Đề thi cuối kì GT3 học kì 20181 – nhóm ngành 1 Lời giải: Nguyễn Tiến Được – K64 Câu 1 a) ∞ 𝑛2 + 2 𝑛2 + 2 . 𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 𝑢𝑛 = 3 ≥ 0∀𝑛 ≥ 1 ∑ 3 𝑛 +𝑛+1 𝑛 +𝑛+1 𝑛=1 𝑛2 + 2 𝑛2 1 𝑢𝑛 = 3 ~ = 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ 𝑛 + 𝑛 + 1 𝑛3 𝑛 ∞ 1 𝑀à ∑ 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑛 𝑛=1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶𝑆𝑆 b) ∞ ∑ (−1)𝑛 . 𝑛=1 2𝑛 + 1 2𝑛 + 1 . 𝐿à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 𝑣ớ𝑖 𝑢 = 𝑛 𝑛2 + 1 𝑛2 + 1 +) 𝑢𝑛 ≥ 0∀𝑛 ≥ 1 2𝑥 + 1 2(𝑥 2 + 1) − 2𝑥(2𝑥 + 1) −2(𝑥 2 + 𝑥 + 1) ′ (𝑥) +) 𝑓(𝑥) = 2 →𝑓 = = (𝑥 2 + 1)2 (𝑥 2 + 1)2 𝑥 +1 < 0∀𝑥 ≥ 1 → {𝑢𝑛 } 𝑙à 𝑑ã𝑦 đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑔𝑖ả𝑚 2𝑛 + 1 +) lim 2 =0 𝑛→∞ 𝑛 + 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ℎ𝑢ẩ𝑛 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 Câu 2: Tìm miền HT ∞ ∞ 𝑛=1 𝑛=1 (2𝑥 + 3)𝑛 1 . Đặ𝑡 𝑡 = 2𝑥 + 3 → ∑ . 𝑡 𝑛 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 ∑ 2𝑛 + 3 2𝑛 + 3 − 𝐵á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 𝐻𝑇 𝑐ủ𝑎 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙à: 2𝑛 + 5 lim =1→𝑅=1 𝑛→∞ 2𝑛 + 3 ∞ 1 − 𝑇ạ𝑖 𝑡 = 1. ∑ 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 2𝑛 + 3 𝑛=1 ∞ (−1)𝑛 − 𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1. ∑ 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 2𝑛 + 3 𝑛=1 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑙à − 1 ≤ 𝑡 < 1 → −1 ≤ 2𝑥 + 3 < 1 → −2 ≤ 𝑥 ≤ −1 𝑉ậ𝑦 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑐ầ𝑛 𝑡ì𝑚 𝑙à 𝑥 ∈ [−2; −1) Câu 3: Khai triển f(x) thành chuỗi Maclaurin ∞ 𝑥 𝑓(𝑥) = = 𝑥. ∑ (−1)𝑛 . (2𝑥 2 )𝑛 ∀|2𝑥 2 | < 1 2 1 + 2𝑥 𝑛=0 ∞ = ∑ (−2)𝑛 . 𝑥 2𝑛+1 ∀|𝑥| < 𝑛=0 1 √2 Câu 4: ′ 𝑦 2 𝑦 a) 𝑦 = ( ) + + 4 𝑥 𝑥 𝑦 Đặ𝑡 = 𝑡 → 𝑦 = 𝑥𝑡 → 𝑦 ′ = 𝑡 + 𝑡′𝑥 𝑥 → 𝑡 + 𝑡′𝑥 = 𝑡2 + 𝑡 + 4 𝑑𝑡 𝑥 = 𝑡2 + 4 → 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 → ln 𝑥 + ln 𝐶 = arctan 𝑑𝑥 𝑡 +4 → 𝑥 = (√𝑒 + 𝑒 arctan2 ) 𝐶 𝑡 𝑡 Vậy PT có nghiệm { 𝑦 = (√𝑒 + 𝑒 arctan2 ) 𝐶 1 𝑥 = ( √𝑒 + 𝑒 arctan 𝐶 (3𝑥 2 𝑡 2 ) b) (3𝑥 2 + 6𝑥𝑦)𝑑𝑥 + − 4𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0 𝑃(𝑥; 𝑦) = 3𝑥 2 + 6𝑥𝑦 → 𝑃𝑦′ = 6𝑥 𝑄(𝑥; 𝑦) = 3𝑥 2 − 4𝑦 3 → 𝑄𝑥′ = 6𝑥 → Đâ𝑦 𝑙à 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎầ𝑛 𝑥 𝑦 2 → 𝐶 = ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥 2 − 4𝑦 3 𝑑𝑦 0 0 𝑦=𝑦 𝑥=𝑥 = 𝑥3 | + (3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 4 )| 𝑦 = 0 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 4 𝑥=0 Vậy TPT