GIẢI ĐỀ GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20142 Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∶ ∞ a) ∑ n=1 1 1 ln (1 + ) n √n Chuỗi số này là chuỗi số dương ∀n > 1 Khi n → +∞ ∶ ln (1 + ) ~ 3 mà ∑ 3 là chuỗi hội tụ n √n n2 n=1 n2 → chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh ∞ (−1)n b) ∑ ln n n=2 Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu 1 { } là một dãy số dương, đơn điệu giảm dần về 0 ln n → chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∞ a) ∑ n=1 1 (x − 1)n n+1 ∞ Đặt x − 1 = t. Chuỗi đã cho trở thành ∑ an t n với an = | = lim | |=1 n→+∞ an+1 n→+∞ n + 2 Bán kính hội tụ R = lim | ∞ Xét t = 1, ∑ n=1 1 là chuỗi phân kỳ n+1 ∞ (−1)n Xét t = −1, ∑ là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz n+1 n=1 → −1 ≤ t < 1 → −1 ≤ x − 1 < 1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 →0≤x<2 → miền hội tụ là x ∈ [0; 2) ∞ b) ∑ n=1 n−1 nx Chuỗi đã cho là chuỗi số dương ∀n ≥ 1 Khi n → +∞ , nx−1 nx−1 hội tụ ↔ x − 1 > 1 →x>2 → miền hội tụ là x ∈ (2; +∞) Câu 3: Giải các phương trình vi phân ∶ a) y ′ . cos 2 x = y → dy . cos 2 x = y cos 2 x Tích phân 2 vế ∶ → ln|y| = tan x + C → y = etan x+C Nghiệm tổng quát của ptvp đã cho là y = etan x+C , ngoài ra còn có y = 0 là nghiệm kì dị y b) y ′ + = x 2 y 3 x ( Đây là phương trình bernoulli ) Đặt v = y −2 , phương trình đã cho trở thành: v′ + −2 . v = −2. x 2 x 2 Thừa số tích phân của ptvp trên là: p(x) = e∫ −xdx = Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 1 . Nhân cả 2 vế với p(x): x2 → 1 ′ −2 . v + 3 v = −2 → ( 2 . v ) = −2 x 1 → 2 . v = −2x + C x 1 → 2 2 = −2x + C x y → 1 + 2x + C = 0 x2y2 Vậy tích phân tổng quát của ptvp đã cho là u(x, y, C) = 1 + 2x + C = 0 x2y2 Ngoài ra có y = 0 là nghiệm kì dị Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = 1 thành chuỗi lũy thừa của x + 3 x 2 − 3x + 2 Đặt t = x + 3 → x = t − 3 → f(t) = (t − 3)2 − 3(t − 3) + 2 t 2 − 9t + 20 (t − 4)(t − 5) = .t − .t = . − . t−5 t−4 5 −1 4 −1 4 1− t 5 1− t Khai triển maclaurin của f(t) là ∶ tn 1 tn f(t) = ∑ n − ∑ n Vậ