Trang 1
PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thời đại ngày nay khoa học và công nghệ ngày càng phát triển, con người đã bắt đầu tiến đến đỉnh cao của tri thức, khám phá được thế giới vật chất vi mô cũng như vũ trụ rộng lớn. Trong đó có rất nhiều hiện tượng tự nhiên từ cấp độ vi mô đến vĩ mô mà cơ học cổ điển không thể giải thích được, và do vậy sự ra đời của thuyết cơ học lượng tử (CHLT) xuất hiện vào nửa đầu của thế kỉ XX đã làm thay đổi cơ bản quan niệm về thế giới vi mô và có tác động không nhỏ đến nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện đại, trong đó có hoá học. Hóa học lượng tử, còn gọi là hóa lượng tử, là một ngành khoa học ứng dụng cơ học lượng tử để giải quyết các vấn đề của hóa học. Các ứng dụng có thể là miêu tả tính chất điện của các nguyên tử và phân tử liên quan đến các phản ứng hóa học giữa chúng. Hóa lượng tử nằm ở ranh giới giữa hóa học và vật lý do nhiều nhà khoa học thuộc hai lĩnh vực này phát triển. Trong những năm gần đây, nội dung hóa lượng tử, cụ thể là phần bài tập giếng thế đã xuất hiện ở các đề thi chọn học sinh giỏi cũng như trong các kì thi Olympic Hóa học. Đây là một nội dung khó và rất trừu tượng mà các học sinh, thậm chí ngay kể cả các giáo viên giảng dạy và bồi dưỡng các đội tuyển cũng chưa hiểu rõ. Hơn nữa sách giáo khoa hóa học, kể cả SGK dành cho các học sinh chuyên cũng viết rất sơ sài, gần như chỉ mang tính chất giới thiệu, đòi hỏi giáo viên giảng dạy phải có một vốn kiến thức cơ bản vững chắc, không ngừng nâng cao chuyên môn, tìm tòi các tài liệu và cập nhật các đề thi thì mới đáp ứng được yêu cầu bồi dưỡng HSG về vấn đề này. Trong khi với những yêu cầu của các kì thi học sinh giỏi và Olympic thì học sinh phải hiểu được sâu sắc các vấn đề lý thuyết, trên cơ sở đó vận dụng giải các bài toán và nghiên cứu các ứng dụng là bắt buộc. Là một giáo viên dạy bộ môn hóa ở trường chuyên, bản thân tôi rất trăn trở và băn khoăn về vấn đề này. Chính vì thế tôi quyết định chọn đề tài “Hệ thống các bài tập về giếng thế dùng cho bồi dưỡng học sinh giỏi” nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng HSG hóa học ở trường phổ thông cũng như làm tăng lòng say mê, yêu thích 1
Trang 2
nghiên cứu khoa học của học sinh. Tôi hi vọng chuyên đề sẽ mang lại nguồn tư liệu quý cho giáo viên tham gia công tác bồi dưỡng HSG và cho học sinh có thêm tư liệu rèn luyện để tự tin hơn khi bước vào các cuộc thi HSG và có thể đạt kết quả như mong muốn. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU -Cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản, kiến thức nâng cao trọng tâm, cơ sở lí thuyết về giếng thế. -Soạn thảo một hệ thống bài tập về Giếng thế dành cho chƣơng trình giảng dạy chuyên Hóa theo hướng bổ sung và hoàn chỉnh kiến thức nhằm tích cực hóa hoạt động nhận thức và phát triển tư duy độc lập, chủ động và sáng tạo của học sinh. -Cung cấp các dạng bài tập gắn với thực tế, thực nghiệm để làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi -Sưu tầm các bài tập trong các đề thi Học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam, các bài tập chuẩn bị và bài tập trong các đề thi cho kỳ thi Olympic Hóa học Quốc tế (IChO); sưu tầm các bài giảng của các Giáo sư đầu ngành về Hóa học lượng tử, các bài tập trong đề thi Olympic sinh viên của các trƣờng Đại học trong nước thông qua các trang web để hệ thống hóa và biên soạn đưa vào chương trình giảng dạy chuyên Hóa cho phù hợp với đối tượng học sinh bậc THPT. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU -Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận liên quan đến đề tài; -Nghiên cứu tài liệu có tính chất lý luận về giảng dạy chuyên sâu và bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT; -Thực tiễn dạy và học theo tài liệu giáo khoa chuyên Hóa; -Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề, có hướng dẫn giải trên cơ sở bám sát Chuẩn kiến thức kỹ năng của chương trình chuyên sâu môn Hóa học do -Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành. - Thực nghiệm đánh giá việc giảng dạy về liên kết hóa học trong việc giải các bài 2
Trang 3
tập về hiđrocacbon. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU -Các sách tham khảo về Hóa học lượng tử, Hóa học vô cơ; -Chương trình giảng dạy và chuẩn kiến thức kỹ năng dành cho học sinh chuyên hóa -Các đề thi cho kỳ thi Olympic Hóa học Quốc tế (IChO); các đề thi chọn Học sinh giỏi các cấp; -Các bài giảng của các Giáo sư đầu ngành về Hóa học lượng tử; -Học sinh chuyên Hóa trường THPT Chuyên và Học sinh Đội tuyển thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Hóa hàng năm. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU -Nghiên cứu thực tiễn dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi hóa học ở trường THPT chuyên. -Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học hóa học, các tài liệu về bồi dưỡng học sinh giỏi, các đề thi học sinh giỏi,… -Thu thập tài liệu và truy cập thông tin trên internet có liên quan đến đề tài. -Đọc, nghiên cứu và xử lý các tài liệu. PHẦN II: NỘI DUNG 3
Trang 4
I.LÝ THUYẾT 1.PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Chúng ta đã biết hàm sóng phẳng của De Broglie mô tảchuyển động của hạt tự do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trường lực, cần phải tìm hàm sóng mô tả chuyển động của hạt trong một trường đã cho. Hàm sóng phải xác định được hoàn toàn trạng thái của hệ Vật lí. Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại một thời điểm nào đó không những mô tả được những tính chất của hệ, mà còn xác định được động thái của hệ ở những thời điểm sau. Trong trường hợp đặc biệt khi không có trường, nghiệm của phương trình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự do. Do đó phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Broglie cũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt toán học những sự kiện nêu trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm của hàm sóng theo thời gian tại thời điểm đã cho phải được xác định bằng giá trị của chính hàm sóng tại cùng thời điểm. Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải là tuyến tính. Ta viết được: trong đó là một toán tử tuyến tính. Để tìm dạng của L, ta xét trường hợp của hạtchuyển động tự do. Khi đó chính là hàm sóng phẳng De Broglie. ψ (x, y,z,t)=Nexp¿ p2+p2 +p2 Trongđó E= x y z ; N là một hằng số chuẩn hóa 2m Phép tính trực tiếp cho ta: ∂ψ = iℏ ∆2ψ ∂t 2m Phương trình này được viết dưới dạng: ∂ψ = iℏ Δ2ψ ∂t 2m Phương trình này có thể được viết dưới dạng: 4
Trang 5
∂ψ = iℏ H^ ψ ∂t 2m Trong đó H^ là hamiltonien cho chuyển động tự do của hạt: −ℏ2 −ℏ2 H^=T^= ∇2= ∆ 2m 2m Từ đó suy ra rằng, đối với chuyển động tự do của hạt: L^= 1 H^ iℏ Trong cơ học lượng tử, người ta tổng quát hóa kết quả riêng biệt này sang các trường hợp khác, coi như một tiên đề, nghĩa là toán tử L^ luôn luôn bằng: L^= 1 H^ (1.2) iℏ trong đó H^ là hamiltonien, phương trình (1.1) cho ta hàm sóng ψ bây giờ được viết dưới dạng: (1.3) Đó là phương trình Schrodinger dưới dạng tổng quát nhất. Nó là một trong những tiên đề của cơ học lượng tử. Sự đúng đắn của nó đã được thưc nghiệm xác nhận. Đặc điểm quan trọng nhất của phương trình Schrodinger thể hiện ở chỗ, nó là phương trình cấp 1 của thời gian và có chứa đơn vị ảo i ở trước đạo hàm .Do đó hàm sóng phải là phức và phương trình có nghiệm tuần hoàn. Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bởi hàm thực làm hàm sóng cho một hạt tự do, chẳng hạn dưới dạng một sóng chạy . Tuy nhiên khi đó, ta không thể xây dựng được phương trình bậc nhất theo thời gian, mà nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các trạng thái như vậy. Sự kiện phương trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian có liên quan mật thiết đến nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Thực vậy, nếu phương trình Schrodinger 5
Trang 6
chứa thì để xác định tại thời điểm t nào đó, nếu chỉ biết hàm tại thời điểm ban đầu sẽ là chưa đủ, mà cần phải biết hàm và cả tại thời điểm ban đầu nữa. Biểu thức của khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng: Đối với hệ hạt không tương tác, của hệ bằng tổng các hamiltonien của các hạt thành phần. ở đây chỉ số a đánh số các hạt, là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân được thực hiện cho hạt thứa. Đối với hệ hạt có tương tác với nhau: (1.6) số hạng thứ nhất là toán tử động năng, còn số hạng thứ hai là toán tử thế năng. Đặc biệt đối với hạt nằm trong trường ngoài: Thay các biểu thức vừa nêu của vào (3) ta thu được phương trình sóng cho các hệ tương ứng.Cụ thể xét trường hợp hạt nằm trong trường ngoài không đổi,phương trình sóng của nó có dạng: 2.PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CHUYỂN ĐỘNG 1 CHIỀU Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng: , với 6
Trang 7
Viết dưới dạng phương trình vi phân, ta được: U(x) là thế năng không phụ thuộc vào thời gian. Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng các giải phương trình (2.2) có dạng phụ thuộc vào dạng thế năng U(x). Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như ở Hình 1. Hình 1. Dạng thế năng U(x) trong trường hợp tổng quát (1) Trạng thái liên kết: Khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển động của hạt giới hạn về cả hai phía, ví dụ như hình trên chuyển động của hạt có năng lượng E < U bị giới hạn trong miền .Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng (và đạo hàm theo tọa độ của nó) tại các điểm biên trong lúc giải phương trình Schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn. (2) Trạng thái không liên kết: Khi chuyển động của các hạt bịgiới hạn, ta nóitrạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do). Trên sơ đồ thế năng Hình 1 có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt. a) Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng U1 < E < U2 .Chuyển độngcủa hạt là vô hạn về phía x .Điều đó có nghĩa là hạt có thểchuyển động giữa x = x3 và . Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục x. 7
Trang 8
b) Trường hợp E > U2: Hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía ( ). Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc 2. Điều này ứng với một giá trị năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm. (3) Trường hợp thế năng đối xứng: Trong trường hợp thế năng là một hàm chẵnvới tọa độ thì Hamiltonian cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình Schrodinger (2.2) được phân thành hai lớp: lớp nghiệm chẵn và lớp nghiệm lẻ 2.1. Chuyển động của hạt tự do. Ta xét một hạt chuyển động tự do theo trục x. Vì thế năng U(x) = 0 nên phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng của hạt có dạng: Nếu đặt thì nghiệm của phương trình (2.3) là: Số hạng thứ nhất trong (2.4) mô tả chuyển động theo trục x (sóng tới), số hạng thứ hai mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ). Biểu thức (2.4) có thể viết gọn lại như sau: (2.5) trong đó x > 0 ứng với chuyển động theo chiều dương, x < 0 ứng với chuyển động theo chiều âm. Do hạt chuyển động tự do nên nghiệm (2.5) thỏa mãn các điều kiện liên tục và hữu hạn trong toàn bộ không gian với năng lượng E có giá trị bất kì. Biểu thức của năng lượng là: Nếu để ý rằng thì biểu thức của năng lượng có thể viết lại dưới dạng: 8
Trang 9
Phổ trị riêng là năng lượng liên tục, có giá trịnhất định trong khoảng từ 0 đến , trong đó là xung lượng của hạt tự do, k = kx là thành phần vectơ sóng trên trục x. Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng: trong đó ta đã thay giá trị của E theo (2.6). Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát và có dạng: với do điều kiện trực chuẩn của hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng (2.5) diễn tảdạng bó sóng, đó là tổ hợp tuyến tính của sóng phẳng dạng (2.8) với các giá trị k khác nhau. Hệ số ck chính là biên độ của bó sóng và được xác định từ điều kiện ban đầu. Từ đó: 9
Trang 10
2.2. Giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn Xét trường hợp của hạt chuyển động tựdo trong giếng thế một chiều có bề rộng L lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. Vềmặt hình thức có thể coi tươngđương với một viên bi trượt không ma sát dọc theo một sợi dây, được căng giữa hai bức tường rắn sao cho va chạm của viên bi với chúng là tuyệt đối đàn hồi. Thế năng đang xét có dạng như Hình 2. Dạng giải tích của thế năng là: Ta thấy rằng ngoài giếng thế hàm sóng hạt không tồn tại ở ngoài giếng thế. Như thế, ta chỉ xét hạt ở trong giếng thế ( ). Phương trình Schrodinger có dạng: Đặt: phương trình (2.13) trở thành: Ta chọn nghiệm của phương trình dưới dạng: Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên nên ta có và . Ta suy ra B = 0 và sin kL = 0. Vì vậy . Vì nên ta thu được biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế. 10
Trang 11
Tron đó: là năng lượng của hạt ứng với n = 1 và được gọi là năng lượng ở trạng thái cơ bản. Như vậy hạt ở trong giếng thế có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng . Vì năng lượng của hạt chỉ là động năng nên vận tốc của hạt chỉ có những giá trị nhất định. Đây là điều khác hẳn trong trường hợp cổ điển: khi viên bi trượt không ma sát trên thanh với một vận tốc đầu nào đó thì vận tốc của nó luôn luôn không đổi và bằng chính vận tốc ban đầu. Hàm riêng (2.15) bây giờ được viết lại dưới dạng: Hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa , hay: Tính tích phân này ta xác định được Vậy hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng En là: , với n = 1, 2, 3 …. (2.18) Ta có thể đưa ra một số kết luận về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như sau: (a) Năng lượng En của hạt trong giếng bị lượng tử hóa. Điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc đầu tự do nhưng bị giới hạn (b) Hàm sóng có n - 1 nút (điểm mà tại đó hàm sóng bằng không). (c) Mật độxác suất tìm hạt có n cực đại ở đó mật độ xác suất tìm hạt có giá trị lớn nhất. Hình 3 chỉ đồ thị các hàm sóng , mật độ xác suất tìm hạt và các mức năng lượng tương ứng với các trạng thái khác nhau. 11
Trang 12
2.3.Giếng thế đối xứng Trong trường hợp này thế năng có dạng: Sơ đồ thế năng có dạng như Hình 4. Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình(2.14) được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn: Đối với lớp nghiệm chẵn: thay vào (2.15), ta được Áp dụng điều kiện biên ,ta được , suy ra , trong đó n = 1,3,5 … Tương tựđối với nghiệm lẻ: , thay vào hàm sóng (2.15), ta được: với trong đó n = 2, 4, 6,… 12
Trang 13
Dùng điều kiện chuẩn hóa ta tính được các hệ số A và B có giá trị là .Như vậy trong cả hai lớp nghiệm ta đều có và do đó năng lượng của hạt được tính theo hệ thức: 2.4.Giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn Bây giờ ta xét trường hợp giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn với thế năng có dạng: Sơ đồ thế năng được cho ở Hình 5. Có thể thấy rằng khi năng lượng E > U0 thì hạt tự do không bị liên kết, năng lượng E là liên tục.Ngược lại E < U0 hạt bị nhốt trong giếng, năng lượng của hạt bị lượng tử hóa ứng với các trạng thái liên kết. Ta sẽ giải phương trình Schrodinger cho tùng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của hạt trong trường hợpE< U0. Đặt: trong đó là các đại lượng thực. Sử dụng kí hiệu ta được phương trình Schrodinger và nghiệm tương ứng của từng miền như sau Miền 13
Trang 14
Miền Miền Nghiệm của các phương trình trên có dạng: Vì giếng thế là đối xứng nên nghiệm ở miền II thuộc về hai lớp nghiệm chẵn: hoặc nghiệm lẻ: Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các điểm biên , ta thu được: đối với lớp nghiệm chẵn, (2.23) đối với lớp nghiệm lẻ, (2.24) Thay k và vào hai phương trình trên và đặt đối với lớp nghiệm chẵn (2.25) đối với lớp nghiệm lẻ (2.26) Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn. Giá trị năng lượng chứa trong số hạng .Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp giải tích mà giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị.Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị. Hình 6a. biểu diễn đồ thị của và theo Hình 6b. biểu diễn đồ thị của và theo với các giá trị khác nhau. 14
Trang 15
Giao điểm các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của .Đối với các trường hợp trạng thái chẵn, khi bé chỉ cho một giao điểm, nghĩa là một giá trị năng lượng cho phép. Khi tăng sốgiá trị năng lượng cho phép tăng lên. Trong trường hợp trạng thái lẻ, vì nên khi sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép. Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng mà tại đó có n trạng thái liên kết, nghĩa là có n giá trị năng lượng cho bởi: hoặc Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn. Trường hợp giới hạn khi thì thì hàm sẽcắt và tại các điểm tiệm cận , vì khi cả và tiến đến vô cùng. 15
Trang 16
Kết hợp cả hai điều kiện này ta được: Vì nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường hợp thế vô hạn. Hình 7 biểu diễn ba mức năng lượng đầu tiên và các hàm sóng tương ứng. Trạng thái cơ bản (n=1) và trạng thái kích thích thứ hai (n=3) là trạng thái chẵn, trạng thái kích thích thứ nhất (n=2) là trạng thái lẻ. Đồ thị cho thấy rằng, các hàm sóng lan tỏa qua miền E < U0. Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể ở mặt ngoài giếng. Mức độ “thấm qua” của hạt phụ thuộc vào độ lớn của , nghĩa là độ sâu U0 của giếng, hạt thấm qua được 16
Trang 17
một đoạn kể từ biên của giếng. Chú ý rằng khi thì , nghĩa là hạt không thể ra khỏi giếng. Đây là trường hợp giếng thế vô hạn như đã khảo sát ở trên. 3.PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CHUYỂN ĐỘNG 2- 3 CHIỀU Bây giờ ta xét trường hợp hạt chuyển động trên một mặt phẳng hai chiều hoặctrong không gian ba chiều. Để giải phương trình Schrodinger cho các chuyển động này ta dùng phương pháp tách biến bằng cách giả sử các chuyển động trên các chiều là độc lập nhau. Hệ quả của điều này là năng lượng trong chuyển động nhiều chiều bằng tổng năng lượng của các chuyển động một chiều và hàm sóng bằng tích phân các hàm sóng của các chuyển động một chiều. Vì vậy, ta sẽ sử dụng các kết quả của bài toán của chuyển động một chiều như đã khảo sát ở trên. Điều cần chú ý ở đây là khác với trường hợp chuyển động một chiều, trong chuyển động nhiều chiều sẽ xuất hiện sự suy biến của năng lượng. Trước hết ta đưa ra cách giải tổng quát phương trình Schrodinger trong trường hợp 3 chiều trong hệ tọa độ Descartes, sau đó ta sẽ xét bài toán giếng thế 2 chiều, 3 chiều và dao động tử điều hòa 3 chiều. 3.1. Giải phương trình Schrodinger trong trường hợp 3 chiều Trongkhông gian Descartes ba chiều phương trình Schrondinger dừng có dạng: Vì chuyển động trên ba trục là độc lập nhau nên sử dụng phương pháp phân li biến số để giải phương trình trên, lúc đó thế năng, năng lượng của hàm sóng viết lại dưới dạng: 17
Trang 18
Thay các biểu thức trên vào phương trình (3.1) rồi chia 2 vế cho , ta thu được ba phương trình cho ba chuyển động một chiều theo ba trục: Giải ba phương trình trên ta được năng lượng và hàm sóng của chuyển độngtheo từng chiều riêng rẽ sau đó thay vào (3.2), ta thu được năng lượng và hàm sóng cho hạt chuyển động ba chiều. 3.2. Hạt trong giếng thế 2 chiều Trong trường hợp hạt bị nhốt trong giếng thế với thế năng có dạng: Theo (3.3), ta được hai phương trình cho trường hợp một chiều: Đây chính là phương trình Schrodinger dừng cho hạt ở giếng thế một chiều theo hai trục x và y với năng lượng hàm sóng lần lượt có dạng: Từ đó, năng lượng và hàm sóng trong giếng thế hai chiều có dạng như sau: 18
Trang 19
Khi giếng thế là hình vuông cạnh L thì: Giá trị năng lượng ứng với bốn mức đầu tiên: Như vậy, ta thấy mức năng lượng 11 E không suy biến, hàm sóng tương ứng là: Trong lúc đó mức năng lượng E và E suy biến bội hai với các hàm sóngtương ứng là: và 3.3. Hạt trong giếng thế 3 chiều Trong trường hợp này thế năng giam giữ hạt có dạng: Theo (3.3) ta được ba phương trình Schrodinger cho bài toán giếng thế một chiều sâu vô hạn, từ đó biểu thức của năng lượng và hàm sóng trong giếng thế ba chiều viết lại như sau: Trong trường hợp Lx = Ly = Lz = Lthì năng lượng ở (3.8) trở thành: 19
Trang 20
Hàm sóng trong (3.9) có dạng: Bảng 1. Sự suy biến các mức năng lượng trong giếng thế ba chiều: 3 (111) 1 6 (211), (121), (112) 3 9 (221), (212), (122) 3 11 (311), (131), (113) 3 12 (222) 1 14 (321), (312), (231), (213), (132), (123) 6 Ở trạng thái cơ bản , năng lượng có dạng: trong đó là năng lượng ở trạng thái cơ bản của giếng thế một chiều. Sự suy biến của các mức năng lượng trong giếng thế ba chiều được cho ở Bảng 1.Trong đó g là bậc suy biến. 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!