Trang 1
Lý thuyết Điều khiển Tự động Hệ liên tục tuyến tính bất biến theo thời gian Bộ môn Điều khiển Tự động, Viện Điện Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội GV: TS. Trịnh Hoàng Minh Hà Nội, 08/2021
Trang 2
Nội dung 1. Hệ liên tục tuyến tính bất biến theo thời gian 2. Biến đổi Laplace và mô hình hàm truyền 3. Một số ví dụ 2
Trang 4
Tín hiệu • Tín hiệu 𝑢 𝑡 : hàm nhận giá trị thực (hoặc phức) theo thời gian • Các phép biến đổi tín hiệu cơ bản: • Cộng tín hiệu: 𝑥 𝑡 ± 𝑦 𝑡 • Nhân với hằng số: 𝑥 𝑡 → 𝛼𝑥 𝑡 • Dịch theo thời gian: 𝑥 𝑡 → 𝑥 𝑡 ± 𝜏 (trễ/sớm) • Thay đổi tỉ lệ thời gian: 𝑥 𝑡 → 𝑥 𝛼𝑡 • … 4
Trang 5
Một số tín hiệu cơ bản • Tín hiệu xung chữ nhật: p (t) 1 𝑇 𝑇 T 1/T , − ≤ 𝑡 ≤ 𝑝 𝑡 = 𝑇 2 2 𝑇 𝑇 𝑇 0, 𝑡 < − hoặc 𝑡 > 2 2 -T/2 T/2 t • Tín hiệu xung Dirac: không xác định, 𝑡 = 0 d (t) 𝛿 𝑡 = lim 𝑝𝑇 𝑡 = ቊ 𝑇→0 0, 𝑡 ≠ 0 𝑡 1, 𝑡 > 0 න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = ቊ0, 𝑡 < 0 −∞ t 5
Trang 6
Một số tín hiệu cơ bản • Tín hiệu bước nhảy (step, heaviside) 1, 𝑡 > 0 u(t) 1 𝑡 = ቊ0, 𝑡 < 0 𝑡 1 1, 𝑡 > 0 1 𝑡 = න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = ቊ0, 𝑡 < 0 −∞ t 𝑑𝑢 𝑡 𝛿 𝑡 = 𝑑𝑡 r (t) • Tín hiệu dốc đơn vị (ramp) 𝑡, 𝑡 > 0 𝑟 𝑡 = ቊ0, 𝑡 < 0 t 6
Trang 7
Biểu diễn tín hiệu tổng quát • Sử dụng hàm xung dirac: ∞ ∞ ∞ න 𝑓 𝜏 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑓 0 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 0 න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 0 −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ න 𝑓 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓 𝑡 −∞ −∞ 7
Trang 8
Hệ LTI • Hệ liên tục: tín hiệu vào và ra là các tín hiệu liên tục theo thời gian 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑆 𝑢 𝑡 𝑆 • Hệ tuyến tính: thỏa mãn nguyên lý xếp chồng. Với 𝑢 𝑡 , 𝑣 𝑡 là hai tín hiệu và 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ: 𝑆 𝛼𝑢 𝑡 + 𝛽𝑣 𝑡 = 𝛼𝑆 𝑢 𝑡 + 𝛽𝑆 𝑣 𝑡 8
Trang 9
Hệ LTI • Tính bất biến theo thời gian: Nếu 𝑢 𝑡 → 𝑦 𝑡 = 𝑆 𝑢 𝑡 thì 𝑢 𝑡 ± 𝜏 → 𝑦 𝑡 ± 𝜏 = 𝑆 𝑢 𝑡 ± 𝜏 • Ví dụ 1: Hệ sau là hệ tuyến tính bất biến theo thời gian hay không? • 𝑦 𝑡 = cos 5𝑢 𝑡 • 𝑦 𝑡 = sin 2𝑡 sin 𝑢 𝑡 • 𝑦 = 1 𝑡 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 + 𝐵 𝑇 𝑡−𝑇 9
Trang 10
Mô hình phương trình vi phân • Hệ tuyến tính tham số hằng (LTI) • Biến đầu vào 𝑢 𝑡 , biến đầu ra 𝑦 𝑡 • Phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa đầu vào – đầu ra của hệ: 𝑑𝑦 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑚𝑢 𝑎0𝑦 + 𝑎1 +...+𝑎𝑛 = 𝑏0𝑢 + 𝑏1 +...+𝑏𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑡𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑡𝑚 𝑑𝑘𝑦 Điều kiện đầu: ȁ𝑡=0, 𝑘 = 0,1,…,𝑛 − 1 𝑑𝑡𝑘 Tín hiệu vào: 𝑢 𝑡 thỏa mãn 𝑢 𝑡 = 0,∀𝑡 < 0. 10
Trang 11
Mô hình phương trình vi phân • PTVP mô tả quan hệ giữa đầu vào – đầu ra của hệ: 𝑑𝑦 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑚𝑢 𝑎0𝑦 + 𝑎1 +...+𝑎𝑛 = 𝑏0𝑢 + 𝑏1 +...+𝑏𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑡𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑡𝑚 Điều kiện đầu: 𝑑𝑘𝑦/𝑑𝑡𝑘ȁ , 𝑘 = 0,1,…,𝑛 − 1 𝑡=0 Tín hiệu vào: 𝑥 𝑡 thỏa mãn 𝑥 𝑡 = 0,∀𝑡 < 0. • Nghiệm của PTVP: 𝑦 𝑡 = 𝑦𝑧𝑖 𝑡 + 𝑦𝑧𝑠 𝑡 𝑦𝑧𝑖 𝑡 : nghiệm thuần nhất 𝑢 𝑡 = 0 , thỏa mãn 𝑑𝑦 𝑑𝑛𝑦 𝑎 𝑦 + 𝑎 𝑧𝑖 +...+𝑎 𝑧𝑖 = 0 0 𝑧𝑖 1 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡𝑛 𝑦 𝑘 ቚ ,𝑘 = 0,…,𝑛 − 1 𝑧𝑖 𝑡=0 𝑦 𝑡 : nghiệm riêng 𝑦 𝑘 ȁ = 0,𝑘 = 0,…,𝑛 − 1 , thỏa mãn 𝑧𝑠 𝑧𝑖 𝑡=0 𝑑𝑦 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑚𝑢 𝑎 𝑦 + 𝑎 𝑧𝑠 +...+𝑎 𝑧𝑠 = 𝑏 𝑢 + 𝑏 +...+𝑏 0 𝑧𝑠 1 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡𝑛 0 1 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡𝑚 11
Trang 12
Mô hình đáp ứng xung • Đáp ứng xung của hệ LTI: đáp ứng của hệ khi đang ở trạng thái 0 và được kích thích bởi đầu vào là tín hiệu xung dirac. 𝑔 𝑡 = 𝑆 𝛿 𝑡 : hàm trọng lượng 𝛿 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑆 𝛿 𝑡 = 𝑔 𝑡 𝑆 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑢 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑢 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 ∞ ∞ 𝑦 𝑡 = න 𝑢 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑢 𝑡 − 𝜏 𝑔 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑢 𝑡 ∗ 𝑔 𝑡 −∞ −∞ ∗ : Tích chập 12
Trang 13
Mô hình đáp ứng xung • Hệ LTI là nhân quả nếu 𝑔 𝑡 = 0, với 𝑡 < 0 • Đáp ứng của một hệ LTI nhân quả với tín hiệu nhân quả 𝑢 𝑡 (𝑢 𝑡 = 0,𝑡 < 0) được cho bởi: 𝑡 𝑦 𝑡 = න𝑢 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 0 • Ví dụ 2: Tìm đáp ứng của hệ có hàm trọng lượng 𝑔 𝑡 = 𝑒−𝑡1 𝑡 với tín hiệu đầu vào: • 𝑢 𝑡 = 𝛿 𝑡 • 𝑢 𝑡 = 1 𝑡 • 𝑢 𝑡 = sin𝑡 13
Trang 14
Mô hình đáp ứng bước nhảy • Đáp ứng bước nhảy của hệ LTI: đáp ứng của hệ khi đang ở trạng thái 0 và được kích thích bởi đầu vào là tín hiệu bước nhảy 1 𝑡 . ℎ 𝑡 = 𝑆 1 𝑡 : hàm quá độ ∞ ∞ 𝑡 ℎ 𝑡 = න 1 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = න 1 𝑡 − 𝜏 𝑔 𝜏 𝑑𝜏 = න𝑔 𝜏 𝑑𝜏 −∞ −∞ −∞ • Với hệ LTI nhân quả: 𝑡 𝑑ℎ 𝑡 ℎ 𝑡 = න𝑔 𝜏 𝑑𝜏 , = 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 0 14
Trang 16
Biến đổi Laplace • Đáp ứng với tín hiệu mũ phức, nhân quả: 𝛿 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 = 𝑆 𝛿 𝑡 𝑆 ∞ 𝑢 𝑡 = 𝑒𝑠0𝑡1 𝑡 𝑦 𝑡 = න ℎ 𝜏 𝑒𝑠0 𝑡−𝜏 1 𝜏 𝑑𝜏 𝑠 = 𝜎 + 𝑗Ω −∞ 0 0 0 ∞ = 𝑒𝑠0𝑡 න ℎ 𝜏 𝑒−𝜏𝑠0𝑑𝜏 = 𝑢 𝑡 𝐻 𝑠 0 0 • Biến đổi Laplace của hàm nhân quả 𝑓(𝑡) ( 𝑓 𝑡 = 0 với 𝑡 < 0 ): ∞ 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 1 𝑡 = න 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 0− 0 −= 0 − 𝜖: kí hiệu giá trị vô cùng nhỏ bên trái của cận 0. Đảm bảo tính tới cả tín hiệu xung Dirac 𝛿 𝑡 . Với tín hiệu thông thường, có thể dùng cận là 0. 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔. Miền hội tụ (ROC): Miền tương ứng với giá trị 𝑠 sao cho tích phân hội tụ 16
Trang 17
Biến đổi Laplace • Ví dụ 3: Tìm ảnh Laplace của 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑡1(𝑡): ∞ ∞ 1 1 𝐹(𝑠) = න 𝑒−𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = න 𝑒−(1+𝑠)𝑡𝑑𝑡 = − 𝑒−(1+𝑠)𝑡ȁ∞ = 1 + 𝑠 0 𝑠 + 1 0 0 ROC: Re 𝑠 > −1 • Ví dụ 4: Tìm ảnh Laplace của 𝑓 𝑡 = 1 𝑡 : ∞ ∞ 1 1 𝐹(𝑠) = න 𝑒−𝑠𝑡1(𝑡)𝑑𝑡 = න 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = − 𝑒−𝑠𝑡ȁ∞ = ROC: Re 𝑠 > 0 𝑠 0 𝑠 0 0 • Ví dụ 5: Tìm ảnh Laplace của 𝑓 𝑡 = cos 𝜔𝑡 1(𝑡): ∞ 1 1 1 1 1 1 𝐹(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒(−𝑠+𝑗𝜔)𝑡ȁ∞ + 𝑒(−𝑠−𝑗𝜔)𝑡ȁ∞ 2 2 2𝑠 − 𝑗𝜔 0 2𝑠 + 𝑗𝜔 0 0 1 1 1 1 𝑠 = + = ROC: Re 𝑠 > 0 2𝑠 − 𝑗𝜔 2𝑠 + 𝑗𝜔 𝑠2 + 𝜔2 17
Trang 18
Biến đổi Laplace ngược • 𝑓 𝑡 : một hàm nhân quả ( 𝑓 𝑡 = 0 với 𝑡 < 0 ) • Phép biến đổi Laplace: ∞ ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 𝑓 𝑡 1 𝑡 = න 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝐹 𝑠 0− • Phép biến đổi Laplace ngược: ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 1 𝑐+𝑗∞ 𝐹(𝑠)𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠, với 𝑡 > 0, 2𝜋𝑗 𝑐−𝑗∞ 𝑐: (bán kính hội tụ) được chọn lớn hơn phần thực của mọi điểm cực của 𝐹(𝑠) 18
Trang 19
Biến đổi Laplace • Một số cặp hàm gốc – hàm ảnh Laplace thông dụng 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠) 1 𝛿(𝑡) 1 1 2 1(𝑡) 𝑠 𝑛 𝑛! 3 𝑡 1(𝑡) (𝑛 = 1,2,3,…) 𝑠𝑛+1 −𝑎𝑡 1 4 𝑒 1(𝑡) 𝑠 + 𝑎 𝑛! 5 𝑡𝑛𝑒−𝑎𝑡1(𝑡) (𝑛 = 1,2,3,…) (𝑠 + 𝑎)𝑛+1 𝜔 6 𝑒−𝑎𝑡 sin𝜔𝑡1(𝑡) (𝑠 + 𝑎)2+𝜔2 𝑠 + 𝑎 7 𝑒−𝑎𝑡 cos𝜔𝑡 1(𝑡) (𝑠 + 𝑎)2+𝜔2 8 𝛿(𝑡 − 𝜏) 𝑒−𝜏𝑠 19
Trang 20
Tính chất của phép biến đổi Laplace • Tuyến tính • ℒ 𝑎𝑓 𝑡 = 𝑎ℒ 𝑓 𝑡 • ℒ 𝑎1𝑓1 𝑡 + 𝑎2𝑓2 𝑡 = 𝑎1ℒ 𝑓1 𝑡 ] + 𝑎2ℒ[𝑓2 𝑡 • Đạo hàm trên miền thời gian • ℒ 𝑑 𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0) 𝑑𝑡 𝑑2 2 ሶ • ℒ 𝑓 𝑡 = 𝑠 𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓(0) 𝑑𝑡2 𝑑𝑛 𝑛 𝑛 𝑛−𝑘 𝑘−1 • ℒ 𝑓 𝑡 = 𝑠 𝐹 𝑠 − σ𝑘=1 𝑠 𝑓 (0) 𝑑𝑡𝑛 • Tích phân trên miền thời gian • ℒ 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑠 0− 𝑠 • Thay đổi tỉ lệ trong miền thời gian 𝑡 ℒ 𝑓 = 𝑎𝐹(𝑎𝑠) 𝑎 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!