0 0 2n · 1 0 1 = 0 2n−1 2n−1 0 0 2n −1 0 1 0 2n−1 2n−1 2 − λ 1 −2 " λ1 = 2 d) Xét det(D − λI) = 0 ⇔ 0 3 − λ 1 = (2 − λ)(3 − λ)2 = 0 ⇔ λ2 = λ3 = 3 0 0 3 − λ +) Với λ1 = 2: 0 1 −2 a ( a tùy ý (D − 2I)X = 0 ⇔ 0 1 1 · b = 0 ⇔ b = c = 0 0 0 1 c ⇒ u1 = (1; 0; 0) là một véc tơ riêng ứng với λ = 2 +) Với λ2 = λ3 = 3: −1 1 −2 a ( a = b (D − 3I)X = 0 ⇔ 0 0 1 · b = 0 ⇔ c = 0 0 0 0 c ⇒ u2 = (1; 1; 0) là một véc tơ riêng ứng với λ = 3 Vì D là ma trận cấp 3 chỉ có 2 véc tơ riêng độc lập tuyến tính nên ma trận này không chéo hóa được. Bài 14. Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có, tìm ma trận chéo đó: −1 4 −2 5 0 0 0 0 0 a) A = −3 4 0 b) B = 1 5 0 c) C = 0 0 0 −3 1 3 0 1 5 3 0 1 Lời giải Ký hiệu vx(a) là không gian các vector riêng của ma trận x với trị riêng λ = a a) Xét det (A − λI) = 0 −1 − λ 4 −2 λ = 1 ⇔ −3 4 − λ 0 = 0 ⇔ −(λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0 ⇔ λ = 2 −3 1 3 − λ λ = 3 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 13
Trang 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập - Với λ = 1 Xét phương trình (A −λ)x = 0 −2 4 −2 x −2x + 4x − 2x = 0 1 1 2 3 ⇔ −3 3 0 x = 0 ⇔ −3x + 3x = 0 ⇔ x = x = x = t(t ∈ R) 2 1 2 1 2 3 −3 1 2 x −3x + x + 2x = 0 3 1 2 3 ⇔ x = t(1,1,1) ⇒ vA(1) = span{(1,1,1)} 2 vA(2) = span ,1,1 Tương tự 3 ⇒ A có ba vector riêng độc lập tuyến tính ⇒ A chéo 1 3 vA(1) = span , ,1 4 4 1 0 0 hóa được. Ma trận chéo: 0 2 0 0 0 3 5 − λ 0 0 b) Xét det (B − λI) = 0 ⇔ 1 5 − λ 0 = 0 ⇔ (5 − λ)3 = 0 ⇔ λ = 5 0 1 5 − λ 0 0 0 x ( 1 x = 0 Với λ = 5, xét: (B − 5I)x = 0 ⇔ 1 0 0x = 0 ⇔ 1 2 x = 0 0 1 0 x 2 3 ⇔ x = (0,0, t)(t ∈ R) = t(0,0,1) ⇒ v3(5) = span{(0,0,1)} ⇒ B chỉ có một vector riêng độc lập tuyến tính ⇒ B không chéo hóa được, tức không tổn tại ma trận chéo đồng dạng với B. −λ 0 0 " λ = 0 c) Xét det (C − λI) = 0 ⇔ 0 −λ 0 = 0 ⇔ λ2(1 − λ) = 0 ⇔ λ = 1 3 0 1 − λ - Với λ = 0 xét: (C − 0I)x = 0 0 0 0 x x = t 1 1 ⇔ 0 0 0x = 0 ⇔ 3x + x = 0 ⇔ x = h (h, t ∈ R) 2 1 3 2 3 0 1 x x = −3t 3 3 ⇔ x = (t, h,−3t) = t(1,0,−3) + h(0,1,0) ⇔ vC(0) = span{(−1,0,3),(0,1,0)} - Với λ = 1 xét: (C − 1I)x = 0 −1 0 0 x x = 0 1 1 ⇔ 0 −1 0x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ x = (0; 0;t)(t ∈ R) = t(0; 0; 1) 2 2 3 0 0 x x = t(t ∈ R) 3 3 ⇒ vC(1) = span{(0; 0; 1)} ⇒ C có ba vector riêng độc lập tuyến tính ⇒ C chéo hóa được. Ma Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 14
Trang 15
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 0 0 0 trận chéo: 0 0 0 0 0 1 Bài 15. Tìm cơ sở của R3 để ma trận của f : R3 → R3 có dạng chéo trong đó: a) f(x1;x2;x3) = (2x1 + x2 + x3;x1 + 2x2 + x3, x1 + x2 + 2x3) b) f(x1;x2;x3) = (2x1 − x2 − x3;x1 − x2,−x1 + x2 + 2x3) Lời giải 2 1 1 a) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là: A = 1 2 1 1 1 2 Ta có: 2 − λ 1 1 det(A − λI) = 1 2 − λ 1 = (1 − λ)2.(4 − λ) 1 1 2 − λ +)Với λ1 = λ2 = 1. Xét: (A − I) = 0 1 1 1 a ⇔ 1 1 1 · b = 0 ⇔ a + b + c = 0 1 1 1 c Do đó: ta chọn được u1 = (1; 0;−1) và u2 = (0; 1;−1) là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A ứng với λ = 1. +)Với λ3 = 4. Xét: (A − 4I).X = 0 −2 1 1 a ⇔ 1 −2 1 · b = 0 ⇔ a = b = c 1 1 −2 c Do đó: ta chọn được u3 = (1; 1; 1) là một véc tơ riêng của A. Suy ra: 1 0 1 P = 0 1 1 là ma trận làm chéo hóa A. −1 −1 1 ⇒ P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang cơ sở cần tìm B. Vậy cơ sơ cần tìm B = {(1; 0;−1),(0; 1;−1),(1; 1; 1)} Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 15
Trang 16
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 2 −1 −1 b) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là: A = 1 −1 0 −1 1 2 Ta có: 2 − λ −1 −1 det(A − λI) = 1 −1 − λ 0 = (1 − λ).(λ2 − 2λ − 2) −1 1 2 − λ +)Với λ1 = 1. Xét: (A − 1I).X = 0 1 −1 −1 a a = 2b ⇔ 1 −2 0 · b = 0 ⇔ −1 1 1 c c = b Do đó: ta chọn được u1 = (2; 1; 1) là một véc tơ riêng của A. √ √ +)Với λ2 = 1 + 3. Xét: (A − (1 + 3)I).X = 0 √ 1 − 3 −1 −1 a √ √ a = (2 + 3)b ⇔ 1 −2 − 3 0 · b = 0 ⇔ √ √ c = (−2 − 3)b −1 1 1 − 3 c √ √ Do đó: ta chọn được u2 = (2 + 3; 1;−2 − 3) là một véc tơ riêng của A. √ √ +)Với λ3 = 1 − 3. Xét: (A − (1 − 3)I).X = 0 √ 1 + 3 −1 −1 a √ √ a = (2 − 3)b ⇔ 1 −2 + 3 0 · b = 0 ⇔ √ √ c = (−2 + 3)b −1 1 1 + 3 c √ √ Do đó: ta chọn được u3 = (2 − 3; 1;−2 + 3) là một véc tơ riêng của A. Suy ra: √ √ 2 2 + 3 2 − 3 P = 1 1 1 là ma trận làm chéo hóa A. √ √ 1 −2 − 3 −2 + 3 ⇒ P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang cơ sở cần tìm B. √ √ √ √ Vậy cơ sơ cần tìm B = {(2; 1; 1),(2 + 3; 1;−2 − 3),(2 − 3; 1;−2 + 3)} Bài 16 (CK 20172). Cho toán tử tuyến tính trên R3 xác định bởi: f(1; 2;−1) = (4;−2;−6), f(1; 1; 2) = (5; 5; 0), f(1; 0; 0) = (1; 2; 1) Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 16
Trang 17
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) Tìm m để u = (6;−3;m) ∈ Im(f). b) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của f. Lời giải 1 2 2 a) Xét ma trận:A = 2 1 0 ⇒ detA = 10. Suy ra {(1; 2;−1),(1; 1; 2),(1; 0; 0)} là một cơ sở −1 2 0 của f. Do đó để u = (6;−3;m) ∈ Im(f) ⇔ u = span{(4;−2; 6),(5; 5; 0),(1; 2; 1)} ⇔ u = k1(4;−2;−6) + k2(5; 5; 0) + k3(1; 2; 1) 4k + 5k + 1k = 6 1 2 3 ⇔ hệ phương trình −2k + 5k + 2k = −3 có nghiệm. 1 2 3 −6k1 + 0k2 + 1k3 = m 4 5 1 6 -2 5 2 -3 -2 5 2 -3 -2 5 2 -3 −H−1−↔−H→2 4 5 1 6 −H−3−−−3−H−1↔−−H→3 0 15 5 0 H +2H →H 2 1 2 -6 0 1 m -6 0 1 m 0 -15 -5 m + 9 -2 5 2 -3 −H−3−+−H−2→−−H→3 0 15 5 0 0 0 0 m + 9 Để hệ phương trình có nghiệm ⇔ m + 9 = 0 ⇔ m = −9. Vậy u ∈ Im(f) ⇔ m = −9. b) Gọi ma trận của f đối với cơ sơ chính tắc là: B Ta có: −1 1 1 1 4 5 1 4 5 1 1 1 1 1 2 1 B · 2 1 0 = −2 5 2 ⇒ B = −2 5 2 · 2 1 0 ⇒ B = 2 −1 2 −1 2 0 −6 0 1 −6 0 1 −1 2 0 1 −3 1 1 − λ 2 1 " λ1 = λ2 = 0 Xét det (B − λI) = 0 ⇔ 2 −1 − λ 2 = 0 ⇔ −λ3 + λ2 = 0 ⇒ λ3 = 1 1 −3 1 − λ +) Xét trị riêng λ1 = λ2 = 0: Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 17
Trang 18
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 2 1 a ( a = −c (A − 0I)X = 0 ⇔ AX = 0 ⇔ 2 −1 2 · b = 0 ⇔ b = 0 1 −3 1 c Từ đó, ta được véc tơ riêng u1 = t1(−1; 0; 1) ( với t1 ∈ R \ {0} ) +) Xét trị riêng λ3 = 1 : 0 2 1 a ( a = −1.5c (A − 1I)X = 0 ⇔ 2 −2 2 · b = 0 ⇔ b = −0.5c 1 −3 0 c Từ đó, ta chọn được véc tơ riêng u2 = t2(−1.5;−0.5; 1) ( với t2 ∈ R \ {0} ) Bài 17. Cho f : V → V là toán tử tuyến tính. Giả sử f2 = f ◦ f : V → V có giá trị riêng λ2. Chứng minh rằng một trong 2 giá trị hoặc λ hoặc −λ là giá trị riêng của f. Lời giải Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → V ⇒ A2 là ma trận của ánh xạ tuyết tính f2 = f ◦ f : V → V Vì λ2 là trị riêng của f2 hay là trị riêng của A2 nên: det (A2 − λ2I2) = 0 ⇔ det (A2 − (λI)2) = 0 ⇔ det [A2 − AλI + AλI − (λI)2] = 0 ⇔ det [A(A − λI) + λI(A − λI)] = 0 ⇔ det [(A + λI)(A − λI)] = 0 ⇔ det (A + λI) det (A − λI) = 0 " det (A + λI) = 0 ⇔ det (A − λI) = 0 " det (A − (−λI)) = 0 ⇔ det (A − λI) = 0 " " −λ là trị riêng của A −λ là trị riêng của f Do đó: ⇔ λ là trị riêng của A λ là trị riêng của f Vậy một trong hai giá trị λ hoặc −λ là giá trị riêng của f. −3 1 2 Bài 18. Cho ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → P2[x] có ma trận A = 6 0 −3 đối với cơ sở chính −10 2 6 tắc {1, x, x2} của P [x] 2 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 18
Trang 19
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a) Tính f(1 + x + x2). Tìm m để v = 1 − x − mx2 thuộc Kerf. b) Tìm một cơ sở của P2[x] để ma trận của f đối với cơ sở đó có dạng chéo. Lời giải Gọi E là cơ sở chính tắc của P2[x] 1 a) Ta có 1 là tọa độ của x2 + x + 1 trong cơ sở chính tắc. 1 1 −3 1 2 1 0 ⇒ [f(1 + x + x2)] = A1 = 6 0 −31 = 3 E 1 −10 2 6 1 −2 ⇒ f(1 + x + x2) = 3x − 2x2 Ta có: v = 1 − x + mx2 ∈ Ker f 1 −3 1 2 1 ⇔ f(1 − x + mx2) = 0 ⇔ A −1 = 0 ⇔ 6 0 −3 −1 = 0 m −10 2 6 m 2m − 4 2m − 4 = 0 ⇔ 6 − 3m = 0 ⇔ 6 − 3m = 0 ⇔ m = 2 −12 + 6m −12 + 6m = 0 Vậy m = 2 thì v thuộc Kerf. b) Xét det(A − λI) = 0 −3 − λ 1 2 λ1 = 2 ⇔ 6 −λ −3 = 0 ⇔ −λ3 + 3λ2 − 2λ = 0 ⇔ λ = 1 2 −10 2 6 − λ λ3 = 0 • Vớiλ1 = 2, xét: (A− 2I)x = 0 −5 1 2 x −5x + x + 2x = 0 1 1 2 3 ⇔ 6 −2 −3x = 0 ⇔ 6x − 2x − 3x = 0 2 1 2 3 −10 2 4 x −10x + 2x + 4x = 0 3 1 2 3 ⇔ x = (x , x , x )T = t(1,−3,4)T 1 2 3 ⇒ v = (1,−3,4)T là vector riêng của A tương ứng với λ = 2 1 1 • Tương tự v = (1,0,2)T là vector riêng của A tướng ứng với λ = 1 2 2 • Tương tự v = (1,−1,2)T là vector riêng của A tướng ứng với λ = 0 3 3 Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 19
Trang 20
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 1 1 1 2 0 0 ⇒ D = [v v v ] = −3 0 −1 là ma trận thỏa mãn:D−1AD = 0 1 0 là ma trận chéo. 1 2 3 4 2 2 0 0 0 ⇒ Cơ sở cần tìm là {(1,−3,4),(1,0,2),(1,−1,2)} Bài 19. Cho A là ma trận kích thước m×n, B là ma trận kích thước n×p. Chứng minh rằng rank(AB)≤ min{rank(A),rank(B)}, với rank(A) = hạng của ma trận A. Lời giải Giả sử U, V, W là các không gian vector, dimU = p, dimV = n, dimW = m và các ánh xạ tuyến tính U →−g V →−f W thỏa mãn • g có ma trận là B trong cặp cơ sở B1, B2 của U và V • f có ma trận là A trong cặp cơ sở B2, B3 của V và W. Ta có: 1. Im(f ◦ g) ⊂ Imf. Thật vậy, nếu u ∈ Im(f ◦ g) thì tồn tại v ∈ U sao cho u = (f ◦ g)(v) ⇒ u = f(g(v)) ∈ Imf Vậy rank(AB) = rank(f ◦ g) = dim Im(f ◦ g) ≤ dim Imf = rankf = rankA 2. Ker g ⊂ Ker(f ◦ g). Thật vậy, ta có: v ∈ Kerg ⇒ g(v) = 0 ⇒ f(g(v)) = 0 ⇒ v ∈ Ker(f ◦ g). Do đó, dimKerg ≤ dimKer(f ◦ g). Mặt khác, theo định lý về số chiều p = dimU = dim Img + dimKerg = dimIm(f ◦ g) + dimKer(f ◦ g). Điều này dẫn đến rank(AB) = rank(f ◦ g) = dim Im(f ◦ g) ≤ dim Img = rankg = rank(B). Tóm lại ta có rank(AB) ≤ rankA,rankAB ≤ rankB dẫn đến điều phải chứng minh Nhóm đại số - CLB Hỗ trợ học tập 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!