ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20182 KSTN, KHÓA 63 Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 ∞ Câu 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ (en − en+1 ) = ∑ (en − en+1 ) ∞ 1 (en − 1) − ∑ (en+1 − 1) Ta có 2 chuỗi trên đều là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Khi n → +∞ ∶ (e − 1) ~ 3 Mà ∑ 1 n+1 − 1) ~ (e 1 √n(n + 1) ∞ 1 1 3 là chuỗi hội tụ, suy ra ∑ √n n=1 n2 (en − 1) và ∑ (en+1 − 1) hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ ∞ 2 n n Câu 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 2 . ( Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có: lim √2n . ( ) = lim 2. ( ) = lim 2. (1 − ) n→+∞ n→+∞ n→+∞ = 2. e lim ln(1− n→+∞ n→+∞ = 2. e = <1 e Suy ra chuỗi đã cho hội tụ ∞ n 2x − 1 2n Câu 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∑ 2 ( ) n −1 x n=1 ∞ 2x − 1 2 n Đặt ( tn ) = t ,t ≥ 0 → ∑ 2 x n −1 n=1 Đặt an = n , ta có bán kính hội tụ là: n2 − 1 an n n+1 n. (n2 + 2n) R = lim | ÷ | = lim | 2 | = lim | |=1 n→+∞ an+1 n→+∞ n − 1 n→+∞ (n + 1). (n2 − 1) (n + 1)2 − 1 Xét t = 1 → ∑ 2 tn = ∑ 2 ~ ∑ khi n → +∞, chuỗi này phân kỳ n −1 n −1 n Suy ra chuỗi hội tụ khi 0 ≤ t < 1 2x − 1 2 →0≤ ( ) <1 x → −1 < → 2x − 1 <1 x 1 <x<1 3 1 Miền hội tụ là x ∈ ( ; 1) 3 Câu 4: Giải phương trình vi phân (x. y ′ − 1). ln x = 2y (x. y ′ − 1). ln x = 2y ↔ y′ − (x > 0) 2 1 .y = x. ln x x 2 ∫ −x.ln xdx Thừa số tích phân là p(x) = e = e−2 ln ln x = 1 ln2 x Nhân cả 2 vế với p(x), ta có: ln2 x x. ln3 x x. ln2 x 1 ′ 1 ↔ (y. 2 ) = ln x x. ln2 x 1 1 ↔ y. 2 = − +C ln x ln x ↔ y = − ln x + C. ln2 x . Ngoài ra phương trình không có nghiệm kì dị Vậy nghiệm tổng quát của ptvp đã cho là y(x, C) == − ln x + C. ln2 x Câu 5: Giải phương trình vi phân (y 3 + x 3 . (1 + ln y))dy + 3x 2 . (1 + y ln y)dx = 0 Ta có ∶ ∂(y 3 + x 3 . (1 + ln y)) ∂(3x 2 . (1 + y ln y)) = = 3x 2 (1 + ln y) ∂x ∂y → thỏa mãn điều kiện ptvp toàn phần Giả sử du(x, y) = (y 3 + x 3 . (1 + ln y))dy + 3x 2 . (1 + y ln y)dx Xuất phát từ phương trình u′x = 3x 2 . (1 + y ln y), ta có ∶ u(x, y) = ∫ 3x 2 . (1 + y ln y) dx = x 3 . (1 + y ln y) + g(y) → u′y = x 3