Đề thi cuối kì GT3 kì 20192 – nhóm ngành 2 Lời giải: Trần Bá Hiếu & Nguyễn Tiến Được Câu 1: ∞ ∑ √𝑛2 + 1 − √𝑛2 − 1 √𝑛 𝑛=1 𝑢𝑛 = √𝑛2 + 1 − √𝑛2 − 1 √𝑛 𝐾ℎ𝑖 𝑛 → ∞: 𝑢𝑛 ~ ∞ 𝑀à ∑ 1 3 𝑛=1 𝑛2 2 √𝑛 .2𝑛 = = 2 √𝑛. (√𝑛2 + 1 + √𝑛2 − 1) 1 >0∀𝑛≥1 3 𝑛2 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ Câu 2: ∞ 1 1 − 2𝑥 𝑛 ∑ ( ) 2𝑛 + 1 1 + 𝑥 𝑛=1 ∞ 1 − 2𝑥 1 Đặ𝑡 𝑡 = → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ ∑ . 𝑡𝑛 1+𝑥 2𝑛 + 1 𝑛=1 2𝑛 + 3 𝑋é𝑡 lim =1→𝑅=1 𝑛→∞ 2𝑛 + 1 𝑇𝑎𝑖𝑗 𝑡 = 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑑𝑜 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎 ∞ (−1)𝑛 𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1 → ∑ 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 2𝑛 + 1 𝑛=1 → 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ − 1 ≤ 𝑡 < 1 → −1 < 1 − 2𝑥 < 1 ( 𝑥 ≠ −1) 1+𝑥 1 − 2𝑥 2−𝑥 +1= >0 𝑥<2 −1 < 𝑥 < 2 1 − 2𝑥 3𝑥 𝑥 < −1 ∪ 𝑥 > 0 𝑥 ≠ −1 −1=− <0 1+𝑥 1+𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑐ầ𝑛 𝑡ì𝑚 𝑙à (−∞; 2)/{−1} Câu 3: 𝐾ℎ𝑎𝑖 𝑡𝑟𝑖ể𝑛 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑓(𝑥) = −𝑥 𝑘ℎ𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑣à 𝑡𝑢ầ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑇 = 4 𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) → 𝑓(𝑥) 𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ → 𝑎𝑛 = 0 2 1 2 𝑛𝜋𝑥 2 𝑛𝜋𝑥 𝑏𝑛 = ∫ −𝑥. sin 𝑑𝑥 → 𝑏𝑛 = ∫ 𝑥 𝑑 ( cos ) 2 −2 2 2𝑥 𝑛𝜋𝑥 2 2 𝑛𝜋𝑥 1 4 𝑛𝜋𝑥 2 → 𝑏𝑛 = cos | −∫ cos 𝑑𝑥 = cos 𝑛𝜋 − ( 2 2 sin )| 0 𝑛𝜋 2 0 2 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 2 0 𝑛𝜋 𝑛 (−1) 4 4 → 𝑏𝑛 = cos 𝑛𝜋 − 2 2 sin 𝑛𝜋 = 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, … 𝑛𝜋 𝑛 𝜋 𝑛𝜋 ∞ (−1)𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑘ℎ𝑎𝑖 𝑡𝑟𝑖ể𝑛 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥) 𝑙à ∑ 4. sin 𝑛𝜋 2 𝑛=1 Câu 4: a) 𝑥𝑦 ′ − 2𝑥 2 √𝑦 = 4𝑦 +) 𝑦 = 0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ỳ 𝑑ị 4 𝑦′ 𝑥 𝑦 +) 𝑦 ≠ 0 → − − 2𝑥 = 0 √𝑦 √𝑦 𝑦′ ′ Đặ𝑡 √𝑦 = 𝑡 → 2𝑡 = √𝑦 4 2 → 2𝑡 ′ − 𝑡 = 2𝑥 → 𝑡 ′ − 𝑡 = 𝑥 𝑃𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡 = 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 (𝑙𝑛𝐶 + ∫ 𝑥. 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 2 (ln 𝐶 + ln|𝑥|) = 𝑥 2 ln 𝐶𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑃𝑇 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑙à 𝑦 = (𝑥 2 ln 𝐶𝑥)2 = 𝑥 4 ln2 𝐶𝑥 b) 𝑦 ′′ + 𝑦 = 2 sin2 𝑥 Xét PT thuần nhất 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 Có PT đặc trưng là 𝑘 2 + 1 = 0 → 𝑘 = 0 ± 𝑖 → 𝑦̅ = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 𝑆𝑑 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑝ℎá𝑝 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ℎ𝑖ê𝑛 ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝐶1′ cos