Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Ôn tập chương 5 Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Dạng song tuyến tính: Cho V là một không gian vector trên trường R. Ánh xạ φ : V × V → R được gọi là dạng song tuyến tính trên V nếu thỏa mãn: φ(ax1 + bx2, y) = aφ(x1, y) + bφ(x2, y) ∀x1, x2 ∈ V, a, b ∈ R φ(x, ay1 + by2) = aφ(x, y1) + bφ(x, y2) ∀x1, x2 ∈ V, a, b ∈ R Dạng song tuyến tính φ được gọi là đối xứng nếu φ(x, y) = φ(y, x) ∀x, y ∈ V Dạng toàn phương: Giả sử φ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Khi đó ánh xạ H : V → R xác định bởi H(x) = φ(x, x) được gọi là một dạng toàn phương trên V Phân loại dạng toàn phương: H(x) = φ(x, x) • Xác định dương: H(x) > 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 • Nửa xác định dương: H(x) ≥ 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 • Xác định âm: H(x) < 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 • Nửa xác định âm: H(x) ≤ 0 ∀x ∈ V, x ̸= 0 • Không xác định dấu: ∃x, y ∈ V : H(x)H(y) < 0 2 Dạng ma trận Ma trận của dạng song tuyến tính: Cho dạng song tuyến tính φ(x, y) trên Vn là không gian vector n chiều. Gọi S = {e1, e2, ..., en}là một cơ sở của Vn. Khi đó φ(x, y) được biểu diễn dưới dạng: φ(e1, e1) φ(e1, e2) ... φ(e1, en) φ(e2, e1) φ(e2, e2) ... φ(e2, en) φ(x, y) = [x]T A[y] với A = là ma trận của φ trong cơ sở S. S S ... ... ... ... φ(en, e1) φ(en, e2) ... φ(en, en) Nếu A đối xứng thì dạng song tuyến tính đối xứng. Ma trận của dạng toàn phương: Cho dạng toàn phương H(x) = φ(x, x) trên Vn là không gian vector n chiều. Gọi S = {e1, e2, ..., en} là một cơ sở của Vn. Khi đó H(x) được biểu diễn dưới dạng: H(x) = [x]T A[x] với A xác định như phần trên là ma trận của H(x) trong cơ sở S . S S 3 Rút gọn dạng toàn phương Phương pháp Langrange 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập • TH1: Tồn tại a ̸= 0. Giả sự a ̸= 0 (ứng với x2), ta nhóm tấ cả số hạng có chứa x ii 11 1 1 2 1 2 1 2 Q = (a11x1+2a12x1x2+...+2a1nx1xn)+... = (a11x1+a12x2+...+a1nxn) +Q2 = ξ +Q2 a11 a11 Với Q2 là dạng toàn phương tách từ Q không còn x1. Tiếp tục biến đổi Langrange Q2 cho đến khi đưa về dạng chính tắc. • TH2: Toàn bộ aii = 0. Ta chọn xi, xj mà aij ̸= 0 và đặt: xi = yi + yj;xj = yi − yj;xk = yk∀k ̸= i, j Dạng toàn phương Q(x, x) chuyển thành Qy(y, y) là dạng ở TH1. Từ đây làm tương tự TH1. Phương pháp Jacobi Dạng toàn phương H(x) = φ(x, x) có ma trận trong cơ sở nào đó của không gian n chiều V là A. H(x) xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính (trái nhất) của A đều dương. Phương pháp chéo hóa trực giao (sẽ được nói ở phần sau) 4 Không gian Euclid 4.1 Các định nghĩa 1. Tích vô hướng: V là KGVT với tích vô hướng trên V là một ánh xạ <.,.>: V → R thỏa mãn: (a) < u, v > với mọi u, v ∈ V (b) < u, v >=< v, u > (c) < u1 + u2, v >=< u1, v > + < u2, v > (d) < ku, v >= k. < u, v > (e) < u, u >≥ 0 (Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = 0) √ 2. Độ dài (chuẩn) của vector: ||a||= < a, a > 3. Khoảng cách giữa hai vector: d(u, v) = ||u − v|| < u, v > 4. Góc giữa hai vector: cos(u, v) = ||u||.||v|| 5. Họ vector trực giao: Hệ S = {e1, e2, ..., en} có các vector đôi một vuông góc với nhau. 6. Họ vector trực chuẩn: Hệ S = {e1, e2, ..., en} là cơ sở trực giao có độ dài mọi vector bằng 1 4.2 Trực chuẩn hóa Schmidt cơ sở {v1, v2, ..., vn} • Bước 1: Chọn u1 = v1 Xk−1 < vk, ui > • Bước k (k = 2..n): Đặt uk = vk − ui ||ui||2 i=1 u1 u2 un • Bước n+1: Chuẩn hóa các vector ta được cơ sở trực chuẩn: , , ..., ||u1|| ||u2|| ||un|| 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 4.3 Hình chiếu Giả sử U là một KGVT con của không gian Euclide E và có một cơ sở trực chuẩn B = {u1, u2, ..., un}. Khi đó hình chiếu của một vector x bất kì thuộc E được xác định: ChU(x) =< x, u1 > .u1+ < x, u2 > .u2 + ...+ < x, un > .un 5 Chéo hóa trực giao ma trận - Phương pháp chéo hóa trực giao 5.1 Chéo hóa trực giao ma trận 1. Định nghĩa: • Ma trận trực giao: là ma trận vuông P thỏa mãn: P PT = E • Ma trận A chéo hóa trực giao được: Tồn tại ma trận trực giao P sao cho PT AP là ma trận chéo 2. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa trực giao được: A đối xứng 3. Quy trình chéo hóa trực giao ma trận đối xứng A: B1: Tìm các trị riêng và cơ sở không gian riêng tương ứng của A B2: Trực chuẩn hóa Schmidt các cơ sở ở B1, ta được n vector riêng trực chuẩn ứng với n trị riêng B3: Lập P là ma trận với các cột là các vector ở B2, được: P−1AP = PT AP = diag(λ , λ , ..., λ ) 1 2 n 5.2 Phương pháp chéo hóa trực giao rút gọn dạng toàn phương H = [x]T A[x] B1: Chéo hóa ma trận A bởi ma trận trực giao P h iT h iT B2: Thực hiện phép đổi biến x1 x2 . . . xn = P ξ1 ξ2 . . . ξn B3: Khi đó dạng toàn phương được viết lại thành: H = λ ξ2 + λ ξ2 + ... + λ ξ2 1 1 2 2 n n 5.3 Nhận dạng đường cong phẳng: f : ax2 + 2bx x + cx2 + gx + hx + d = 0 1 1 2 2 1 2 Ma trận dạng toàn phương H = ax2 + 2bx x + cx2 có 2 trị riêng λ , λ 1 1 2 2 1 2 • Nếu λ1, λ2 cùng dấu thì f là elip (thực, tiêu biến, ảo). Đặc biệt f là đường tròn khi λ1 = λ2 • Nếu λ1, λ2 khác dấu thì f là hyperbol (thực, ảo) hoặc 2 đường thẳng cắt nhau. • Nếu λ1 = 0 thì f là parabol (thực, tiêu biến, ảo) 5.4 Nhận dạng mặt bậc 2: f : ax2 +bx2 +cx2 +2rx x +2sx x +2tx x +mx +nx +px +d = 0 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 Ma trận dạng toàn phương H = ax2 + bx2 + cx2 + 2rx x + 2sx x + 2tx x có 3 trị riêng λ , λ , λ 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập • Nếu λ1, λ2, λ3 cùng dấu thì f là elipsoid (thực, tiêu biến, ảo). Đặc biệt f là cầu khi λ1 = λ2 = λ3 • Nếu λ1, λ2 cùng dấu, λ3 khác dấu thì f là hyperbol 1 tầng, 2 tầng hoặc nón • Nếu λ1, λ2 cùng dấu, λ3 = 0 thì f là paraboloic eliptic hoặc trụ eliptic • Nếu λ1, λ2 khác dấu, λ3 = 0 thì f là paraboloic hyperbolic hoặc trụ hyperbolic • Nếu λ1 = λ2 = 0 thì f là 2 mặt phẳng (song song, trùng nhau, ảo) 4
Hiển thị 4 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!