ĐỀ THI GIỮA KÌ GIẢI TÍCH 3 – HỌC KỲ 20172, NHÓM NGÀNH 1 K62 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số ∞ a) ∑ 3n2 + 1 n=0 (√3) n Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 0 Áp dụng tiêu chuẩn Dalembert, ta có: 3(n + 1)2 + 1 lim n→+∞ (√3) n+1 ÷ 3n2 + 1 (√3) 1 3(n + 1)2 + 1 n→+∞ √3 3n2 + 1 3 √ n = lim → Chuỗi đã cho hội tụ ∞ n2 + 3 b) ∑ √n + 1. ln ( 2 ) n +1 n=0 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 0 Khi n → +∞, ta có: n2 + 3 2 2 √n + 1 2 ~ 3 √n + 1. ln ( 2 ) = √n + 1. ln (1 + 2 )~ 2 n +1 n +1 n +1 n2 ∞ Mà ∑ 2 3 là chuỗi hội tụ n=1 n2 → Chuỗi đã cho hội tụ Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∞ (−1)n−1 (n + 1) ∑ 2 n n . 3 . (x + 4)n (−1)n−1 (n + 1) (−1)n−1 (n + 1) 1 n (x ≠ −4) Đặt ∑ 2 n n . 3 . (x + 4)n n2 . 3n x+4 Bán kính hội tụ của chuỗi là ∶ (n + 1) (n + 2) un 3. (n + 1)3 R = lim | | = lim | 2 n ÷ | = lim | 2 |=3 n→+∞ un+1 n→+∞ n . 3 n→+∞ n . (n + 2) (n + 1)2 . 3n+1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Xét tại biên t = 3, chuỗi đã cho trở thành ∞ (−1)n−1 (n + 1) hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt ∑ n2 n=1 Xét tại biên t = −3, chuỗi đã cho trở thành (n + 1) là chuỗi phân kỳ ∑ n2 n → Chuỗi hội tụ khi − 3 < t ≤ 3 → −3 < 1 ≤3 x+4 → x<− 13 11 ∪x≥− Vậy miền hội tụ của chuỗi là x ∈ (−∞; − ) ∪ [− ∪ +∞) 3 3 Câu 3: Khai triển f(x) = f(x) = 1 thành chuỗi Maclaurin 3x + 2 3x + 2 2 3 . x + 1 2 3 Đặt x = u 2 Khai triển Maclaurin của f(u)là ∞ 1 1 1 f(u) = . = ∑ . (−1)n . un , −1 < u < 1 2 u+1 2 n=0 Thay t = 3x , suy ra chuỗi maclaurin của f(x) là: 3 n 1 3 n n f(x) = ∑ . (−1) . ( x) = . ∑(−1) . ( ) . x , − < x < n. x 4n Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∑ (n + 1)3n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1, x ∈ R n. x 4n n n Đặt ∑ , t = x 4 , (t ≥ 0) (n + 1)3 (n + 1)3 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Bán kính hội tụ của chuỗi là ∶ un n n+1 n(n + 2). 3n+1 R = lim = lim ÷ = lim =3 n→+∞ un+1 n→+∞ (n + 1)3n (n + 2)3n+1 n→+∞ (n + 1)2 . 3n ∞ Xét tại biên t = 3, chuỗi đã cho trở thành ∑ n=1 n n có lim =1≠0 n→+∞ (n + 1) (n + 1) →