Mô tả vị trí và hướng các khâu (Chương 2) - Nguyễn Quang Hoàng

UN
Uni24h
0 lượt tải
25
0

Đang tạo bản xem trước...

Tài liệu tiếp của tác giảĐộng học: vận tốc và Jacobi (Chương 4) - Nguyễn Quang HoàngCùng môn trướcRobotics 9 2 Dynamics serial robot Lagrange 2Cùng môn sauĐộng học: vận tốc và Jacobi (Chương 4) - Nguyễn Quang Hoàng

Nội dung tài liệu

Trang 1

-1- Mô tả vị trí và hướng các khâu -2- 2.1. Các hệ trục tọa độ Điểm định vị và hướng của vật rắn Ma trận cosin chỉ hướng Chương 2. Một số tính chất của ma trận cosin chỉ hướng Mô tả vị trí và hướng các khâu Định lý Euler về chuyển động quay hữu hạn Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất Trục quay và góc quay Các ma trận quay cơ bản Nguyễn Quang Hoàng Các phép quay liên tiếp Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn 2.2. Các tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn Các góc Euler, Các góc Cardan, Các góc Roll-Pitch-Yaw, 2.3. Phép biến đổi tọa độ thuần nhất Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -3- Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -4- Các hệ trục tọa độ z’ Vị trí của một vật rắn hoàn toàn được xác định trong 0 B  {F } một hệ quy chiếu nào đó nếu biết vị trí của một điểm  e y 1. Hệ quy chiếu cố định {F } với các véc tơ đơn vị :  y 1 thuộc vật và hướng của vật trong hệ quy chiếu đó. z e 2   0 z e 3  {F } :O x y z , {e(0),e(0),e(0)}  2 Để thể hiện vị trí+hướng của vật rắn B trong hệ e 0 0 0 0 0 1 2 3 e z O 1 2. Hệ quy chiếu động {F } gắn liền vật 3 quy chiếu (Oxyz)0, gắn vào vật một hệ (Oxyz) 0 x 1  eo {F }    x’ O e y’0 Hệ quy chiếu F với các véc tơ đơn vị tương ứng: 3 1 {F } :Oxyz, {e ,e ,e } 0 0 1 1 2 3 x 1    o z F :O x y z {e(0),e(0),e(0)} e  0 1 O eo y0 3. Tịnh tiến hệ F về gốc O của hệ  0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 2 F được hệ quy chiếu F’ eo Hệ quy chiếu F1 gắn liền vật x0 0 3    {F0} Hệ quy chiếu F’ chuyển động cùng  F :Oxyz {e ,e ,e } 0 1 1 2 3 eo  {F } điểm O gắn liền vật 1 eo y 0 Vị trí của điểm O trong hệ F được biểu diễn O 0 0 Đó là chuyển động tịnh tiến đối với 0 2     x r  x(0)e(0)  y(0)e(0)  z(0)e(0) hệ quy chiếu F0. 0 O O 1 O 2 O 3 Chuyển động của vật rắn bằng chuyển động của điểm O và chuyển Hướng của vật xác định qua hướng của ba véc tơ đơn vị của hệ F đối 1 động quay quanh O. Điểm O được gọi là điểm cực. với hệ F . 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 2

Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -5- Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -6- Cosin chỉ hướng: cosin chỉ hướng của vec tơ a    z Lần lượt chọn véc tơ a là các véc tơ đơn vị {e ,e ,e } của hệ quy trong một hệ quy chiếu F : 0  chiếu gắn liền vật F : 1 2 3  0 eo  a 1 a  |a | 3 Ta có được các véc tơ cosin chỉ hướng: (véc tơ đại số)      o     a  a e 0  a e 0  a e 0   e e e eo x 1 y 2 z 3 1 1  2 1   0  0  0  (0)e =[r ]  e eo  (0)e =[r ]  e eo  (a cos )e  (a cos )e  (a cos )e eo y 1 1 1 2 2 2  2 2  1 2 3 0      {F }    {F } 2 e eo e eo   1 a e 0 a eo x 0  1 3   2 3   e y  0 z e 2 cos  x  1 1 3 a a    e a e 0 a   0  z O 1 cos   y  2 cos  e a   0 x a a   1  e eo  eo a e0 a |a | 1  cos   e 0 a 3 1  3  2  (0)e =[r ]  e eo  o {F } cos  z  3 cos  e 0 a 3 3 3 2 e 0   1 O eo y a a  3 e eo  0 2 0  3 3  x là các cosin chỉ hướng của vec tơ a trong một hệ quy chiếu F0: 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -7- Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -8- Các tính chất của ma trận côsin chỉ hướng Sắp các cô sin chỉ hướng của ba véc tơ đơn vị trên thành một ma trận, được gọi là ma trận côsin chỉ hướng R là ma trận trực giao         R1  RT , RRT  R RT  E z e e y e eo e eo e eo  2 3  1 1 2 1 3 1  e {F } R  [ r r r ]  e eo e eo e eo  {r }, 1 1 2 3  1 2 2 2 3 2  ij cụ thể 1, i  j z O 1  o  o  o  {F } R  [ r r r ] T  0 x e e e e e e   1 r  r   eo 1 3 2 3 3 3  e y 1 2 3 i j 0, i  j z e  3 2   3  eo      e R có một trị riêng bằng 1 1 O eo y r  cos(eo,e )  eo e 1 0 2 0 z O x ij i j i j 0 x u  3 Ru  u 0 eo {F0} 3 Cột thứ k (k=1,2,3) của ma trận R chính là o {F0} e  R có định thức bằng 1 véc tơ chứa ba thành phần cosin chỉ 1 O eo y 0 2 0 hướng của véc tơ ek của hệ F1 trong hệ F0. x det(R)  1 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 3

Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian -9- Vị trí của vật rắn trong không gian -10- Liên hệ giữa hai hệ véc tơ đơn vị Tương tự ta có Biểu diễn các véc tơ đơn vị (1)  của hệ F theo   của hệ F   0 0  0 0  0 0 e 1 e(0) 0 e  (e e )e  (e e )e  (e e )e  1   1  2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 e(1)  e(1)  e(0)  e(0)    2 2   r e0  r e0  r e0 (1)    12 1 22 2 32 3 e  e(0) 3  3  z’ z’ 0 r  0 (1) (1) 0 0 (1) 0 0 (1) 0 0   12  e  (e e )e  (e e )e  (e e )e  [e(0)]T r , r =r  1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 y 2 2 22 y {F }    z  {F1}   z  1  r e0  r e0  r e0 e(1) r  e(1) 11 1 21 2 31 3  2 32  2 e(1) e(1) r  3   0 0  0 0  0 0 3 e  (e e )e  (e e )e  (e e )e   11  z x’ O (1) y’ 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 z x’ O (1) y’  [e(0)]T r, r =r  0 0 e 0    0 0 e 0 1 1 21 1 x  r e0  r e0  r e0 1 x r  eo 13 1 23 2 33 3 eo  31  3 r  3 o {F }   13  o {F0} r là các thành phần hình chiếu của véc e 0  [e(0)]T r3, r3=r23  e  1  1 O eo y   1 O eo y tơ đơn vị e trong hệ cố định F 0 2 0 r  0 2 0 1 0 33 x0 x0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Vị trí của vật rắn trong không gian -11- Vị trí của vật rắn trong không gian -12- Kết hợp lại được  (0) T  (0) T  (0) T Các thành phần hình chiếu của véc tơ trong các hệ trục tọa độ e  [e ] r, e  [e ] r , e  [e ] r 1 1 2 2 3 3 1. Trong hệ quy chiếu cố định F (hay trong chiếu F’ )      0 0 z’  e e e   [e(0)]T r r r , e(0)  0 u  1 2 3   1 2 3   1     R :O x y z , e(0)  e(0)   [e(0),e(0),e(0)]T z’ 0 0 0 0 0 2 1 2 3 z y Viết gọn ở dạng ma trận 0 (0)    e  e   3 e 2 {F1} [e(1)]T  [e(0)]T R,  y {F }     3 z 1 u  u(0)e(0)  u(0)e(0)  u(0)e(0) e(1)  y’  2 x 1 y 2 z 3 x’ O e 0    e(1) 0 [e(1)]T RT  [e(0)]T RRT  [e(0)] ,T 3 u(0)  x 1       x  z0 z x’ O (1) y’ u  [e(0)]T u(0)  [e(0),e(0),e(0)]u(0)   0 0 e 0 1 2 3 y eo 1 x   eo u(0) 3 r r r  3  z   11 12 13   u(0)  o {F0} R  r r r = r r r eo {F }  x   T e   1 2 3   21 22 23  o0 u(0)  u(0)   u(0) u(0) u(0)  1 O eo y0 r r r  1 O e y0 uy(0)  x y z 0 2 0 2 x  31 32 33  x  z  Véc tơ đại số 0 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 4

Vị trí của vật rắn trong không gian -13- Vị trí của vật rắn trong không gian -14- Các thành phần hình chiếu của véc tơ trong các hệ trục tọa độ Trong hệ F trong hệ F 0 1 2. Trong hệ quy chiếu động {F1} gắn liền vật   (0) T (0)  (1) T (1)   z’ u  [e ] u u  [e ] u z’ e(1)  0 u 0 u  1     {F } :Oxyz, e(1)  e(1)   [e(1),e(1),e(1)]T Biểu diễn véc tơ trong hai hệ trục tọa độ 1 2 1 2 3 z y z y (1)        e  e e [e(1)]T  [e(0)]T R, e e 3 2 {F1} 2 {F }     3 3 1 u  u(1)e  u(1)e  u(1)e   x 1 y 2 z 3 x’ O y’0 x’ O y’0   0 e Liên hệ thành phần hình chiếu của một 0 e u(1) x x  x  1 véc tơ trong hai hệ trục tọa độ 1  (1) T (1) (1) (1) (1) (1) z0 z0 u  [e ] u  [e ,e ,e ]u       1 2 3 y eo u  [e(1)]T u(1)  [e(0)]T Ru(1) eo u(1)    3 3   z u(1) o {F0} o {F0}  x   T e  u(0)  Ru(1)  R u0 (1) e  u(1)  u(1)   u(1) u(1) u(1) 1 O eo y 1 O eo y y  x y z  0 2 0 1 0 2 0 u(1)  x x   0 0 z Véc tơ đại số Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Vị trí của vật rắn trong không gian -15- Vật rắn quay quanh điểm cố định -16- Biểu diễn véc tơ trong hai hệ trục tọa độ Phân tích chuyển động tổng quát =   (1) T T (0) T T chuyển động của điểm cực [e(1)]T  [e(0)]T R, [e ] R  [e ] RR z’ u + chuyển động quay quanh điểm cực z’ u 0 0 (0) (1) [e ]  Re z y z y  e  e Trong hệ F trong hệ F e 2 {F } e 2 {F } 0 1 3 1 3 1  (0) T (0)  (1) T (1)  y’  y’ u  [e ] u u  [e ] u x’0 O e 0 x’0 O e 0 x 1 x 1 Liên hệ thành phần hình chiếu của một z0 z0 véc tơ trong hai hệ trục tọa độ o o e e 3 3 u(to)  Rto u(from) o {F0} o {F0} e  e  from 1 O eo y 1 O eo y 0 2 0 0 2 0 x0 x0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 5

Vật rắn quay quanh điểm cố định -17- Vật rắn quay quanh điểm cố định -18- Trục quay và góc quay = Thiết lập ma trận quay Trục quay và góc quay = Thiết lập ma trận quay         u u (u r) Định lý Euler: Xét hai véc tơ cùng gốc O cùng chiều dài, r &r , luôn Tìm cách biểu diễn r theo r tồn tại phép quay một góc  quanh một trục qua O để véc tơ r về  N      Q u r trùng với véc tơ r’.   u (u r) u z0 u P0 P1       z u x P N u (u r) r  r 0 0 N r P N Q   N  0 r P Q O r  P 1  y  P0 1 u r    P0 r P1 r  r P     O y 1 ON  (r u u) 0           O x r OP ON  NQ QP, NQ  u (u r) cos 0 1 1 O y    x 0 QP  (u r) sin 0              1 Tìm cách biểu diễn r theo ( ,r u,) r  (r u u)  u (u r) cos  (u r) sin Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Vật rắn quay quanh điểm cố định -19- Vật rắn quay quanh điểm cố định -20-  Thiết lập ma trận quay u Ma trận quay này cho phép biến tọa độ điểm P có vị trí xác định bởi r   N (thời điểm đầu) và thời điểm cuối tại có vị trí xác định bởi r’ sau khi z u Q   0       u r vật quay quanh trục u góc . x P0 N u (u r) u (u r) P P r  Rr r(0)  R r0 (1)  0  1 1 r  r r  P y Từ ý nghĩa này, ta khẳng định được rằng ma trận quay của phép r 1   u r quay từ hệ {F } sang hệ F1 bằng ma trận cô sin chỉ hướng của hệ F1 O 0 {F0} y          trong F0, cho biết hướng của hệ F1 đối với F0. O 0 r  (r u u)  u (u r) cos  (u r) sin Từ ý nghĩa đó, ma trận côsin chỉ hướng R còn được gọi là ma trận x0           quay.  u u( r)  cos u (u r)  sin (u r)       Chiếu trong hệ trục cố định F ta được R  rot( ,u )  cos E  sin u  (1  cos )uuT 0 ab = baT - a bET r  uu rT  cosuur   sinur 3´3  o  o  o  e e e e e e   1 1 2 1 3 1   uuT  cosuu   sinu r R được gọi là ma trận quay của R  [ r r r ]  e eo e eo e eo  {r }, phép quay quanh trục u góc . 1 2 3  1 2 2 2 3 2  ij        o  o  o   cos E  (1  cos )uuT  sin u r  Rr e e e e e e  1 3 2 3 3 3 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 6

Vật rắn quay quanh điểm cố định -21- Vật rắn quay quanh điểm cố định -22- Ma trận quay của phép quay góc  quanh trục u qua O xác định bởi R ( )  cosE  (1  cos)uuT  sinu Trong khi phép quay hữu hạn không có tính véc tơ (không phải là đại  lượng véc tơ), nhưng theo cách xấp xỉ trên ta sẽ chứng minh được u R ( )  E  sinu (1  cos)uu  rằng phép quay vô cùng bé là một đại lượng véc tơ. Thực vậy, với hai uu = uuT -E   góc  và  nhỏ: 3´3 u 1 2 Ma trận quay ứng với góc quay vô cùng bé     0 z0 u    1 2 x P0 N u (u r) cos  1, sin    r  R  R ( )  E  u , R  R ( )  E  u    r P y 1 u1 1 1 1 2 u2 2 2 2 1   u r R R  (E  u )(E  u )  (E  u  u  u  u )     1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 R( )  E  u, small O y0 u  E  u  u  R R  x0 1 1 2 2 2 1 R( ,u )  E S u( )  E u Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Các ma trận quay cơ bản -23- Các ma trận quay cơ bản -24- o  e e 3  Quay hệ (Oxyz)0 quanh trục x0 góc  được hệ Oxyz 3 z  z e Quay hệ (Oxyz) quanh trục y góc  được hệ Oxyz 0 0 0       2 e eo e eo e eo    y  z 1 1 2 1 3 1 r  cos(eo,e )  eo  cos 0 sin  z 0        ij i j  2    R  e eo e eo e eo    eo y0 R ( )  rot y( ,)   0 1 0 1 2 2 2 3 2  eo e    i j 1  y o e eo e eo e eo x0, xe o  sin 0 cos y , y  1 3 2 3 3 3     0     1 x0 x r  eo e  cos 0  1 r  eo e  cos 1   0 11 1 1 12 1 2 2     Quay hệ (Oxyz)0 quanh trục z0 góc  được hệ Oxyz r  eo e  cos 1   0 r  eo e  cos 21 2 1 22 2 2 2            cos  sin 0 r  eo e  cos 1   0 r  eo e  cos( / 2  )  sin   31 3 1 32 3 2     2  R ( )  rot z( , )  sin cos 0 r  e e  cos   0 R  rot( ,u ) zo o   o 1 0 0 1 13 1 3 2   z ,z       cosE  sinu  (1  cos)uuT 0 r  eo e  cos(  1 )  sin y 23 2 3 2   1 0 0  Tính chất sau đây được nghiệm đúng  r  eo e  cos   y 33 3 3 R ( )  rot x( ,)  0 cos sin x o   R ( )  RT ( ), k  x y z, ,  x o   x0 0 0 sin cos  k k Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 7

Biểu diễn véc tơ trong hai hệ quy chiếu -25- Biểu diễn véc tơ quay quanh gốc tọa độ -26- Ví dụ. Xét hai hệ trục tọa độ có chung gốc Biểu diễn véc tơ quay quanh gốc tọa độ và trục z, nếu quay hệ 0 quanh trục z một góc  thì hai hệ trùng nhau. 0r(0)  R ( )1r(0)  R ( ) 0r( )t z z Tọa độ của điểm P trong hai hệ trục tọa độ có liên hệ với nhau như sau: 0r( )t  R1( ) 0r(0) z x(1)   RT ( ) 0r(0)  R ( ) 0r(0)  P  z z r(0)  R ( )r(1) r(1)  y(1)   r(0)  ? P z P P P P z(1)  r( )t  R ( )r(0)  P  z xo  cos  sin 0 x  xo  x cos  y sin x t( )  x cos  y sin  P     P  P P P 0 0 yo   sin cos 0 y  yo  x sin  y cos y t( )  x sin  y cos P P P P P 0 0 zo   0 0 1 z  zo  z z t( )  z  P     P  P P 0 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Biểu diễn véc tơ quay quanh gốc tọa độ -27- Tổng hợp chuyển động quay quanh các trục giao nhau -28- Tóm lại, ma trận quay thể hiện ba ý nghĩa hình học tương đương sau: Định lý Ơle về chuyển động quay hữu hạn: • Mô tả hướng giữa hai hệ trục tọa độ; các véc tơ cột là các cô sin chỉ Di chuyển bất kỳ của vật rắn quanh một điểm cố định tương đương hướng của các trục của hệ sau khi quay đối với hệ ban đầu. chuyển động quay quanh một trục đi qua điểm đó. • Cho phép biến đối tọa độ của một điểm trong hai hệ quy chiếu cùng chung gốc. Chuyển động quay quanh các trục giao • Cho phép tính tọa độ của một véc tơ khi nó quay quanh gốc tọa độ. nhau tương đương chuyển động quay C quanh trục đi qua điểm giao đó, với ma   o  o  o  trận quay bằng tích các ma trận quay eo  e e e e e e 3 u 1 1 2 1 3 1  B2 thành phần theo thứ tự quay. z R  e eo e eo e eo  0 1 2 2 2 3 2 A1 O y  o  o  o  Về mặt toán học định lý nói lên hai ý: thứ z  e e e e e e  N  e 1 3 2 3 3 3 M nhất ma trận quay bằng tích các ma trận e 2 B =A quay thành phần theo thứ tự quay, và ý  3  1 2 eo  y eo u(0)  R u0 (1) thứ hai ma trận quay luôn có một trị riêng O e 0 1 2 1 bằng 1 và véc tơ riêng ứng với trị riêng x x 1 0 bằng 1 chính là trục quay đó. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 8

Tổng hợp chuyển động quay quanh các trục giao nhau -29- Tổng hợp chuyển động quay quanh các trục giao nhau -30- Chứng minh Ma trận quay tổng hợp của các chuyển động quay liên tiếp quanh một điểm cố z0 Ma trận R có một trị riêng bằng 1 z định bằng tích các ma trận quay thành y r   r r phần theo thứ tự quay. 11 12 13  det(R  I)  r r   r  0  y’’ 21 22 23 u0  R u0 1 , u1  R u1 2 ,..., un1  Rn1un  r r r   P 1 P P 2 P P n P y’ 31 32 33  u0  R R0 1 Rn1un O P 1 2 n P y 3 tr(R)2  tr(R) 1  0 u0  R u0 n   0 P n P x tr(R) = a +a +a x  ( 1)[2  (1 tr(R))  1]  0 11 22 33 R  R0  R R0 1 Rn1 0 K n 1 2 n x’, x’’   1,   ei ,   ei VD: Các di chuyển để F0 về trùng F1: 1 2 3 q = cos-1(1 tr(R)- 1) 1. rot(z , ), 2. rot(ok, ), 3. rot(z, ) 2 2 0 = cos-1 [ 1 (a + a + a -1)] Ma trận co sin chỉ hướng R  R ()R ( ) R ( ) 2 11 22 33 zo x1 z Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Tổng hợp chuyển động quay quanh các trục giao nhau -31- TĐSR: các góc Euler (ZXZ-angle) -32- Cần lưu ý rằng, các chuyển động quay thành phần này phải được Các góc Euler (thứ tự quay z-x-z) thực hiện đúng thứ tự của nó. Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra nếu thứ tự quay thay đổi sẽ dẫn đến các vị trí cuối khác nhau. Định nghĩa các góc Euler (thứ tự quay z-x-z) z Ma trận cô sin chỉ hướng từ các góc Euler z z rot(y,90o) Xác định các góc Euler từ ma trận cô sin chỉ hướng y y y x Vị trí đầu x rot(x,90o) x Vị trí cuối z Vị trí cuối z z rot(y,90o) y y y x x rot(x,90o) x Vị trí đầu Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 9

TĐSR: các góc Euler (ZXZ-angle) -33- TĐSR: các góc Euler (ZXZ-angle) -34- Các góc Euler và ma trận quay Euler (ZXZ-Angles) z Các ma trận quay ứng với ba phép quay 0 ON là giao tuyến của hai mp (Oxy) & (Oxy) z 0 y cos  sin 0 1 0 0   là góc giữa trục x0 và OK - rot(z0, )      R ( )  sin cos 0 , R ( )  0 cos  sin ,  là góc giữa trục z0 và z - rot(ok, ) zo   x1      0 0 1 0 sin cos   là góc giữa trục Ok và x - rot(z, ) cos  sin 0 O y   0 R ()  sin cos 0     z   R  R ( )R ( )R ( )  x  0 0 1 zo x1 z x0 K, x’ Ma trận quay (ma trận côsin chỉ hướng) của vật rắn B trong hệ cố định Các di chuyển để F0 về trùng F1: cc s  c s c s s  c c s s  1. rot(z0, ), 2. rot(ok, ), 3. rot(z, )   Ma trận co sin chỉ hướng R  s c c  c s s s c  c c c s   s s  s c  c  R  R ()R ( ) R ( )   zo x1 z Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics TĐSR: các góc Euler (ZXZ-angle) -35- TĐSR: các góc Euler (ZXZ-angle) -36- Xác định các góc Euler (ZXZ-angle) từ ma trận quay bằng cách so sánh Xác định các góc Euler (ZXZ-angle) từ ma trận quay bằng cách so các phần tương ứng của hai ma trận sánh các phần tương ứng của hai ma trận c c s  c s c s s  c c s s  r r r  c c s  c s c s s  c c s s  r r r     11 12 13     11 12 13  R  s c c  c s s s c  c c c s   R  r r r  R  s c c  c s s s c  c c c s   R  r r r  E 21 22 23 E 21 22 23  s s  s c  c  r r r   s s  s c  c  r r r     31 32 33     31 32 33  Nếu r  1 Nếu r  1 Nếu r  1 c  r  s   (r )2 (r )2  0 33 33 33 33 31 32 c  r  1  s  0    0 c  r  1  s  0     33 33   atan2(s,c)  atan2( (r )2 (r ) ,2 r ) Ma trận cosin chỉ hướng trở thành Ma trận cosin chỉ hướng trở thành 31 32 33 Xác định góc  c(  ) s(  ) 0 r r 0 c( ) s( ) 0  r r 0     11 12     11 12  ss  r , s c  r    atan2(r / s,r / s) R0  s(  ) c(  ) 0  r r 0 R0  s( ) c( ) 0   r r 0  1 21 22 1 21 22 31 32 31 32  0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1         Xác định góc      atan2(r ,r )    atan2(r ,r ) 21 11 21 11 ss  r , c s  r    atan2(r / s, r / s)  atan2(r ,r )  atan2(r ,r ) 13 23 13 23 12 22 12 22 Hai bộ nghiệm, tùy theo dấu khai căn (+, -) Chỉ một phương trình trên cho hai ẩn, nên có vô số nghiệm. Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 10

TĐSR: các góc Euler (ZXZ-angle) -37- Hàm atan2(y,x) -38- Xác định các góc Euler (ZXZ-angle) từ ma trận quay bằng cách so sánh các phần tương ứng của hai ma trận y tan(x) c c s  c s c s s  c c s s  r r r     11 12 13  A  s c c  c s s s c  c c c s   R  r r r  E 21 22 23  s s  s c  c  r r r     31 32 33  -/2 /2 x Nếu r  1 Nếu r  1 Nếu r  1 33 33 33   atan2( (r )2 (r ) ,2 r )   0    31 32 33 chon   0  chon  0   atan2(r ,r )     atan2(r ,r )    atan2(r ,r ) 31 32 21 11 21 11   atan2(r , r )   13 23 y  tan( )x  x  arctan( )y   x  2 2 Lời giải không xác định rõ khi  = 0 hay  = . Đây là điểm kỳ dị của phương pháp Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Hàm atan2(y,x) -39- Bài tập: xác định góc Euler từ ma trận cosin chỉ hướng -40- ( ,x y)    atan 2( ,y x),      • Xác định 3 góc Euler từ ma trận cosin chỉ hướng sau: 0<y R x<0 0<x y<0 R Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 11

-41- Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -42- • Xác định 3 góc Euler từ ma trận cosin chỉ hướng sau: Các góc Cardan (thứ tự quay x0-y1-z2) Định nghĩa 3 góc Cardan (hay còn gọi là 3 góc Euler theo thứ tự quay X-Y-Z (X-Y-Z angles) R Ma trận cô sin chỉ hướng từ 3 góc Cardan Xác định các góc Cardan từ ma trận cô sin chỉ hướng • Đáp số: R Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -43- Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -44- Các góc Cardan (thứ tự quay x0-y1-z2) 1. rot(x , ), 2. rot(y , ), 3. rot(z , ) 0 1 2 Định nghĩa 3 góc Cardan z,z ,z 1. rot(x0, ), 2. rot(y1, ), 3. rot(z2, ) 3 2 z1 z Các di chuyển để F về trùng F3(x,y,z): 0 y, 0 z z  y z,z ,z 1 0 1. rot(x , ), 2. rot(y , ), 3. rot(z , ) 3 y , 3 2 z z z,z3 y, 1 1 0 1 2  y 0 ,z y  2 y, 2  3 y , y 1 1. rot(x , ), 2. rot(y , ), 3. rot(z , )   3 y ,   y 1 2 0 1 2 O y y 0   2  Ma trận co sin chỉ hướng   x, O y x  0 x , x 3 O y   x, R  R ()R ( ) R ( ) 0 2 0 x y z x   x, x x3 0 1 2 1 x0, 2 x x3 x x0, 2 1 R  R ()R ()R ( ) x x0 y1 z2 1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 12

Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -45- Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -46- Cho trước hai hệ F0 và F3(x,y,z), hãy vẽ ra các góc Cardan. Cho trước hai hệ F0 và F3(x,y,z), hãy vẽ ra các góc Cardan. z z 0 z z 0 z z 0 1 0 1 y y z 3 y z 3 y 3 z 3 3 z 3 2,3  2,3     K  K O y O y O  1,2 O  1,2   y y y y x 0 0 x 0 0 0 x 0 x 0,1  0,1  x x 3 x x 3 x x 2 3 2 3 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -47- Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -48- Các góc Cardan (thứ tự quay x0-y1-z2) Các ma trận quay tổ hợp tương ứng là Ma trận cô sin chỉ hướng từ 3 góc Cardan  cos 0 sin  1 0 0      R0  R R0 1   sin sin cos sin cos R0  diag(1,1,1), R0  R ()  0 cos sin , 1 1 2 0 1 x   cos sin sin cos cos  o     0 sin cos   cos 0 sin  cos sin 0     R0  R R R0 1 2  R ()R ( ) R ( ) : R q( ) R1  R ( )   0 1 0 , R2  R ( )  sin cos 0 3 1 2 3 x0 y1 z 2 y 3 z 1   2   sin 0 cos  0 0 1  c c  c s  s    R ( )q  R q( )  c s  s  s c c c s  s s s c  C s s c  s c s c c  s s c c    Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 13

Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -49- Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -50- Xác định các góc Cardan từ ma trận cô sin chỉ hướng  c c  c s  s  r r r     11 12 13  R ( )q  c s  s  s c c c s  s s s c   R  r r r  C 21 22 23  c c  c s  s  r r r  s s c  s c s c c  s s c c  r r r     11 12 13     31 32 33  R ( )q  R q( )  c s  s  s c c c s  s s s c   R  r r r  C 21 22 23 s s c  s c s c c  s s c c  r r r     31 32 33  Nếu r  1 s  r  c   1r2   (r )2 (r )2  0 13 13 13 23 33 c c   r , c s   r , s  r   atan2(s,c)  atan2(r , (r )2 (r ) )2 11 12 13 13 31 32 c s  s  s c  r , c c s  s s  r , s c  r 21 22 23 Xác định góc  và  s s c  s c  r , s c c  s s  r , c c  r c c   r , c s  r    atan2(r / c,r / c) 31 32 33 11 12 12 11 sc  r , cc  r    atan2(r / c,r / c) 23 33 23 33 Hai bộ nghiệm, tùy theo dấu khai căn (+, -) Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Tọa độ suy rộng xác định hướng của vật rắn -51- -52-  c c  c s  s  r r r  • Xác định 3 góc Cardan từ ma trận cosin chỉ hướng sau:    11 12 13  R ( )q  c s  s  s c c c s  s s s c   R  r r r  C 21 22 23 s s c  s c s c c  s s c c  r r r     31 32 33  Nếu r  1 Nếu r  1 R 13 13 s  1  c  0     / 2 s  1  c  0     / 2  0 0 1  0 0 1     R0   s(  ) c(  ) 0 R0  s( ) c( ) 0  1 1 c(  ) s(  ) 0 c( ) s( ) 0          atan2(r ,r )    atan2(r ,r ) R   32 22   21 31   atan2(r ,r )   atan2(r ,r ) 21 31  32 22 trường hợp này có vô số nghiệm Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 14

-53- Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -54- • Xác định 3 góc Cardan từ ma trận cosin chỉ hướng sau: Định nghĩa các góc Roll-Pitch-Yaw [Roll(x), Pitch(y), Yaw(z)] (thứ tự quay x-y-z, x,y,z là các trục gắn vào vật) Ma trận cô sin chỉ hướng từ các góc Roll-Pitch-Yaw Xác định các góc Roll-Pitch-Yaw từ ma trận cô sin chỉ hướng R O0 x0 • Đáp số: y0, z0, R Roll Pitch y x, , Yaw z, Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics -55- Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -56- Vẽ các góc [Roll(x), Pitch(y), Yaw(z) khi biết 2 hệ F0 và F3. Các hệ trục trung gian F1,F2,F3=F, ma trận quay từ F3 về F0 xyz = x3y3z3 gắn vào vật. F3-> F2: Roll R3  R () z z 2 x3 z 0 0,1 0,1 z z 2 R2  R () 2 F2-> F1: Pitch 1 y z z 2 z 3 y 3  y 3  y 3 3 R  R () 3  F1-> F0: Yaw 1  0 z1   O O y O  1,2  y R  R R R 1,2 3 3 2 1 y  y 0 2 1 0  y x 0 x  0 x  0 0 0 0  R ()R ()R () x x3 y2 z1 x x 1 x 1 3 3,2 x  RT ( ) RT ( ) RT () 3,2 R-P-Y angles R-P-Y angles x3 y2 z1 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 15

Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -57- Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -58- Ma trận cosin chỉ hướng của vật (F3) đối với hệ cố định F0 Các góc Roll-Pitch-Yaw (thứ tự quay z -y -x ) 0 1 2 Các di chuyển để F0 về trùng F3 gắn liền vật (x,y,z): R0  [R3 ]1  [R3 ]T 3 0 0 z 1. rot(z , ), - Yaw O 0,1 0 0  [R ( ) R ( ) R ()] z 2. rot(y , ), - Pitch x T T T T 2 1 0 x3 y2 z1 3. rot(x2, ), - Roll y z y 0 3   R ()R ( ) R ( ) 3 Ma trận co sin chỉ hướng z  0 z1 y2 x3  R  R ()R ( ) R ( ) Roll Pitch O zo y1 x2  y x Do z  z ,y  y ,x  x y Yaw 1,2 Ma trận quay tương ứng với ba phép 0 1 2 1 3 2 z x  y quay trên được xác định 0  0 cos sin 0 R0  R ()R ( ) R ( )   3 z y x x R0  R ()  sin cos 0 1 2 3 1 x   3,2 1 z  R ()R ( ) R ( ) R-P-Y angles 0   z y x  0 0 1 0 1 2 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -59- Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -60- Các góc Roll-Pitch-Yaw (thứ tự quay z0-y1-x2) O0 cos cos sin cos sin 1. rot(z0, ), - Yaw x   0 R0  R R0 1  sin cos cos sin sin 2. rot(y1, ), - Pitch   y0 2 1 2 3. rot(x2, ), - Roll  sin 0 cos  z0   Roll     Pitch cos 0 sin y x   Yaw R0  R R R0 1 2  R ()R ( ) R ( ) : R q( ) R1  R ( )   0 1 0  z 3 1 2 3 z y x 2 y 0 1 2 1   sin 0 cos 1 0 0  c c s c c  s s s s c  s c      R2  R ( )  0 cos sin, R0  diag(1,1,1) R q( )  c s  c c  s  s s c s  s  s c  3 x 0   2   s c s  c c  0 sin cos    Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 16

Các góc Roll-Pitch-Yaw [thứ tự quay zyx] -61- Các góc định vị -62- Xác định các góc R-P-Y từ ma trận quay • Ví dụ: Cho ma trận cosin chỉ hướng 3x3 như sau: c c s c  c  s s s s  c  s c  r r r     11 12 13  R q( )  c s  c c  s  s s c s  s  s c   r r r  21 22 23  s c s  c c   r r r     31 32 33  R R Lời giải không xác định khi cos = 0,  = /2. Trường hợp 1.   Atan2(r ,r ) 21 11   ( 1 , 1 )   Atan2(r , r2  r2 ) 31 32 33 • Hãy xác định 3 góc R-P-Y? 2 2   Atan2(r ,r ) 32 33 Trường hợp 2.   Atan2(r , r ) 21 11   (1 , 3 )   Atan2(r ,  r2  r2 ) R 2 2 31 32 33   Atan2(r , r ) 32 33 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics -63- -64- euler zyx convention MIT - HO2 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 17

Các góc định vị -65- Các tham số Euler (Euler parameters) -66- • Ví dụ: Cho ma trận cosin chỉ hướng 3x3 như sau: Các tham số Euler (Euler parameters) Định nghĩa các tham số Euler Ma trận cô sin chỉ hướng từ các các tham số Euler Xác định các tham số Euler từ ma trận cô sin chỉ hướng • Hãy xác định : – 3 góc Euler – 3 góc Cardan – 3 góc R-P-Y? Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Các tham số Euler (Euler parameters) -67- Các tham số Euler (Euler parameters) -68- Xem xét phép quay quanh trục u góc   Ma trận quay   u là véc tơ chỉ phương của trục quay. R  cosE  (1 cos)uuT  sinu ,  z0 u u uT  1  Các tham số Euler, ký hiệu q , q , q , q , được định nghĩa như sau    u 0 1 2 3 x P0 N u (u r) r q  cos(1 ), q  u sin(1 ), i  1, 2, 3   N 0 2 i i 2  P y Q   r 1      u r q  cos(1 ), q  u sin(1 ) u r u (u r) 0 2 2 P P1 0   O y0 r  r Chú ý rằng bốn tham số Euler trên không độc lập nhau, phương trình ràng buộc giữa chúng được suy ra từ điều kiện sau x0 O cos (2 1 )  u uT sin (2 1 )  cos (2 1 )  sin (2 1 )  1          2 2 2 2 r  (r u u)  u (u r)cos  (u r) sin q2  q qT  q2 q2 q2 q2  1 Ma trận quay           0 0 1 2 3  u u( r)  cos u (u r)  sin (u r) Đưa và véc tơ R  cosE  (1 cos)uuT  sinu , p  [q ,q ,q ,q ]T  p pT  q2 q2 q2 q2  1 0 1 2 3 0 1 2 3 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 18

Các tham số Euler (Euler parameters) -69- Các tham số Euler (Euler parameters) -70- Đưa và véc tơ Triển khai thành   p  [q ,q ,q ,q ]T  p pT  q2 q2 q2 q2  1 R  2q2 1 E  2qqT  2q q, 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0   2(q2 q2) 1 2(q q q q ) 2(q q q q ) R  cosE  (1 cos)uuT  sinu ,  0 1 1 2 0 3 1 3 0 2  R  2(q q q q ) 2(q2 q2) 1 2(q q q q ) 1 2 0 3 0 2 2 3 0 1 1  cos  2 sin (2 1 ) 2(q q q q ) 2(q q q q ) 2(q2 q2) 1 2  1 3 0 2 2 3 0 1 0 3  cos  2 cos (2 1 ) 1 q  cos(1 ), q  u sin(1 ) Xác định tham số Euler từ ma trận quay (Một phương án) 2 0 2 2 sin  2 cos(1 ) sin(1 )   2 2 r r r So sánh vết của  11 12 13    R  r r r  hai ma trận, ta có R  2 cos (2 1 ) 1E  2 sin (2 1 )uuT  2 cos(1 )sin(1 )u , r21 r22 r23  2 2 2 2  31 32 33  R  2q2 1E  2qqT  2q q, p p  q q q q  1 0 0 T 2 2 2 2 0 1 2 3 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Các tham số Euler (Euler parameters) -71- Các tham số Euler (Euler parameters) -72- Một trong các phương án: So sánh vết của hai ma trận, ta có Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận tr(R)  4q2  2(q2 q2 q2 q2)  3  a a a 2(q2 q2) 1 2(q q q q ) 2(q q q q ) 0 0 1 2 3 11 22 33  0 1 1 2 0 3 1 3 0 2  a a a  4q2 1 R  2(q q q q ) 2(q2 q2) 1 2(q q q q )  GLT 11 22 33 0 q2  1 (a a a  1) 1 2 0 3 0 2 2 3 0 1 0 4 11 22 33 2(q q q q ) 2(q q q q ) 2(q2 q2) 1  1 3 0 2 2 3 0 1 0 3   1 (trR  1) 4 So sánh phần tử (1,1) q q q q   1 0 3 2  G  q S q( ) q E   q q q q  2(q2 q2) 1  a  q2  1 (a  1) q2,  0 3  2 3 0 1 0 1 11 1 2 11 0 q q q q   3 2 1 0  q2  1 (a  1)  1 (trR  1) 1 2 11 4   Tương tự q q q q  1 0 3 2  q  1 (a  1)  1 (trR  1), L  q S q( ) q E   q q q q  2  0 3  2 3 0 1 2 2 22 4   q q q q  q2  1 (a  1)  1 (trR  1) 3 2 1 0 3 2 33 4 Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 19

Các tham số Euler (Euler parameters) -73- -74- Một số tính chất của G và L Gp  0, Lp  0 p  [q ,q ,q ,q ]T 0 1 2 3 GGT  E , LLT  E 3 3 R  GLT G GT  E  ppT , L LT  E  ppT 4 4 PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT -75- PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT -76- Tọa độ thuần nhất Tọa độ thuần nhất u(1)  [u(1), u(1), u(1)]T z, x y z P y, • tọa độ điểm P, O trong không gian  • tọa độ thuần nhất của điểm P, O được định nghĩa như  u 3D trong một hệ quy chiếu z0, r {F } sau: P 1   O  ˆ(0)  (0)  (0)  (0)  T r  r(0)  [x(0), y(0), z(0) ]T {F } r r  r  [ x , y , z , ] z, 0 O P P P P P P P P P P x,  P y,  O y0, u  uˆ(1)  [u(1), u(1), u(1), ]T 0  r  r(0)  [x(0), y(0), z(0) ]T x , x y z z ,  u O O O O O 0 0 r  P u  u(0)  [u(0), u(0), u(0) ]T Tọa độ thuần nhất của điểm là véc tơ trong O  x y z không gian 4 chiều, tọa độ thứ tư là một hệ r O  số tỷ lệ khác không. O y x, u  u(1)  [u(1), u(1), u(1) ]T 0 0, x y z Quan hệ giữa tọa độ thực và tọa độ thuần x , 0 • tọa độ thuần nhất của điểm P, O được định nghĩa như nhất xˆ(0) yˆ(0) zˆ(0) x(0)  P , y(0)  P , z(0)  P sau: P  P  P  Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Trang 20

PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT -77- PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT -78- Để thuận tiện, ta chọn hệ số tỷ lệ  = 1. Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất • tọa độ thuần nhất của điểm P, O sẽ là: • Là ma trận 4x4 được định nghĩa cho mục đích biến đổi  véc tơ vị trí thuần nhất từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ r  ˆr(0)  [x(0), y(0), z(0), 1]T khác. P P P P P z, • Xét điểm P thuộc hệ F : z,  ˆ(1) (1) (1) (1) T P y, 1 P y, u  u  [u , u , u , 1]   x y z u    u z ,  z ,  F 0 r r = r + u r(0)( )t = r(0)( )t + u(0) 0 r P P 1 O P O P O O  F  r 0 r O O O y x, r(0)( )t = r(0)( )t + R( )t u(1) O y x, 0 0, P O 0 0, x0, x0, • Ký hiệu mũ để chỉ tọa độ thuần nhất. r(0)( ),t r(0)( ),t u(1) Î Â3, R( )t Î Â3´3 P O Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT -79- PHÉP BIỂN ĐỔI TỌA ĐỘ THUẦN NHẤT -80- Nếu đưa vào các tọa độ thuần nhất – bằng cách thêm phần tử thứ tư Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất có giá trị bằng 1 vào các véc tơ tọa độ của các điểm, ví dụ như z, R( )t r(0)( )t  u(1)  [u ,u ,u ]T  uˆ(1)  [u ,u ,u ,1]T P y, H( )t   O , ˆr(0)  H( )t uˆ(1) x y z x y z  0 1 P r(0)  [x ,y ,z ]T  ˆr(0)  [x ,y ,z ,1]T z ,  u  1 3  0 r F O O O O O O O O P 1 r(0)  [x ,y ,z ]T  ˆr(0)  [x ,y ,z ,1]T  O P P P P P P P P F r z, 0 O H(t) được gọi là ma trận biến đổi tọa độ P y r(0)( )t = r(0)( )t + R( )t u(1) y x, , O0 0, thuần nhất. Ma trận này chứa đựng đầy đủ  P O u x , thông tin về chuyển động của vật rắn, đó là z ,  F 0 0 r Khi đó tọa độ thuần nhất của điểm P được tính như sau P 1 chuyển động của điểm O và ma trận cosin O chỉ hướng của vật. Như vậy, ta hoàn toàn F  0 r       O r(0)( )t R( )t r(0)( )t u(1) biểu diễn được chuyển động của vật rắn x, O y0, ˆr(0)   P    O     H( )t uˆ(1) thông qua ma trận biến đổi tọa độ thuần 0 P 1 0 1 1 x0,        nhất H(t). Nguyen Quang Hoang Nguyen Quang Hoang Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics

Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.

Bình luận (0)

Đăng nhập để tham gia bình luận

Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!

Tài liệu liên quan

Kỹ thuật Robot - PGS.TS.Nguyễn Trường Thịnh

Premium3494 trang

Robotics 11 Motion Control 16X9 (Chương 11) - Nguyễn Quang Hoàng

Miễn phí041 trang

Động lực học Robot - Phương trình động lực Kane - Nguyễn Quang Hoàng

Miễn phí022 trang

Động học robot: thuận và ngược (Chương 3) - Nguyễn Quang Hoàng

Premium023 trang

Statics and stiffness analysis - Nguyễn Quang Hoàng

Premium052 trang
Cùng tác giả

Giáo trình Pháp luật đại cương 2021 - ĐH Thương Mại

Miễn phí0237 trang

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 trang

Luyện dạng thường gặp - Toán (HSA) - Dạng 1

Miễn phí74 trang

Đề khảo sát tháng 8 - Đề VACT Toán (Có đáp án chi tiết)

Miễn phí1311 trang

TSAP Thi thử đợt trải nghiệm - Toán

Premium912 trang